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\section{Satz von \person{Fubini} und Mehrfachintegrale} \setcounter{equation}{0}
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\begin{underlinedenvironment}[Ziel]
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Reduktion der Berechnung von Integralen auf $\mathbb{R}^n$ $\int_{\mathbb{R}^n} f \D x$ auf Integrale über $\mathbb{R}$.
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\end{underlinedenvironment}
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Betrachte Integrale auf $X\times Y$ mit $X=\mathbb{R}^p$, $Y=\mathbb{R}^q$, $(x,y)\in X\times Y$. $\vert M \vert_X$ Maß auf $X$, $\mathcal{Q}_X$ Quader in $X$ usw.
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\begin{theorem}[\person{Fubini}]
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\proplbl{fubini_fubini}
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Sei $f:X\times Y\to\mathbb{R}$ integrierbar auf $X\times Y$. Dann \begin{enumerate}[label={\alph*)}]
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\item Für Nullmenge $N\subset Y$ ist $x\to f(x,y)$ integrierbar auf $X$ $\forall y\in Y\setminus N$
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\item Jedes $F:Y\to\mathbb{R}$ mit $F(y) := \int_X f(x,y) \D x$ $\forall y\in Y\setminus N$ ist integrierbar auf $Y$ und \begin{align}
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\proplbl{fubini_fubini_eq}
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\int_{X\times Y} f(x,y) \D(x,y) &= \int_Y F(y) \D y = \int_Y \left( \int_X f(x,y) \D x \right) \D y
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\end{align}
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\end{enumerate}
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\end{theorem}
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\begin{*definition}
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Rechte Seite in \eqref{fubini_fubini_eq} heißt \begriff{iteriertes Integral} bzw. \begriff{Mehrfachintegral}.
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\end{*definition}
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\begin{remark}
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Analoge Aussage gilt bei Vertauschungen von $X$ und $Y$ mit \begin{align}
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\proplbl{fubini_fubini_eq_2}
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\int_{X\times Y} f(x,y) \D (x,y) = \int_X \int_Y f(x,y) \D y \D x
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\end{align}
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\propref{fubini_fubini} mit $f=\chi_{N}$ für Nullmenge $N\subset X\times Y$ liefert Beschreibung von Nullmengen in $X\times Y$.
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\end{remark}
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\begin{conclusion}
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\proplbl{fubini_folgerung_nullmenge}
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Sei $N\subset X\times Y$ Nullmenge und $N_Y := \{ x\in X \mid (x,y) \in N \}$ \\
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$\Rightarrow$ $\exists$ Nullmenge $\tilde{N}\subset Y$ mit $\vert N_Y\vert_X = 0$ $\forall y\in Y\setminus \tilde{N}$
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\begin{underlinedenvironment}[Hinweis]
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$\tilde{N}\neq \emptyset$ tritt z.B. auch auf für $N=\mathbb{R}\times \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\times\mathbb{R}$ ($\tilde{N} = \mathbb{Q}$)
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\end{underlinedenvironment}
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||||
\end{conclusion}
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\begin{proof}[\propref{fubini_fubini}, \propref{fubini_folgerung_nullmenge}]\hspace*{0pt}
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\begin{enumerate}[label={\alph*)},topsep=\dimexpr-\baselineskip/2\relax]
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\item \proplbl{fubini_fubini_beweis_teil_a}
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Zeige: \propref{fubini_fubini} gilt für $f=\chi_M$ mit $M\subset X\times Y$ messbar, $\vert M \vert _{X\times Y} < \infty$
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\begin{itemize}
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\item $\exists Q_{k_j}\in \mathcal{Q}_{X\times Y}$, paarweise disjunkt für festes $k$ mit $M\subset\bigcup_{j\in\mathbb{N}} Q_ {k_j} =: R_k$ \begin{align}
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\proplbl{fubini_fubini_beweis_3}
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||||
\vert M \vert &\le \sum_{j=1}^\infty \vert Q_{k_j}\vert \le \vert M \vert + \frac{1}{k}, R_{k+1}\subset R_k
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\end{align}
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||||
\item Wähle $Q_{k_j}' \in \mathcal{Q}_X$, $Q_{k_j}''\in \mathcal{Q}_Y$ mit $Q_{k_j} = Q_{k_j}'\times Q_{k_j}''$ $\forall k,j\in\mathbb{N}$
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||||
\item Mit $M_Y := \{ x\in X \mid (x,y)\in M \}$ gilt: \begin{align}
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\proplbl{fubini_fubini_beweis_4}
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||||
\vert M_Y\vert _X &\le \sum_{j=1}^\infty \vert Q_{k_j}' \vert_X \cdot \chi_{Q_{k_j}''}(y) =: \psi_k(y) \in [0,\infty]\quad\forall y\in Y
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\end{align}
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||||
\item Für festes $k$ ist $y\to \psi_{k_l}(y) := \sum_{j=1}^l \vert Q_{k_j}'\vert_X \cdot \chi_{Q_{k_j}}(y)$ monoton wachense Folge und Treppenfuntion in $T^1(Y)$ mit $\psi_k(y) = \lim\limits_{l\to\infty} \psi_{k_l} (y)$ \\
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||||
\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
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||||
$\Rightarrow$ & $\displaystyle\int_Y \psi_{k_l}(y) \D y = \sum_{j=1}^l \vert Q_{k_j}'\vert_X \cdot \vert Q_{k_j}''\vert_Y = \sum_{j=1}^l \vert Q_{k_j}\vert_{X\times Y} \overset{\eqref{fubini_fubini_beweis_3}}{\le} \vert M \vert + \frac{1}{k}$
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\end{tabularx}
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||||
\item Nach \propref{integral_funktion_lemma_majorante} ist $\{ \psi_{k_l}\}_l$ $L^1$-CF zu $\psi_k$ und $\psi_k$ ist integrierbar auf $Y$ mit \begin{align}
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\proplbl{fubini_fubini_beweis_5}
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||||
\vert M \vert \overset{\eqref{fubini_fubini_beweis_3}}{\le}\int_Y \psi_k \D y &= \sum_{j=1}^\infty \vert Q_{k_j}\vert _{X\times Y} \overset{\eqref{fubini_fubini_beweis_3}}{\le} \vert M \vert + \frac{1}{k}
|
||||
\end{align}
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||||
\item Da $\{ \psi_k \}$ monoton fallend (wegen $R_{k+1}\subset R_k$), existiert $\psi(y) = \lim\limits_{k\to\infty} \psi_k(y) \ge 0$ $\forall y\in Y$.
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||||
\item Grenzwert \eqref{fubini_fubini_beweis_5} mittels majorisierter Konvergenz liefert \begin{align}
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\proplbl{fubini_fubini_beweis_6}
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\vert M \vert = \int_Y \psi \D y
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\end{align}
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\item Falls $\vert M \vert = 0$, folgt $\psi(y) = 0$ \gls{fü} auf $Y$ \\ \begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
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$\Rightarrow$ & \propref{fubini_folgerung_nullmenge} bewiesen.
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\end{tabularx}
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\end{itemize}
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\vspace*{\dimexpr-\baselineskip/2}
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\rule{0.5\linewidth}{0.1pt}
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\begin{itemize}
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\item $\{ \chi_{R_k}\}$ monoton fallend mit $\psi_{R_k}\to\chi_M$ \gls{fü} auf $X\times Y$ und $\chi_{R_k}$ integrierbar auf $X\times Y$ \\
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||||
\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
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||||
$\Rightarrow$ & $\{ \chi_{R_k}\}$ ist $L^1$-CF zu $\chi_M$ und \[\int_{X\times Y} \psi_{R_k} \D (x,y) \to \int_{X\times Y} \chi_M \D (x,y).\]
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\end{tabularx}
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||||
\item Nach \propref{fubini_folgerung_nullmenge} existiert Nullmenge $\tilde{N}\subset Y$ mit $\chi_{R_k}(\,\cdot\, , y)\to \chi_M(\,\cdot \, , y)$ \gls{fü} auf $X$ $\forall y\in Y\setminus\tilde{N}$ \\
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\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
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||||
$\xRightarrow{\eqref{fubini_fubini_beweis_3},\eqref{fubini_fubini_beweis_4}}$ & $\chi_{R_k} (\,\cdot\, , y)$ integrierbar auf $X$ $\forall k\in \mathbb{N}$, $y\in Y\setminus\tilde{N}$ \\
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$\xRightarrow[\text{Konvergenz}]{\text{majorisierte}}$ & $\chi_M(\,\cdot\, ,y)$ integrierbar auf $X$ $\forall y\in Y\setminus\tilde{N}$ mit
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\[\psi(y) = \int_X \chi_{R_k}(x,y)\D x \to \int_X \chi_M (x,y) \D y\] für \gls{fa} $y\in Y$ \\
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||||
$\xRightarrow{\eqref{fubini_fubini_beweis_6}}$& $\displaystyle \int_{X\times Y} \chi_M (x,y) \D (x,y) = \vert M \vert = \int_Y \left( \int_X \chi_m (x,y) \D x\right) \D y$
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||||
\end{tabularx}
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||||
\item D.h. Behauptung für $f=\chi_M$ \\ \begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
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$\xRightarrow[\text{des Integrals}]{\text{Linearität}}$ & Behauptung richtig für alle Treppenfunktionen
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\end{tabularx}
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\end{itemize}
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\item Sei $f\ge 0$ integrierbar auf $X\times Y$
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Wähle zu $f$ monotone Folge von Treppenfunktionen $\{ h_k\}$ gemäß \propref{messbarkeit_funktion_existenz_monotone_treppenfunktionen} \\ \begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
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||||
$\Rightarrow$ & $\displaystyle \int_{X\times Y} h_k(x,y) \D (x,y) \overset{\text{a)}}{=} \int_Y \left( \int_X h_k \D x\right) \D y$
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\end{tabularx}
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Analog zu \ref{fubini_fubini_beweis_teil_a} folgt: $h_k(\,\cdot\, , y)\to f(\,\cdot\,,y)$ \gls{fü} auf $X$ für \gls{fa} $y\in Y$ \\ \begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
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$\xRightarrow[\text{Konvergenz}]{\text{Majorisierte}}$ & Behauptung für $f$.
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\end{tabularx}
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Allgemein: Zerlege $f = -f^- + f^+$ und argumentiere für $f^\pm$ separat.
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\end{enumerate}
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\end{proof}
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\begin{proposition}[Satz von \person{Tonelli}]
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\proplbl{fubini_tonelli}
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Sei $f:X\times Y\to\mathbb{R}$ messbar. Dann \begin{align}
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\proplbl{fubini_tonelli_eq}
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\text{$f$ integrierbar} \;\;\Leftrightarrow\;\; \int_Y \left( \int_X \vert f(x,y)\vert \D x\right) \D y \quad\text{oder}\quad\int_X \left(\int_Y \vert f(x,y)\vert \D y \right) \D x
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||||
\end{align}
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existiert.
