fpraktikum/CS/protokoll/protokoll.tex

\documentclass[slug=CS, room=Andreas-Schubert-Bau\,\ Labor\ 406,
supervisor=Juliane\ Volkmer, coursedate=29.\ 11.\ 2019]{../../Lab_Report_LaTeX/lab_report}

\title{Comptonstreuung}
\author{Oliver Matthes, Valentin Boettcher}
\usepackage{todonotes}
\graphicspath{ {figs/} }
\newcommand{\cs}{\emph{Comptonstreuung}}
\newcommand{\am}{\ce{^241Am} }
\newcommand{\kev}[1]{\SI{#1}{\kilo\electronvolt}}
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% bib
\addbibresource{protokoll.bib}

\begin{document}
\maketitle

\section{Einleitung}
\label{sec:einl}

\cs{} ist in einem Energiebereich von hundert Kiloelektronenvolt bis hin zu wenigen
Megaelektronenvolt der Wechselwirkungsprozess zwischen Photonen und Materie, der am
 wahrscheinlichsten auftritt und deswegen in vielen physikalischen Bereichen beachtet werden muss.
Neben \cs{} gibt es natürlich auch noch andere Wechselwirkungsprozesse wie den
Photoeffekt, der vor allem bei geringen Photonenenergien auftritt oder die Paarbildung bei
der man Energien von mindestens zwei Elektronenmassen braucht, um ein Elektron-Positron-Paar
zu erzeugen. Diese Prozesse werden in diesem Versuch allerdings nicht betrachtet.\\

Um Aussagen über die Wahrscheinlichkeit, dass ein Photon mit einem Elektron wechselwirkt,
treffen zu können, definiert man den Wirkungsquerschnitt
\begin{equation}\label{eq:wirkquer}
        \sigma = \frac{N}{\Phi}
\end{equation}
mit der mittleren Wechselwirkungsanzahl eines Teilchens mit einem
atomaren Target \(N\) und der Teilchenfluenz, dem das Target
ausgesetzt ist \(\Phi\).

Der Wechselwirkungsquerschnitt der inkohärenten Streuung und damit des Comptoneffekts ist
proportional zur Ordnungszahl des Atoms (\(\sigma_i \propto\) Z).\cite[2]{iktp19}\\

\subsection{Inkohärente Streuung}
\label{sec:inkostreu}

Wichtig, um \cs{} beschreiben zu können, ist der Prozess der \emph{inkohärenten Streuung}.
Dabei überträgt das Photon bei der Wechselwirkung mit einem an einem Atomkern gebundenen
Elektron einen Teil seiner Energie auf dieses, so dass es den gebundenen Zustand verlassen kann.
Vernachlässigt man bei diesem Prozess die Bindungsenergie des Elektrons, nennt man diesen \cs{},
da Arthur Holly Compton 1922 diese Annahme traf, um diesen Effekt zu beschreiben.~\cite[3]{iktp19}\\

\subsubsection{Comptonstreuung}
\label{sec:cs}

Um \cs{} zu beschreiben, geht man, wie oben schon erwähnt, von quasi
freien Elektronen aus.  Diese Annahme trifft besonders gut auf Metalle
zu (im Experiment werden wir mit einem Aluminiumtarget arbeiten).
Wird ein Photon an einem Elektron gestreut, ändert sich seine Energie
sowie seine Bewegungsrichtung um einen polaren Streuwinkel
\(\vartheta\). Nutzt man den Energie- und den Impulserhaltungssatz aus
und setzt den Photonenimpuls \(p = E/c\) ein, so erhält man mit \(E'\)
als Energie des Photons vor dem Sto\ss{} den Ausdruck
in~\eqref{eq:photoenergie} für die Energie des Wechselwirkungsphotons
nach der Interaktion.

\begin{gather}
        E(\mu) = \frac{E'}{1 + \kappa(1 - \mu)} \label{eq:photoenergie}\\
        \kappa = \frac{E'}{m_0c^2}\\
        \mu = \cos\vartheta
\end{gather}

Die Ruheenergie des Elektrons beträgt

\begin{equation}\label{key}
        E_{e^-} = m_0c^2 = \SI{511}{\kilo\electronvolt}.
\end{equation}

Die maximal mögliche Energie, die ein Photon nach der Streuung haben kann, ist also dessen
Ausgangsenergie. Bei einem Streuwinkel von \(\vartheta = 0^\circ\) (Vorwärtsstreuung) folgt
\(\mu \rightarrow 1 \implies E(\mu) \rightarrow E'\).
Die Minimalenergie wird bei \(\mu = -1\), also bei \(\vartheta = 180^\circ\), erreicht, da
hier gilt

\begin{equation}\label{eq:emax}
        E(\mu) = \frac{E'}{1 + 2\kappa}.
\end{equation}

Je größer der polare Streuwinkel \(\vartheta\) des Photons ist, desto mehr Energie wird beim Stoß
an das Elektron übertragen. Je größer außerdem die Ausgangsenergie des Photons, desto größer ist
der Energieverlust bei der Streuung und desto höher ist zudem die Winkelabhängigkeit des
Energieverlustes (vgl.~\ref{fig:evontheta}).\\

\begin{figure}[H]\centering
        \includegraphics[width=.5\columnwidth]{./pictures/evontheta.png}
        \caption{Abhängigkeit der Energien vor und nach dem Stoß \(E'\) und \(E\) vom Streuwinkel
        \(\vartheta\).}
        \label{fig:evontheta}
\end{figure}

