Das \lebesque-Maß wird in der Literatur vielfach nur für messbare Mengen definiert ($M\subset\mathbb{R}^n$) und die Erweiterung auf alle $M\subset\mathbb{R}^n$ wie in \eqref{messbarkeit_definition_lebesque_mass} wird dann als äußeres \lebesque-Maß bezeichnet.
\end{underlinedenvironment}
\begin{lemma}
\proplbl{messbarkeit_nur_offene_mengen}
Mann kann sich in \eqref{messbarkeit_definition_lebesque_mass} auf offene Mengen beschränken.
\end{lemma}
\begin{proof}
Fixiere $\epsilon > 0$. Sei $M\subset\bigcup_{j=1}^\infty Q_j$, $Q_j\in\mathcal{Q}$ und $\alpha :=\sum_{j=1}^\infty v(Q_j) < \vert M \vert+\epsilon$.
Wähle offene Quader $\tilde{Q_j}\in\mathcal{Q}$ mit $Q_j\subset\tilde{Q_j}$, $v(\tilde{Q}_j)< v(Q_j)+\frac{\epsilon}{\alpha}$\\
$\Rightarrow$$M\subset\bigcup_{j=1}^\infty\tilde{Q_j}$ und $\vert M \vert\le\sum_{j=1}^\infty v(\tilde{Q_j}) < \alpha+\epsilon < \vert M \vert+2\epsilon$.
Wegen $\epsilon > 0$ beliebig folgt die Behauptung.
\eqref{messbarkeit_satz_teilmenge_kleineres_mass_eq} folgt direkt aus \eqref{messbarkeit_definition_lebesque_mass} (Definition, das Infimum über eine größere Menge ist größer).
Für \eqref{messbarkeit_sigma_subadditiv_eq} fixiere $\epsilon > 0$. Dann \begin{align*}
Nach \eqref{messbarkeit_satz_teilmenge_kleineres_mass_eq} und \eqref{messbarkeit_sigma_subadditiv_eq} gilt:{\zeroAmsmathAlignVSpaces**\begin{align}
\proplbl{messbarkeit_m_gleich_m_ohne_nullmenge}
M\subset\mathbb{R}^n,\;\vert N \vert = 0 \;&\Rightarrow\;\vert M \vert = \vert M \setminus N\vert
\end{align}}
\begin{proof}\NoEndMark Dann $\vert M \setminus N\vert\overset{\eqref{messbarkeit_satz_teilmenge_kleineres_mass_eq}}{\le}\vert M \vert\overset{\eqref{messbarkeit_sigma_subadditiv_eq}}{\le}\underbrace{\vert M\cap N\vert}_{=0}+\vert M \setminus N\vert=\vert M \setminus N\vert$$\Rightarrow$ Behauptung.\hfill\csname\InTheoType Symbol\endcsname\end{proof}
$\vert$abzählbar viele Punkte$\vert=0$, folglich $\mathcal{L}^1(\mathbb{Q})=0$, $\mathcal{L}^1(\mathbb{N})=0$ (d.h. wir betrachten $\mathbb{Q}, \mathbb{N}$ als Teilmengen von $\mathbb{R}$, d.h. $n=1$)
\item$\vert M \vert=0$ falls $M\subsetneqq\mathbb{R}^n$ (echter affiner Unterraum)
\item$\vert\partial Q\vert=0$ für $Q\in\mathcal{Q}$
\item "`schöne"' Kurven im $\mathbb{R}^2$
"`schöne"' Kurven und Flächen im $\mathbb{R}^3$
\end{enumerate}
\end{example}
\begin{conclusion}
Es ist $v(q)=\vert Q\vert$$\forall Q\in\mathcal{Q}$
Damit im folgenden Stets $\vert Q\vert$ statt $v(Q)$
\end{conclusion}
\begin{proof}
Sei $Q\in\mathcal{Q}$. Da offenbar $v(Q)= v(\cl Q)$ und $\vert Q\vert=\vert\cl Q\vert$ können wir $Q$ als abgeschlossen annehmen.
Für ein fixiertes $\epsilon > 0$ existieren nach \propref{messbarkeit_nur_offene_mengen} offene $Q_j\in\mathcal{Q}$ mit \begin{alignat*}{3}
Da $Q$ kompakt ist, wird es durch endlich viele $Q_j$ überdeckt d.h. \gls{obda}$Q\subset\bigcup_{j=1}^\infty Q_j$. Mittels einer geeigneten Zerlegung der $Q_j$ folgt aus \eqref{messbarkeit_definition_volumen_eq}, dass $v(Q)\le\sum_{j=1}^\infty v(Q_j)$. Somit gilt: \begin{align*}
Eine Eigenschaft gilt \gls{fü} auf $M\subset\mathbb{R}^n$, falls eine Nullmenge existiert, sodass die Eigenschaft $\forall x\in M\setminus N$ gilt. Man sagt auch, dass die Eigenschaft für \gls{fa}$x\in M$ gilt.