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\end{proposition}
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\begin{remark}\vspace*{0pt}
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\begin{enumerate}[label={\alph*)},topsep=\dimexpr -\baselineskip/2\relax]
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\item Falls eines der iterierten Integrale \eqref{fubini_tonelli_eq} mit $\vert f\vert$ existieren, dann gelte \eqref{fubini_fubini_eq}, \eqref{fubini_fubini_eq_2}
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\item Existiert z.B. $\int_Y \left( \int_X \vert f \vert \D x \right) \D y$ heißt dies: $\exists$ Nullmenge $\tilde{N}\subset Y$ mit \[F(y) := \int_X \vert f(x,y)\vert \D x\quad\forall y\in Y\setminus \tilde{N}\] und mit $F(y) := 0$ $\forall y\in \tilde{N}$ ist $F$ integrierbar auf $Y$
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\end{enumerate}
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\end{remark}
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\begin{proof}\hspace*{0pt}
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\NoEndMark
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\begin{itemize}
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\item["`$\Rightarrow$"'] Mit $f$ auch $\vert f \vert$ integrierbar und die Behauptung folgt aus \propref{fubini_fubini}
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\item["`$\Leftarrow$"'] Sei $W_k := (-k,k)^{p+q}\subset X\times Y$ Würfel, $f_k := \in \{ \vert f \vert, k\cdot \chi_{W_k} \}$ \\
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\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
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||||
$\Rightarrow$ & $f$ ist integrierbar auf $X\times Y$
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\end{tabularx}
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Offenbar sind die $\{ f_k \}$ wachsend, $f_k\to \vert f \vert$ \gls{fü} auf $X\times Y$. Falls oberes Integral in \eqref{fubini_tonelli_eq} existiert, gilt \begin{align*}
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||||
\int_{X\times Y} f(x,y) \D(x,y) \overset{\text{Fubini}}{=} \int_Y \left( \int_X f_k \D x\right) \D y \le \int_Y \left( \int_X \vert f \vert \D x \right)\D y < \infty
|
||||
\end{align*}
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\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
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$\Rightarrow$ & $\{\int_{X\times Y} f_k \D (x,y)\}$ beschränkte Folge \\
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||||
$\xRightarrow[\text{Konvergenz}]{\text{Majorisierte}}$ & $\vert f \vert$ integrierbar $\xRightarrow{\text{\cref{integral_funktion_eigenschaften}}}$ $f$ integrierbar $\Rightarrow$ Behauptung \hfill\csname\InTheoType Symbol\endcsname
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\end{tabularx}
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\end{itemize}
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\end{proof}
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\begin{conclusion}
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\proplbl{fubini_tonelli_folgerung}
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Sei $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ integrierbar auf $\mathbb{R}^n$, $x = (x_1, \dotsc, x_n)\in\mathbb{R}^n$ \\
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\begin{flalign}
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||||
\proplbl{fubini_tonelli_folgerung_eq}
|
||||
\Rightarrow\;\;\int_{\mathbb{R}^n} f(x) \D x = \int_\mathbb{R} \dotsc \left( \int_\mathbb{R} f(x_1, \dotsc, x_n) \D x_1 \right) \dotsc \D x_n
|
||||
\end{flalign}
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\end{conclusion}
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\begin{proof}
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Mehrfachanwendung von \propref{fubini_fubini}
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\end{proof}
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\begin{remark}\vspace*{0pt}
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\begin{enumerate}[label={\arabic*)},topsep=\dimexpr -\baselineskip / 2\relax]
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\item Die Reihenfolge der Integration in \eqref{fubini_tonelli_folgerung_eq} ist beliebig
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\item Integrale reduzieren die Integration auf reelle Integrale über $\mathbb{R}$
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\item Für $\int_M f \D x$ ist $(\chi_M f)$ gemäß \eqref{fubini_tonelli_folgerung_eq} zu integrieren, wo ggf. $\int_{\mathbb{R}}\dotsc$ durch $\int_a^b\dotsc$ mit geeigneten Grenzen ersetzt wird.
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{remark}
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||||
\begin{example}
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||||
Sei $f:M\subset\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ stetig, $M=[a,b]\times[c,d]$ \\ \begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
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||||
$\Rightarrow$ & $f$ messbar, beschränkt auf $M$ \\
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||||
$\Rightarrow$ & $f$ integrierbar auf $M$ \\
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||||
$\Rightarrow$ & $\chi_M f$ ist integrierbar auf $\mathbb{R}^2$
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||||
\end{tabularx}
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||||
\zeroAmsmathAlignVSpaces*
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||||
\begin{flalign*}
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||||
\;\; & \begin{aligned} \Rightarrow\;\; \int_M f \D x &= \int_{\mathbb{R}^2} \chi_M f \D x = \int_{\mathbb{R}}\int_\mathbb{R} \chi_M (x_1, x_2) f(x_1, x_2) \D x_1 \D x_2 \\
|
||||
&= \int_\mathbb{R} \int_a^b \chi_{[c,d]} (x_2) f(x_1, x_2) \D x_1 \D x_2 = \int_c^d \int_a^b f(x_1, x_2) \D x_1 \D x_2\end{aligned} &
|
||||
\end{flalign*}
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||||
|
||||
Z.B. $f(x_1, x_2) = x_1\cdot \sin x_2$, $M=[0,1]\times [0,\pi]$
|
||||
\zeroAmsmathAlignVSpaces*
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||||
\begin{flalign*}
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||||
\;\;& \begin{aligned}\Rightarrow\;\; \int_M f \D x &= \int_0^\pi \int_0^1 x_1 \sin x_2 \D x_1 \D x_2 = \int_0^\pi \left[ \frac{1}{2} x_1^2 \sin x_2 \right]_0^1 \D x_2 \\
|
||||
&= \int_0^\pi \frac{1}{2}\sin x_2 \D x_2 = \left[ - \frac{1}{2} \cos x_2 \right]_0^\pi = 1
|
||||
\end{aligned} &
|
||||
\end{flalign*}
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
Sei $f:M\subset\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ stetig, $M=\{ (x,y) \mid x^2 + y^2 = 1\}$ \\
|
||||
\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
|
||||
$\Rightarrow$ & $\chi_M f$ integrierbar auf $\mathbb{R}^2$ \\
|
||||
$\Rightarrow$ & $\displaystyle \int_M f \D (x,y) = \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}} \chi_M f \D y \D x = \int_{-1}^1 \int_{\sqrt{1 - x^2}}^{\sqrt{1 - x^2}} f(x,y) \D y \D x$
|
||||
\end{tabularx}
|
||||
|
||||
Z.B. $f(x,y) = \vert y \vert$
|
||||
\zeroAmsmathAlignVSpaces*
|
||||
\begin{flalign*}
|
||||
\;\;& \begin{aligned} \Rightarrow\;\; \int_M \vert y \vert \D (x,y) &= 2 \int_{-1}^1 \int_0^{\sqrt{1 - x^2}} y \D y \D x = 2 \int_{-1}^1 \left[ \frac{1}{2} y^2 \right]_0^{\sqrt{1 - x^2}} \D x \\
|
||||
&= 2 \int_{-1}^1 \frac{1}{2} (1 - x^2) \D x = \left[ x - \frac{1}{3}x^3 \right]_{-1}^1 = \frac{4}{3}\end{aligned} &
|
||||
\end{flalign*}
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
Sei $f:M\subset\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ stetig, $M$ Tetraeder mit Ecken $0$, $e_1$, $e_2$, $e_3$
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\int_M f \D (x,y,z) = \int_0^1 \int_0^{1-x} \int_0^{1-x-y} f(x,y,z) \D z \D y \D x
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
Z.B: $f(x,y,z) = 1$: \begin{align*}
|
||||
\int_M 1 \D (x,y,z) &= \int_0^1 \int_0^{1-x} \int_0^{1-x-y} f(x,y,z) \D z \D y \D x = \int_0^1 \int_0^{1-x} [z]_0^{1-x-y} \D y \D x \\
|
||||
&= \int_0^1 \int_0^{1-x} 1 - x - y \D y \D z = \int_0^1 [y - xy - \frac{y^2}{2}]_{y=0}^{1-x} \D x = \int_0^1 \frac{1}{2} - x + \frac{x^2}{2} \D x\\
|
||||
& = \frac{1}{6},
|
||||
\end{align*}
|
||||
das Volumen eines Tetraeders.
|
||||
\end{example}
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||||
|
||||
\subsection{Integration durch Koordinatentransformation}
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||||
\begin{*definition}
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||||
Sei $f:U\subset K^n\to V\subset K^m$ bijektiv, wobei $U$, $V$ offen.
|
||||
|
||||
$f$ heißt \begriff{Diffeomorphismus}, falls $f$ und $f^{-1}$ stetig \gls{diffbar} auf $U$ bzw. $V$ sind.
|
||||
|
||||
$U$ und $V$ heißen dann \begriff{diffeomorph}.
|
||||
\end{*definition}
|
||||
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||||
\begin{theorem}[Transformationssatz]
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||||
\proplbl{fubini_trafo_trafosatz}
|
||||
Seien $U$, $V\subset\mathbb{R}^n$ offen, $\phi: U\to V$ Diffeomorphismus. Dann
|
||||
|
||||
\begin{tabularx}{\linewidth}{X@{\ \ }c@{\ \ }X}
|
||||
\hfill$f:V\to\mathbb{R}$ integrierbar & $\Leftrightarrow$ & $f(\phi(\,\cdot\,))\vert \det \phi'(y) \vert: U\to\mathbb{R}$ integrierbar
|
||||
\end{tabularx}
|
||||
und es gilt
|
||||
\begin{align}
|
||||
\proplbl{fubini_trafo_trafosatz_eq}
|
||||
\int_U f(\phi(y))\cdot\vert\phi'(y)\vert \D y = \int_V f(x) \D x
|
||||
\end{align}
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Vgl. Literatur (z.B. Königsberger Analysis 2, Kapitel 9)
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Sei $U=Q\in\mathcal{Q}$ Würfel, $V:= \phi(Q)$, $\tilde{y}\in \mathcal{Q}$, $x:= \phi(\tilde{y})$ \\
|
||||
$\xRightarrow{\eqref{fubini_trafo_trafosatz_eq}}$ $\vert V \vert = \int_V 1 \D y = \int_Q \vert \det \phi'(y) \vert \D y \overset{\text{$Q$ klein}}{\approx} \vert \det \phi'(\tilde{y})\vert \cdot \vert Q \vert$, d.h. $\vert \det \phi'(y) \vert$ beschreibt (infinitesimale) relative Veränderung des Maßes unter Transformation $\phi$.
|
||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
Sei $V=B_R(0) \subset\mathbb{R}^3$ Kugel mit Radius $R > 0$.
|
||||
|
||||
Zeige: $\displaystyle \vert B_R(0) \vert = \int_V 1\D (x,y,z) = \frac{4}{3}\pi R^3$
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Benutze Kugelkoordinaten (Polarkoordinaten in $\mathbb{R}^2$) mit \begin{align*}
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\begin{pmatrix}
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x \\ y \\ z
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\end{pmatrix} &= \phi(r, \alpha, \beta) := \begin{pmatrix}
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r \cos \alpha \cos \beta \\ r\sin \alpha \cos \beta \\ r \sin \beta
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||||
\end{pmatrix}
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\end{align*}
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Für $(r,\alpha,\beta)\in U: (0,R)\times(-\pi,\pi)\times\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$.