Um eine Aussage zur Wahrscheinlichkeit zu treffen, mit der ein Photon in einem Raumwinkelelement
\(d\Omega = \sin\vartheta d\vartheta d\phi\) gestreut wird, haben \textsc{O. Klein} und
\textsc{Y. Nishina} 1929 einen analytischen Ausdruck für den differentiellen Wirkungsquerschnitt
hergeleitet~\cite{kn29}

\begin{equation}\label{eq:kn}
        \sigma^{\text{KN}}_\Omega(\mu) = \frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{r_e^2}{2} \cdot \qty(\frac{1}{1 + \kappa(1 - \mu)})^2 \cdot \qty(\kappa(1 - \mu) + \frac{1}{1 + \kappa(1 - \mu)} + \mu^2)
\end{equation}

mit \(r_e = \SI{2,818e-15}{\metre}\) als klassischen Elektronenradius. Dieser Zussamenhang ist f\"ur verschiedene \(E'\) in~\ref{fig:sigmakn}.

Für \(\mu = 1\), also Vorwärtsstreuung folgt
\begin{equation}\label{key}
        \sigma^{\text{KN}}_\Omega(\mu = 1) = r_e^2 = \SI{79,4}{\milli\barn}.
\end{equation}

\begin{figure}[H]\centering
        \includegraphics[width=.5\columnwidth]{./pictures/sigma_kn.png}
        \caption{\(\sigma^{\text{KN}}_\Omega(\mu)\) für verschiedene \(E'\).}
        \label{fig:sigmakn}
\end{figure}

Die Grafiken und Formeln entstammen eigener Rechnung und~\cite[3-5]{iktp19}.

\subsubsection{Korrektur für inkohärente Streuung}
\label{sec:cskorrektur}

Wenn man die Bindungsenergie der Elektronen nicht vernachlässigt,
multipliziert man eine Korrektur des differentiellen
Wirkungsquerschnitts an die \textsc{Klein}-\textsc{Nishina}-Formel
eine inkohärente Streufunktion \(S(E', \mu, Z)\)~\cite[5-6]{iktp19},
wie in \eqref{eq:knkorrektur} geschehen.

\begin{equation}\label{eq:knkorrektur}
        \sigma^{i}_\Omega(E', \mu, Z) = \sigma^{\text{KN}}_\Omega(E', Z) \cdot S(E', \mu, Z)
\end{equation}

Es gilt, dass \(\sigma^{i}_\Omega < \sigma^{\text{KN}}_\Omega\). Insbesondere geht
\(\sigma^{i}_\Omega\) bei \(\vartheta \rightarrow 0\) ebenfalls gegen Null, was man damit erklären
kann, dass bei \(\vartheta \rightarrow 0\) die vom Photon auf das Elektron übertragene Energie
gegen Null konvergiert, sodass diese irgendwann die Elektronenbindungsenergie unterschreitet,
das Elektron also auch nach der Interaktion mit dem Photon gebunden bleibt und somit keine
inkohärente Streuung mehr vorliegt (vgl.~\ref{fig:sigmaknkorrigiert}).

\begin{figure}[H]\centering
        \includegraphics[width=.5\columnwidth]{./pictures/sigma_kn_korrigiert.png}
        \caption{Gegenüberstellung von \(\sigma^{i}_\Omega\) und \(\sigma^{\text{KN}}_\Omega\) für
        Aluminium und verschiedene \(E'\).}
        \label{fig:sigmaknkorrigiert}
\end{figure}

\section{Durchführung und Auswertung}
\label{sec:experiment}

Der Versuchsaufbau war wie in der Versuchsanleitung beschrieben, nur zeigte die Strahlrichtung
stets gen Wand. Außerdem wurde ein Szintillationsdetektor statt, wie in~\ref{fig:versuchsaufbau}
zu sehen, eines Halbleiterdetektors verwendet.

\begin{figure}[H]\centering
        \includegraphics[width=.7\columnwidth]{./pictures/versuchsaufbau.png}
        \caption{Ähnlicher Versuchsaufbau, da ein ähnlich aussehender Szintillationsdetektor anstelle
                des hier abgebildeten Halbleiterdetektors (4) verwendet wurde.}
        \label{fig:versuchsaufbau}
\end{figure}

Der in~\ref{fig:versuchsaufbau} dargestellte Versuchsaufbau bestand aus folgenden Komponenten:
(1) Halterung für die kollimierte \am{}-Probe, dessen Abstand zum Aluminiumprobenstab (3)
variiert und mit Hilfe eines angebrachten Maßstabes zu \(\approx \SI{2}{\milli\metre}\)
Genauigkeit abgelesen werden konnte. Der Abstand wurde an der unteren rechten Seite (roter Strich
in~\ref{fig:versuchsaufbau}) abgelesen. Der Streuwinkel konnte variiert und mittels eines
Goniometers (2), das aller \(5^\circ\) einen Strich hatte, auf \(\approx 2^\circ\) genau
eingestellt werden. In den Probenhalter (5) wurden für die Kalibrierung des Detektors drei
verschiedene Probenscheiben in die zum Detektor zeigende Seite eingesetzt und dieser so nah wie
möglich an den Detektor herangeschoben, um für eine möglichst kurze Messzeit, möglichst viele Ereignisse zu zählen.