Eine Menge $M\subset\mathbb{R}^n$ heißt \begriff{messbar}, falls \begin{align}
\vert\tilde{M}\vert = \vert\tilde{M}\cap M\vert + \vert\tilde{M}\setminus M\vert\quad\forall\tilde{M}\in\mathbb{R}\marginnote{"`Sie können sich keine Menge vorstellen, die nicht messbar ist."' (Hr. Schönherr, 2014)}
\end{align}
Man beachte, dass nach \eqref{messbarkeit_sigma_subadditiv_eq} stets \begin{align}
Eine Menge von Teilmengen $\mu\subset X$ (hier $X=\mathbb{R}^n$) mit den Eigenschaften \cref{messbarkeit_satz_sigma_algebra_eins,messbarkeit_satz_sigma_algebra_zwei,messbarkeit_satz_sigma_algebra_drei} heißt \begriff{$\sigma$-algebra}
\item[\ref{messbarkeit_satz_sigma_algebra_eins}] wegen $\vert\emptyset\vert=0$ und \eqref{messbarkeit_m_gleich_m_ohne_nullmenge}: $\vert\tilde{M}\vert\le\vert\tilde{M}\setminus\emptyset\vert=\vert\tilde{M}\vert$
\item[\ref{messbarkeit_satz_sigma_algebra_zwei}] wegen $\tilde{M}\cap M =\tilde{M}\setminus M^C$, $\tilde{M}\setminus M =\tilde{M}\cap M^C$$\Rightarrow$ Behauptung
\item Folglich sind die $M_j$ nicht paarweise disjunkt, ersetze $M_j$ durch $\underbrace{A_j \setminus A_{j-1}}_{=M_j'}$ und argumentiere wie oben (da $\bigcup_{k=1}^\infty M_k =\bigcup_{k=1}^\infty M_k^C$$\Rightarrow$$\bigcup_{k=1}^\infty M_k$ messbar, $\bigcap$ analog).
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{proof}
\begin{proposition}
\proplbl{messbarkeit_mengen_ober_unter_mengen}
Seien $M_1$, $M_2$, $\dotsc\subset\mathbb{R}^n$ messbar. Dann \begin{enumerate}[label={(\alph*)}]
\item$A:=\bigcap_{k=1}^\infty M_k$. Wegen $\vert M_1\setminus M_k\vert=\vert M_1\vert-\vert M_k\vert$ nach \eqref{messbarkeit_sigma_subadditiv_eq} hat man \begin{alignat*}{5}
&\vert M_1\vert&\;\overset{\eqref{messbarkeit_sigma_subadditiv_eq}}{\le}\;&\vert A \vert + \vert M_1 \setminus A\vert&\;=\;&\vert A \vert + \left\vert\bigcup_{k=1}^\infty M_1 \setminus M_k\right\vert\\&&\overset{\ref{messbarkeit_teilmengen_grenzwert_gleich_mass_vereinigung}}{=}\;&\vert A \vert + \lim\limits_{k\to\infty}\vert M_1 \setminus M_k\vert&=\;&\vert A \vert + \vert M_1\vert - \lim\limits_{k\to\infty}\vert M_k\vert\\
Subtraktion von $\vert M_1\vert$ liefert die Behauptung.
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{proposition}
\proplbl{messbarkeit_mengen_satz_acht}
Es gilt: \begin{enumerate}[label={(\alph*)}]
\item alle Quader sind Messbar ($Q\in\mathcal{Q}$)
\item Offene und abgeschlossene $M\subset\mathbb{R}^n$ sind messbar
\item alle Nullmengen sind messbar
\item Sei $M\subset\mathbb{R}^n$ messbar, $M_0\subset\mathbb{R}^n$, beide Mengen unterscheiden sich voneinander nur um eine Nullmenge, d.h. $\vert(M\setminus M_0)\cup(M_0\setminus M)\vert=0$\\
Aus \eqref{messbarkeit_definition_volumen_eq} folgert man $\vert Q_j\vert=\vert Q_j\cap Q\vert+\vert Q_j\setminus Q\vert$, da man $Q_j\setminus Q$ in endlich viele disjunkte Quader zerlegen kann.
