\documentclass[slug=CS, room=Andreas-Schubert-Bau\,\ Labor\ 406, supervisor=Juliane\ Volkmer, coursedate=29.\ 11.\ 2019]{../../Lab_Report_LaTeX/lab_report} \title{Comptonstreuung} \author{Oliver Matthes, Valentin Boettcher} \usepackage{todonotes} \graphicspath{ {figs/} } \newcommand{\cs}{\emph{Comptonstreuung}} \newcommand{\am}{\ce{^241Am} } \newcommand{\kev}[1]{\SI{#1}{\kilo\electronvolt}} \usepackage{pgf} \usepackage[version=4]{mhchem} \usepackage[ngerman]{babel} % bib \addbibresource{protokoll.bib} \begin{document} \maketitle \section{Einleitung} \label{sec:einl} \cs{} ist in einem Energiebereich von hundert Kiloelektronenvolt bis hin zu wenigen Megaelektronenvolt der Wechselwirkungsprozess zwischen Photonen und Materie, der am wahrscheinlichsten auftritt und deswegen in vielen physikalischen Bereichen beachtet werden muss. Neben \cs{} gibt es natürlich auch noch andere Wechselwirkungsprozesse wie den Photoeffekt, der vor allem bei geringen Photonenenergien auftritt oder die Paarbildung bei der man Energien von mindestens zwei Elektronenmassen braucht, um ein Elektron-Positron-Paar zu erzeugen. Diese Prozesse werden in diesem Versuch allerdings nicht betrachtet.\\ Um Aussagen über die Wahrscheinlichkeit, dass ein Photon mit einem Elektron wechselwirkt, treffen zu können, definiert man den Wirkungsquerschnitt \begin{equation}\label{eq:wirkquer} \sigma = \frac{N}{\Phi} \end{equation} mit der mittleren Wechselwirkungsanzahl eines Teilchens mit einem atomaren Target \(N\) und der Teilchenfluenz, dem das Target ausgesetzt ist \(\Phi\). Der Wechselwirkungsquerschnitt der inkohärenten Streuung und damit des Comptoneffekts ist proportional zur Ordnungszahl des Atoms (\(\sigma_i \propto\) Z).\cite[2]{iktp19}\\ \subsection{Inkohärente Streuung} \label{sec:inkostreu} Wichtig, um \cs{} beschreiben zu können, ist der Prozess der \emph{inkohärenten Streuung}. Dabei überträgt das Photon bei der Wechselwirkung mit einem an einem Atomkern gebundenen Elektron einen Teil seiner Energie auf dieses, so dass es den gebundenen Zustand verlassen kann. Vernachlässigt man bei diesem Prozess die Bindungsenergie des Elektrons, nennt man diesen \cs{}, da Arthur Holly Compton 1922 diese Annahme traf, um diesen Effekt zu beschreiben.~\cite[3]{iktp19}\\ \subsubsection{Comptonstreuung} \label{sec:cs} Um \cs{} zu beschreiben, geht man, wie oben schon erwähnt, von quasi freien Elektronen aus. Diese Annahme trifft besonders gut auf Metalle zu (im Experiment werden wir mit einem Aluminiumtarget arbeiten). Wird ein Photon an einem Elektron gestreut, ändert sich seine Energie sowie seine Bewegungsrichtung um einen polaren Streuwinkel \(\vartheta\). Nutzt man den Energie- und den Impulserhaltungssatz aus und setzt den Photonenimpuls \(p = E/c\) ein, so erhält man mit \(E'\) als Energie des Photons vor dem Sto\ss{} den Ausdruck in~\eqref{eq:photoenergie} für die Energie des Wechselwirkungsphotons nach der Interaktion. \begin{gather} E(\mu) = \frac{E'}{1 + \kappa(1 - \mu)} \label{eq:photoenergie}\\ \kappa = \frac{E'}{m_0c^2}\\ \mu = \cos\vartheta \end{gather} Die Ruheenergie des Elektrons beträgt \begin{equation}\label{key} E_{e^-} = m_0c^2 = \SI{511}{\kilo\electronvolt}. \end{equation} Die maximal mögliche Energie, die ein Photon nach der Streuung haben kann, ist also dessen Ausgangsenergie. Bei einem Streuwinkel von \(\vartheta = 0^\circ\) (Vorwärtsstreuung) folgt \(\mu \rightarrow 1 \implies E(\mu) \rightarrow E'\). Die Minimalenergie wird bei \(\mu = -1\), also bei \(\vartheta = 180^\circ\), erreicht, da hier gilt \begin{equation}\label{eq:emax} E(\mu) = \frac{E'}{1 + 2\kappa}. \end{equation} Je größer der polare Streuwinkel \(\vartheta\) des Photons ist, desto mehr Energie wird beim Stoß an das Elektron übertragen. Je größer außerdem die Ausgangsenergie des Photons, desto größer ist der Energieverlust bei der Streuung und desto höher ist zudem die Winkelabhängigkeit des Energieverlustes (vgl.