\subsection{Kalibrierung des Detektors}
\label{sec:kalib}

Für die Detektorkalibrierung wurden drei verschiedene Probenscheiben aus \ce{^{137}Cs},
\ce{^{133}Ba} und \ce{^{152}Eu} sowie die eigentliche \am{}-Probe verwendet.
Für alle Quellen wurden Histogramme aufgenommen und mit Hilfe der Website \emph{''Nudat 2''}~\cite{nudat}
die Energien der Peaks den Kanalnummern zugeordnet, um herauszufinden, welcher Kanal, welcher
Energie entspricht.

\ref{tab:cspeaks}, \ref{tab:bapeaks}, \ref{tab:ampeaks} und
\ref{tab:eupeaks} listen die \(\gamma\) \"Uberg\"ange der einzelnen
Kalibrierproben auf. Die jeweils in gleichen Farben hinterlegten
Energien wurden gewichtet gemittelt zur Kalibrierung genutzt.

\begin{table}[H]
  \centering
  \begin{tabular}{S|S}
    \toprule
    {E [\(\si{\kilo\electronvolt}\)]} & {Intensität [\(\si{\percent}\)]} \\
    \midrule
    \rowcolor{green!20} 31.817                            & 1.99                            \\
    \rowcolor{green!20} 32.194                            & 3.64                            \\
    36.304                            & 0.348                           \\
    36.378                            & 0.672                           \\
    37.255                            & 0.213
  \end{tabular}
  \caption{Energiepeaks und deren Intensität für \ce{^{137}Cs}.}
  \label{tab:cspeaks}
\end{table}
\begin{table}[H]
  \centering
  \begin{tabular}{S|S}
    \toprule
    {E [\(\si{\kilo\electronvolt}\)]} & {Intensität [\(\si{\percent}\)]} \\
    \midrule
    \rowcolor{green!20} 30,625                          & 33,9                          \\
    \rowcolor{green!20} 30,973                          & 62,2                          \\
    \rowcolor{orange!20} 53,1622                         & 2,14                          \\
    \rowcolor{blue!20} 79,6142                         & 2,65                          \\
    \rowcolor{blue!20} 80,9979                         & 32,9
  \end{tabular}
  \caption{Energiepeaks und deren Intensität für \ce{^{133}Ba}.}
  \label{tab:bapeaks}
\end{table}
\begin{table}[H]
  \centering
  \begin{tabular}{S|S}
    \toprule
    {E [\(\si{\kilo\electronvolt}\)]} & {Intensität [\(\si{\percent}\)]} \\
    \midrule
    \rowcolor{green!20} 26,3446                           & 2,27                            \\
    \rowcolor{blue!20} 59,5409                           & 35,9
  \end{tabular}
  \caption{Energiepeaks und deren Intensität für \am{}.}
  \label{tab:ampeaks}
\end{table}
\begin{table}[H]
  \centering
  \begin{tabular}{S|S}
    \toprule
    {E [\(\si{\kilo\electronvolt}\)]} & {Intensität [\(\si{\percent}\)]} \\
    \midrule
    \rowcolor{green!20} 5,64                              & 14                               \\
    6,06                              & 0,174                            \\
    39,522                            & 21                               \\
    40,118                            & 37,7
  \end{tabular}
  \caption{Energiepeaks und deren Intensität für \ce{^{152}Eu}.}
  \label{tab:eupeaks}
\end{table}

Um die Kanallage der Peaks zu bestimmen wird eine Gaußkurve der Form
\begin{equation}
  \label{eq:gaussfit}
  A\cdot\exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma}) + O
\end{equation}

\"uber die aufgenommenen Histogramme gefittet. Dabei gibt nun \(\mu\)
die Kanallage. Die Unsicherheit der Kanallage ergibt sich aus der
Unsicherheit im Fit. Für die Unsicherheit der H\"ohe der einzelnen
Bins im Histogram wurde gem\"a\ss{} der Poissonverteilung die Wurzel
der Ereigniszahl angesetzt. Daraus ergibt sich auch die Unsicherheit
der Ereigniszahl im Peak.

Für \ce{^{137}Cs} ist das Resultat in~\ref{fig:calfitcs} dargestellt.
\begin{figure}[h]\centering
  \input{../auswertung/figs/calibrate/cs.pgf}
  \caption{Fit \"uber den Z\"ahlratenpeak f\"ur eine \ce{^{137}Cs} zur
    Bestimmung der Kanallage desselben zwecks der Energiekalibrierung.}
  \label{fig:calfitcs}
\end{figure}

Die restlichen Plots sind \"ahnlicher Natur und werden allesamt
in~\ref{sec:ancalplot} aufgelistet.

Ein Linearer Fit der Form
\begin{equation}
  \label{eq:linclafit}
  K(E) = \frac{E-a}{b}
\end{equation}
ergibt die Kalibrierungsparameter (in dieser Form, da \(K\) mit
Unsicherheit behaftet). Daraus erhält man durch Umstellen
einen Zusammenhang
\begin{equation}
  \label{eq:eofk}
  E(K) = a + K\cdot b.
\end{equation}

In~\ref{fig:energyfit} werden die Kanallagen \"uber der Energie
aufgetragen und der Fit durchgef\"uhrt.

