Eine \begriff{Quadrik} ist eine Teilmenge von $\real^n$ mit
\begin{align}
Q=\{x\in\real^n\mid x^tAx+2b^tx+c=0\}\notag
\end{align}
mit $A\in\Mat_n(\real)$ symmetrisch, $b^t\in\real^n$ und $c\in\real$.
\end{definition}
\begin{remark}
\begin{itemize}
\item$Q=\{x\in\real^n\mid\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_iy_j+2\sum_{i=1}^n b_ix_i+c=0\}$ also $Q$ ist die Nullstellenmenge eines quadratischen Polynoms in $x_1,...,x_n$
\item$Q$ bestimmt $A,b,c$ nicht eindeutig, da $Q(A,b,c)=Q(\lambda A,\lambda b,\lambda c)$
\item Man kann $A,b,c$ so normieren, dass $c=0$ oder $c=1$
Seien $V,W$$K$-Vektorräume. $f:V\to W$ heißt affin, wenn $\exists g\in\Hom_K(V,W)$ mit $f(v)=g(v)+w_0$$\forall v\in V$. Ist $f$ affin und bijektiv, so ist $f^{-1}$ affin, d.h. $\Aff_K(V)=\{f:V\to V\mid f\text{ affin und bijektiv}\}$. Im Fall von $V=\real^n$, $K=\real$ ist
$f=\tau_z\circ f_T$ mit $T\in\GL_n(\real)$ und $z\in\real^n$. Schreibe $S=T^{-1}\in\GL_n(\real)$, $\tilde{S}=\begin{henrysmatrix}S&0\\0&1\end{henrysmatrix}$. Es gilt $\tilde{S}\tilde{x}=\widetilde{Sx}$.
Ist $Q\subseteq\real^n$ eine Quadrik, $f\in\Aff_{\real}(\real^n)$. Von dem Typ, von dem $Q$ ist, ist auch $f(Q)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
$f=f_{S^{-1}}$, $S\in\GL_n(\real)$. Da $\tilde{S}$ invertierbar ist, ist $\rk(\tilde{A})=\rk(\tilde{S}^t\tilde{A}\tilde{S})$, analog auch $\rk(S^tAS)=\rk(A)$. \\
$(S^tAS,S^tb)=S^t(A,b)\begin{henrysmatrix}S&0\\0&1\end{henrysmatrix}\Rightarrow\rk(S^tAS,S^tb)=\rk(A,b)$. Für $f=\tau_z$ analog.
\end{proof}
\begin{definition}[Isometrie]
Eine \begriff{Isometrie} des $\real^n$ ist $f\in\Aff_{\real}(\real^n)$ mit
Sei $Q$ gegeben durch $(A,b,c)$. Nach \propref{6_7_1} gibt es eine orthogonale Matrix $S\in\Orth_n$ mit $S^tSAS=\diag(\lambda_1,...,\lambda_n)$. Indem wir $Q$ durch $f_{S^{-1}}(Q)$ ersetzen, können wir also ohne Einschränkung annehmen, dass $A=\diag(\lambda_1,...,\lambda_n)$. Ohne Einschränkung ist weiter $\lambda_1,...,\lambda_k>0$ und $\lambda_{k+1},...,\lambda_r<0$ und $\lambda_{r+1},...,\lambda_n=0$. Dann ist $(e_{r+1},...,e_n)$ eine Orthonormalbasis des Ausartungsraums $V_0$ von $s_A$. \\
Wenn wir $Q$ durch $\tau_z(Q)$ ersetzen, wird $b$ durch $Az+b$ ersetzt, wir können deshalb ohne Einschränkung annehmen, dass $b\in V_0$. Ist $n>r$, also $V_0\neq\{0\}$, so können wir eine Orthonormalbasis $(v_{r+1},...,v_n)$ von $V_0$ mit $b\in\Span_\real(v_{r+1})$ wählen. \\
Indem wir $Q$ durch $f_{S^{-1}}(Q)$ mit $S=(e_1,...,e_r,v_{r+1},...,v_n)$ ersetzen, können wir ohne Einschränkung annehmen, dass $b=\mu\cdot e_{r+1}$ mit $\mu\in\real$. \\
Ist nun $\rk(A)=\rk(A,b)$, so gibt es $z$ mit $Az=-b$, und indem wir $Q$ durch $\tau_z(Q)$ ersetzen, können wir annehmen, dass $b=0$.
\begin{itemize}
\item Im Fall $c=0$ setzt man $a_i=\frac{1}{\sqrt{\vert\lambda_i\vert}}$ und ersetzt gegebenenfalls $(A,b,c)$ mit $(-A,-b,-c)$, um Form 1 zu erhalten.
\item Im Fall $c\neq0$ ersetzt man $(A,b,c)$ durch $(-\frac1 c A, -\frac1 c b,-1)$ und setzt dann $a_i=\frac{1}{\sqrt{\vert\lambda_i\vert}}$, um Form 2 zu erhalten.
\item Ist $\rk(A)<\rk(A,b)$, so ist insbesondere $r<n$ und $\mu\neq0$. Nun ersetzten wir $Q$ durch $\tau_z(Q)$ mit $z=-\frac{c}{2\mu}\cdot e_{r+1}$ und können somit auch wieder $c=0$ annehmen. Ersetzt man $(A,b,0)$ durch $(-\frac{1}{\mu}A,-1,0)$ und setzt wieder $a_i=\frac{1}{\sqrt{\vert\lambda_i\vert}}$, so erhält man Form 3. (Ist $k<r-k$, so ersetzt man weiter $Q$ durch $f_{-\mathbbm{1}_n}(Q)$ und $(A,b,0)$ durch $(-A,-b,0)$.)
Sei $Q\subseteq\real^n$ eine Quadrik. Es gibt eine invertierbare affine Abbildung $f\in\Aff_{\real}(\real^n)$ für die $f(Q)$ eine der folgenden 3 Formen annimmt:
\item Ist $Q\subseteq\real^2$ eine Quadrik, $U\subseteq V$ affiner Untervektorraum, so ist $Q\cap U$ eine Quadrik in dem Sinne, dass $\exists f\text{ Isometrie}: f(U)=\real^k$ und $f(Q\cap U)$ ist eine Quadrik.
Die Situation wird deutlich übersichtlicher, wenn man den affinen Raum $\real^n$ durch Hinzunahme von Punkten im Unendlichen zum \begriff{projektiven Raum}$\mathbb{P}^n(\real)$ vervollstädigt und den Abschluss der Quadriken darin betrachtet. Es stellt sich dann heraus, dass vom projektiven Standpunkt aus die meisten ebenen Quadriken ähnlich aussehen. (Siehe Vorlesung \textit{Elementare Algebraische Geometrie})
