LAAG 2 7.6.

TODO: Beweis Theorem 8.10 + Korrekturlesen, das Geschmiere war schwer zu entziffern

2. Semester/LAAG/TeX_files/Hauptachsentransformation.tex

@@ -80,7 +80,7 @@ Sei $V$ ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum und $s$ eine hermitesche Sesq
 	\begin{align}
 		M_B(s)=\begin{pmatrix}\mathbbm{1_{r_{+}(s)}}&\;&\;\\\;&-\mathbbm{1_{r_{-}(s)}}&\;\\\;&\;&0\end{pmatrix}\notag
 	\end{align}
-	mit $r_+(s)-r_-(s)\le n$.
+	mit $r_+(s)+r_-(s)\le n$.
 \end{conclusion}
 \begin{proof}
 	Sei $B_0=(x_1,...,x_n)$ eine Orthonormalbasis von $V$ mit $A=M_{B_0}(s)=\diag(\lambda_1,...,\lambda_n)$. Setze 
@@ -112,8 +112,8 @@ Sei $V$ ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum und $s$ eine hermitesche Sesq
 	\proplbl{2_7_8}
 	Seien $V_+$ und $V_-$ Untervektorräume von $V$ mit $V=V_+\oplus V_-\oplus V_0$ und $s$ positiv definit auf $V_+$, $-s$ positiv definit auf $V_-$. Dann ist
 	\begin{align}
-		\dim_K(V_+)&=\max{\dim_K(W)\mid \text{Untervektorraum von }V,s\text{ positiv definit auf }V}\notag \\
-		\dim_K(V_-)&=\max{\dim_K(W)\mid \text{Untervektorraum von }V,-s\text{ positiv definit auf }V}\notag
+		\dim_K(V_+)&=\max\{\dim_K(W)\mid \text{Untervektorraum von }V,s\text{ positiv definit auf }V\}\notag \\
+		\dim_K(V_-)&=\max\{\dim_K(W)\mid \text{Untervektorraum von }V,-s\text{ positiv definit auf }V\}\notag
 	\end{align}
 \end{lemma}
 \begin{proof}
@@ -132,7 +132,21 @@ Sei $V$ ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum und $s$ eine hermitesche Sesq
 		V_-&=\Span_K(x_{r_+(s)+1},...,x_{r_+(s)+r_-(s)})\notag \\
 		V'_0&=\Span_K(x_{r_+(s)+r_-(s)+1},...,x_n)\notag
 	\end{align}
-	Dann ist $s$ positiv definit auf $V_+$, $-s$ positiv definit auf $V_-$ und $V=V_+\oplus V_-\oplus V'_0$. Es gilt $V'_0=V_0$:
+	Dann ist $s$ positiv definit auf $V_+$, $-s$ positiv definit auf $V_-$ und $V=V_+\oplus V_-\oplus V'_0$. Es gilt $V'_0=V_0$\\
 	$\subseteq$: klar \\
 	$\supseteq$: Ist $x=\sum_{i=1}^{n} \lambda_ix_i\in V_0$, so ist $0=s(x,x_i)=\lambda_i\cdot s(x_i,x_i)$ für $i=1,...,n$ also $\lambda_i=0$ für $i=1,...,r_+(s)+r_-(s)$, d.h. $x\in V'_0$. Nach \propref{2_7_8} ist $r_+(s)=\dim_K(V_+)$ nur von $s$ abhängig, analog für $r_-(s)$.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}[Signatur]
+	Die \begriff{Signatur} von $s$ ist 
+	\begin{align}
+		(r_+(s),r_-(s),r_0(s))\notag
+	\end{align}
+\end{definition}
+
+\begin{conclusion}
+	Die Anzahl der positiven bzw. negativen Eigenwerte von $M_B(s)$ ist $r_+(s)$ bzw. $r_-(s)$.
+\end{conclusion}
+\begin{proof}
+	$A=M_B(s)$, $\exists S\in\Uni_n(K)$ und $S^*AS=D$ reelle Diagonalmatrix \propref{2_7_1}. Das heißt $\exists B'$ Basis mit $M_{B'}(s)=D$. Skalieren ergibt $B''$ mit $M_{B''}=D''$ wie in \propref{2_7_5}. Da $S\in\Uni_n(K)$ folgt $S^*=S^{-1}$, also sind $A$ und $D$ ähnlich zueinander und haben die gleichen Eigenwerte. Die Vorzeichen ändern sich nicht unter der Skalierung.
 \end{proof}