~\ref{fig:evontheta}).\\ \begin{figure}[H]\centering \includegraphics[width=.5\columnwidth]{./pictures/evontheta.png} \caption{Abhängigkeit der Energien vor und nach dem Stoß \(E'\) und \(E\) vom Streuwinkel \(\vartheta\).} \label{fig:evontheta} \end{figure} Um eine Aussage zur Wahrscheinlichkeit zu treffen, mit der ein Photon in einem Raumwinkelelement \(d\Omega = \sin\vartheta d\vartheta d\phi\) gestreut wird, haben \textsc{O. Klein} und \textsc{Y. Nishina} 1929 einen analytischen Ausdruck für den differentiellen Wirkungsquerschnitt hergeleitet~\cite{kn29} \begin{equation}\label{eq:kn} \sigma^{\text{KN}}_\Omega(\mu) = \frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{r_e^2}{2} \cdot \qty(\frac{1}{1 + \kappa(1 - \mu)})^2 \cdot \qty(\kappa(1 - \mu) + \frac{1}{1 + \kappa(1 - \mu)} + \mu^2) \end{equation} mit \(r_e = \SI{2,818e-15}{\metre}\) als klassischen Elektronenradius. Dieser Zussamenhang ist f\"ur verschiedene \(E'\) in~\ref{fig:sigmakn}. Für \(\mu = 1\), also Vorwärtsstreuung folgt \begin{equation}\label{key} \sigma^{\text{KN}}_\Omega(\mu = 1) = r_e^2 = \SI{79,4}{\milli\barn}. \end{equation} \begin{figure}[H]\centering \includegraphics[width=.5\columnwidth]{./pictures/sigma_kn.png} \caption{\(\sigma^{\text{KN}}_\Omega(\mu)\) für verschiedene \(E'\).} \label{fig:sigmakn} \end{figure} Die Grafiken und Formeln entstammen eigener Rechnung und~\cite[3-5]{iktp19}. \subsubsection{Korrektur für inkohärente Streuung} \label{sec:cskorrektur} Wenn man die Bindungsenergie der Elektronen nicht vernachlässigt, multipliziert man eine Korrektur des differentiellen Wirkungsquerschnitts an die \textsc{Klein}-\textsc{Nishina}-Formel eine inkohärente Streufunktion \(S(E', \mu, Z)\)~\cite[5-6]{iktp19}, wie in \eqref{eq:knkorrektur} geschehen. \begin{equation}\label{eq:knkorrektur} \sigma^{i}_\Omega(E', \mu, Z) = \sigma^{\text{KN}}_\Omega(E', Z) \cdot S(E', \mu, Z) \end{equation} Es gilt, dass \(\sigma^{i}_\Omega < \sigma^{\text{KN}}_\Omega\). Insbesondere geht \(\sigma^{i}_\Omega\) bei \(\vartheta \rightarrow 0\) ebenfalls gegen Null, was man damit erklären kann, dass bei \(\vartheta \rightarrow 0\) die vom Photon auf das Elektron übertragene Energie gegen Null konvergiert, sodass diese irgendwann die Elektronenbindungsenergie unterschreitet, das Elektron also auch nach der Interaktion mit dem Photon gebunden bleibt und somit keine inkohärente Streuung mehr vorliegt (vgl.~\ref{fig:sigmaknkorrigiert}). \begin{figure}[H]\centering \includegraphics[width=.5\columnwidth]{./pictures/sigma_kn_korrigiert.png} \caption{Gegenüberstellung von \(\sigma^{i}_\Omega\) und \(\sigma^{\text{KN}}_\Omega\) für Aluminium und verschiedene \(E'\).} \label{fig:sigmaknkorrigiert} \end{figure} \section{Durchführung und Auswertung} \label{sec:experiment} Der Versuchsaufbau war wie in der Versuchsanleitung beschrieben, nur zeigte die Strahlrichtung stets gen Wand. Außerdem wurde ein Szintillationsdetektor statt, wie in~\ref{fig:versuchsaufbau} zu sehen, eines Halbleiterdetektors verwendet. \begin{figure}[H]\centering \includegraphics[width=.7\columnwidth]{./pictures/versuchsaufbau.png} \caption{Ähnlicher Versuchsaufbau, da ein ähnlich aussehender Szintillationsdetektor anstelle des hier abgebildeten Halbleiterdetektors (4) verwendet wurde.