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Mit $H:= \{ (x,0,z)\in\mathbb{R}\mid x\le 0 \}$ und $\tilde{V} := V\setminus H$ gilt: $\vert H\vert_{\mathbb{R}^3} = 0$
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$\phi: U\to\tilde{V}$ \gls{diffbar}, injektiv, und \begin{align*}
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\phi'(r,\alpha,\beta) &= \begin{pmatrix}
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\cos\alpha \cos \beta & -r\sin \alpha\cos\beta & -r\cos\alpha\sin\beta \\
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\sin\alpha\cos\beta & r \cos\alpha\cos\beta & -r\sin\alpha\sin\beta \\
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||||
\sin\beta & 0 & r\cos\beta
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||||
\end{pmatrix}
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||||
\end{align*}
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$\Rightarrow$ Definiere $\phi'(r,\alpha,\beta) = r^2\cos\beta\neq 0$ auf $U$ \\
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% @TODO: Label setzen
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$\xRightarrow{Satz 27.8}$ $\phi:U\to\tilde{V}$ ist Diffeomorphismus
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\begin{flalign*}
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||||
\;\;&\begin{aligned}\Rightarrow\;\; \vert B_R(0)\vert &= \int_V 1 \D (x,y,z) = \int_{\tilde{V}} 1 \D (x,y,z) + \int_H 1 \D (x,y,z) \\ & \overset{\eqref{fubini_trafo_trafosatz_eq}}{=} \int_U \vert \det \phi'(r,\alpha,\beta)\vert \D r \D \alpha \D \beta + \vert H \vert
|
||||
\overset{\text{Fubini}}{=} \int_0^R \int_{-\pi}^\pi \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} r^2 \cos\beta \D \beta \D \alpha \D r \\
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||||
&= \int_0^R \int_{-\pi}^\pi [r^2\sin \beta]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \D \alpha \D r = \int_0^R \int_{-\pi}^\pi 2 r^2 \D \alpha \D r
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||||
= \int_0^R 4 \pi r^2 \D r \\
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||||
& = \left.\frac{4}{3}\pi r^3\right|_0^R = \frac{4}{3}\pi R^3
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||||
\end{aligned}\end{flalign*}
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||||
\end{example}
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\begin{example}[Rotationskörper im $\mathbb{R}^3$]
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Sei $g:[a,b]\to[0,\infty]$ stetiger, rotierender Graphen von $g$ um die $z$-Achse. \\
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||||
$\rightarrow$ Bestimme das Volumen des (offenen) Rotationskörpers $V\subset\mathbb{R}^3$.
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||||
Benutze Zylinderkoordinaten:\begin{align*}
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\begin{pmatrix}
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x \\ y \\ z
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\end{pmatrix} = \phi(r,\alpha, z) := \begin{pmatrix}
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r\cos \alpha \\ r \sin\alpha \\ z
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||||
\end{pmatrix}
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||||
\end{align*}
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||||
auf \[U= \{ (r,\alpha,z) \in\mathbb{R}^3 \mid r \in (0, g(z)), \alpha\in (-\pi,\pi),z\in(a,b) \},\] mit $H:= \{ (x,0,z) \in\mathbb{R}^3 \mid x \le 0 \}$, $\tilde{V} := V \setminus H $ gilt $\vert H \vert = 0$ und $\phi:U\to\tilde{V}$ \gls{diffbar}, injektiv, sowie \begin{align*}
|
||||
\phi'(r,\alpha,z) = \begin{pmatrix}
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||||
\cos \alpha & - r\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & r \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1
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||||
\end{pmatrix} = r > 0\text{ auf $U$}
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||||
\end{align*}
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||||
%@TODO: label setzten
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$\xRightarrow{\text{Satz 27.8}}$ $\phi:U\to\tilde{V}$ ist Diffeomorphismus
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||||
$V$ messbar (da offen) $\Rightarrow$ $\tilde{V}$ messbar, und offenbar $f=1$ integrierbar auf $\tilde{V}$ \\
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\renewcommand{\arraystretch}{3}
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||||
\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }r@{\ }c@{\ }l@{\ }c@{\ }X}
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||||
$\Rightarrow$ & $\vert V \vert = \vert \tilde{V} \vert$ &=& $\displaystyle\int_{\tilde{V}} 1 \D (x,y,z)$ &$ \overset{\eqref{fubini_trafo_trafosatz_eq}}{=}$ & $\displaystyle\int_U \vert \det \phi'(r,\alpha,z)\vert \D (x,y,z)$ \\
|
||||
& & $\overset{\text{Fubini}}{=}$ & $\displaystyle \int_a^b \int_{-\pi}^\pi \int_0^{g(z)} r \D r \D \alpha \D z$ &=& $\displaystyle\int_a^b \int_{-\pi}^\pi \left[ \frac{r^2}{2} \right]_0^{g(z)} \D \alpha \D z$ \\
|
||||
& & = & $\displaystyle\int_a^b \int_{-\pi}^\pi \frac{g(z)^2}{2} \D \alpha \D z$ &=& $\displaystyle\pi \int_a^b g(z)^2\D z$
|
||||
\end{tabularx}
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||||
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||||
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||||
Z.B. $g(z) = R$ auf $[a,b]$: $\vert V \vert = \pi \int_a^b R^2 \d z = \pi R^2(b - a)$ (Volumen des Kreiszylinders)
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||||
\end{example}
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711
2. Semester/ANAG/TeX_files/Integral.tex
Normal file
711
2. Semester/ANAG/TeX_files/Integral.tex
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@ -0,0 +1,711 @@
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\section{Integral} \setcounter{equation}{0}
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\subsection{Integral für Treppenfunktionen}
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||||
Sei $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ messbare Treppenfunktion mit \begin{align*}
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||||
h &= \sum_{j=1}^{k} c_j \chi_{M_j}, \text{d.h. $c_j\in\mathbb{R}$, $M_j\subset\mathbb{R}$ messbar}
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||||
\end{align*}
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||||
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||||
\begin{*definition}
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||||
Sei $M\subset\mathbb{R}$ messbar.
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||||
$h$ heißt \begriff{integrierbar} auf $M$, falls $\vert M_j\cap M\vert < \infty$ $\forall j: c_j\neq 0$ und \begin{align}
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||||
\proplbl{integral_treppenfunktion_definition}
|
||||
\int_M h \D x := \int_M h(x) \D x := \sum_{j=1}^k c_m \vert M_j\cap M\vert
|
||||
\end{align}
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||||
heißt (elementares) \begriff{Integral} von $h$ auf $M$.
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||||
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||||
Menge der auf $M$ integrierbaren Treppenfunktionen ist \mathsymbol{T1}{$T^1(M)$}. $\int_M:T^1(M)\to\mathbb{R}$ mit $h\to \int_M h\D x$ ist die \begriff{Integral-Abbildung}.
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||||
\end{*definition}
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||||
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||||
Man verifiziert leicht
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||||
\begin{conclusion}
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||||
\proplbl{integral_treppenfunktion_grundlegende_folgerung}
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||||
Sei $M\subset\mathbb{R}^n$ messbar. Dann gilt:\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
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||||
\item (Linearität) Integralabbildung $\int_M:T^1(M)\to\mathbb{R}$ ist linear
|
||||
\item (Monotonie) Integral-Abbildung ist monoton auf $T^1(M)$ ,.d.h \begin{align*}
|
||||
h_1 \le h_2 \text{ auf $M$} \;\Rightarrow\;\int_M h_1 \D x \le \int_M h_2 \D x
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item \proplbl{integral_treppenfunktion_grundlegende_folgerung_beschraenktheit}
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||||
(Beschränktheit) Es ist $\vert \int_M h\D x \vert \le \int _M \vert h \vert \D x$ $\forall h\in T^{1}(M)$
|
||||
\item Für $h\in T^1(M)$ gilt: \\
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||||
\begin{tabularx}{\linewidth}{X@{\ \ }c@{\ \ }X}
|
||||
\hfill $\displaystyle \int_M \vert h \vert \D x = 0$ & $\Leftrightarrow$ & $h=0$ \gls{fü} auf $M$
|
||||
\end{tabularx}
|
||||
\end{enumerate}
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||||
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||||
\begin{underlinedenvironment}[Hinweis]
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||||
$\int_M \vert h \vert \D x$ ist Halbnorm auf dem Vektorraum $T^1(M)$.
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||||
\end{underlinedenvironment}
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||||
\end{conclusion}
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||||
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||||
\subsection{Erweiterung auf messbare Funktionen}
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||||
sinnvoll:
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||||
\begin{itemize}[topsep=-2\baselineskip]
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||||
\item Linearität und Monotonie erhalten
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||||
\item eine gewisse Stetigkeit der Integral-Abbildung
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||||
\end{itemize}
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||||
\vspace*{1em}
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||||
\begin{align}
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||||
\proplbl{integral_messbare_funktion_forderung}
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||||
h_k\to f\text{ in geeigneter Weise }\;\; &\Rightarrow\;\;\int_M h_k \D x \to \int_m f \D x
|
||||
\end{align}
|
||||
nach \propref{messbarkeit_funktion_approximation} sollte man in \eqref{integral_messbare_funktion_forderung} eine Folge von Treppenfunktionen $\{ h_k\}$ mit $h_k(x)\to f(x)$ \gls{fü} auf $M$ betrachten, \emph{aber} es gibt zu viele konvergente Folgen für einen konsistenten Integralbegriff.