Da $\epsilon$ beliebig, $\vert\tilde{M}\vert\ge\vert\tilde{M}\cap Q\vert+\vert\tilde{M}\setminus Q\vert$ und \eqref{messbarkeit_definition_messbar_folgerung}, ergibt sich die Behauptung.
\item Sei $M\subset\mathbb{R}^n$ offen. Betrachte die Folge $\{x_n\}_{k=1}^\infty$ aller rationale Punkte in $M$ und $w_k\subset M$ sei jeweils der größte offene Würfel mit dem Mittelpunkt $x_k$ und Kantenlänge $\le1$.
Dann $M =\bigcup_{k=1}^\infty w_k$, denn für jedes $x\in M$ ist $B_{\epsilon}(x)\subset M$ für ein $\epsilon > 0$ und somit ist $x\in w_k$ für ein $x_k$ nahe genug bei $x$. Folglich ist $M$ messbar nach \propref{messbarkeit_satz_grundlegende_messbare_mengen}.
Für $M\subset\mathbb{R}^n$ abgeschlossen ist das Komplement $\mathbb{R}^n\setminus M$ offen und somit messbar. Damit ist $M=\mathbb{R}^n\setminus(\mathbb{R}^n\setminus M)$ messbar.
\item Für eine Nullmenge $N$, $\tilde{M}\subset\mathbb{R}^n$ ist $\vert\tilde{M}\vert\overset{\eqref{messbarkeit_sigma_subadditiv_eq}}{\le}\vert\tilde{M}\cap N\vert+\vert\tilde{M}\setminus N\vert\overset{\eqref{messbarkeit_satz_teilmenge_kleineres_mass_eq}}{\le}\vert N \vert+\vert\tilde{M}\setminus N\vert\overset{\eqref{messbarkeit_m_gleich_m_ohne_nullmenge}}{=}\vert\tilde{M}\vert$
\item Mit den Nullmengen $N_1 := M\setminus M_0$, $N_2= M_0\setminus M$ gilt $M_0=(M\setminus N_1)\cup N_2$. Da $M\setminus N_1$ messbar ist, erhält man für beliebiges $\tilde{M}\subset\mathbb{R}^n$
Mit \eqref{messbarkeit_definition_messbar_folgerung} folgt dann, dass $M_0$ messbar ist.
\end{enumerate}
\end{proof}
\subsection{Messbare Funktionen}
Wir führen nun eine für die Integrationstheorie grundlegende Klasse von Funktionen ein. Dabei erlauben wir $\pm\infty$ als Funktionswerte und benutzen die Bezeichnung \begin{align*}
$U\subset\overline{\mathbb{R}}$\emph{offen}, falls für jedes $x\in U$ ein $\epsilon > 0$ existiert, sodass $B_\epsilon\subset U$. Damit sind inbsesondere die offenen Mengen aus $\mathbb{R}$ auch offen in $\overline{\mathbb{R}}$ und die offenen Mengen in $\overline{\mathbb{R}}$ bilden eine Topologie. \marginnote{vgl. Kap. 8}
Eine Funktion $f:D\subset\mathbb{R}\to\overline{\mathbb{R}}$ heißt \begriff{messbar}, falls $D$ messbar ist und $f^{-1}(U)$ für jede offene Menge $U\subset\overline{\mathbb{R}}$ messbar ist.
\end{*definition}
\begin{conclusion}
Sei $f:D\subset\mathbb{R}\to\overline{\mathbb{R}}$ mit $D$ messbar. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:\begin{enumerate}[label={(\alph*)}]
f^{-1}\left([-\infty, a)\right) &= \bigcup_{k=1}^\infty f^{-1}\left( \left[ -\infty, a - \frac{1}{k}\right]\right)
\end{align*}
die Äquivalenz von \ref{messbarkeit_funktionen_satz_neun_zwei} und \ref{messbarkeit_funktionen_satz_neun_drei}.
Offenbar ist \ref{messbarkeit_funktionen_satz_neun_eins}$\Rightarrow$\ref{messbarkeit_funktionen_satz_neun_zwei}$\Leftrightarrow$\ref{messbarkeit_funktionen_satz_neun_drei}.
messbar und offensichtlich $f^{-1}\big((a,\infty]\big)$ ebenfalls.