Es ergibt sich f\"ur die Parameter:

\begin{align}
  a &= \SI{-5.76\pm 0.10}{\kilo\electronvolt} \\
  b &= \SI{0.083\pm 0.002}{\kilo\electronvolt} \\
\end{align}


\begin{figure}[h]\centering
  \input{../auswertung/figs/calibrate/energy_fit.pgf}
  \caption{Kanallage \"uber Energie zur Kalibrierung.}
  \label{fig:energyfit}
\end{figure}

\subsection{Aufnahme eines Histogramms}
\label{sec:histogramm}

Zur Aufnahme dieses Histogramms wurde die \am{}-Quelle mit Kollimator
mit einer Aktivität von \(\SI{0,5}{\giga\becquerel}\) in die
entsprechende Halterung (1) eingespannt, auf einen Streuwinkel von
\(\vartheta = 90^\circ\) und eine Distanz vom Aluminiumstreustab, der
einen Durchmesser von \(\SI{6}{\milli\metre}\) hatte, von
\(\SI{3}{\centi\metre}\) eingestellt.  Danach wurde für
ca. \(\SI{20}{\min}\) ein Histogramm aufgezeichnet. Dies wurde für die
Hintergrundmessung ohne Streustab wiederholt. Die Hintergrundmessung
verl\"auft analog zur Aufnahme des Histograms mit stab und dient der
Quantifizierung des Anteils von detektierten Photonen, die nicht am
Stab gestreut werden (z. B. Streuung an der Raumwand). Zieht man
diesen Hintergrund von den eigentlichen Messungen ab, so z\"ahlt man
in guter N\"aherung nur noch am Stab gestreute Photonen. Dabei kann es
durch statistische Schwankungen auch zu N\"agtiven Ereigniszahlen
kommen, die an sich unphysikalisch sind, aber nur bei geringen
Ereignisszahlen auftreten.  Die aufgenommen Histogramme sind
in~\ref{fig:am20hist} und~\ref{fig:am20histnull} dargestellt.
\ref{fig:hists-am_90_sub} zeigt das korrigierte Histogram mit
abgezogenem Hintergrund. Es ist zu erkennen, dass der Peak
symmetrischer wirkt und das Histogram die steigende Flanke bei hohen
Kan\"alen verloren hat. Generell schwankt die Z\"ahlrate au\ss{}erhalb
der Peaks einigerma\ss{}en Symmetrisch um die Nullinie, wobei die
Schwankung bei Gro\ss{}en Energien zunehmen und der Mittlwert unter
die Nullinie f\"allt. Da nach der Poissonverteilung zwar der relative
Fehler sinkt, aber der Absolute steigt, ist dieser Unmstand nicht
verwunderlich.

Analog zu den Kalibrierungsmessungen wurde
in~\ref{fig:hists-am_90_sub_fit} und~\ref{fig:hists-am_90_fit} das
Zentrum des hohen Peaks bestimmt. Mit abgezogenem Untergrund ergibt
sich \(E_{p}=\SI{51.4\pm 2.1}{\kilo\electronvolt}\) und ohne
\(E_{p}=\SI{53.4\pm 2.1}{\kilo\electronvolt}\). Dahingegen ist der
Theoretisch f\"ur diesen Winkel erwartete Wert
\(E_{pt}=\SI{50.9}{\kilo\electronvolt}\). Es zeigt sich hier also,
dass der Peak ohne Abgezogenen untergrund einen Bias zu h\"oheren
Energien hat. Warscheinlich finden au\ss{}erhalb des Streustabes
andere Streuprozesse unter anderen Winkel mit anderen Charakteristika
statt.


\begin{figure}[htp]\centering
  \input{../auswertung/figs/hists/am_90_sub_fit.pgf}
  \caption{Fit des \am{} Peaks  bei \(\vartheta = 90^\circ\) mit Target und abgezogenen Hintergrund.}
  \label{fig:hists-am_90_sub_fit}
\end{figure}
\begin{figure}[htp]\centering
  \input{../auswertung/figs/hists/am_90_fit.pgf}
  \caption{Fit des \am{} Peaks  bei \(\vartheta = 90^\circ\) mit Target und Hintergrund.}
  \label{fig:hists-am_90_fit}
\end{figure}
\begin{figure}[htp]\centering
  \input{../auswertung/figs/hists/am_90_sub.pgf}
  \caption{Histogramm f\"ur \am{} bei \(\vartheta = 90^\circ\) mit Target und abgezogenen Hintergrund.}
  \label{fig:hists-am_90_sub}
\end{figure}
\begin{figure}[htp]\centering
  \input{../auswertung/figs/hists/am_90.pgf}
  \caption{Histogramm f\"ur \am{} bei \(\vartheta = 90^\circ\) mit Target.}
  \label{fig:am20hist}
\end{figure}
\begin{figure}[htp]\centering
  \input{../auswertung/figs/hists/am_90_0.pgf}
  \caption{Histogramm f\"ur \am{} bei \(\vartheta = 90^\circ\) ohne
    Target. Nullmessung.}
  \label{fig:am20histnull}
\end{figure}


\subsection{Messzeitoptimierung}
\label{sec:topt}

Die effektive Zählrate ergibt sich zu
\begin{align}
  \label{eq:countrate}
  \dot{N} &= \frac{N_g-N_0}{t} \\
  \Delta N_i &= \sqrt{N_i}\qq{(Poissonverteilng)}
\end{align}

mit der Gesamtzählrate \(N_g\), Dunkelzählrate \(N_0\) und der
Messzeit \(t\).