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||||
|
||||
\begin{example}
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||||
\proplbl{integral_funktion_beispiel_striktere_konvergenz}
|
||||
Betrachte $f=0$ auf $\mathbb{R}$, wähle beliebige Folge $\{\alpha_k\}\subset\mathbb{R}$, dazu eine Treppenfunktion \begin{align*}
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||||
h_k(x) = \begin{cases}
|
||||
k\cdot \alpha_k&\text{auf }(0,\frac{1}{k}) \\ 0&\text{sonst}
|
||||
\end{cases}
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||||
\end{align*}
|
||||
Offenbar konvergiert $h_k$ gegen $0$ \gls{fü} auf $\mathbb{R}$ und man hat $h_k\to 0$ \gls{fü} auf $\mathbb{R}$ und $\int_{\mathbb{R}} h_k \D x = \alpha_k$
|
||||
\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
|
||||
$\Rightarrow$ & je nach Wahl der Folge $\alpha_n$ liegt ganz unterschiedliches Konvergenzverhalten der Folge $\int_{\mathbb{R}} h_k \D x$ vor \\
|
||||
$\Rightarrow$ & kein eindeutiger Grenzwert in \eqref{integral_messbare_funktion_forderung} möglich \\
|
||||
$\Rightarrow$ & stärkerer Konvergenzbegriff in \eqref{integral_messbare_funktion_forderung} nötig
|
||||
\end{tabularx}
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
\begin{underlinedenvironment}[Motivation]
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||||
\hspace*{0pt}
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||||
\begin{itemize}[topsep=\dimexpr -\baselineskip / 2\relax]
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||||
\item Nur monotone Folgen von Treppenfunktionen, oder
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||||
\item Beschränktheit aus \propref{integral_treppenfunktion_grundlegende_folgerung} erhalten
|
||||
\end{itemize}
|
||||
$\Rightarrow$ jeweils gleiches Ergebnis, jedoch ist die 1. Variante technisch etwas aufwendiger
|
||||
|
||||
Beschränktheit aus \propref{integral_treppenfunktion_grundlegende_folgerung} \ref{integral_treppenfunktion_grundlegende_folgerung_beschraenktheit} bedeutet insbesondere \begin{align*}
|
||||
\left\vert \int_M h_k\D x - \int_M f \D x \right\vert = \left\vert \int_M h_k - f \D x \right\vert \le \int_M \vert h_k - f\vert \D x \quad\forall k
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{underlinedenvironment}
|
||||
\begin{underlinedenvironment}[man definiert]
|
||||
$h_k\to f$ \gls{gdw} $\int_M \vert h_k - f\vert \D x\to 0$\\
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||||
$\Rightarrow$ Integralabbildung stetig bezüglich dieser Konvergenz.
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||||
|
||||
Wegen $\int_M \vert h_k - h_l\vert \D x \le \int_m \vert h_k - f\vert \D x + \int_M \vert h_l -f \vert \D x$ müsste $\int_M \vert h_k - h_l\vert \D x$ klein sein $\forall h,l$ groß.
|
||||
\end{underlinedenvironment}
|
||||
|
||||
\subsection{\lebesque-Integral}
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||||
\begin{*definition}
|
||||
Sei $M\subset\mathbb{R}^n$ messbar, Folge $\{ h_k\}$ in $T^1(M)$ heißt \begriff{$L^1$-\person{Cauchy}-Folge} (kurz $L1$-CF), falls \begin{align*}
|
||||
\forall \epsilon > 0 \; \exists k_0\in\mathbb{N}:\;\int_M \vert h_k - h_l\vert \D x < \epsilon \quad\forall h,l > k_0
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\stepcounter{equation}
|
||||
Messbare Funktion $f:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ heißt \begriff{integrierbar} auf $M\subset D$, falls Folge von Treppenfunktionen $\{ h_k\}$ in $T^1(M)$ existiert mit $\{ h_k\}$ ist $L1$-CF auf $M$ und $H_k\to f$ \gls{fü} auf $M$.\marginnote{\leqnos\begin{align}\proplbl{integral_funktion_definition}\,\end{align}Formel (3) unbekannt}[-1.5\baselineskip]
|
||||
|
||||
Für integrierbare Funktion $f$ heißt eine solche Folge $\{h_k\}$ \begriff{zugehörige $L^1$-CF} auf $M$.
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||||
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||||
Wegen\begin{align}
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||||
\left\vert\int_M h_k\D x - \int_M h_l\D x\right\vert = \left\vert \int_M (h_k - h_l) \D x\right\vert \overset{\footnotesize\propref{integral_treppenfunktion_grundlegende_folgerung}}{\le} \int_M \vert h_k - h_l\vert \D x
|
||||
\end{align}
|
||||
ist $\{\int_M h_k\D x\}$ \person{Cauchy}-Folge in $\mathbb{R}$ und somit konvergent.
|
||||
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||||
Der Grenzwert \begin{align}
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||||
\proplbl{integral_lebesque_funktion_definition}
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||||
\int_m f \D x &:= \int_M f(x) \D x := \lim\limits_{k\to\infty} \int_M h_k\D x
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
heißt (\lebesque)-\begriff{Integral} von $f$ auf $M$.
|
||||
\end{*definition}
|
||||
\begin{underlinedenvironment}[Hinweis]
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||||
Integrale unter dem Grenzwert in \eqref{integral_lebesque_funktion_definition} sind elementare Integrale gemäß \eqref{integral_treppenfunktion_definition}.
|
||||
\end{underlinedenvironment}
|
||||
\begin{underlinedenvironment}[Sprechweise]
|
||||
$f$ integrierbar auf $M$ bedeutet stets $f:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ messbar und $M\subset D$ messbar
|
||||
\end{underlinedenvironment}
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||||
|
||||
\begin{*definition}
|
||||
Menge der auf $M$ integrierbaren Funktionen ist \mathsymbol*{L1}{$L^1$} \begin{align*}
|
||||
L^1(M) := \left\{ f:M\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}} \mid f \text{ integierbar auf $M$} \right\}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{*definition}
|
||||
|
||||
\begin{remark}\vspace*{0pt}
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||||
\begin{enumerate}[label={\alph*)},topsep=\dimexpr -\baselineskip / 2\relax]
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||||
\item Integral in \eqref{integral_lebesque_funktion_definition} kann als vorzeichenbehaftetes Volumen des Zylinders im $\mathbb{R}^{n+1}$ unter (über) dem Graphen von $f$ interpretiert werden.
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||||
\item Sei $0\le h_1 \le h_2 \le \dotsc$ monotone Folge von integrierbaren Treppenfunktionen mit $h_k\to f$ \gls{fü} auf $M$ und sei Folge $\{ \int_M h_k\D x\}$ in $\mathbb{R}$ beschränkt \\
|
||||
$\Rightarrow$ \eqref{integral_lebesque_funktion_definition} gilt und monotone Folge $\{ \int_m h_k \D x \}$ konvergiert in $\mathbb{R}$ (d.h. $\{ h_k \}$ ist $L^1$-CF zu $f$)
|
||||
\item $\{ h_k\}$ aus \propref{integral_funktion_beispiel_striktere_konvergenz} ist nur dann $L^1$-CF, falls $\alpha_k\to 0$.
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||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{remark}
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||||
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||||
\begin{underlinedenvironment}[Frage]
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||||
Ist die Definition des Integrals in \eqref{integral_lebesque_funktion_definition} unabhängig von der Wahl einer konkreten $L^1$-CF $\{ h_k\}$ zu $f$?
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||||
\end{underlinedenvironment}
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||||
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||||
\begin{proposition}
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||||
\proplbl{integral_funktion_unabhaengigkeit_leins_folge}
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||||
Definition des Integrals in \eqref{integral_lebesque_funktion_definition} ist unabhängig von der speziellen Wahl einer $L^1$-CF $\{h_k\}$ zu $f$.
|
||||
\end{proposition}
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||||
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||||
Vgl. Integral $\int_{M} h \D x$ einer Treppenfunktion gemäß \eqref{integral_treppenfunktion_definition} mit dem in \eqref{integral_lebesque_funktion_definition}:
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||||
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||||
Offenbar ist konstante Folge $\{ h_k\}$ mit $h_k = h$ $\forall k$ $L^1$-CF zu $h$ \\
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||||
$\xRightarrow[\eqref{integral_lebesque_funktion_definition}]{\footnotesize\propref{integral_funktion_unabhaengigkeit_leins_folge}}$ Integral $\int_M h \D x$ in \eqref{integral_lebesque_funktion_definition} stimmt mit elementarem Integral in \eqref{integral_treppenfunktion_definition} überein.
|
||||
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||||
\begin{conclusion}
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||||
Für eine Treppenfunktion stimmt das in \eqref{integral_treppenfunktion_definition} definierte elementare Integral mit dem in \eqref{integral_lebesque_funktion_definition} definierte Integral überein. Insbesondere ist der vor \eqref{integral_treppenfunktion_definition} eingeführte Begriff integrierbar mit dem in \eqref{integral_funktion_definition} identisch\\
|
||||
$\Rightarrow$ wichtige Identität \eqref{integral_treppenfunktion_definition} mit Treppenfunktion $\chi_M$ für $\vert M \vert < \infty$: \begin{align*}
|
||||
\vert M \vert &= \int_M 1\D x = \int_M \D x\quad\forall M\in\mathbb{R},\text{ $M$ messbar},
|
||||
\end{align*}
|
||||
d.h. das Integral liefert Maß für messbare Mengen.
|
||||
\end{conclusion}
|
||||
|
||||
\begin{proof}[\propref{integral_funktion_unabhaengigkeit_leins_folge}]
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||||
\NoEndMark
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||||
beachte: alle Integrale im Beweis sind elementare Integrale gemäß \eqref{integral_treppenfunktion_definition}.
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
|
||||
\item Sei $f:M\subset\mathbb{R}\to\overline{\mathbb{R}}$ integrierbar und seien $\{ h_k\}$, $\{ \tilde{h}_k \}$ zugehörigen $L^1$-CF in $T^1(M)$.\\
|
||||
\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
|
||||
$\Rightarrow$ & $\forall \epsilon > 0$ $\exists k_0$ mit \[ \int_M \vert (h_k + \tilde{h}_k) - (h_l + \tilde{h}_l)\vert \D x \le \int_M \vert h_k - h_l\vert + \vert \tilde{h}_k - \tilde{h}_l \vert \D x < \epsilon \quad\forall k,l\ge k_0 \] \\
|
||||
$\Rightarrow$ & $\{ h_k - \tilde{h}_k \}$ ist $L^1$-CF mit $(h_k - \tilde{h}_k)\to 0$ \gls{fü} auf $M$.
|
||||
\end{tabularx}
|
||||
|
||||
Da $\{ \int_M h_k \D x\}$, $\{ \int_M \tilde{h}_k \D x \}$ in $\mathbb{R}$ konvergieren, bleibt zu zeigen: $\{ h_k\}$ ist $L^1$-CF in $T^1(M)$ mit $h_k\to 0$ \gls{fü} auf $M$
|
||||
\begin{flalign}
|
||||
\Rightarrow &\int_M h_k \D x \xrightarrow{k\to\infty} 0&
|
||||
\end{flalign}
|
||||
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||||
Da Konvergenz von $\{ \int_M h_k \D x \}$ bereits bekannt ist, reicht es, den Grenzwert für eine \gls{tf} zu zeigen.
|
||||
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||||
\item Wähle \gls{tf} derart, dass $\int_M \vert h_k - h_l \vert \D x \le \frac{1}{2^l}$ $\forall k\ge l$
|
||||
|
||||
Fixiere $l\in\mathbb{N}$ und definiere $M_l := \{ x\in M\mid h_l(x) \neq 0 \}$, offenbar ist $M$ messbar mit $\vert M_l\vert < \infty$.
