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2. Semester/LAAG 1+2 Semester/TeX_files/Koordinatendarstellung_linearer_Abbildungen.tex

@@ -84,7 +84,7 @@ Seien $V,W$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume mit den Basen $B=(x_1,...,x_n)$
 \begin{proof}
 	Sei $A=M_C^B(f)$. Nach \propref{3_6_2} ist $f$ genau dann ein Isomorphismus, wenn $f_A$ einer ist, und in diesem Fall ist $m=n$. Zudem ist 
 	$f_A$ genau dann ein Isomorphismus, wenn $A\in \GL_(K)$ (\propref{3_5_12}). Ist $f$ ein Isomorphismus, so ist $M_B^C(f^{-1})\cdot 
-	M_C^B(f)=M_C^C(f^{-1}\circ f)=1_n$, also $M_B^C(f^{-1})=M_C^B(f)^{-1}$ (\propref{3_6_4}).
+	M_C^B(f)=M_C^C(f^{-1}\circ f)=\mathbbm{1}_n$, also $M_B^C(f^{-1})=M_C^B(f)^{-1}$ (\propref{3_6_4}).
 \end{proof}
 
 \begin{conclusion}

2. Semester/LAAG 1+2 Semester/TeX_files/Lineare_Gleichungssysteme.tex

@@ -91,9 +91,9 @@ Sei $A\in \Mat_{m\times n}(K)$ und $b\in K^m$.
 	Für $i,j\in \{1,...,m\}$, $\lambda \in K^{\times}$ und $\mu\in K$ definieren wir 
 	$m\times m$-Matrizen, die sogenannten \begriff{Elementarmatrizen}:
 	\begin{itemize}
-		\item $S_i(\lambda):=1_m + (\lambda-1)E_{ii}$
-		\item $Q_{ij}(\mu):= 1_m + \mu E_{ij}$
-		\item $P_{ij}:= 1_m + E_{ij} + E_{ji} - E_{ii} - E_{jj}$
+		\item $S_i(\lambda):=\mathbbm{1}_m + (\lambda-1)E_{ii}$
+		\item $Q_{ij}(\mu):= \mathbbm{1}_m + \mu E_{ij}$
+		\item $P_{ij}:= \mathbbm{1}_m + E_{ij} + E_{ji} - E_{ii} - E_{jj}$
 	\end{itemize}
 \end{definition}
 
@@ -171,9 +171,9 @@ Sei $A\in \Mat_{m\times n}(K)$ und $b\in K^m$.
 	Es gibt von diesem Verfahren verschiedene Varianten und weitere Anwendungen: So kann man z.B. die Invertierbarkeit 
 	einer Matrix $A\in \Mat_n(K)$ prüfen und ggf. das Inverse bestimmen: Ist $E_l\cdot ... \cdot E_1\cdot A$ in Zeilenstufenform, so ist $A$ 
 	genau dann invertierbar, wenn alle Zeilen von Null verschieden sind. Ist dies der Fall, so ist $r=n$ und $k_i=i$ für alle $i$, 
-	und man findet weitere Elementarmatrizen $E_{l+1},...,E_s$ vom Typ I und II, für die $E_s\cdot ... \cdot E_1\cdot A=1_n$. Dann ist 
+	und man findet weitere Elementarmatrizen $E_{l+1},...,E_s$ vom Typ I und II, für die $E_s\cdot ... \cdot E_1\cdot A=\mathbbm{1}_n$. Dann ist 
 	$S'=E_s\cdot ... \cdot E_1\cdot A=A^{-1}$ (vgl. \propref{3_8_11}). Praktisch erhält man $A^{-1}$, indem man die Zeilenumformungen an $A$ parallel dazu 
-	auch an $1_n$ ausführt.
+	auch an $\mathbbm{1}_n$ ausführt.
 \end{remark}
 
 \begin{conclusion}

2. Semester/LAAG 1+2 Semester/TeX_files/Matrizen.tex

@@ -38,7 +38,7 @@ Sei $K$ ein Körper.
 		\item Die \begriff{Nullmatrix} ist $0=(0)_{i,j} \in \Mat_{m\times n}(K)$.
 		\item Für $k,l \in \{1,...,n\}$ ist die $(k,l)$-\begriff{Basismatrix} gegeben durch $E_{kl}=(\delta_{jk}\delta_{jl})\in 
 		\Mat_{m\times n}(K)$.
-		\item Die \begriff{Einheitsmatrix} ist $1_n=(\delta_{ii})\in \Mat_n(K)$.
+		\item Die \begriff{Einheitsmatrix} ist $\mathbbm{1}_n=(\delta_{ii})\in \Mat_n(K)$.
 		\item Für $a_i,...,a_n \in K$ definiert man eine \begriff{Diagonalmatrix} $\diag(a_1,...,a_n)=(\delta_{ij}\cdot a_i)$.
 		\item Für eine Permutation $\sigma\in S_n$ definiert man die \begriff{Permutationsmatrix} $P_\sigma := (\delta_{\sigma
 			(i),j})$.
@@ -175,7 +175,7 @@ Sei $K$ ein Körper.
 		\begin{pmatrix}d & -b\\-c & a\\\end{pmatrix}\in \Mat_2(K)\notag
 	\end{align}
 	Man prüft nach, dass $A\cdot \tilde A=\tilde A\cdot A=
-	(ad-bc)\cdot 1_2$. Definiert man nun $\det(A)=ad-bc$ so sieht man: Ist $\det(A)\neq 0$, so ist $A$ invertierbar mit 
+	(ad-bc)\cdot \mathbbm{1}_2$. Definiert man nun $\det(A)=ad-bc$ so sieht man: Ist $\det(A)\neq 0$, so ist $A$ invertierbar mit 
 	$A^{-1}=\det(A)^{-1}\cdot \tilde A$. Ist $\det(A)=0$ so $A$ ist Nullteiler und somit nicht invertierbar (\propref{1_4_13}). Mehr dazu in Kapitel IV.
 \end{example}
 