} \label{fig:versuchsaufbau} \end{figure} Der in~\ref{fig:versuchsaufbau} dargestellte Versuchsaufbau bestand aus folgenden Komponenten: (1) Halterung für die kollimierte \am{}-Probe, dessen Abstand zum Aluminiumprobenstab (3) variiert und mit Hilfe eines angebrachten Maßstabes zu \(\approx \SI{2}{\milli\metre}\) Genauigkeit abgelesen werden konnte. Der Abstand wurde an der unteren rechten Seite (roter Strich in~\ref{fig:versuchsaufbau}) abgelesen. Der Streuwinkel konnte variiert und mittels eines Goniometers (2), das aller \(5^\circ\) einen Strich hatte, auf \(\approx 2^\circ\) genau eingestellt werden. In den Probenhalter (5) wurden für die Kalibrierung des Detektors drei verschiedene Probenscheiben in die zum Detektor zeigende Seite eingesetzt und dieser so nah wie möglich an den Detektor herangeschoben, um für eine möglichst kurze Messzeit, möglichst viele Ereignisse zu zählen. \subsection{Kalibrierung des Detektors} \label{sec:kalib} Für die Detektorkalibrierung wurden drei verschiedene Probenscheiben aus \ce{^{137}Cs}, \ce{^{133}Ba} und \ce{^{152}Eu} sowie die eigentliche \am{}-Probe verwendet. Für alle Quellen wurden Histogramme aufgenommen und mit Hilfe der Website \emph{''Nudat 2''}~\cite{nudat} die Energien der Peaks den Kanalnummern zugeordnet, um herauszufinden, welcher Kanal, welcher Energie entspricht. \ref{tab:cspeaks}, \ref{tab:bapeaks}, \ref{tab:ampeaks} und \ref{tab:eupeaks} listen die \(\gamma\) \"Uberg\"ange der einzelnen Kalibrierproben auf. Die jeweils in gleichen Farben hinterlegten Energien wurden gewichtet gemittelt zur Kalibrierung genutzt. \begin{table}[H] \centering \begin{tabular}{S|S} \toprule {E [\(\si{\kilo\electronvolt}\)]} & {Intensität [\(\si{\percent}\)]} \\ \midrule \rowcolor{green!20} 31.817 & 1.99 \\ \rowcolor{green!20} 32.194 & 3.64 \\ 36.304 & 0.348 \\ 36.378 & 0.672 \\ 37.255 & 0.213 \end{tabular} \caption{Energiepeaks und deren Intensität für \ce{^{137}Cs}.} \label{tab:cspeaks} \end{table} \begin{table}[H] \centering \begin{tabular}{S|S} \toprule {E [\(\si{\kilo\electronvolt}\)]} & {Intensität [\(\si{\percent}\)]} \\ \midrule \rowcolor{green!20} 30,625 & 33,9 \\ \rowcolor{green!20} 30,973 & 62,2 \\ \rowcolor{orange!20} 53,1622 & 2,14 \\ \rowcolor{blue!20} 79,6142 & 2,65 \\ \rowcolor{blue!20} 80,9979 & 32,9 \end{tabular} \caption{Energiepeaks und deren Intensität für \ce{^{133}Ba}.} \label{tab:bapeaks} \end{table} \begin{table}[H] \centering \begin{tabular}{S|S} \toprule {E [\(\si{\kilo\electronvolt}\)]} & {Intensität [\(\si{\percent}\)]} \\ \midrule \rowcolor{green!20} 26,3446 & 2,27 \\ \rowcolor{blue!20} 59,5409 & 35,9 \end{tabular} \caption{Energiepeaks und deren Intensität für \am{}.} \label{tab:ampeaks} \end{table} \begin{table}[H] \centering \begin{tabular}{S|S} \toprule {E [\(\si{\kilo\electronvolt}\)]} & {Intensität [\(\si{\percent}\)]} \\ \midrule \rowcolor{green!20} 5,64 & 14 \\ 6,06 & 0,174 \\ 39,522 & 21 \\ 40,118 & 37,7 \end{tabular} \caption{Energiepeaks und deren Intensität für \ce{^{152}Eu}.} \label{tab:eupeaks} \end{table} Um die Kanallage der Peaks zu bestimmen wird eine Gaußkurve der Form \begin{equation} \label{eq:gaussfit} A\cdot\exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma}) + O \end{equation} \"uber die aufgenommenen Histogramme gefittet. Dabei gibt nun \(\mu\) die Kanallage. Die Unsicherheit der Kanallage ergibt sich aus der Unsicherheit im Fit. Für die Unsicherheit der H\"ohe der einzelnen Bins im Histogram wurde gem\"a\ss{} der Poissonverteilung die Wurzel der Ereigniszahl angesetzt. Daraus ergibt sich auch die Unsicherheit der Ereigniszahl im Peak. Für \ce{^{137}Cs} ist das Resultat in~\ref{fig:calfitcs} dargestellt. \begin{figure}[h]\centering \input{../auswertung/figs/calibrate/cs.pgf} \caption{Fit \"uber den Z\"ahlratenpeak f\"ur eine \ce{^{137}Cs} zur Bestimmung der Kanallage desselben zwecks der Energiekalibrierung.