|
||||
|
||||
Sei nun $\epsilon_l := \frac{1}{2^l \cdot \vert M_l\vert}$ falls $\vert M_l\vert > 0$ und $\epsilon_l = 1$ falls $\vert M_l\vert = 0$.
|
||||
|
||||
Weiterhin sei $M_{l,k} := \{ x\in M_l \mid \vert h_k(x)\vert > \epsilon_l \}$, und für $k > l$ folgt
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\left\vert\int_M h_k\D x \right\vert &\le \int_M \vert h_k\vert \D x = \int_{M_l} \vert h_k\vert \D x + \int_{M\setminus M_l} \vert h_k\vert \D x \\
|
||||
&\le \int_{ M\setminus M_{l,k}} \vert h_k\vert \D x + \int_{M_{l,k}} \vert h_k\vert \D x + \int_{M\setminus M_l} \vert h_k - h_l\vert \D x + \underbrace{\int_{M\setminus M_l} \vert h_l\vert \D x}_{=0} \\
|
||||
&\le \epsilon_l \vert M_l\vert + \int_{M_{l,k}} \vert h_k - h_l\vert \D x + \int_{M_{l,k}} \vert h_l\vert \D x + \frac{1}{2^l} \\
|
||||
&\le \frac{1}{2^l} + \frac{1}{2^l} + c_l \cdot \vert M_{l,k}\vert + \frac{1}{2^l}
|
||||
\end{align*}
|
||||
mit $c_l := \sup\limits_{x\in M} \vert h_l(x)\vert$, $\exists k_l > l$ mit \propref{messbarkeit_funktion_egorov} folgt $\vert \{ x\in M_l\mid \vert h_k(x)\vert > \epsilon_l \} \vert \le \frac{1}{2^l \cdot (c_l + 1)}$ $\forall k > k_l$
|
||||
|
||||
\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
|
||||
$\Rightarrow$ & $\displaystyle \left\vert \int_M h_k\D x \right\vert \le \frac{4}{2^l}$ $\forall k>k_l$ \\
|
||||
$\xRightarrow[\text{beliebig}]{l\in\mathbb{N}}$ & $\displaystyle \int_M h_k \D x\to 0$
|
||||
\end{tabularx}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\ \hfill\csname\InTheoType Symbol\endcsname
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}[Rechenregeln]
|
||||
\proplbl{integral_funktion_rechenregeln}
|
||||
Seien $f$, $g$ integrierbar auf $M\subset\mathbb{R}^n$, $c\in\mathbb{R}$. Dann
|
||||
\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
|
||||
\item \proplbl{integral_funktion_rechenregeln_a}
|
||||
(Linearität) $f\pm g$, $cf$ sind integrierbar auf $M$ mit \begin{align*}
|
||||
\int_M f \pm g \D x &= \int_M f\D x + \int_M g \D x \\
|
||||
\int_M c f \D x &= c \int_M f \D x
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item \proplbl{integral_funktion_rechenregeln_b}
|
||||
Sei $\tilde{M}\subset\mathbb{M}$ messbar\\
|
||||
\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
|
||||
$\Rightarrow$ & $f \chi_{\tilde{M}}$ ist integrierbar auf $M$ und $f$ ist integrierbar auf $\tilde{M}$ mit \[
|
||||
\int_M f\cdot \chi_{\tilde{M}} \D x = \int_{\tilde{M}} f \D x \]
|
||||
\end{tabularx}
|
||||
\item\proplbl{integral_funktion_rechenregeln_c}
|
||||
Sei $M = M_1\cup M_2$ für $M_1$, $M_2$ disjunkt und messbar \\
|
||||
\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
|
||||
$\Rightarrow$ & $f$ ist integrierbar auf $M_1$ und $M_2$ mit
|
||||
\end{tabularx}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\int_M f \D x &= \int_{M_1} f \D x + \int_{M_2} f \D x
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item\proplbl{integral_funktion_rechenregeln_d}
|
||||
Sei $f = \tilde{f}$ \gls{fü} auf $M$ \\\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
|
||||
$\Rightarrow$ & $\tilde{f}$ ist integrierbar auf $M$ mit
|
||||
\end{tabularx}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\int_M f \D x = \int_M \tilde{f} \D x
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item\proplbl{integral_funktion_rechenregeln_e}
|
||||
Die Nullfortsetung $\tilde{f}:\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ von $f$ (vgl. \propref{messbarkeit_funktion_nullfortsetzung}) ist auf jeder messbaren Menge $\tilde{M}\subset\mathbb{R}^n$ integrierbar mit \begin{align*}
|
||||
\int_{M\cap \tilde{M}} f \D x &= \int_{\tilde{M}} \overline{f}\D x
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proposition}
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||||
|
||||
Aussage \ref{integral_funktion_rechenregeln_d} bedeutet, dass eine Änderung der Funktionswerte von $f$ auf einer Nullmenge das Integral nicht verändert.
|
||||
|
||||
\begin{proof}
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||||
Seien $\{ h_k\}$ und $\{ \tilde{h}_k \}$ aus $T^1(\mathbb{R})^n$ $L^1$-CF zu $f$ und $g$.
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||||
|
||||
\begin{enumerate}[label={zu \alph*)},leftmargin=\widthof{\texttt{zu a) }},topsep=\dimexpr-\baselineskip/2\relax]
|
||||
\item Es ist $h_k + \tilde{h}_k\to f + g$ \gls{fü} auf $M$.
|
||||
|
||||
Wegen \begin{align*}
|
||||
\int_M \vert (h_k + \tilde{h}_k) - (h_l + \tilde{h}_l)\vert \D x &\le \underbrace{\int_M \vert h_k - h_l\vert \D x}_{=\text{$L^1$-CF, $<\epsilon$}} + \underbrace{\int_M \vert \tilde{h}_k - \tilde{h}_l \vert \D x}_{=\text{$L^1$-CF, $<\epsilon$}}
|
||||
\end{align*}
|
||||
ist $\{ h_k + \tilde{h}_k\}$ $L^1$-CF zu $f+g$. \\
|
||||
$\Rightarrow$ $f+g$ ist integrierbar auf $M$ und Grenzübergang in \begin{align*}
|
||||
\int_M h_k + \tilde{h}_k \D x &= \int_M h_k \D x + \int_M \tilde{h}_k \D x
|
||||
\end{align*}
|
||||
liefert die Behauptung für $f+g$.
|
||||
|
||||
Analog zu $cf$. Wegen $f - g$ = $f + (-g)$ folgt die letzte Behauptung.
|
||||
|
||||
\item Offenbar ist $\{ \chi_{\tilde{m} h_k} \}$ $L^1$-CF zu $\chi_{\tilde{M}}f$ und $\{ h_k \}$ $L^1$-CF zu $f$ auf $\tilde{M}$.
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||||
|
||||
Mit \begin{align*}
|
||||
\int_M h_k \chi_{\tilde{M}} \D x &= \int_{\tilde{M}} h_k \D x\quad\forall k\in\mathbb{N}
|
||||
\end{align*}
|
||||
folgt die Behauptung durch Grenzübergang.
|
||||
\item Nach \ref{integral_funktion_rechenregeln_b} ist $f$ auf $M_1$ und $M_2$ integrierbar. Wegen $f = \chi_{M_1} f + \chi_{M_2} f$ folgt die Behauptung aus \ref{integral_funktion_rechenregeln_a} und \ref{integral_funktion_rechenregeln_b}.
|
||||
\item Da $\{ h_k\}$ auch $L^1$-CF zu $\tilde{f}$ ist, folgt die Integrierbarkeit mit dem gleichen Integral.
|
||||
\item Es ist $\{ \chi_{M\cap \tilde{M}} h_k \}$ $L^1$-CF zu $f$ auf $M\cap \tilde{M}$ und auch zu $\overline{f}$ auf $\tilde{M}$. Damit folgt die Behauptung.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}[Eigenschaften]
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||||
\proplbl{integral_funktion_eigenschaften}
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||||
Es gilt \begin{enumerate}[label={\alph*)}]
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||||
\item \proplbl{integral_funktion_eigenschaften_integrierbarkeit}
|
||||
(Integierbarkeit) Für $f:M\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ messbar gilt:\begin{center}
|
||||
$f$ integrierbar auf $M$ \ \ $\Leftrightarrow$ \ \ $\vert f \vert$ integrierbar auf $M$
|
||||
\end{center}
|
||||
\item\proplbl{integral_funktion_eigenschaften_beschraenktheit}
|
||||
(Beschränktheit)
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||||
Sei $f$ integrierbar auf $M$, dann \begin{align*}
|
||||
\left\vert \int_M f \D x \right\vert &\le \int_M \vert f \vert \D x
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item\proplbl{integral_funktion_eigenschaften_monotonie}
|
||||
(Monotonie)
|
||||
Seien $f$, $g$ integrierbar auf $M$. Dann \begin{center}
|
||||
$f\le g$ \gls{fü} auf $M$ \ \ $\Rightarrow$ \ \ $\displaystyle\int_M f\D x \le \int_M g \D x$
|
||||
\end{center}
|
||||
\item\proplbl{integral_funktion_eigenschaften_nullfunktion}
|
||||
Sei $f$ integrierbar auf $M$, dann \begin{center}
|
||||
$\displaystyle \int_M \vert f \vert \D x = 0$\ \ $\Leftrightarrow$ \ \ $f = 0$ \gls{fü}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
In Analogie zur Treppenfunktion ist $\Vert f\Vert _1 := \int_M \vert f \vert \D x$ auf $L^1(M)$ eine Halbnorm, aber keine Norm ($\Vert f \Vert = 0$ $\cancel{\Leftrightarrow}$ $f = 0$). $\Vert f\Vert_1$ heißt \begriff{$L^1$-Halbnorm} von $f$.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{underlinedenvironment}[Hinweis]
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||||
Eine lineare Abbildung $A:X\to Y$ ist beschränkt, wenn $\Vert Ax\Vert_Y \le c\Vert x \Vert _X$ \\
|
||||
$\Rightarrow$ Begriff der Beschränktheit in \ref{integral_funktion_eigenschaften_beschraenktheit}.
|
||||
\end{underlinedenvironment}
|
||||
\begin{proof}\hspace*{0pt}
|
||||
\NoEndMark
|
||||
\begin{enumerate}[label={zu \alph*)},topsep=\dimexpr -\baselineskip / 2\relax,leftmargin=\widthof{\texttt{zu b)\ }}]
|
||||
\item Sei $f$ integrierbar auf $M$ und sei $\{ h_k \}$ $L^1$-CF zu $f$ \\
|
||||
\ $\Rightarrow$ $\vert h_k \vert\to \vert f \vert$ \gls{fü} auf $M$.
