Einleitung + Beginn Durchführung

CS/protokoll/protokoll.tex

@@ -62,14 +62,14 @@ da Arthur Holly Compton 1922 diese Annahme traf, um diesen Effekt zu beschreiben
 Um \cs zu beschreiben, geht man, wie oben schon erwähnt, von quasi freien Elektronen aus.
 Diese Annahme trifft besonders gut auf Metalle zu (im Experiment werden wir mit einem Aluminiumtarget arbeiten).
 Wird ein Photon an einem Elektron gestreut, ändert sich seine Energie sowie seine 
-Bewegungsrichtung um einen polaren Streuwinkel \(\theta\). Nutzt man den Energie-
+Bewegungsrichtung um einen polaren Streuwinkel \(\vartheta\). Nutzt man den Energie-
 und den Impulserhaltungssatz aus und setzt den Photonenimpuls \(p = E/c\) ein, so erhält man
 einen Ausdruck für die Energie des Wechselwirkungsphotons nach der Interaktion:
 
 \begin{gather}
 	E(\mu) = \frac{E'}{1 + \kappa(1 - \mu)} \label{eq:photoenergie}\\
 	\kappa = \frac{E'}{m_0c^2}\\
-	\mu = \cos\theta
+	\mu = \cos\vartheta
 \end{gather}
 
 \begin{tabular}{llll}
@@ -83,19 +83,104 @@ Die Ruheenergie des Elektrons beträgt:
 \end{equation}\\
 
 Die maximal mögliche Energie, die ein Photon nach der Streuung haben kann, ist also dessen
-Ausgangsenergie. Bei einem Streuwinkel von \(\theta = 0^\circ\) (Vorwärtsstreuung) folgt
+Ausgangsenergie. Bei einem Streuwinkel von \(\vartheta = 0^\circ\) (Vorwärtsstreuung) folgt
 \(\mu \rightarrow 1 \implies E(\mu) \rightarrow E'\).
-Die Minimalenergie wird bei \(\mu = -1\), also bei \(\theta = 180^\circ\), erreicht, da
+Die Minimalenergie wird bei \(\mu = -1\), also bei \(\vartheta = 180^\circ\), erreicht, da
 hier gilt:
 
 \begin{equation}\label{eq:emax}
 	E(\mu) = \frac{E'}{1 + 2\kappa}
 \end{equation}
 
