VL LAAG 14.6.

2. Semester/LAAG/TeX_files/Das_Lemma_von_Zorn.tex

@@ -108,12 +108,24 @@ Sei $K$ ein Körper und $U,V,W$ seien $K$-Vektorräume. Zudem sei $X$ eine Menge
 	Sei $(X,\le)$ eine Halbordnung, die nicht leer ist. Wenn jede Kette eine obere Schranke hat, dann hat $X$ ein maximales Element.
 \end{theorem}
 \begin{proof}
-	Dieses Theorem ist äquivalent zum Auswahlaxiom. \frownie{}
+	Dieses Theorem ist äquivalent zum Auswahlaxiom. \frownie{}. Wir wollen zumindest die Hinrichtung zeigen, d.h. aus dem Lemma von Zorn folgt das Auswahlaxiom.
 \end{proof}
 
-\begin{conclusion}
+\begin{conclusion}[Auswahlaxiom]
 	Zu jeder Familie $(x_i)$, nicht leer, gibt es eine \begriff{Auswahlfunktion}, das heißt eine Abbildung:
 	\begin{align}
-		f: I\to \bigcup X_i\text{ mit } f(i)\in X_i\quad\forall i\notag
+		f: I\to \bigcup_{i\in I} X_i\text{ mit } f(i)\in X_i\quad\forall i\notag
 	\end{align}
 \end{conclusion}
+\begin{proof}
+	Sei $\mathcal{F}$ die Menge der Paare $(J,f)$ bestehend aus einer Teilmenge $J\subseteq I$ und einer Abbildung $f:I\to \bigcup_{i\in I} X_i$ mit $f(i)\in X_i\quad\forall i\in J$. Definieren wir $(J,f)\le (J',f')\iff J\subseteq J'$ und $f'\vert_J = f$, so ist $\le$ eine Halbordnung auf $\mathcal{F}$. Da $(\emptyset,\emptyset)\in\mathcal{F}$ ist $\mathcal{F}$ nichtleer. Ist $\mathcal{G}\subseteq\mathcal{F}$ eine nichtleere Kette, so wird auf $J':=\bigcup_{(J,f)\in\mathcal{G}} J$ durch $f'(j)=f(j)$ falls $(J,f)\in\mathcal{G}$ und $j\in J$ eine wohldefinierte Abbildung $f':J\to \bigcup_{i\in J}X_i$ mit $f'(i)\in X_i\quad\forall i\in J'$ gegeben. Das Paar $(J',f')$ ist eine obere Schranke der Kette $\mathcal{G}$. Nach dem Lemma von Zorn besitzt $\mathcal{F}$ ein maximales Element $(J,f)$. Wir behaupten, dass $J=I$. Andernfalls nehmen wir ein $i'\in I\backslash J$ und ein $x'\in X_{i'}$ und definieren $J':= U\cup\{i'\}$ und $f':J'\to \bigcup_{i\in J'} X_i$, $j\mapsto\begin{cases}f(j)&j\in J\\ x'&j=i'\end{cases}$. Dann ist $(J',f')\in\mathcal{F}$ und $(J,f)<(J',f')$ im Widerspruch zur Maximalität von $(J,f)$.
+\end{proof}
+
+
+\begin{conclusion}[Basisergänzungssatz]
+	\proplbl{3_1_11}
+	Sei $V$ ein $K$-Vektorraum. Jede linear unabhängige Teilmenge $X_0\subseteq V$ ist in einer Basis von $V$ enthalten.
+\end{conclusion}
+\begin{proof}
+	Sei $\mathcal{X}=\{X\subseteq V\mid X\text{ ist linear unabhängig, } X_0\subseteq X\}$ geordnet durch Inklusion. Dann ist $X_0\in\mathcal{X}$, also $\mathcal{X}\neq\emptyset$. Ist $\mathcal{Y}$ eine nichtleere Kette in $\mathcal{X}$, so ist auch $Y=\bigcup\mathcal{Y}\subseteq V$ linear unabhängig. Sind $y_1,...,y_n\in Y$ paarweise verschieden, so gibt es $Y_1,...,Y_n\in\mathcal{Y}$ mit $y_i\in Y_i$ für $i=1,...,n$. Da $\mathcal{Y}$ total geordnet ist, besitzt $\{Y_1,...,Y_n\}$ ein größtes Element, o.E. $Y_1$. Also sind $y_1,...,y_n\in Y_1$ und somit linear unabhängig. Folglich ist $Y_1\in \mathcal{X}$ eine obere Schranke von $\mathcal{Y}$. Nach dem Lemma von Zorn besitzt $\mathcal{X}$ ein maximales Element $X$. Das heißt, $X$ ist eine maximal linear unabhängige Teilmenge von $V$, nach LAAG1 II.3.5 also eine Basis von $V$. %TODO: Verlinkung
+	\end{proof}