} \label{fig:calfitcs} \end{figure} Die restlichen Plots sind \"ahnlicher Natur und werden allesamt in~\ref{sec:ancalplot} aufgelistet. Ein Linearer Fit der Form \begin{equation} \label{eq:linclafit} K(E) = \frac{E-a}{b} \end{equation} ergibt die Kalibrierungsparameter (in dieser Form, da \(K\) mit Unsicherheit behaftet). Daraus erhält man durch Umstellen einen Zusammenhang \begin{equation} \label{eq:eofk} E(K) = a + K\cdot b. \end{equation} In~\ref{fig:energyfit} werden die Kanallagen \"uber der Energie aufgetragen und der Fit durchgef\"uhrt. Es ergibt sich f\"ur die Parameter: \begin{align} a &= \SI{-5.76\pm 0.10}{\kilo\electronvolt} \\ b &= \SI{0.083\pm 0.002}{\kilo\electronvolt} \\ \end{align} \begin{figure}[h]\centering \input{../auswertung/figs/calibrate/energy_fit.pgf} \caption{Kanallage \"uber Energie zur Kalibrierung.} \label{fig:energyfit} \end{figure} \subsection{Aufnahme eines Histogramms} \label{sec:histogramm} Zur Aufnahme dieses Histogramms wurde die \am{}-Quelle mit Kollimator mit einer Aktivität von \(\SI{0,5}{\giga\becquerel}\) in die entsprechende Halterung (1) eingespannt, auf einen Streuwinkel von \(\vartheta = 90^\circ\) und eine Distanz vom Aluminiumstreustab, der einen Durchmesser von \(\SI{6}{\milli\metre}\) hatte, von \(\SI{3}{\centi\metre}\) eingestellt. Danach wurde für ca. \(\SI{20}{\min}\) ein Histogramm aufgezeichnet. Dies wurde für die Hintergrundmessung ohne Streustab wiederholt. Die Hintergrundmessung verl\"auft analog zur Aufnahme des Histograms mit stab und dient der Quantifizierung des Anteils von detektierten Photonen, die nicht am Stab gestreut werden (z. B. Streuung an der Raumwand). Zieht man diesen Hintergrund von den eigentlichen Messungen ab, so z\"ahlt man in guter N\"aherung nur noch am Stab gestreute Photonen. Dabei kann es durch statistische Schwankungen auch zu N\"agtiven Ereigniszahlen kommen, die an sich unphysikalisch sind, aber nur bei geringen Ereignisszahlen auftreten. Die aufgenommen Histogramme sind in~\ref{fig:am20hist} und~\ref{fig:am20histnull} dargestellt. \ref{fig:hists-am_90_sub} zeigt das korrigierte Histogram mit abgezogenem Hintergrund. Es ist zu erkennen, dass der Peak symmetrischer wirkt und das Histogram die steigende Flanke bei hohen Kan\"alen verloren hat. Generell schwankt die Z\"ahlrate au\ss{}erhalb der Peaks einigerma\ss{}en Symmetrisch um die Nullinie, wobei die Schwankung bei Gro\ss{}en Energien zunehmen und der Mittlwert unter die Nullinie f\"allt. Da nach der Poissonverteilung zwar der relative Fehler sinkt, aber der Absolute steigt, ist dieser Unmstand nicht verwunderlich. Analog zu den Kalibrierungsmessungen wurde in~\ref{fig:hists-am_90_sub_fit} und~\ref{fig:hists-am_90_fit} das Zentrum des hohen Peaks bestimmt. Mit abgezogenem Untergrund ergibt sich \(E_{p}=\SI{51.4\pm 2.1}{\kilo\electronvolt}\) und ohne \(E_{p}=\SI{53.4\pm 2.1}{\kilo\electronvolt}\). Dahingegen ist der Theoretisch f\"ur diesen Winkel erwartete Wert \(E_{pt}=\SI{50.9}{\kilo\electronvolt}\). Es zeigt sich hier also, dass der Peak ohne Abgezogenen untergrund einen Bias zu h\"oheren Energien hat. Warscheinlich finden au\ss{}erhalb des Streustabes andere Streuprozesse unter anderen Winkel mit anderen Charakteristika statt. \begin{figure}[htp]\centering \input{../auswertung/figs/hists/am_90_sub_fit.pgf} \caption{Fit des \am{} Peaks bei \(\vartheta = 90^\circ\) mit Target und abgezogenen Hintergrund.} \label{fig:hists-am_90_sub_fit} \end{figure} \begin{figure}[htp]\centering \input{../auswertung/figs/hists/am_90_fit.pgf} \caption{Fit des \am{} Peaks bei \(\vartheta = 90^\circ\) mit Target und Hintergrund.} \label{fig:hists-am_90_fit} \end{figure} \begin{figure}[htp]\centering \input{../auswertung/figs/hists/am_90_sub.pgf} \caption{Histogramm f\"ur \am{} bei \(\vartheta = 90^\circ\) mit Target und abgezogenen Hintergrund.} \label{fig:hists-am_90_sub} \end{figure} \begin{figure}[htp]\centering \input{../auswertung/figs/hists/am_90.pgf} \caption{Histogramm f\"ur \am{} bei \(\vartheta = 90^\circ\) mit Target.} \label{fig:am20hist} \end{figure} \begin{figure}[htp]\centering \input{../auswertung/figs/hists/am_90_0.pgf} \caption{Histogramm f\"ur \am{} bei \(\vartheta = 90^\circ\) ohne Target. Nullmessung.