|
||||
|
||||
Wegen $\int_M \left\vert \vert h_k \vert - \vert h_l \vert\right\vert \D x$\marginnote{$\vert\vert \alpha\vert - \vert\beta\vert\vert \le \vert \alpha - \beta\vert$ $\forall \alpha,\beta\in\mathbb{R}$} $\overset{\footnotesize\cref{integral_treppenfunktion_grundlegende_folgerung}}{\le}$ $\int_M \vert h_k - h_l \vert \D x$ ist $\{ \vert h_k\vert \}$ $L^1$-CF zu $\vert f \vert$ \\
|
||||
\ $\Rightarrow$ $\vert f \vert$ ist integrierbar.
|
||||
|
||||
\emph{beachte:} andere Richtung später
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||||
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||||
\item Für eine $L^1$-CF $\{ h_k\}$ zu $f$ gilt nach \propref{integral_treppenfunktion_grundlegende_folgerung} c): \begin{align*}
|
||||
\left\vert \int_M h_k \D x \right\vert \le \int_M \vert h_k\vert \D x
|
||||
\end{align*}
|
||||
Da $\{ \vert h_k \vert \}$ $L^1$-CF zu $\vert f \vert$ ist, folgt die Behauptung durch Grenzübergang.
|
||||
|
||||
\item Nach den Rechenregeln ist $g - f$ integrierbar, wegen $\vert g - f\vert = g - f$ \gls{fü} auf $M$ folgt \begin{align*}
|
||||
0 \le \left\vert \int_M g - f\D x\right\vert\overset{\ref{integral_funktion_eigenschaften_beschraenktheit}}{\le} \int_M \vert g - f\vert \D x \overset{\footnotesize \cref{integral_funktion_rechenregeln}\;\ref{integral_funktion_rechenregeln_a}}{=} \int_M g \D x - \int_M f \D x
|
||||
\end{align*}
|
||||
$\Rightarrow$ Behauptung
|
||||
|
||||
\item[zu a)] für "`$\Leftarrow$"' wähle $f^\pm$ ($ f = f^+ - f^-$) jeweils eine monotone Folge von \gls{tf} $\{ h_k^\pm \}$ gemäß \propref{messbarkeit_funktion_existenz_monotone_treppenfunktionen}. Folglich liefert $H_k = h_k^+ - h_k^-$ eine Folge von \gls{tf} mit $h_k\to f$ \gls{fü} auf $M$.
|
||||
|
||||
Wegen $\vert h_k \vert \le \vert f \vert$ \gls{fü} auf $M$ ist $\int_M \vert h_k\vert \D x \le \int_M \vert f \vert \D x$.
|
||||
|
||||
Folglich ist die monotone Folge $\int_M \vert h_k\vert \D x$ in $\mathbb{R}$ beschränkt \\
|
||||
$\Rightarrow$ konvergent.
|
||||
|
||||
Da $h_k^\pm$ jeweils das Vorzeichen wie $f^\pm$ haben und die Folge monoton ist, gilt \begin{align*}
|
||||
\left\vert \vert h_l\vert - \vert h_k\vert \right\vert &= \vert h_l\vert - \vert h_k\vert = \vert h_l - h_k \vert \quad\forall l>k
|
||||
\end{align*}
|
||||
und somit auch \begin{align*}
|
||||
\int_M \vert h_l - h_k \vert \D x &= \int_M \vert h_l\vert - \vert h_k\vert \D x = \left \vert \int_M \vert h_l\vert \D x - \int_M \vert h_k\vert \D x\right\vert \quad\forall l>k
|
||||
\end{align*}
|
||||
Als konvergente Folge ist $\{ \int_M \vert h_k \vert \D x \}$ \person{Cauchy}-Folge in $\mathbb{R}$ und folglich ist $\{ h_k \}$ $L^1$-CF und sogar $L^1$-CF zu $f$ \\
|
||||
$\Rightarrow$ $f$ integrierbar
|
||||
\item Für $f=0$ \gls{fü} auf $M$ ist offenbar $\int_M \vert f\vert \D x = 0$.
|
||||
|
||||
Sei nun $\int_M \vert f \vert \D x = 0$, mit $M_k := \{ x\in M \mid \vert f \vert \ge \frac{1}{k} \}$ $\forall k\in\mathbb{N}$ ist \begin{align*}
|
||||
0 = \int_{M\setminus M_k} \vert f \vert \D x + \int_{M_k} \vert f \vert \D x \ge \int_{M\setminus M_k}0 \D x + \int_{M_k}\frac{1}{k}\D x \ge \frac{1}{k}\vert M_k\vert \ge 0
|
||||
\end{align*}
|
||||
\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
|
||||
$\Rightarrow$ & $\vert M_k\vert = 0$ $\forall k$, wegen $\{ f \neq 0\} = \bigcup_{k\in\mathbb{N}} M_k$ \\
|
||||
$\Rightarrow$ & $\displaystyle \vert \{ f\neq 0 \} \vert \le \sum_{k=1}^\infty \vert M_k\vert= 0$ \\
|
||||
$\Rightarrow$ & Behauptung\hfill\csname\InTheoType Symbol\endcsname
|
||||
\end{tabularx}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{conclusion}
|
||||
\proplbl{integral_funktion_lemma_weitere_eigenschaften}
|
||||
Sei $f$ auf $M$ integrierbar\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
|
||||
\item Für $\alpha_1$, $\alpha_2\in\mathbb{R}$ gilt:\begin{center}
|
||||
$\alpha_1\le f \le \alpha_2$ \gls{fü} auf $M$ \ \ $\Rightarrow$ \ \ $\displaystyle \alpha_1 \vert M \vert \le \int_M f \D x \le \alpha_2 \vert M \vert$
|
||||
\end{center}
|
||||
\item Es gilt $f\ge 0$ \gls{fü} auf $M$ \ \ $\Rightarrow$ \ \ $\int_M f \D x\ge 0$
|
||||
\item Es gilt: $\tilde{M}\subset M$ messbar, $f\ge 0$ \gls{fü} auf $M$ \\
|
||||
\ $\Rightarrow$ \ \ $\displaystyle \int_{\tilde{M}} f \D x \le \int_M f \D x$
|
||||
|
||||
(linkes Integral nach \propref{integral_funktion_rechenregeln} \ref{integral_funktion_rechenregeln_b})
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{conclusion}
|
||||
|
||||
\begin{proof}\hspace*{0pt}
|
||||
\NoEndMark
|
||||
\begin{enumerate}[label={zu \alph*)},topsep=\dimexpr-\baselineskip/2\relax,leftmargin=\widthof{\texttt{zu a)\ }}]
|
||||
\item
|
||||
Wegen $\int_M \alpha_j \D x = \alpha_j \vert M \vert $ für $\vert M \vert$ endlich folgt a) direkt aus der Monotonie des Integrals.
|
||||
\item folgt mit $\alpha_1=0$ aus a)
|
||||
\item folgt, da $\chi_{\tilde{M}}\cdot f \le f$ \gls{fü} auf $M$ und aus der Monotonie\hfill\csname\InTheoType Symbol\endcsname
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
In der Vorüberlegung zum Integral wurde eine gewisse Stetigkeit der Integralabbildung angestrebt. Das Integral ist bezüglich der $L^1$-Halbnorm stetig.
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
\proplbl{integral_funktionen_differenz_null_gleichheit}
|
||||
Seien $f$, $f_k:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ integrierbar auf $M\subset\mathbb{R}^n$ und sei \begin{align*}
|
||||
& \lim\limits_{k\to\infty} \int_M \vert f_k - f\vert \D x = 0 \quad(\Vert f_k - f\Vert\to0)\\
|
||||
\Rightarrow\;\;&\lim\limits_{k\to\infty} \int_M f_k \D x = \int_M f\D x
|
||||
\end{align*}
|
||||
Weiterhin gibt es eine Teilfolge $\{ f_{k'}\}$ mit $f_{k'}\to f$ \gls{fü} auf $M$.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\NoEndMark
|
||||
Aus der Beschränktheit nach \propref{integral_funktion_eigenschaften} folgt \begin{align*}
|
||||
\left\vert\int_M f_k\D x - \int_M f \D x \right\vert \le \int_M \vert f_k - f\vert \D x \xrightarrow{k\to 0} 0
|
||||
\end{align*}
|
||||
\ $\Rightarrow$\ \ 1. Konvergenzaussage
|
||||
|
||||
Wähle nun eine \gls{tf} $\{ f_{k_l}\}_l$ mit $\int_M \vert f_{k_l} - f\vert \D x \le \frac{1}{2^{l+1}}$ $\forall l\in\mathbb{N}$.
|
||||
|
||||
Für $\epsilon>0$ sei $M_\epsilon := \{ x\in M \mid \limsup\limits_{l\to\infty} \vert f_{k_l} - f\vert > \epsilon \}$ \\
|
||||
\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
|
||||
$\Rightarrow$ & $\displaystyle M_\epsilon \subset\bigcup_{l=j}^\infty \{ \vert f_{k_l} - f \vert > \epsilon \}$ $\forall j\in\mathbb{N}$ \\
|
||||
$\Rightarrow$ & $\displaystyle M_\epsilon \le \sum_{l=j}^\infty \left\vert \left\{ f_{k_l} - f\vert > \epsilon \right\} \right\vert \le \frac{1}{\epsilon} \sum_{l=j}^\infty \int _M \vert f_{k_l} - f\vert \D x \le \frac{1}{\epsilon} \sum_{l=j}^\infty \frac{1}{2^{l+1}} = \frac{1}{2^j \epsilon}\quad\forall j\in\mathbb{N}$\\
|
||||
$\Rightarrow$ & $M_\epsilon = 0$ $\forall\epsilon > 0$ \\
|
||||
$\Rightarrow$ & $f_{k_l} \xrightarrow{l\to\infty} f$ \gls{fü} auf $M$ \hfill\csname\InTheoType Symbol\endcsname
|
||||
\end{tabularx}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}[Majorantenkriterium]
|
||||
\proplbl{integral_funktion_majorantenkriterium}
|
||||
Seien $f$, $g:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ messbar, $M$ messbar, $\vert f \vert \le g$ \gls{fü} auf $M$, $g$ integrierbar auf $M$ \\
|
||||
$\;\Rightarrow$ $f$ integrierbar auf $M$
|
||||
|
||||
Man nennt $g$ auch \begriff{integrierbare Majorante} von $f$.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
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||||
\proplbl{integral_funktion_lemma_majorante}
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||||
Sei $f:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ messbar auf $M$, sei $f\ge 0$ auf $M$ und sei $\{ h_k\}$ Folge von Treppenfunktionen mit \begin{align}
|
||||
\proplbl{integral_funktion_lemma_majorante_eq}
|
||||
0 \le h_1 \le h_2 \le \dotsc \le f\quad \text{ und }\quad \int_M h_k \D x\text{ beschränkt}
|
||||
\end{align}
|
||||
$\Rightarrow$ $\{ h_k\}$ ist $L^1$-CF zu $f$ und falls $\{ h_k\}\to f$ \gls{fü} auf $M$ ist $f$ integrierbar (vgl \propref{messbarkeit_funktion_existenz_monotone_treppenfunktionen})
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Offenbar sind alle $h_k$ integrierbar und wegen der Monotonie gilt \begin{align*}
|
||||
\left\vert \int_M h_k\D x - \int_M h_l\D x \right\vert &=\int_M \vert h_k - h_l\vert \D x\quad\forall k\ge l
|
||||
\end{align*}
|
||||
Da $\{ \int_M h_k \D x \}$ konvergent ist in $\mathbb{R}$ als monoton beschränkte Folge ist diese CF in $\mathbb{R}$ \\
|
||||
$\Rightarrow$ $\{ h_k\}$ ist $L^1$-CF
|
||||
|
||||
Falls noch $h_k\to f$ \gls{fü} $\Rightarrow$ $\{h_k\}$ ist $L^1$-CF zu $f$ $\Rightarrow$ $f$ ist integrierbar
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{proof}[\propref{integral_funktion_majorantenkriterium}]
|
||||
\NoEndMark
|
||||
(mit $f$ auch $\vert f \vert$ mesbbar nach \propref{messbarkeit_funktion_existenz_monotone_treppenfunktionen})
|
||||
|
||||
Es existiert eine Folge $\{ h_k \}$ von Treppenfunktionen mit \begin{align*}
|
||||
0 \le h_1 \le h_2 \le \dotsc \le \vert f \vert \le g
|
||||
\end{align*}
|
||||
auf $M$ und $\{ h_k\}\to\vert f \vert$ \gls{fü} auf $M$.