2. Semester/LAAG/TeX_files/Quadriken.tex

@@ -0,0 +1,96 @@
+\section{Quadriken}
+
+Sei $n\in\natur$.
+
+\begin{definition}[Quadrik]
+	\proplbl{2_8_1}
+	Eine \begriff{Quadrik} ist eine Teilmenge von $\real^n$ mit
+	\begin{align}
+		Q=\{x\in\real^n\mid x^tAx+2b^tx+c=0\}\notag
+	\end{align}
+	mit $A\in\Mat_n(\real)$ symmetrisch, $b^t\in\real^n$ und $c\in\real$.
+\end{definition}
+
+\begin{remark}
+	\begin{itemize}
+		\item $Q=\{x\in\real^n\mid \sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_iy_j+2\sum_{i=1}^n b_ix_i+c=0\}$ also $Q$ ist die Nullstellenmenge eines quadratischen Polynoms in $x_1,...,x_n$
+		\item $Q$ bestimmt $A,b,c$ nicht eindeutig, da $Q(A,b,c)=Q(\lambda A,\lambda b,\lambda c)$
+		\item Man kann $A,b,c$ so normieren, dass $c=0$ oder $c=1$
+	\end{itemize}
+\end{remark}
+
+\begin{remark}
+	Seien $A,b,c$ wie in \propref{2_8_1}, so schreiben wir
+	\begin{align}
+		\tilde{A}&=\begin{pmatrix}A&b\\b^t&c\end{pmatrix}\notag \\
+		\tilde{x}&=\begin{henrysmatrix}x\\1\end{henrysmatrix}\notag
+	\end{align}
+	Dann ist $Q=\{x\in\real^n\mid \tilde{x}^t\tilde{A}\tilde{x}=0\}$. Wir schreiben $(A,b)$ für 
+	\begin{align}
+		\begin{pmatrix}A&b\end{pmatrix}\in\Mat_{n,n+1}(\real)\notag
+	\end{align}
+	Es gilt $\rk(A)\le \rk(\tilde{A})$.
+\end{remark}
+
+\begin{remark}[Wiederholung]
+	Seien $V,W$ $K$-Vektorräume. $f:V\to W$ heißt affin, wenn $\exists g\in\Hom_K(V,W)$ mit $f(v)=g(v)+w_0$ $\forall v\in V$. Ist $f$ affin und bijektiv, so ist $f^{-1}$ affin, d.h. $\Aff_K(V)=\{f:V\to V\mid f\text{ affin und bijektiv}\}$. Im Fall von $V=\real^n$, $K=\real$ ist
+	\begin{align}
+		\Aff_{\real}(\real^n)=\{f=\tau_z\circ f_T\mid T\in\GL_n(\real),z\in\real^n\}\notag
+	\end{align}
+	mit $f_T(x)=Tx$ und $\tau_z(x)=x+z$.
+\end{remark}
+
+\begin{lemma}
+	Ist $Q\subseteq\real^n$ eine Quadrik, so ist $f(Q)$ eine Quadrik, für $f\in\Aff_{\real}(\real^n)$.
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+	$f=\tau_z\circ f_T$ mit $T\in\GL_n(\real)$ und $z\in\real^n$. Schreibe $S=T^{-1}\in\GL_n(\real)$, $\tilde{S}=\begin{henrysmatrix}S&0\\0&1\end{henrysmatrix}$. Es gilt $\tilde{S}\tilde{x}=\tilde{Sx}$.
+	\begin{align}
+		f_T(Q)&=\{Tx\in\real^n\mid \tilde{x}^t\tilde{A}\tilde{x}=0\}\notag \\
+		&=\{y\in\real^n\mid (\tilde{S}\tilde{y})^t\tilde{A}\tilde{S}\tilde{y}=0\}\notag \\
+		&=\{y\in\real^n\mid \tilde{y}^t\underbrace{\tilde{S}^t\tilde{A}\tilde{S}}_{\begin{pmatrix}S^tAS&S^tb\\b^tS&c\end{pmatrix}}\tilde{y}=0\}\notag
+	\end{align}
+	Jetzt für $\tau_z$. Sei $U_z=\begin{henrysmatrix}\mathbbm{1}&z\\0&1\end{henrysmatrix}$. $U_z\tilde{x}=\tilde{\tau_z(x)}$. Man folgert analog, dass 
+	\begin{align}
+		\tau_z(Q)=\{y\in\real^n\mid \tilde{y}\underbrace{U_z^t\tilde{A}U_z}_{\begin{pmatrix} A&Az+b\\z^tA+b&z^tAz+b^tz+z^tb+c\end{pmatrix}}\tilde{y}=0\}\notag
+	\end{align}
+\end{proof}
+
+\begin{definition}[Typen von Quadriken]
+	Sei $Q$ gebeben durch $(A,b,c)$ wie in \propref{2_8_1}. $Q$ heißt