-Je größer der polare Streuwinkel \(\theta\) des Photons ist, desto mehr Energie wird beim Stoß
+Je größer der polare Streuwinkel \(\vartheta\) des Photons ist, desto mehr Energie wird beim Stoß
 an das Elektron übertragen. Je größer außerdem die Ausgangsenergie des Photons, desto größer ist
 der Energieverlust bei der Streuung und desto höher ist zudem die Winkelabhängigkeit des
-Energieverlustes.\\
+Energieverlustes (vgl.~\ref{fig:evontheta}).\\
+
+\begin{figure}[H]\centering
+	\includegraphics[width=.5\columnwidth]{./pictures/evontheta.png}
+	\caption{Abhängigkeit der Energien vor und nach dem Stoß \(E'\) und \(E\) vom Streuwinkel
+	\(\vartheta\).}
+	\label{fig:evontheta}
+\end{figure}
+
+Um eine Aussage zur Wahrscheinlichkeit zu treffen, mit der ein Photon in einem Raumwinkelelement
+\(d\Omega = \sin\vartheta d\vartheta d\phi\) gestreut wird, haben \textsc{O. Klein} und
+\textsc{Y. Nishina} 1929 einen analytischen Ausdruck für den differentiellen Wirkungsquerschnitt
+hergeleitet:
+
+\begin{equation}\label{eq:kn}
+	\sigma^{\text{KN}}_\Omega(\mu) = \frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{r_e^2}{2} \cdot \qty(\frac{1}{1 + \kappa(1 - \mu)})^2 \cdot \qty(\kappa(1 - \mu) + \frac{1}{1 + \kappa(1 - \mu)} + \mu^2)
+\end{equation}
+
+Mit \(r_e = \SI{2,818e-15}{\metre}\) als klassischen Elektronenradius.\\
+
+Für \(\mu = 1\), also Vorwärtsstreuung folgt:
+\begin{equation}\label{key}
+	\sigma^{\text{KN}}_\Omega(\mu = 1) = r_e^2 = \SI{79,4}{\milli\barn}
+\end{equation}
+
+\begin{figure}[H]\centering
+	\includegraphics[width=.5\columnwidth]{./pictures/sigma_kn.png}
+	\caption{\(\sigma^{\text{KN}}_\Omega(\mu)\) für verschiedene \(E'\).}
+	\label{fig:sigmakn}
+\end{figure}
+
+\subsubsection{Korrektur für inkohärente Streuung}
+\label{sec:cskorrektur}
+
+Wenn man die Bindungsenergie der Elektronen nicht vernachlässigt, multipliziert man zur
+Korrektur des differentiellen Wirkungsquerschnitts an die \textsc{Klein}-\textsc{Nishina}-Formel
+eine inkohärente Streufunktion \(S(E', \mu, Z)\) dran:
+
+\begin{equation}\label{eq:knkorrektur}
+	\sigma^{i}_\Omega(E', \mu, Z) = \sigma^{\text{KN}}_\Omega(E', Z) \cdot S(E', \mu, Z)
+\end{equation}
+
+Es gilt, dass \(\sigma^{i}_\Omega < \sigma^{\text{KN}}_\Omega\). Insbesondere geht 
+\(\sigma^{i}_\Omega\) bei \(\vartheta \rightarrow 0\) ebenfalls gegen Null, was man damit erklären
+kann, dass bei \(\vartheta \rightarrow 0\) die vom Photon auf das Elektron übertragene Energie
+gegen Null konvergiert, sodass diese irgendwann die Elektronenbindungsenergie unterschreitet,
+das Elektron also auch nach der Interaktion mit dem Photon gebunden bleibt und somit keine
+inkohärente Streuung mehr vorliegt (vgl.~\ref{fig:sigmaknkorrigiert}).
+
+\begin{figure}[H]\centering
+	\includegraphics[width=.5\columnwidth]{./pictures/sigma_kn_korrigiert.png}
+	\caption{Gegenüberstellung von \(\sigma^{i}_\Omega\) und \(\sigma^{\text{KN}}_\Omega\) für
+	Aluminium und verschiedene \(E'\).}
+	\label{fig:sigmaknkorrigiert}
+\end{figure}
+
+\section{Durchführung und Auswertung}
+\label{sec:experiment}
+
+Der Versuchsaufbau war wie in der Versuchsanleitung beschrieben, nur zeigte die Strahlrichtung
+stets gen Wand. Außerdem wurde ein Szintillationsdetektor statt, wie in~\ref{fig:versuchsaufbau}
+zu sehen, eines Halbleiterdetektors verwendet.
+
+\begin{figure}[H]\centering
+	\includegraphics[width=.7\columnwidth]{./pictures/versuchsaufbau.png}
+	\caption{Ähnlicher Versuchsaufbau, da ein ähnlich aussehender Szintillationsdetektor anstelle 
+		des hier abgebildeten Halbleiterdetektors (4) verwendet wurde.}
+	\label{fig:versuchsaufbau}
+\end{figure}
+
+Der in~\ref{fig:versuchsaufbau} dargestellte Versuchsaufbau bestand aus folgenden Komponenten:
+(1) Halterung für die kollimierte \(^{241}\)Am-Probe, dessen Abstand zum Aluminiumprobenstab (3)
+variiert und mit Hilfe eines angebrachten Maßstabes zu \(\approx \SI{2}{\milli\metre}\)
+Genauigkeit abgelesen werden konnte. Der Abstand wurde an der unteren rechten Seite (roter Strich
+in~\ref{fig:versuchsaufbau}) abgelesen. Der Streuwinkel konnte variiert und mittels eines
+Goniometers (2), das aller \(5^\circ\) einen Strich hatte, auf \(\approx 2^\circ\) genau
+eingestellt werden. In den Probenhalter (5) wurden für die Kalibrierung des Detektors drei
+verschiedene Probenscheiben in die zum Detektor zeigende Seite eingesetzt und dieser so nah wie
+möglich an den Detektor herangeschoben, um für eine, am Anfang auf \(\SI{20}{\min}\) festgesetzte,
+Messzeit, möglichst viele Ereignisse zu zählen.
+
+\subsection{Kalibrierung des Detektors}
+\label{sec:kalib}
+
+Für die Detektorkalibrierung wurden drei verschiedene Probenscheiben aus \(^{137}\)Cs, 
+\(^{133}\)Ba und \(^{152}\)Eu sowie die eigentliche \(^{241}\)Am-Probe verwendet.
 
 \section{Verzeichnisse}