Aus der Gau\ss{}schen Fehlerfortpflanzung folgt f\"ur die minimale
Messzeit bei Forderung einer maximalen Unsicherheit
\(\Delta\dot{N}/\dot{N}\):

\begin{align}
  \label{eq:mtime}
  t_{opt} & \geq\frac{\dot{N_g} +
            \dot{N_0}}{(\Delta\dot{N}/\dot{N})^2\cdot (\dot{N_g} -
            \dot{N_0})^2} \\
  \Delta t_{opt} &=\frac{\sqrt{(\dot{N_g} +
                   3\cdot\dot{N_0})^2\cdot\frac{\dot{N_g}}{t}
                   + (3\cdot\dot{N_g} + \dot{N_0})^2\cdot\frac{\dot{N_0}}{t}}}{(\Delta\dot{N}/\dot{N})^2\cdot (\dot{N_g} -
            \dot{N_0})^3}
\end{align}.

In unserem Fall gilt nun
\begin{align}
  t &=\SI{1183}{\second} \\
  \dot{N_g} &=\SI{7.96\pm.08}{\per\second} \\
  \dot{N_0} &=\SI{4.68\pm.06}{\per\second} \\
  \Delta\dot{N}/\dot{N} &\overset{!}{=}\SI{5}{\percent} \\
  t_{opt} &=\SI{7.8}{\min} \\
  \Delta t_{opt} &=\SI{1.6}{\min}
\end{align}.

Die Gesamtereigniszahl wurde jeweils durch Aufsummierung der
Ereigniszahlen der Kan\"ale \(530\) bis \(780\) ermittelt.

Im Idealfall werden nun \(t_{opt}\) und \(\Delta t_{opt}\) addiert,
aus Zeitgr\"unden wurde die Messzeit in den folgenden Versuchsteilen
aber auf

\begin{equation}
  \label{eq:fmtime}
  t_{mess} = \SI{7}{\min}
\end{equation}

festgelegt.

In den folgenden Betrachtungen ergeben sich au\ss{}erhalb der Peaks
immer wieder negative Z\"ahlraten nach Abzug des Untergrunds. Man kann
das als statistische Schwankung interprettieren, die bei
gr\"o\ss{}eren Messzeiten weniger ins Gewicht fiele.

\subsection{Photonenenergiebestimmung in Abhängigkeit des Streuwinkels}
\label{sec:energwinkel}

Zur graphischen Darstellung von \(E(\mu)\) wurden mit der
in~\ref{sec:topt} ermittelten optimalen Messzeit Histogramme für
sieben verschiedene Streuwinkel zwischen \(30^\circ\) und
\(130^\circ\) aufgenommen. Die verwendeten Winkel sowie die
ermittelten Energien sind in ~\ref{tab:energwinkel} aufgelistet. Pro
Winkel musste natürlich auch der Hintergrund gemessen werden, um
diesen später in der Auswertung abziehen zu können. Durch ein
\"ahnliches Verfahren wie in~\ref{sec:kalib} wurden die Kanallagen des
Peaks um \kev{60} nach Abzug der Nullmessungen bestimmt und
mit~\eqref{eq::eofk} in Energien umgerechnet. Die dazugeh\"origen Plots
finden sich in~\ref{sec:anangplot}.

\begin{table}[H]
  \centering
  \begin{tabular}{S|SS}
    \toprule
    {\(\vartheta\) [\(^\circ\)]} & {\(E\)
                                   [\(\si{\kilo\electronvolt}\)]}
    & {\(\Delta E\) [\(\si{\kilo\electronvolt}\)]}\\
    \midrule
    30                           &  57.3 & 2.2 \\
    45                           &  56.0 & 2.1 \\
    60                           &  54.1 & 2.1 \\
    75                           &  52.4 & 2.1 \\
    90                           &  50.3 & 2.1 \\
    105                          &  49.8 & 2.0 \\
    120                          &  48.5 & 2.0
  \end{tabular}
  \caption{Energien \(E\) in Abhängigkeit des Winkels \(\vartheta\).}
  \label{tab:energwinkel}
\end{table}

\ref{fig:energycurve} zeigt die Energien im Vergleich mit den
theoretischen Erwartungen nach~\eqref{eq::photoenergie}. Zu erkennen ist
eine prinzipielle \"Ubereinstimmung im Verlauf. Die Kalibrierung
scheint aber im hier betrachteten Bereich nicht optimal zu sein,
wahrscheinlich aufgrund der wenigen Kalibriermessungen im Bereich um
\kev{60}.

\begin{figure}[H]\centering
  \input{../auswertung/figs/winkelmessung/energycurve.pgf}
  \caption{Energie der gestreuten Photonen in Abhängigkeit von \(\mu\)
  und theoretische Erwartung.}
  \label{fig:energycurve}
\end{figure}

\subsection{Bestimmung des Wirkungsquerschnitts}
\label{sec:wirkquer}
Die Zählraten (Gesamt und Nulleffekt) werden jeweils separat durch
Summierung der Z\"ahlzahlen in einem Bereich von \(\pm 3\sigma\) um
die in~\ref{sec:energwinkel} ermittelten Peaks berechnet.  Der Prozess
wird wiederum durch die Plots in~\ref{sec:anangplot} veranschaulicht.