+	\begin{itemize}
+		\item vom \begriff[Quadrik!]{kegeligen Typ}, wenn $\rk(A)=\rk(A,b)=\rk(\tilde{A})$
+		\item eine \begriff[Quadrik!]{Mittelpunktsquadrik}, wenn $\rk(A)=\rk(A,b)<\rk(\tilde{A})$
+		\item vom \begriff[Quadrik!]{parabolischen Typ}, wenn $\rk(A)<\rk(A,b)$
+	\end{itemize}
+\end{definition}
+
+\begin{lemma}
+	Ist $Q\subseteq\real^n$ eine Quadrik, $f\in\Aff_{\real}(\real^n)$. Von dem Typ, von dem $Q$ ist, ist auch $f(Q)$.
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+	$f=f_{S^{-1}}$, $S\in\GL_n(\real)$. Da $\tilde{S}$ invertierbar ist, ist $\rk(\tilde{A})= \rk(\tilde{S}^t\tilde{A}\tilde{S})$, analog auch $\rk(S^tAS)=\rk(A)$. \\
+	$(S^tAS,S^tb)=S^t(A,b)\begin{henrysmatrix}S&0\\0&1\end{henrysmatrix}\Rightarrow \rk(S^tAS,S^tb)=\rk(A,b)$. Für $f=\tau_z$ analog.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}[Isometrie]
+	Eine \begriff{Isometrie} des $\real^n$ ist $f\in\Aff_{\real}(\real^n)$ mit
+	\begin{align}
+		f(x)=Ax+b\notag
+	\end{align}
+	mit $b\in\real^n$ und $A\in\GL_n(\real)$ ist orthogonal
+\end{definition}
+
+\begin{remark}
+	$f:\real^n\to\real^n$ ist eine Isometrie genau dann, wenn $\Vert f(x)-f(y)\Vert=\Vert x-y\Vert$ für alle $x,y\in\real^n.$
+\end{remark}
+
+\begin{theorem}[Klassifikation bis aus Isometrien]
+	Sei $Q$ eine Quadrik. Es gibt eine Isometrie $f\in\Aff_{\real}(\real^n)$ mit $f(Q)$, die eine der folgenden Formen annimmt:
+	\begin{itemize}
+		\item \itemEq{f(Q)=\left\lbrace x\in\real^n\mid \sum_{i=1}^k \left( \frac{x_i}{a_i}\right)^2 -\sum_{i=k+1}^{n} \left( \frac{x_i}{a_i}\right)^2=0\right\rbrace \quad k\ge r-k\notag}
+		\item \itemEq{f(Q)=\left\lbrace x\in\real^n\mid \sum_{i=1}^k \left( \frac{x_i}{a_i}\right)^2 -\sum_{i=k+1}^{n} \left( \frac{x_i}{a_i}\right)^2=1\right\rbrace\notag}
+		\item \itemEq{f(Q)=\left\lbrace x\in\real^n\mid \sum_{i=1}^k \left( \frac{x_i}{a_i}\right)^2 -\sum_{i=k+1}^{n} \left( \frac{x_i}{a_i}\right)^2-zx-{r+1}=0\right\rbrace \quad k\ge r-k, r<n\notag}
+	\end{itemize}
+	mit $a_1,...,a_r\in\real_{>0}$ und $0\le k\le r\le n$
+\end{theorem}

2. Semester/LAAG/Vorlesung LAAG.tex

@@ -522,6 +522,7 @@
 \DeclareMathOperator{\diam}{diam}
 
 \DeclareMathOperator{\End}{End}
+\DeclareMathOperator{\Aff}{Aff}
 \DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
 \DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}
 \DeclareMathOperator{\Eig}{Eig}
@@ -530,6 +531,7 @@
 \DeclareMathOperator{\diag}{diag}
 \DeclareMathOperator{\GL}{GL}
 \DeclareMathOperator{\tr}{tr}
+\DeclareMathOperator{\rk}{rk}
 \DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
 \DeclareMathOperator{\Span}{span}
 \DeclareMathOperator{\Image}{Im}
@@ -635,6 +637,7 @@
 \include{./TeX_files/Orthogonale_und_unitaere_Endomorphismen}
 \include{./TeX_files/Selbstadjungierte_Endomorphismen}
 \include{./TeX_files/Hauptachsentransformation}
+\include{./TeX_files/Quadriken}
 
 \chapter{Dualität}