} \label{fig:am20histnull} \end{figure} \subsection{Messzeitoptimierung} \label{sec:topt} Die effektive Zählrate ergibt sich zu \begin{align} \label{eq:countrate} \dot{N} &= \frac{N_g-N_0}{t} \\ \Delta N_i &= \sqrt{N_i}\qq{(Poissonverteilng)} \end{align} mit der Gesamtzählrate \(N_g\), Dunkelzählrate \(N_0\) und der Messzeit \(t\). Aus der Gau\ss{}schen Fehlerfortpflanzung folgt f\"ur die minimale Messzeit bei Forderung einer maximalen Unsicherheit \(\Delta\dot{N}/\dot{N}\): \begin{align} \label{eq:mtime} t_{opt} & \geq\frac{\dot{N_g} + \dot{N_0}}{(\Delta\dot{N}/\dot{N})^2\cdot (\dot{N_g} - \dot{N_0})^2} \\ \Delta t_{opt} &=\frac{\sqrt{(\dot{N_g} + 3\cdot\dot{N_0})^2\cdot\frac{\dot{N_g}}{t} + (3\cdot\dot{N_g} + \dot{N_0})^2\cdot\frac{\dot{N_0}}{t}}}{(\Delta\dot{N}/\dot{N})^2\cdot (\dot{N_g} - \dot{N_0})^3} \end{align}. In unserem Fall gilt nun \begin{align} t &=\SI{1183}{\second} \\ \dot{N_g} &=\SI{7.96\pm.08}{\per\second} \\ \dot{N_0} &=\SI{4.68\pm.06}{\per\second} \\ \Delta\dot{N}/\dot{N} &\overset{!}{=}\SI{5}{\percent} \\ t_{opt} &=\SI{7.8}{\min} \\ \Delta t_{opt} &=\SI{1.6}{\min} \end{align}. Die Gesamtereigniszahl wurde jeweils durch Aufsummierung der Ereigniszahlen der Kan\"ale \(530\) bis \(780\) ermittelt. Im Idealfall werden nun \(t_{opt}\) und \(\Delta t_{opt}\) addiert, aus Zeitgr\"unden wurde die Messzeit in den folgenden Versuchsteilen aber auf \begin{equation} \label{eq:fmtime} t_{mess} = \SI{7}{\min} \end{equation} festgelegt. In den folgenden Betrachtungen ergeben sich au\ss{}erhalb der Peaks immer wieder negative Z\"ahlraten nach Abzug des Untergrunds. Man kann das als statistische Schwankung interprettieren, die bei gr\"o\ss{}eren Messzeiten weniger ins Gewicht fiele. \subsection{Photonenenergiebestimmung in Abhängigkeit des Streuwinkels} \label{sec:energwinkel} Zur graphischen Darstellung von \(E(\mu)\) wurden mit der in~\ref{sec:topt} ermittelten optimalen Messzeit Histogramme für sieben verschiedene Streuwinkel zwischen \(30^\circ\) und \(130^\circ\) aufgenommen. Die verwendeten Winkel sowie die ermittelten Energien sind in ~\ref{tab:energwinkel} aufgelistet. Pro Winkel musste natürlich auch der Hintergrund gemessen werden, um diesen später in der Auswertung abziehen zu können. Durch ein \"ahnliches Verfahren wie in~\ref{sec:kalib} wurden die Kanallagen des Peaks um \kev{60} nach Abzug der Nullmessungen bestimmt und mit~\eqref{eq::eofk} in Energien umgerechnet. Die dazugeh\"origen Plots finden sich in~\ref{sec:anangplot}. \begin{table}[H] \centering \begin{tabular}{S|SS} \toprule {\(\vartheta\) [\(^\circ\)]} & {\(E\) [\(\si{\kilo\electronvolt}\)]} & {\(\Delta E\) [\(\si{\kilo\electronvolt}\)]}\\ \midrule 30 & 57.3 & 2.2 \\ 45 & 56.0 & 2.1 \\ 60 & 54.1 & 2.1 \\ 75 & 52.4 & 2.1 \\ 90 & 50.3 & 2.1 \\ 105 & 49.8 & 2.0 \\ 120 & 48.5 & 2.0 \end{tabular} \caption{Energien \(E\) in Abhängigkeit des Winkels \(\vartheta\).} \label{tab:energwinkel} \end{table} \ref{fig:energycurve} zeigt die Energien im Vergleich mit den theoretischen Erwartungen nach~\eqref{eq::photoenergie}. Zu erkennen ist eine prinzipielle \"Ubereinstimmung im Verlauf. Die Kalibrierung scheint aber im hier betrachteten Bereich nicht optimal zu sein, wahrscheinlich aufgrund der wenigen Kalibriermessungen im Bereich um \kev{60}. \begin{figure}[H]\centering \input{../auswertung/figs/winkelmessung/energycurve.pgf} \caption{Energie der gestreuten Photonen in Abhängigkeit von \(\mu\) und theoretische Erwartung.