2. Semester/LAAG/TeX_files/Der_Dualraum.tex

@@ -0,0 +1,73 @@
+\section{Der Dualraum}
+
+Sei $V$ ein $K$-Vektorraum.
+
+\begin{definition}[Dualraum]
+	Der \begriff{Dualraum} zu $V$ ist der $K$-Vektorraum
+	\begin{align}
+		V^*=\Hom_K(V,K)=\{\phi:V\to K\text{ linear}\}\notag
+	\end{align}
+	Die Elemente von $V^*$ heißen \begriff{Linearformen} auf $V$.
+\end{definition}
+
+\begin{example}
+	Ist $V=K^n=\Mat_{n\times 1}(K)$, so wird $V^*=\Hom_K(V,K)$ durch $\Mat_{1\times n}(K)\cong K^n$. Wir können also die Elemente von $V$ als Spaltenvektoren und die Linearformen auf $V$ als Zeilenvektoren auffassen.
+\end{example}
+
+\begin{lemma}
+	Ist $B(x_1)_{i\in I}$ eine Basis von $V$, so gibt es zu jedem $i\in I$ genau $x_i^*\in V^*$ mit $x_i^*(x_j)=\delta_{ij}\quad\forall j\in I$.
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+	Siehe LAAG1 III.5.1, angewandt auf die Familie $(y_j)_{j\in I}$, $y_j\delta_{i.j}$ in $W=K$. %TODO: Verlinkung
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}
+	Ist $B=(x_1)_{i\in I}$ eine Basis von $V$, so ist $B^*=(x_i^*)_{i\in I}$ linear unabhängig. Ist $I$ endlich, so ist $B^*$ eine Basis von $V^*$.
+\end{proposition}
+\begin{proof}
+	Ist $\phi=\sum_{i\in I} \lambda_ix_i^*$, $\lambda_i\in K$, fast alle gleich 0, so ist $\phi(x_j)=\sum_{i\in I} \lambda_j x_i^*(x_j)=\lambda_j$ für jedes $j\in I$. Ist also $\phi=0$, so ist $\lambda_j=\phi(x_j)=0\quad\forall j\in I$, $B^*$ ist somit linear unabhängig. \\
+	Ist zudem $I$ endlich und $\psi\in V^*$, so ist $\psi=\psi'=\sum_{i\in I} \psi(x_i)x_i^*$, denn $\psi'(x_j)=\sum_{i\in I} \psi(x_i)x_i^*(x_j)=\psi(x_i)\quad\forall j\in I$, und somit ist $B^*$ ein Erzeugendensystem von $V^*$.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}[duale Basis]
+	Ist $B=(x_i)_{i\in I}$ eine endliche Basis von $V$, so nennt man $B^*=(x_i^*)_{i\in I}$ die zu $B$ \begriff{duale Basis}.
+\end{definition}
+
+\begin{conclusion}
+	Zu jeder Basis $B$ von $V$ gibt es einen eindeutig bestimmtem Monomorphismus
+	\begin{align}
+		f_V\to V^*\text{ mit } f(B)=B^*\notag
+	\end{align}
+	Ist $\dim_K(V)<\infty$, so ist dieser ein Isomorphismus.
+\end{conclusion}
+
+\begin{conclusion}
+	Zu jedem $=0\neq x\in V$ gibt es eine Linearform $\phi\in V$ mit $\phi(x)=1$.
+\end{conclusion}
+\begin{proof}
+	Ergänze $x_1=x$ zu einer Basis $(x_i)_{i\in I}$ von $V$ (\propref{3_1_11}) und $\phi=x_1^*$.
+\end{proof}
+
+\begin{example}
+	Ist $V=K^n$ mit Standardbasis $\mathcal{E}=(e_1,...,e_n)$, so können wir $V^*$ mit dem Vektorraum der Zeilenvektoren identifizieren, und dann ist
+	\begin{align}
+		e_i^* = e_i^t\notag
+	\end{align}
+\end{example}
+
+\begin{definition}[Bidualraum]
+	Der \begriff{Bidualraum} zu $V$ ist der $K$-Vektorraum
+	\begin{align}
+		V^{**}=(V^*)^*=\Hom_K(V^*,K)\notag
+	\end{align}
+\end{definition}
+
+\begin{proposition}
+	Die kanonische Abbildung
+	\begin{align}
+		\iota:\begin{cases}
+		V\to V^{**} \\ x\to \iota_x
+		\end{cases}\text{ wobei } \iota_x(\phi)=\phi(x)\notag
+	\end{align}
+	ist ein Monomorphismus. Ist $\dim_K(V)<\infty$, so ist $\iota$ ein Isomorphismus.
+\end{proposition}