Die Messabweichung ergeben sich gem\"a\ss{}~\eqref{eq::countrate} zu:

\begin{align}
  \Delta\dot{N} &= \sqrt{\qty(\pdv{\dot{N}}{\dot{N_g}}\cdot\Delta\dot{N_g})^2 + \qty(\pdv{\dot{N}}{\dot{N_0}}\cdot\Delta\dot{N_0})^2} \\
                &= \frac{1}{t}\sqrt{N_g + N_0} \\
\end{align}

Die ermittelten Zählraten sind in~\ref{fig:countrates} aufgetragen und
in~\ref{tab:ratedurch1} aufgelistat. Normiert man diese und auch die
theoretische Kurve nach~\eqref{eq::kn} auf den Wert bei
\(\theta = 120^\circ\), so ergibt sich~\ref{fig:rel_countrates}. Man
erkennt wiederum eine prinzipielle \"Ubereinstimmung, wobei sich
Abweichungen wie in~\ref{fig:sigmaknkorrigiert} ergeben. Der dritte
Messpunkt ist von sehr schlechter Qualit\"at, da die Messung
ungew\"ohnlich stark rauschte und liegt deswegen weitab der
Theoriekurve. (Siehe auch~\ref{fig:90})

Zu erkennen ist weiterhin, dass die Theoriekurve bei gro\ss{}en Winkeln
recht gut mit den Messungen \"ubereinstimmt und kleinen Winkeln
wie in~\ref{fig:sigmaknkorrigiert} Abweichungen bedingt durch die
endliche Bindungsenergie zeigt. Nat\"urlich wurde die Normierung so
gew\"ahlt, um dieses Bild zu provozieren.

\begin{table}[H]
  \centering
  \begin{tabular}{S|SS}
    \toprule
    {\(\vartheta\) [\(^\circ\)]} & {\(\dot{N}\)
                                      [\(\si{\per\second}\)]}
    & {\(\Delta\dot{N}\) [\(\si{\per\second}\)]}\\
    \midrule
    30                           & 9.09  & .28 \\
    45                           & 6.95  & .20 \\
    60                           & 5.11  & .16 \\
    75                           & 4.20  & .15 \\
    90                           & 1.15  & .11 \\
    105                          & 3.77  & .13 \\
    120                          & 4.04  & .13
  \end{tabular}
  \caption{Zählrate \(\dot{N}\) in Abhängigkeit vom Winkel.}
  \label{tab:ratedurch1}
\end{table}


\begin{figure}[h]\centering
  \input{../auswertung/figs/crossec/countrates.pgf}
  \caption{Zählraten in Abhängigkeit von \(\mu\).}
  \label{fig:countrates}
\end{figure}
\begin{figure}[h]\centering
  \input{../auswertung/figs/crossec/rel_countrates.pgf}
  \caption{Normierte Zählraten in Abhängigkeit von \(\mu\) inklusive Theoriekurve.}
  \label{fig:rel_countrates}
\end{figure}


\subsection{Einfluss des Streukörperdurchmessers}
\label{sec:durchmesser}

Zur Bestimmung des Einflusses des Streukörperdurchmessers auf die Zählrate \(\dot{N}\) wurden
bei \(\vartheta = 60^\circ\) Aluminiumstäbe mit fünf verschiedenen
Durchmessern genommen. Es ergeben sich analog zu~\ref{sec:wirkquer}
die Zählraten in~\ref{tab:ratedurch}. Diese sind zur Übersicht auch
in~\ref{fig:dicke-countrate} aufgetragen.

\begin{table}[H]
        \centering
        \begin{tabular}{S|SS}
                \toprule
                {\(d\) [\(\si{\milli\metre}\)]} & {\(\dot{N}\)
                                                  [\(\si{\per\second}\)]}
          & {\(\Delta\dot{N}\) [\(\si{\per\second}\)]}\\
                \midrule
                2,3                         &     .63  & .08                                \\
                4,4                         &     3.43 & .14                                 \\
                6,6                         &     5.11 & .16                                 \\
                10,2                        &     9.88 & .20                                 \\
                20,4                        &     8.13 & .19
        \end{tabular}
        \caption{Zählrate \(\dot{N}\) in Abhängigkeit des Durchmessers
          \(d\). Die ungeraden Zahlen wurden so gemessen. Im text wird
          auf gerundete Were Bezug genommen.}
        \label{tab:ratedurch}
\end{table}

Aufgrund starken Rauschens ergibt sich aus~\ref{fig:dicke-2} bei
\SI{2}{\milli\meter} eine kleine Peakbreite im Fit und daher eine sehr
kleine Zählrate.

Generell ist zu erkennen, dass die Zählrate ann\"ahernd linear vom
Streukörperdurchmesser abhängt, da auch die bestrahlte
Querschnittsfl\"ache (Rechteck) und damit die Anzahl der Streuatome
linear mit dem Durchmesser skaliert. Das Sinken der Zählrate bei
\SI{20}{\milli\meter} k\"onnte durch die Blockade mancher gestreuter
Photonen durch das Target selbst erklärt werden. Die Qualit\"at der
Messung scheint in diesem Falle ad\"aquat zu sein
(siehe~\ref{fig:dicke-20}).

\begin{figure}[H]\centering
  \input{../auswertung/figs/dicke/countrate.pgf}
  \caption{Zählrate in Abhängigkeit des Targetdurchmessers.}
  \label{fig:dicke-countrate}
\end{figure}