Da jede offene Menge $U\subset\overline{\mathbb{R}}$ die abzählbare Vereinigung von Mengen der Form $(a,b)$, $[-\infty, a)$, $(a,]$ mit $a,b\in\mathbb{Q}$ ist, folgt die Messbarkeit von $f^{-1}(U)$ und somit \ref{messbarkeit_funktionen_satz_neun_eins}.
\end{proof}
\begin{underlinedenvironment}[Hinweis]
Wir werden sehen, dass die Menge aller messbaren Funktionen die Menge der stetigen Funktionen enthält, aber auch noch viele Weitere.
Eine Funktion $h:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ heißt \begriff{Treppenfunktion}, falls es $M_1, \dotsc, M_k\subset\mathbb{R}^n$ und $c_1,\dotsc,c_k\in\mathbb{R}$ gibt mit \begin{align}
Die Menge der Treppenfunktionen \mathsymbol{T}{$T(\mathbb{R})$} ist mit der üblichen Addition und skalarer Multiplikation für Funktionen ein Vektorraum.
Man beachte, dass die Darstellung in \eqref{messbarkeit_definition_treppenfunktion_eq}, d.h. die Wahl der $\mu_j$ und $c_j = a_j$ nicht eindeutig ist. Insbesondere kann man $\mu_j$ stets paarweise disjunkt wählen.
\end{*definition}
Man sieht leicht
\begin{conclusion}
\ \\
\begin{tabularx}{\linewidth}{X@{\ }c@{\ }X}
\hfill Die Treppenfunktion $h\in T(\mathbb{R}^n)$ ist messbar &$\Leftrightarrow$& es gibt mindestens eine Darstellung \eqref{messbarkeit_definition_treppenfunktion_eq}, bei der alle $\mu_j$ messbar sind.
Für $f:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ definieren wir die \begriff{Nullfortsetzung}$\overline{f}:\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ durch \begin{align}
\overline{f}(x) &:= \begin{cases}
f(x), &x\in D\\ 0,&x\in\mathbb{R}^n\setminus D
\end{cases}
\end{align}
\end{*definition}
\begin{proposition}
\proplbl{messbarkeit_funktion_nullfortsetzung}
Es gilt:\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
\item Sei $f:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ messbar. Dann ist auch die Nullfortsetzung $\overline{f}:\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ messbar
\item Sei $f:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ messbar und $D'\subset D$ messbar. Dann ist $f$ auf $D'$ messbar, d.h. insbesondere $\left. f\right|_{D'}$ ist messbar.
\item Seien $f,g:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$. Sei $f$ messbar und $f=g$\gls{fü} auf $D$. Dann ist $g$ messbar.
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{example}
Die \person{Dirichlet}-Funktion ist auf $\mathbb{R}$ messbar.
$h=0$ ist messbare Treppenfunktion auf $\mathbb{R}$ und stimmt mit der \person{Dirichlet}-Funktion \gls{fü} überein.
\item Für ein offenes $U\subset\overline{\mathbb{R}}$ ist $\overline{f}^{-1}(U)= f^{-1}(U)$ falls $0\notin U$ und andernfalls $\overline{f}^{-1}(U)= f^{-1}(U)\cup(\mathbb{R}^n\setminus D)$.
\item Für offenes $U\subset\overline{\mathbb{R}}$ ist $\left(\left. f\right|_{D'}\right)^{-1}(U)= f^{-1}(U)\cap D$.
\item Für $U\subset\overline{R}$ offen: $f^{-1}(U)$ ist messbar und $g^{-1}(U)$ unterscheidet sich von $f^{-1}(U)$ nur um eine Nullmenge. Somit ist $g^{-1}(U)$ nach \propref{messbarkeit_mengen_satz_acht} messbar.
In \ref{messbarkeit_funktion_zusammensetzung_addition_eins} nur Funktionen mit Wertein in $\mathbb{R}$, nicht $\overline{\mathbb{R}}$, sonst ist die zusammengesetzte Funktion eventuell nicht erklärt.
