hiro/TUD_MATH_BA
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vale981 2018-05-16 15:24:46 +02:00 • committed by GitHub
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2. Semester/ANAG/TeX_files/Messbarkeit.tex
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@ -465,7 +465,7 @@ Bei punktweiser Konvergenz $f_k(x)\to f(x)$ für \gls{fa} $x\in D$ schreibt man
\item Falls $g\neq 0$ auf $D$ ist für $a\ge 0$ \begin{align*}
\left( \frac{1}{g}\right)^{-1} ([-\infty, -a)) &= g^{-1}\left( \left( -\frac{1}{a}, 0\right)\right) & \left( \frac{1}{g}\right)^{-1} ([a,\infty]) &= g^{-1} \left( \left( 0,\frac{1}{a}\right) \right)
\end{align*}
und mit $\left( \frac{1}{g}\right)^{-1}([-\infty,0)) = g^{-1}([\infty, 0))$ folgt $\frac{1}{g}$ messbar \\
und mit $\left( \frac{1}{g}\right)^{-1}([-\infty,0)) = g^{-1}([-\infty, 0))$ folgt $\frac{1}{g}$ messbar \\
$\Rightarrow$ Produkt $f\cdot \frac{1}{g} = \frac{f}{g}$ messbar
\item Aus der Messbarkeit der Niveaumengen $\{ f > 0\}$, $\{ f < 0\}$ folgt die Messbarkeit von $f^{\pm} = f\chi_{\{ f \substack{>\\<}0\}}$, $\vert f\vert = f^{+} + f^{-}$, $\max(f,g) = (f - g)^+ + g$, $\min(f,g) = -(f\cdot g)^- + g$ \\