} \label{fig:energycurve} \end{figure} \subsection{Bestimmung des Wirkungsquerschnitts} \label{sec:wirkquer} Die Zählraten (Gesamt und Nulleffekt) werden jeweils separat durch Summierung der Z\"ahlzahlen in einem Bereich von \(\pm 3\sigma\) um die in~\ref{sec:energwinkel} ermittelten Peaks berechnet. Der Prozess wird wiederum durch die Plots in~\ref{sec:anangplot} veranschaulicht. Die Messabweichung ergeben sich gem\"a\ss{}~\eqref{eq::countrate} zu: \begin{align} \Delta\dot{N} &= \sqrt{\qty(\pdv{\dot{N}}{\dot{N_g}}\cdot\Delta\dot{N_g})^2 + \qty(\pdv{\dot{N}}{\dot{N_0}}\cdot\Delta\dot{N_0})^2} \\ &= \frac{1}{t}\sqrt{N_g + N_0} \\ \end{align} Die ermittelten Zählraten sind in~\ref{fig:countrates} aufgetragen und in~\ref{tab:ratedurch1} aufgelistat. Normiert man diese und auch die theoretische Kurve nach~\eqref{eq::kn} auf den Wert bei \(\theta = 120^\circ\), so ergibt sich~\ref{fig:rel_countrates}. Man erkennt wiederum eine prinzipielle \"Ubereinstimmung, wobei sich Abweichungen wie in~\ref{fig:sigmaknkorrigiert} ergeben. Der dritte Messpunkt ist von sehr schlechter Qualit\"at, da die Messung ungew\"ohnlich stark rauschte und liegt deswegen weitab der Theoriekurve. (Siehe auch~\ref{fig:90}) Zu erkennen ist weiterhin, dass die Theoriekurve bei gro\ss{}en Winkeln recht gut mit den Messungen \"ubereinstimmt und kleinen Winkeln wie in~\ref{fig:sigmaknkorrigiert} Abweichungen bedingt durch die endliche Bindungsenergie zeigt. Nat\"urlich wurde die Normierung so gew\"ahlt, um dieses Bild zu provozieren. \begin{table}[H] \centering \begin{tabular}{S|SS} \toprule {\(\vartheta\) [\(^\circ\)]} & {\(\dot{N}\) [\(\si{\per\second}\)]} & {\(\Delta\dot{N}\) [\(\si{\per\second}\)]}\\ \midrule 30 & 9.09 & .28 \\ 45 & 6.95 & .20 \\ 60 & 5.11 & .16 \\ 75 & 4.20 & .15 \\ 90 & 1.15 & .11 \\ 105 & 3.77 & .13 \\ 120 & 4.04 & .13 \end{tabular} \caption{Zählrate \(\dot{N}\) in Abhängigkeit vom Winkel.} \label{tab:ratedurch1} \end{table} \begin{figure}[h]\centering \input{../auswertung/figs/crossec/countrates.pgf} \caption{Zählraten in Abhängigkeit von \(\mu\).} \label{fig:countrates} \end{figure} \begin{figure}[h]\centering \input{../auswertung/figs/crossec/rel_countrates.pgf} \caption{Normierte Zählraten in Abhängigkeit von \(\mu\) inklusive Theoriekurve.} \label{fig:rel_countrates} \end{figure} \subsection{Einfluss des Streukörperdurchmessers} \label{sec:durchmesser} Zur Bestimmung des Einflusses des Streukörperdurchmessers auf die Zählrate \(\dot{N}\) wurden bei \(\vartheta = 60^\circ\) Aluminiumstäbe mit fünf verschiedenen Durchmessern genommen. Es ergeben sich analog zu~\ref{sec:wirkquer} die Zählraten in~\ref{tab:ratedurch}. Diese sind zur Übersicht auch in~\ref{fig:dicke-countrate} aufgetragen. \begin{table}[H] \centering \begin{tabular}{S|SS} \toprule {\(d\) [\(\si{\milli\metre}\)]} & {\(\dot{N}\) [\(\si{\per\second}\)]} & {\(\Delta\dot{N}\) [\(\si{\per\second}\)]}\\ \midrule 2,3 & .63 & .08 \\ 4,4 & 3.43 & .14 \\ 6,6 & 5.11 & .16 \\ 10,2 & 9.88 & .20 \\ 20,4 & 8.13 & .19 \end{tabular} \caption{Zählrate \(\dot{N}\) in Abhängigkeit des Durchmessers \(d\). Die ungeraden Zahlen wurden so gemessen. Im text wird auf gerundete Were Bezug genommen.} \label{tab:ratedurch} \end{table} Aufgrund starken Rauschens ergibt sich aus~\ref{fig:dicke-2} bei \SI{2}{\milli\meter} eine kleine Peakbreite im Fit und daher eine sehr kleine Zählrate. Generell ist zu erkennen, dass die Zählrate ann\"ahernd linear vom Streukörperdurchmesser abhängt, da auch die bestrahlte Querschnittsfl\"ache (Rechteck) und damit die Anzahl der Streuatome linear mit dem Durchmesser skaliert. Das Sinken der Zählrate bei \SI{20}{\milli\meter} k\"onnte durch die Blockade mancher gestreuter Photonen durch das Target selbst erklärt werden. Die Qualit\"at der Messung scheint in diesem Falle ad\"aquat zu sein (siehe~\ref{fig:dicke-20}). \begin{figure}[H]\centering \input{../auswertung/figs/dicke/countrate.pgf} \caption{Zählrate in Abhängigkeit des Targetdurchmessers.