\subsection{Abstandseinfluss zwischen Quelle und Streukörper}
\label{sec:abstand}

Um den Einfluss des Abstandes zwischen Quelle und Streukörper zu ermitteln, wurden Histogramme
für fünf verschiedene Abstände zwischen \(l = \SI{3}{\centi\metre}\) und
\(l = \SI{12}{\centi\metre}\) sowie jeweils die Hintergrundstrahlung aufgenommen.
In diesem Versuchsteil war der Winkel erneut \(\vartheta = 60^\circ\) und der
Streukörperdurchmesser \(d = \SI{6}{\milli\metre}\).\\

Die Zählraten und Peakbreiten wurden analog zu~\ref{sec:wirkquer}
ermittelt.\footnote{God save Python.} Die dazugeh\"origen Plots sind
in~\ref{sec:anabplot} zu finden.

Die gemessenen Zählraten sind in~\ref{tab:abstand} aufgetragen.
\begin{table}[H]
  \centering
  \begin{tabular}{S|SS}
    \toprule
    {\(l\) [\(\si{\centi\metre}\)]} & {\(\dot{N}\)
                                      [\(\si{\per\second}\)]}
    & {\(\Delta\dot{N}\) [\(\si{\per\second}\)]}\\
    \midrule
    3                               & {-}    &  {-}                                 \\
    5                               & {-}    &  {-}                                 \\
    7                               & 2.49 & .13                                    \\
    9                               & 2.03 & .12                                    \\
    12                              & 1.48 & .11
  \end{tabular}
  \caption{Zählrate \(\dot{N}\) pro Anstand Quelle-Streukörper \(l\).}
  \label{tab:abstand}
\end{table}

Da bei gr\"o\ss{}en Abst\"anden der \kev{60} Peak verrauscht, wird
hier f\"ur die Auswertung der \kev{26} Peak genutzt, der allerdings
erst ab \(l=\SI{7}{\centi\meter}\) ausreichende Prominenz aufwies.

\begin{figure}[h]\centering
  \input{../auswertung/figs/dists/countrates.pgf}
  \caption{Zählrate in Abhängigkeit des Abstandes des Targets von der Quelle.}
  \label{fig:dists-countrates}
\end{figure}

\begin{figure}[h]\centering
  \input{../auswertung/figs/dists/widths.pgf}
  \caption{Peakbreite in Abhängigkeit des Abstandes des Targets von
    der Quelle. Abweichungen aus Fit Fehler.}
  \label{fig:dists-widths}
\end{figure}

Nimmt man eine Punktquelle an, so gilt \(\Phi\sim 1/l^2\). Wie
in~\ref{fig:dists-countrates} zu erkennen, nimmt die Zählrate mit dem
Abstand der Quelle zum Target wie erwartet ab.

Dahingegen nimmt die Peakbreite, wie in~\ref{fig:dists-widths} zu
erkennen mit \(l\) zu.  Es w\"are innerhalb der Messabweichung auch
der umgekehrte Fall m\"oglich und damit l\"asst sich hier also keine
entg\"ultige Aussage treffen.  Betrachtet man den Strahlkegel der am
Target gestreut wird so verringert sich bei Vergr\"o\ss{}erung des
Abstandes \(l\) dessen \"Offnungswinkel. Daraus folgt, dass mehr nah
bei der zentralen Energie liegende Strahlen den Detektor
erreichen. Diese Betrachtung w\"urde gerade den nicht beobachteten
Fall favorisieren.

\section{Fazit}
Der Prozess der \cs{} ist in diesem Versuch in qualitativer
Übereinstimmung mit der Theorie untersucht worden. Die Kalibrierung
war trotz der relativ gro\ss{}en Anzahl der Messpunkte nicht sehr akkurat,
wie sich in~\ref{sec:energwinkel} zeigte. Die optimale Messzeit wurde
zu Gunsten einer z\"ugigen Durchf\"uhrung etwas gering gew\"ahlt. Die
relativen Unsicherheiten der Zählraten sind dennoch zufriedenstellend
ausgefallen (siehe~\ref{fig:countrates}). Die Energien und der
Wirkungsquerschnitt entsprechen jeweils prinzipiell den theoretischen
Zusammenh\"angen, wobei im Falle des Wirkungsquerschnittes
Abweichungen zu erwarten waren und auch auftraten.

Der Einfluss des Streukörperdurchmessers ist gut zu verstehen. Der
Einfluss des Quellabstandes auf die Peakbreite jedoch kann aus den
vorhandenen Daten nicht eindeutig nachvollzogen werden.

\section{Anhang}
\label{sec:anshang}

\subsection{Plots zur Kalibrierung der Kanalenergien}
\label{sec:ancalplot}

\begin{figure}[H]\centering
  \input{../auswertung/figs/calibrate/cs.pgf}
  \caption{Fit f\"ur \ce{^{137}Cs} bei \(E \approx \kev{32}\)}
\end{figure}

\begin{figure}[H]\centering
  \input{../auswertung/figs/calibrate/ba_1.pgf}
  \caption{Fit f\"ur \ce{^{133}Ba} bei \(E \approx \kev{31}\).}
\end{figure}

\begin{figure}[H]\centering
  \input{../auswertung/figs/calibrate/ba_2.pgf}
  \caption{Fit f\"ur \ce{^{133}Ba} bei \(E \approx \kev{53}\).}
\end{figure}