\item Aus der Messbarkeit der Niveaumengen $\{ f > 0\}$, $\{ f < 0\}$ folgt die Messbarkeit von $f^{\pm}= f\chi_{\{ f \substack{>\\<}0\}}$, $\vert f\vert= f^{+}+ f^{-}$, $\max(f,g)=(f - g)^++ g$, $\min(f,g)=-(f\cdot g)^-+ g$\\
da $h_{k-1}^\pm$ messbar ist, ist $M_k^{\pm}=\left( f^{\pm}-\frac{1}{k}- h_{k-1}^\pm\right)([0,\infty])$ messbar und
$h_k^{\pm}$ ist Treppenfunktion; $f^{\pm}\ge h_k^{\pm}$ auf $D$.
\begin{itemize}
\item Falls $f^\pm(x)=\infty$, dann $x\in M_k^\pm$$\forall k\in\mathbb{N}$ und $h_k^\pm(x)\to f^{\pm}(x)$
\item Falls $0\le f^{\pm}(x) < \infty$, dann gilt für unendlich viele $k\in\mathbb{N}$: $x\notin M_k^\pm$, somit $0\le f^{\pm}(x)- h_{k-1}^\pm < \frac{1}{k}$
Sei $f:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ messbar mit $f\ge0$
$\Rightarrow$$\exists$ Folge $\{h_k\}$ von Treppenfunktionen mit $0\le h_1\le h_2\le\dotsc\le f$ auf $D$ und $h_k\to f$\gls{fü} auf $D$.
\end{conclusion}
\begin{proposition}
\proplbl{messbarkeit_funktion_funktion_messbar}
Sei $f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ und $D$ messbar, $N\subset\mathbb{R}^n$ mit $\vert N \vert=0$ und $f$ stetig auf $D\subset N$
$\Rightarrow$$f$ messbar auf $D$
\end{proposition}
\begin{proof}
\NoEndMark
Offenbar $\tilde{D}= D\setminus N$ messbar. Da $f$ stetig auf $\tilde{D}$ ist, ist $f^{-1}(U)\setminus N$ offen in $\tilde{D}$ für $U\subset\mathbb{R}$ offen, d.h. $f^{-1}(U)\setminus N = M\cap\tilde{D}$ für ein $M\subset\mathbb{R}^n$ offen.
\item Stetige Funktionen auf offenen und abgeschlossenen Mengen (wähle $N=\emptyset$ im obigen Satz), insbesondere konstante Funktionen sind messbar
\item Funktionen auf offenen und abgeschlossenen Mengen, die \gls{fü} mit einer stetigen Funktion übereinstimmen
\item$\tan$, $\cot$ auf $\mathbb{R}$ (setzte z.b. $\tan\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)=\cot(k\pi)=0$$\forall k$)
\item$x\to\sin\frac{1}{x}$ auf $[-1,1]$ (setzte beliebigen Wert in $x=0$)
\item$\chi_M:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ist für $\vert\partial M\vert=0$ messbar auf $\mathbb{R}$ (dann ist $\chi$ auf $\inn M$, $\ext M$ stetig)
\end{itemize}
\end{example}
\begin{underlinedenvironment}[Hinweis]
Die \person{Dirichlet}-Funktion ist stetig auf $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ und somit nach \propref{messbarkeit_funktion_funktion_messbar} messbar. Man beachte aber, das dies nicht bedeutet, dass die \person{Dirichlet}-Funktion auf $\mathbb{R}$\gls{fü} stetig ist! (sie ist nirgends stetig auf $\mathbb{R}$)
\end{underlinedenvironment}
\begin{lemma}[Egorov]
\proplbl{messbarkeit_funktion_egorov}
Seien $f_k:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ messbar $\forall k\in\mathbb{N}$. Sei $A\subset D$ messbar mit $\vert A \vert < \infty$ und gelte $f_k(x)\to f(x)$ für \gls{fa}$x\in A$
$\Rightarrow$$\forall\epsilon > 0$ existieren messbare Menge $B\subset A$ mit $\vert A \setminus B \vert < \epsilon$ und $f_k \to f$ gleichmäßig auf $B$.
sind messbar mit $M_{m,1}\supset M_{m,2}\supset\dotsc$$\forall m\in\mathbb{N}$.
Wegen $f_k(x)\to f(x)$$\forall x\in A\setminus N$ für eine Nullmenge $N$ folgt $\bigcap_{l\in\mathbb{N}} M_{m,l}\subset N$ und $\vert\bigcap_{l\in\mathbb{N}} M_{m,l}\vert=0$$\forall m\in\mathbb{N}$\\
Mit $M:=\bigcup_{m\in\mathbb{N}} M_{m,l_m}$ und $B:= A\setminus M$ folgt \begin{align*}
\vert A \setminus B \vert&= \vert M \vert\le\sum_{m=1}^\infty\vert M_{m,l_m}\vert\le\underbrace{\sum_{m=1}^\infty\frac{\epsilon}{2^m}}_{\mathclap{\frac{1}{2^m}\text{ ist geometrische Reihe}}} = \epsilon
\end{align*}
\item Weiterhin hat man $\forall m\in\mathbb{N}$\begin{align*}