} \label{fig:dicke-countrate} \end{figure} \subsection{Abstandseinfluss zwischen Quelle und Streukörper} \label{sec:abstand} Um den Einfluss des Abstandes zwischen Quelle und Streukörper zu ermitteln, wurden Histogramme für fünf verschiedene Abstände zwischen \(l = \SI{3}{\centi\metre}\) und \(l = \SI{12}{\centi\metre}\) sowie jeweils die Hintergrundstrahlung aufgenommen. In diesem Versuchsteil war der Winkel erneut \(\vartheta = 60^\circ\) und der Streukörperdurchmesser \(d = \SI{6}{\milli\metre}\).\\ Die Zählraten und Peakbreiten wurden analog zu~\ref{sec:wirkquer} ermittelt.\footnote{God save Python.} Die dazugeh\"origen Plots sind in~\ref{sec:anabplot} zu finden. Die gemessenen Zählraten sind in~\ref{tab:abstand} aufgetragen. \begin{table}[H] \centering \begin{tabular}{S|SS} \toprule {\(l\) [\(\si{\centi\metre}\)]} & {\(\dot{N}\) [\(\si{\per\second}\)]} & {\(\Delta\dot{N}\) [\(\si{\per\second}\)]}\\ \midrule 3 & {-} & {-} \\ 5 & {-} & {-} \\ 7 & 2.49 & .13 \\ 9 & 2.03 & .12 \\ 12 & 1.48 & .11 \end{tabular} \caption{Zählrate \(\dot{N}\) pro Anstand Quelle-Streukörper \(l\).} \label{tab:abstand} \end{table} Da bei gr\"o\ss{}en Abst\"anden der \kev{60} Peak verrauscht, wird hier f\"ur die Auswertung der \kev{26} Peak genutzt, der allerdings erst ab \(l=\SI{7}{\centi\meter}\) ausreichende Prominenz aufwies. \begin{figure}[h]\centering \input{../auswertung/figs/dists/countrates.pgf} \caption{Zählrate in Abhängigkeit des Abstandes des Targets von der Quelle.} \label{fig:dists-countrates} \end{figure} \begin{figure}[h]\centering \input{../auswertung/figs/dists/widths.pgf} \caption{Peakbreite in Abhängigkeit des Abstandes des Targets von der Quelle. Abweichungen aus Fit Fehler.} \label{fig:dists-widths} \end{figure} Nimmt man eine Punktquelle an, so gilt \(\Phi\sim 1/l^2\). Wie in~\ref{fig:dists-countrates} zu erkennen, nimmt die Zählrate mit dem Abstand der Quelle zum Target wie erwartet ab. Dahingegen nimmt die Peakbreite, wie in~\ref{fig:dists-widths} zu erkennen mit \(l\) zu. Es w\"are innerhalb der Messabweichung auch der umgekehrte Fall m\"oglich und damit l\"asst sich hier also keine entg\"ultige Aussage treffen. Betrachtet man den Strahlkegel der am Target gestreut wird so verringert sich bei Vergr\"o\ss{}erung des Abstandes \(l\) dessen \"Offnungswinkel. Daraus folgt, dass mehr nah bei der zentralen Energie liegende Strahlen den Detektor erreichen. Diese Betrachtung w\"urde gerade den nicht beobachteten Fall favorisieren. \section{Fazit} Der Prozess der \cs{} ist in diesem Versuch in qualitativer Übereinstimmung mit der Theorie untersucht worden. Die Kalibrierung war trotz der relativ gro\ss{}en Anzahl der Messpunkte nicht sehr akkurat, wie sich in~\ref{sec:energwinkel} zeigte. Die optimale Messzeit wurde zu Gunsten einer z\"ugigen Durchf\"uhrung etwas gering gew\"ahlt. Die relativen Unsicherheiten der Zählraten sind dennoch zufriedenstellend ausgefallen (siehe~\ref{fig:countrates}). Die Energien und der Wirkungsquerschnitt entsprechen jeweils prinzipiell den theoretischen Zusammenh\"angen, wobei im Falle des Wirkungsquerschnittes Abweichungen zu erwarten waren und auch auftraten. Der Einfluss des Streukörperdurchmessers ist gut zu verstehen. Der Einfluss des Quellabstandes auf die Peakbreite jedoch kann aus den vorhandenen Daten nicht eindeutig nachvollzogen werden. \section{Anhang} \label{sec:anshang} \subsection{Plots zur Kalibrierung der Kanalenergien} \label{sec:ancalplot} \begin{figure}[H]\centering \input{../auswertung/figs/calibrate/cs.pgf} \caption{Fit f\"ur \ce{^{137}Cs} bei \(E \approx \kev{32}\)} \end{figure} \begin{figure}[H]\centering \input{../auswertung/figs/calibrate/ba_1.pgf} \caption{Fit f\"ur \ce{^{133}Ba} bei \(E \approx \kev{31}\).} \end{figure} \begin{figure}[H]\centering \input{../auswertung/figs/calibrate/ba_2.pgf} \caption{Fit f\"ur \ce{^{133}Ba} bei \(E \approx \kev{53}\).