|
||||
|
||||
Da $\{ \int_M h_k \D x \}$ beschränkt ist in $\mathbb{R}$ da $g$ integrierbar ist \\
|
||||
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
|
||||
$\xRightarrow{\propref{integral_funktion_lemma_majorante}}$ & $\{ h_k\}$ ist $L^1$-Cf zu $\vert f \vert$ \\
|
||||
$\Rightarrow$ & $\vert f \vert$ integrierbar \\
|
||||
$\xRightarrow{\propref{integral_funktion_eigenschaften}}$ & $f$ integrierbar auf $M$\hfill\csname\InTheoType Symbol\endcsname
|
||||
\end{tabularx}}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{conclusion}
|
||||
Seien $f$, $g:M\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ messbar, $\vert M \vert$ endlich. Dann\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
|
||||
\item Falls $f$ beschränkt ist auf $M$, dann ist $f$ integrierbar auf $M$
|
||||
\item Sei $f$ beschränkt und $g$ integrierbar auf $M$\\
|
||||
$\Rightarrow$\ \ $f\cdot g$ ist integrierbar auf $M$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{conclusion}
|
||||
\begin{underlinedenvironment}[Hinweis]
|
||||
Folglich sind stetige Funktionen auf kompaktem $M$ integrierbar (vgl. Theorem von Weierstraß)
|
||||
\end{underlinedenvironment}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Sei $\vert f \vert \le \alpha$ auf $M$ für $\alpha\in\mathbb{Q}$
|
||||
\begin{enumerate}[label={zu \alph*)},topsep=\dimexpr-\baselineskip/2\relax,leftmargin=\widthof{\texttt{zu a)\ }}]
|
||||
\item
|
||||
$\Rightarrow$ \ \ konstante Funktion $f_1 = \alpha$ ist integrierbare Majorante von $\vert f \vert$
|
||||
\item Mit $f_2 = \alpha\cdot \vert g \vert$ ist $f_2$ integrierbare Majorante zu $\vert f\cdot g\vert$ \ \
|
||||
$\xRightarrow[\footnotesize kriterium]{\footnotesize Majoranten-}$ Behauptung
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\subsection{Grenzwertsätze}
|
||||
$\int_M f_k\D x \xrightarrow{?} \int_M f\D x$ Vertauschbarkeit von Integration und Grenzübergang ist zentrale Frage $\to$ grundlegende Grenzwertsätze $\int_M \vert f_k - f\vert \D x \to 0$
|
||||
\begin{theorem}[Lemma von Fatou]
|
||||
\proplbl{integral_grenzwertsatz_fatou}
|
||||
Seien $f_k:D\subset\mathbb{R}^n\to [0,\infty]$ integrierbar auf $M\subset D$ $\forall k\in\mathbb{N}$ \\
|
||||
\ $\Rightarrow$ $f(x) := \liminf\limits_{k\to\infty} f_k(x)$ $\forall x\in M$ ist integrierbar auf $M$ und \begin{align*}
|
||||
\left( \int_M f\D x =\right) \int_M \liminf_{k\to\infty} f_k \D x &\le \liminf\limits_{k\to\infty} \int_M f_k \D x,
|
||||
\end{align*}
|
||||
falls der Grenzwert rechts existiert.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
Keine Gleichheit hat man z.B. für $\{ h_k\}$ aus \propref{integral_funktion_beispiel_striktere_konvergenz} mit $\alpha_k = 1$ $\forall k$ \begin{align*}
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||||
h_k &= \begin{cases}
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||||
h\cdot \alpha_k & x\in \left[0,\frac{1}{k}\right] \\
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||||
0 & \text{sonst}
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||||
\end{cases}
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||||
\intertext{Dann}
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\int_M \liminf\limits_{k\to\infty} h_k \D x &= \int_M 0 \D x = 0 < \liminf\limits_{k\to\infty} \int_{\mathbb{R}} h_k \D x = 1
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||||
\end{align*}
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||||
\begin{proof}
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||||
Auf $M$ ist $0\le g_k := \inf\limits_{l\ge k} f_l \le f_j$ $\forall j\ge k$, $k\in\mathbb{N}$, $g_1 \le g_2 \le \dotsc$ und $\lim\limits_{k\to\infty} g_k = \liminf\limits_{k\to\infty} f_k = f$
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||||
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||||
Alle $g_k$ sind messbar nach \propref{messbarkeit_funktionen_komposition}, \propref{integral_funktion_majorantenkriterium}
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||||
Für jedes $k\in\mathbb{N}$ wählen wir gemäß \propref{messbarkeit_funktion_existenz_monotone_treppenfunktionen} eine Folge $\{ h_{k_l} \}_l$ von Treppenfunktionen mit $0\le h_{k_1} \le h_{k_2} \le \dotsc \le g_k$, $h_{k_l}\xrightarrow{l\to\infty} g_k$ \gls{fü} auf $M$.
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||||
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||||
Nach \propref{integral_funktion_lemma_majorante} ist $\{ h_{k_l}\}_l$ $L^1$-CF zu $g_k$.
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Anwendung von \propref{messbarkeit_funktion_egorov} auf $g_k - f$ auf $B_k(0)\cap M$ \\
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||||
$\Rightarrow$ $\exists A_k' \subset\mathbb{R}^n$ messbar mit $\vert A_k'\vert \le \frac{1}{2^{k+1}}$ und (ggf. \gls{tf}) $\vert g_k - f\vert < \frac{1}{k}$ auf $(B_k(0) \cap M)\setminus A_K'$.
|
||||
|
||||
Analog für Folge $h_{k_l}\xrightarrow{l\to\infty} g_k: \exists A_K''\subset\mathbb{R}^k$ mit $\vert A_k''\vert < \frac{1}{2^{k+1}}$ und (evtl. \gls{tf}) $\vert h_{k_l} - g_k \vert < \frac{1}{k}$ auf $(B_k(0)\cap M)\setminus A_k''$
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||||
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||||
Setzte $A_k = A_k'\cup A_k''$, offenbar $\vert A_k\vert < \frac{1}{2^k}$, $h_k := h_{k_l}$
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||||
Definiere rekursiv $\tilde{h}_1 := h_1$, $\tilde{h}_k := \max( \tilde{h}_{k-1}, h_k)$ \\
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$\Rightarrow$ $h_k \le \tilde{h}_k \le g_k \le f_k$ und $\tilde{h}_{k-1} \le \tilde{h}_k$ $\forall k\in\mathbb{N}$ \\
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||||
$\Rightarrow$ $\vert \tilde{h}_k - f\vert \overset{\triangle-\text{Ungl}}{\le}\vert \tilde{h}_k - g_k\vert + \vert g_k -f \vert \le \vert h_k - g_k\vert + \vert g_k -f \vert \le \frac{2}{k}$ auf $(B_k(0)\cap M)\setminus A_k$.
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||||
|
||||
Mit $\tilde{A}_l := \bigcup_{k=l}^\infty A_k$ folgt $\vert \tilde{A}_l\vert \le \frac{1}{2^{l-1}}$ und $\vert \tilde{h}_k - f \vert \le \frac{2}{k}$ auf $(B_k(0)\cap M)\setminus \tilde{A}_l$ $\forall k>l$.
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||||
|
||||
Folglich $\tilde{h}_l\to f$ \gls{fü} auf $M$ und wegen der Monotonie ist $\{ \tilde{h}_k\}$ $L^1$-CF zu $f$ \\
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||||
$\Rightarrow$ $\int_M f \D x \overset{\text{Def}}{=} \lim\limits_{k\to\infty} \int_M \tilde{h}_k \D x \overset{\text{Monotonie}}{\le}\liminf\limits_{k\to\infty} \int_M f_k \D x$\\
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||||
$\Rightarrow$ Behauptung
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\end{proof}
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\begin{theorem}[Monotone Konvergenz]
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\proplbl{integral_grenzwertsatz_monotone_konvergenz}
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||||
Seien $f_k:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ integrierbar auf $M\subset D$ $\forall k\in\mathbb{N}$ mit $f_1 \le f_2 \le \dotsc $ \gls{fü} auf $M$ \\
|
||||
\ $\Rightarrow$ $f$ ist integrierbar auf $M$ und \begin{align*}
|
||||
\left( \int_M f \D x = \right) \int_M \lim\limits_{k\to\infty} f_k(x) \D x &= \lim\limits_{k\to\infty} \int_M f_k \D x
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||||
\end{align*}
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||||
falls der rechte Grenzwert existiert.
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\end{theorem}
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\begin{remark}
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\propref{integral_grenzwertsatz_monotone_konvergenz} bleibt richtig, falls man $f_1 \ge f_2 \ge \dotsc$ \gls{fü} auf $M$ hat.
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||||
Ferner ist wegen der Monotonie die Beschränktheit der Folge $\{ \int_M f_k \D x \}$ für die Existenz des Grenzwertes ausreichend.