2. Semester/LAAG/TeX_files/Quadriken.tex

@@ -98,6 +98,15 @@ Sei $n\in\natur$.
 	
 \end{proof}
 
+\begin{conclusion}
+	Sei $Q\subseteq \real^n$ eine Quadrik. Es gibt eine invertierbare affine Abbildung $f\in\Aff_{\real}(\real^n)$ für die $f(Q)$ eine der folgenden 3 Formen annimmt:
+	\begin{itemize}
+		\item \itemEq{f(Q)=\left\lbrace x\in\real^n\mid \sum_{i=1}^k x_i^2-\sum_{i=k+1}^r x_i^2=0\right\rbrace \quad k\ge r-k\notag}
+		\item \itemEq{f(Q)=\left\lbrace x\in\real^n\mid \sum_{i=1}^k x_i^2-\sum_{i=k+1}^r x_i^2=1\right\rbrace\notag}
+		\item \itemEq{f(Q)=\left\lbrace x\in\real^n\mid \sum_{i=1}^k x_i^2-\sum_{i=k+1}^r x_i^2-2x_{r+1}=0\right\rbrace\quad k\ge r-k,r<n\notag}
+	\end{itemize}
+\end{conclusion}
+
 \begin{example}
 	\proplbl{2_8_example}
 	$Q\subseteq\real^2$
@@ -184,5 +193,5 @@ Sei $n\in\natur$.
 \end{conclusion}
 
 \begin{remark}
-	$\real^n$ und "'Punkte im Unendlichen"' $\to \mathbb{P}^n(\real^n)$, der \begriff{projektive Raum}
+	Die Situation wird deutlich übersichtlicher, wenn man den affinen Raum $\real^n$ durch Hinzunahme von Punkten im Unendlichen zum \begriff{projektiven Raum} $\mathbb{P}^n(\real)$ vervollstädigt und den Abschluss der Quadriken darin betrachtet. Es stellt sich dann heraus, dass vom projektiven Standpunkt aus die meisten ebenen Quadriken ähnlich aussehen. (Siehe Vorlesung \textit{Elementare Algebraische Geometrie})
 \end{remark}

2. Semester/LAAG/Vorlesung LAAG.tex

@@ -641,6 +641,7 @@
 
 \chapter{Dualität}
 \input{./TeX_files/Das_Lemma_von_Zorn}
+\include{./TeX_files/Der_Dualraum}
 
 \chapter{Moduln}