} \end{figure} \begin{figure}[H]\centering \input{../auswertung/figs/calibrate/ba_3.pgf} \caption{Fit f\"ur \ce{^{133}Ba} bei \(E \approx \kev{80}\).} \end{figure} \begin{figure}[H]\centering \input{../auswertung/figs/calibrate/am_1.pgf} \caption{Fit f\"ur \am bei \(E \approx \kev{26}\).} \end{figure} \begin{figure}[H]\centering \input{../auswertung/figs/calibrate/am_2.pgf} \caption{Fit f\"ur \am bei \(E = \kev{59,54}\).} \end{figure} \begin{figure}[H]\centering \input{../auswertung/figs/calibrate/eu_1.pgf} \caption{Fit f\"ur \ce{^{154}Eu} bei \(E \approx \kev{5,6}\).} \end{figure} \subsection{Plots zur Winkelabh\"angigkeit} \label{sec:anangplot} \begin{figure}[H]\centering \input{../auswertung/figs/winkelmessung/30.pgf} \caption{Energiepeak mit Fit bei einem Streuwinkel von \(\vartheta = 30^\circ\).} \label{fig:30} \end{figure} \begin{figure}[H]\centering \input{../auswertung/figs/winkelmessung/45.pgf} \caption{Energiepeak mit Fit bei einem Streuwinkel von \(\vartheta = 45^\circ\).} \label{fig:45} \end{figure} \begin{figure}[H]\centering \input{../auswertung/figs/winkelmessung/60.pgf} \caption{Energiepeak mit Fit bei einem Streuwinkel von \(\vartheta = 60^\circ\).} \label{fig:60} \end{figure} \begin{figure}[H]\centering \input{../auswertung/figs/winkelmessung/75.pgf} \caption{Energiepeak mit Fit bei einem Streuwinkel von \(\vartheta = 75^\circ\).} \label{fig:75} \end{figure} \begin{figure}[H]\centering \input{../auswertung/figs/winkelmessung/90.pgf} \caption{Energiepeak mit Fit bei einem Streuwinkel von \(\vartheta = 90^\circ\).} \label{fig:90} \end{figure} \begin{figure}[H]\centering \input{../auswertung/figs/winkelmessung/105.pgf} \caption{Energiepeak mit Fit bei einem Streuwinkel von \(\vartheta = 105^\circ\).} \label{fig:105} \end{figure} \begin{figure}[H]\centering \input{../auswertung/figs/winkelmessung/120.pgf} \caption{Energiepeak mit Fit bei einem Streuwinkel von \(\vartheta = 120^\circ\).} \label{fig:120} \end{figure} \subsection{Plots zum Targetdurchmesser} \label{sec:andiplot} \begin{figure}[H]\centering \input{../auswertung/figs/dicke/2.pgf} \caption{Energiepeak mit Fit bei einem Targetdurchmesser \(d \approx \SI{2}{\milli\metre}\).} \label{fig:dicke-2} \end{figure} \begin{figure}[H]\centering \input{../auswertung/figs/dicke/4.pgf} \caption{Energiepeak mit Fit bei einem Targetdurchmesser \(d \approx \SI{4}{\milli\metre}\).} \label{fig:dicke-4} \end{figure} \begin{figure}[H]\centering \input{../auswertung/figs/dicke/6.pgf} \caption{Energiepeak mit Fit bei einem Targetdurchmesser \(d \approx \SI{6}{\milli\metre}\).} \label{fig:dicke-6} \end{figure} \begin{figure}[H]\centering \input{../auswertung/figs/dicke/10.pgf} \caption{Energiepeak mit Fit bei einem Targetdurchmesser \(d \approx \SI{10}{\milli\metre}\).} \label{fig:dicke-10} \end{figure} \begin{figure}[H]\centering \input{../auswertung/figs/dicke/20.pgf} \caption{Energiepeak mit Fit bei einem Targetdurchmesser \(d \approx \SI{20}{\milli\metre}\).} \label{fig:dicke-20} \end{figure} \subsection{Plots zur Abh\"angigkeit vom Abstand} \label{sec:anabplot} \begin{figure}[H]\centering \input{../auswertung/figs/dists/7.pgf} \caption{Energiepeak mit Fit bei einem Abstand von Quelle zum Target von \(l \approx \SI{7}{\centi\metre}\).} \label{fig:dists-7} \end{figure} \begin{figure}[H]\centering \input{../auswertung/figs/dists/9.pgf} \caption{Energiepeak mit Fit bei einem Abstand von Quelle zum Target von \(l \approx \SI{9}{\centi\metre}\).} \label{fig:dists-9} \end{figure} \begin{figure}[H]\centering \input{../auswertung/figs/dists/12.pgf} \caption{Energiepeak mit Fit bei einem Abstand von Quelle zum Target von \(l \approx \SI{12}{\centi\metre}\).} \label{fig:dists-12} \end{figure} \section{Verzeichnisse} \label{sec:literatur} \listoffigures \listoftables \printbibliography \end{document}