Eine \begriff{Quadrik} ist eine Teilmenge von $\real^n$ mit
\begin{align}
Q=\{x\in\real^n\mid x^tAx+2b^tx+c=0\}\notag
\end{align}
mit $A\in\Mat_n(\real)$ symmetrisch, $b^t\in\real^n$ und $c\in\real$.
\end{definition}
\begin{remark}
\begin{itemize}
\item$Q=\{x\in\real^n\mid\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_iy_j+2\sum_{i=1}^n b_ix_i+c=0\}$ also $Q$ ist die Nullstellenmenge eines quadratischen Polynoms in $x_1,...,x_n$
\item$Q$ bestimmt $A,b,c$ nicht eindeutig, da $Q(A,b,c)=Q(\lambda A,\lambda b,\lambda c)$
\item Man kann $A,b,c$ so normieren, dass $c=0$ oder $c=1$
\end{itemize}
\end{remark}
\begin{remark}
Seien $A,b,c$ wie in \propref{2_8_1}, so schreiben wir
Seien $V,W$$K$-Vektorräume. $f:V\to W$ heißt affin, wenn $\exists g\in\Hom_K(V,W)$ mit $f(v)=g(v)+w_0$$\forall v\in V$. Ist $f$ affin und bijektiv, so ist $f^{-1}$ affin, d.h. $\Aff_K(V)=\{f:V\to V\mid f\text{ affin und bijektiv}\}$. Im Fall von $V=\real^n$, $K=\real$ ist
$f=\tau_z\circ f_T$ mit $T\in\GL_n(\real)$ und $z\in\real^n$. Schreibe $S=T^{-1}\in\GL_n(\real)$, $\tilde{S}=\begin{henrysmatrix}S&0\\0&1\end{henrysmatrix}$. Es gilt $\tilde{S}\tilde{x}=\widetilde{Sx}$.
\item vom \begriff[Quadrik!]{kegeligen Typ}, wenn $\rk(A)=\rk(A,b)=\rk(\tilde{A})$
\item eine \begriff[Quadrik!]{Mittelpunktsquadrik}, wenn $\rk(A)=\rk(A,b)<\rk(\tilde{A})$
\item vom \begriff[Quadrik!]{parabolischen Typ}, wenn $\rk(A)<\rk(A,b)$
\end{itemize}
\end{definition}
\begin{lemma}
Ist $Q\subseteq\real^n$ eine Quadrik, $f\in\Aff_{\real}(\real^n)$. Von dem Typ, von dem $Q$ ist, ist auch $f(Q)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
$f=f_{S^{-1}}$, $S\in\GL_n(\real)$. Da $\tilde{S}$ invertierbar ist, ist $\rk(\tilde{A})=\rk(\tilde{S}^t\tilde{A}\tilde{S})$, analog auch $\rk(S^tAS)=\rk(A)$. \\
$(S^tAS,S^tb)=S^t(A,b)\begin{henrysmatrix}S&0\\0&1\end{henrysmatrix}\Rightarrow\rk(S^tAS,S^tb)=\rk(A,b)$. Für $f=\tau_z$ analog.
\end{proof}
\begin{definition}[Isometrie]
Eine \begriff{Isometrie} des $\real^n$ ist $f\in\Aff_{\real}(\real^n)$ mit
\item Ist $Q\subseteq\real^2$ eine Quadrik, $U\subseteq V$ affiner Untervektorraum, so ist $Q\cap U$ eine Quadrik in dem Sinne, dass $\exists f\text{ Isometrie}: f(U)=\real^k$ und $f(Q\cap U)$ ist eine Quadrik.
\item Ebene Quadriken sind im wesentlichen Kegelschnitte, $Q'=\{x\in\real^3\mid x_1^2+x_2^2=x_3^2\}$, außer 2c und 2d in \propref{2_8_example}
\end{itemize}
\end{remark}
\begin{conclusion}
Sei $Q$ eine Quadrik, dann existiert eine lineare affine Abbildung $f$ mit: $f(Q)$ ist vom Typ 1, 2 oder 3.
\end{conclusion}
\begin{remark}
$\real^n$ und "'Punkte im Unendlichen"' $\to\mathbb{P}^n(\real^n)$, der \begriff{projektive Raum}