\begin{figure}[H]\centering
  \input{../auswertung/figs/calibrate/ba_3.pgf}
  \caption{Fit f\"ur \ce{^{133}Ba} bei \(E \approx \kev{80}\).}
\end{figure}

\begin{figure}[H]\centering
  \input{../auswertung/figs/calibrate/am_1.pgf}
  \caption{Fit f\"ur \am bei \(E \approx \kev{26}\).}
\end{figure}

\begin{figure}[H]\centering
  \input{../auswertung/figs/calibrate/am_2.pgf}
  \caption{Fit f\"ur \am bei \(E = \kev{59,54}\).}
\end{figure}

\begin{figure}[H]\centering
  \input{../auswertung/figs/calibrate/eu_1.pgf}
  \caption{Fit f\"ur \ce{^{154}Eu} bei \(E \approx \kev{5,6}\).}
\end{figure}

\subsection{Plots zur Winkelabh\"angigkeit}
\label{sec:anangplot}

\begin{figure}[H]\centering
  \input{../auswertung/figs/winkelmessung/30.pgf}
  \caption{Energiepeak mit Fit bei einem Streuwinkel von \(\vartheta = 30^\circ\).}
  \label{fig:30}
\end{figure}

\begin{figure}[H]\centering
  \input{../auswertung/figs/winkelmessung/45.pgf}
  \caption{Energiepeak mit Fit bei einem Streuwinkel von \(\vartheta = 45^\circ\).}
  \label{fig:45}
\end{figure}

\begin{figure}[H]\centering
  \input{../auswertung/figs/winkelmessung/60.pgf}
  \caption{Energiepeak mit Fit bei einem Streuwinkel von \(\vartheta = 60^\circ\).}
  \label{fig:60}
\end{figure}

\begin{figure}[H]\centering
  \input{../auswertung/figs/winkelmessung/75.pgf}
  \caption{Energiepeak mit Fit bei einem Streuwinkel von \(\vartheta = 75^\circ\).}
  \label{fig:75}
\end{figure}

\begin{figure}[H]\centering
  \input{../auswertung/figs/winkelmessung/90.pgf}
  \caption{Energiepeak mit Fit bei einem Streuwinkel von \(\vartheta = 90^\circ\).}
  \label{fig:90}
\end{figure}

\begin{figure}[H]\centering
  \input{../auswertung/figs/winkelmessung/105.pgf}
  \caption{Energiepeak mit Fit bei einem Streuwinkel von \(\vartheta = 105^\circ\).}
  \label{fig:105}
\end{figure}

\begin{figure}[H]\centering
  \input{../auswertung/figs/winkelmessung/120.pgf}
  \caption{Energiepeak mit Fit bei einem Streuwinkel von \(\vartheta = 120^\circ\).}
  \label{fig:120}
\end{figure}

\subsection{Plots zum Targetdurchmesser}
\label{sec:andiplot}

\begin{figure}[H]\centering
  \input{../auswertung/figs/dicke/2.pgf}
  \caption{Energiepeak mit Fit bei einem Targetdurchmesser \(d \approx \SI{2}{\milli\metre}\).}
  \label{fig:dicke-2}
\end{figure}

\begin{figure}[H]\centering
  \input{../auswertung/figs/dicke/4.pgf}
  \caption{Energiepeak mit Fit bei einem Targetdurchmesser \(d \approx \SI{4}{\milli\metre}\).}
  \label{fig:dicke-4}
\end{figure}

\begin{figure}[H]\centering
  \input{../auswertung/figs/dicke/6.pgf}
  \caption{Energiepeak mit Fit bei einem Targetdurchmesser \(d \approx \SI{6}{\milli\metre}\).}
  \label{fig:dicke-6}
\end{figure}

\begin{figure}[H]\centering
  \input{../auswertung/figs/dicke/10.pgf}
  \caption{Energiepeak mit Fit bei einem Targetdurchmesser \(d \approx \SI{10}{\milli\metre}\).}
  \label{fig:dicke-10}
\end{figure}

\begin{figure}[H]\centering
  \input{../auswertung/figs/dicke/20.pgf}
  \caption{Energiepeak mit Fit bei einem Targetdurchmesser \(d \approx \SI{20}{\milli\metre}\).}
  \label{fig:dicke-20}
\end{figure}

\subsection{Plots zur Abh\"angigkeit vom Abstand}
\label{sec:anabplot}

\begin{figure}[H]\centering
  \input{../auswertung/figs/dists/7.pgf}
  \caption{Energiepeak mit Fit bei einem Abstand von Quelle zum Target von \(l \approx \SI{7}{\centi\metre}\).}
  \label{fig:dists-7}
\end{figure}

\begin{figure}[H]\centering
  \input{../auswertung/figs/dists/9.pgf}
  \caption{Energiepeak mit Fit bei einem Abstand von Quelle zum Target von \(l \approx \SI{9}{\centi\metre}\).}
  \label{fig:dists-9}
\end{figure}

\begin{figure}[H]\centering
  \input{../auswertung/figs/dists/12.pgf}
  \caption{Energiepeak mit Fit bei einem Abstand von Quelle zum Target von \(l \approx \SI{12}{\centi\metre}\).}
  \label{fig:dists-12}
\end{figure}

\section{Verzeichnisse}

\label{sec:literatur}

\listoffigures

\listoftables

\printbibliography
\end{document}