@@ -197,5 +197,5 @@ Sei $K$ ein Körper.
 	Für $A\in \GL_n(K)$ ist $A^t\in \GL_n(K)$ und $(A^{-1})^t = (A^t)^{-1}$
 \end{proposition}
 \begin{proof}
-	Aus $AA^{-1}=1$ folgt nach \propref{3_1_14}, dass $(A^{-1})^tA^t=1_n^t=1_n$. Somit ist $(A^{-1})^t$ das Inverse zu $A^t$.
+	Aus $AA^{-1}=1$ folgt nach \propref{3_1_14}, dass $(A^{-1})^tA^t=\mathbbm{1}_n^t=\mathbbm{1}_n$. Somit ist $(A^{-1})^t$ das Inverse zu $A^t$.
 \end{proof}

2. Semester/LAAG 1+2 Semester/TeX_files/Rang.tex

@@ -111,12 +111,12 @@ Seien $V,W$ zwei endlichdimensionale $K$-Vektorräume und $f\in \Hom_K(V,W)$.
 	\proplbl{3_8_11}
 	Für $A\in \Mat_n(K)$ sind äquivalent:
 	\begin{itemize}
-		\item $A\in \GL_n(K)$, d.h. es gibt $S\in \GL_n(K)$ mit $SA=AS=1_n$
+		\item $A\in \GL_n(K)$, d.h. es gibt $S\in \GL_n(K)$ mit $SA=AS=\mathbbm{1}_n$
 		\item $\rk(A)=n$
 		\item Die Spalten von $A$ sind linear unabhängig.
 		\item Die Zeilen von $A$ sind linear unabhängig.
-		\item Es gibt $S\in \GL_n(K)$ mit $SA=1_n$.
-		\item Es gibt $T\in \GL_n(K)$ mit $AT=1_n$.
+		\item Es gibt $S\in \GL_n(K)$ mit $SA=\mathbbm{1}_n$.
+		\item Es gibt $T\in \GL_n(K)$ mit $AT=\mathbbm{1}_n$.
 	\end{itemize}
 \end{conclusion}
 \begin{proof}

2. Semester/LAAG 1+2 Semester/Vorlesung LAAG.tex

@@ -15,6 +15,10 @@
 \usepackage{calc}
 \usepackage{xstring}
 \usepackage[bb=boondox]{mathalfa} %spezielle Null mit \mathbb{0}, sollte auch mit 1 klappen, aber dafür haben wir \mathbbm{1}
+\usepackage{bigdelim}
+\newcommand\undermat[2]{%
+	\makebox[0pt][l]{$\smash{\underbrace{\phantom{%
+					\begin{matrix}#2\end{matrix}}}_{\text{$#1$}}}$}#2}
 
 \usepackage{scalerel,stackengine}
 \usepackage{tocloft}

2. Semester/LAAG/Vorlesung LAAG.tex

@@ -15,6 +15,10 @@
 \usepackage{calc}
 \usepackage{xstring}
 \usepackage[bb=boondox]{mathalfa} %spezielle Null mit \mathbb{0}, sollte auch mit 1 klappen, aber dafür haben wir \mathbbm{1}
+\usepackage{bigdelim}
+\newcommand\undermat[2]{%
+	\makebox[0pt][l]{$\smash{\underbrace{\phantom{%
+					\begin{matrix}#2\end{matrix}}}_{\text{$#1$}}}$}#2}
 
 \usepackage{scalerel,stackengine}
 \usepackage{tocloft}

Material/Matrix_mit_Klammern_unten_und_links.tex

@@ -27,10 +27,10 @@ A_{k} &= \left.\left(
  	\ldelim({7}{*} &d_1 &&&&&& \rdelim){7}{*}& \\
  	&& \ddots &&&&&& \\
  	&& & d_r &&&&&\\ \cline{2-7}
- 	&&&& 0&&&& \rdelim\}{3}{*}[m-r] \\
+ 	&&&& 0&&&& \rdelim\}{3}{*}[$m-r$] \\
  	&&&&& \ddots&&& \\
  	&&&& \undermat{n-r}{&& 0&&}
- 	\end{array}
+ 	\end{array}\notag
 \end{align}