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\end{remark}
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\begin{proof}[\propref{integral_grenzwertsatz_monotone_konvergenz}]
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Nach \propref{integral_grenzwertsatz_fatou} ist $f - f_1 = \lim\limits_{k\to\infty} f_k - f_1$ integrierbar auf $M$ und damit auch $f = (f - f_1) + f_1$
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||||
\begin{align*}
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||||
\Rightarrow\;\;\int_M f - f_1 \D x &\le \lim\limits_{k\to\infty} \int_M f_k - f_1 \D x\\
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||||
&= \lim\limits_{k\to\infty} \int_M f_k \D x - \int_M f_1 \D x
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||||
\overset{\footnotesize Monotonie}{\le} \int_M f \D x - \int_M f_1\D x\\
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||||
&= \int_M f - f_1 \D x
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||||
\end{align*}
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||||
\end{proof}
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\begin{theorem}[Majorisierte Konvergenz]
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\proplbl{integral_grenzwertsatz_majorisierte_konvergenz}
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||||
Seien $f_k$, $g:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ messbar für $k\in\mathbb{N}$ und sei $g$ integrierbar auf $M\subset D$ mit $\vert f_k\vert \le g$ \gls{fü} auf $M$ $\forall k\in\mathbb{N}$ und $f_k\to:f$ \gls{fü} auf $M$
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||||
\begin{align}
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||||
\proplbl{integral_grenzwertsatz_majorisierte_konvergenz_eq}
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||||
\Rightarrow\;\;\lim\limits_{k\to\infty} \int_M \vert f_k - f\vert \D x = 0
|
||||
\end{align}
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||||
und \begin{align*}
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||||
\left(\int_M f\D x = \right) \int_M \lim\limits_{k\to\infty} f_k \D x = \lim\limits_{k\to\infty} \int_M f_k \D x,
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||||
\end{align*}
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||||
wobei alle Integrale existieren.
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||||
\end{theorem}
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\begin{proof}
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Nach dem Majorantenkriterium sind alle $f_k$ \gls{fü} integrierbar auf $M$.
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Nach \propref{integral_grenzwertsatz_fatou} gilt:\begin{align*}
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||||
\int_M 2g \D x = \int_M \liminf\limits_{k\to\infty} \vert 2g - \vert f_k - f\vert \vert \D x \le \liminf\limits_{k\to\infty} \int_M 2g - \vert f_k - f \vert \D x
|
||||
\end{align*}
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||||
$\Rightarrow$ $0 = \liminf\limits_{k\to\infty} -\int_M \vert f_k - f\vert \D x$ $\Rightarrow$ \eqref{integral_grenzwertsatz_majorisierte_konvergenz_eq} $\xRightarrow{\propref{integral_funktionen_differenz_null_gleichheit}}$ Behauptung
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||||
\end{proof}
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||||
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||||
\begin{conclusion}
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||||
\proplbl{integral_grenzwertsatz_folgerung_fatou}
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||||
Seien $f_k:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ integrierbar auf $M$ $\forall k\in\mathbb{N}$. Sei $\vert M \vert < \infty$ und konvergieren die $f_k \to: f$ gleichmäßig auf $M$ \\
|
||||
\ $\Rightarrow$ $f$ ist integrierbar auf $M$ und $\int_M f \D x = \lim\limits_{k\to\infty} \int_M f_k \D x$
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||||
\end{conclusion}
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||||
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||||
\begin{proof}
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||||
$\exists k_0\in \mathbb{N}$ mit $\vert f_k(x) \vert \le \vert f_{k_0}(x) + 1\vert$ $\forall x\in\mathbb{M}$, $k > k_0$.
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||||
|
||||
Da $f_{k_0}+1$ integrierbar auf $M$ folgt die Behauptung aus \propref{integral_grenzwertsatz_majorisierte_konvergenz}.
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||||
\end{proof}
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||||
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||||
\begin{theorem}[Mittelwertsatz der Integralrechnung]
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||||
\proplbl{integral_grenzwertsatz_mittelwertsatz_integralrechnung}
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||||
Sei $M\subset\mathbb{R}^n$ kompaket und zusammenhängend, und sei $f:M\to\mathbb{R}$ stetig
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||||
\begin{align*}
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||||
\Rightarrow\;\;\exists \xi\in M: \int_M f \D x = f(\xi) \cdot \vert M \vert
|
||||
\end{align*}
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||||
\end{theorem}
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||||
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||||
\begin{proof}
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Aussage klar für $\vert M \vert = 0$, deshalb wähle $\vert M \vert > 0$.
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||||
Da $f$ stetig auf $M$ kompakt \\
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||||
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
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||||
$\xRightarrow[\propref{satz_von_weierstrass}]{Weierstrass}$ & $\exists$ Minimalstelle $x_1\in M$, Maximalstelle $x_2\in M$ und $\displaystyle\gamma := \int_M f \D x$ \\ $\xRightarrow{\cref{integral_funktion_lemma_weitere_eigenschaften}}$ & $f(x_1) \le \frac{\gamma}{\vert M \vert} \le f(x_2)$ \\
|
||||
$\xRightarrow[\propref{zwischenwertsatz}]{Zwischenwertsatz}$ & $\displaystyle\exists \xi\in M: f(\xi) = \frac{\gamma}{\vert M \vert}$ \\
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||||
$\Rightarrow$ & Behauptung
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||||
\end{tabularx}}
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||||
\end{proof}
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||||
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||||
\subsection{Parameterabhängige Integrale}
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||||
Sei $M\subset\mathbb{R}^n$ messbar, $P\subset\mathbb{R}^n$ eine Menge von Parametern und sei $f:M\times P\to\mathbb{R}$.
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||||
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||||
Betrachte parameterabhängige Funktion \begin{align}
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||||
\proplbl{integral_parameterabhaengig_grundgleichung_eq}
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||||
F(p) &:= \int_M f(x,p) \D x
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||||
\end{align}
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||||
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||||
\begin{proposition}[Stetigkeit]
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||||
Seien $M\subset\mathbb{R}^n$ messbar, $P\subset\mathbb{R}^n$ und $f:M\times P\to\mathbb{R}$ eine Funktion mit \begin{itemize}
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||||
\item $f(\,\cdot\,,p)$ messbar $\forall p\in P$
|
||||
\item $f(x,\,\cdot\,)$ stetig für \gls{fa} $x\in M$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Weiterhin gebe es integrierbare Funktion $g:M\to\mathbb{R}$ mit \begin{itemize}
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||||
\item $\vert f(x,p)\vert \le g(x)$ für \gls{fa} $x\in M$
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||||
\end{itemize}
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||||
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||||
$\Rightarrow$ Integrale in \eqref{integral_parameterabhaengig_grundgleichung_eq} existieren $\forall p\in P$ und $F$ ist stetig auf $P$.
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||||
\end{proposition}
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||||
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||||
\begin{proof}
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||||
$f(\,\cdot\, ,p)$ ist integrierbar auf $M$ $\forall p\in P$ nach \cref{integral_funktion_majorantenkriterium}.
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||||
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||||
Fixiere $p$ und $\{ p_k\}$ in $P$ mit $p_k\to p$.
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||||
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||||
Setzte $f_k(x) := f(x, p_k)$
|
||||
|
||||
Stetigkeit von $f(x,\,\cdot\,)$ liefert $f_k(x) = f(x, p_k)\xrightarrow{x\to\infty} f(x,p)$ für \gls{fa} $x\in M$.\\ \begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
|
||||
$\xRightarrow{\cref{integral_grenzwertsatz_majorisierte_konvergenz}}$ & $F(p_k) = \int_M f_k(x) \D x \to \int_M f(x,p)\D x = F(p)$ \\
|
||||
$\xRightarrow[\text{beliebig}]{p\in P}$ & Behauptung
|
||||
\end{tabularx}
|
||||
\end{proof}
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||||
|
||||
\begin{proposition}[Differenzierbarkeit]
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||||
Seien $M\subset\mathbb{R}^n$ messbar, $P\subset\mathbb{R}^m$ offen und $f:M\times P\to\mathbb{R}$ mit $f(\,\cdot\, ,p)$ integrierbar auf $M$ $\forall p\in P$. und \begin{itemize}
|
||||
\item $f(x,\,\cdot\,)$ stetig \gls{diffbar} auf $P$ für \gls{fa} $x\in M$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Weiterhin gebe es eine integrierbare Funktion $g:M\to\mathbb{R}$ mit \begin{itemize}
|
||||
\item $\vert f_P(x,p)\vert \le g(x)$ für \gls{fa} $x\in M$ und $\forall p\in P$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
$\Rightarrow$ $F$ aus \eqref{integral_parameterabhaengig_grundgleichung_eq} ist \gls{diffbar} auf $P$ mit \begin{align}
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||||
\proplbl{integral_parameterabhaengig_differenzierbarkeit_eq}
|
||||
F'(p) &= \int_M f_p(x,p) \D x
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||||
\end{align}
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||||
\end{proposition}
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||||
|
||||
\begin{underlinedenvironment}[Hinweis]
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||||
Das Integral in \eqref{integral_parameterabhaengig_differenzierbarkeit_eq} ist komponentenweise zu verstehen und liefert für jedes $p\in P$ einen Wert im $\mathbb{R}^m$.
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||||
|
||||
Betrachtet man für $p=(p_1, \dotsc, p_m)\in\mathbb{R}^n$ nur $p_j$ als Parameter und fixiert andere $p_i$, dann liefert \eqref{integral_parameterabhaengig_differenzierbarkeit_eq} die partielle ABleitung $F_{p_j} (p) = \int_m f_{p_j}(x,p) \D x$ für $j=1,\dotsc, m$.
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||||
\end{underlinedenvironment}
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||||
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||||
\begin{proof}
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||||
Königsberger: Analysis 2 (Abschnitt 8.4)
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||||
\end{proof}
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||||
\subsection{\person{Riemann}-Integral}
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||||
Der klassische Integralbegriff hat konzeptionelle Bedeutung (Einführung etwas einfacher, keine messbaren Mengen und Funktionen) \\
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||||
$\Rightarrow$ weniger Leistungsfähig (Anwendung nur in speziellen Situationen)
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||||
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||||
\begin{underlinedenvironment}[ebenfalls]
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||||
Approximation von der zu integrierenden Funktion $f$ durch geeignete Treppenfunktionen
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||||
|
||||
Sei $f:Q\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ mit $Q\in\mathcal{Q}$ eine beschränkte Funktion. Betrachte die Menge der Treppenfunktionen $T_{\mathcal{Q}}(Q)$, der Form \begin{alignat*}{3}
|
||||
h &= \sum_{j=1}^l c_j \chi_{Q_j} & &\quad\text{mit}\quad & \bigcup_{j=1}^l Q_j&= Q,
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||||
\end{alignat*}
|
||||
$Q_j\in\mathcal{Q}$ paarweise disjunkt, $c_j\in \mathbb{R}$.
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||||
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||||
Quader $\{ Q_j\}_{j=1,\dotsc,l}$ werden als Zerlegung zugehörig zu $h$ bezeichnet.
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||||
\end{underlinedenvironment}
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||||
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||||
\begin{*definition}
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||||
Für Quader $Q' = F_1'\times \dotsc\times F_n'\in\mathcal{Q}$ mit Intervallen $F_j\subset\mathbb{R}$ heißt $\sigma_{Q'} := \max\limits_{j} \vert I_j'\vert$ ($\vert I_j'\vert$ - Intervalllänge) \begriff{Feinheit} von $Q'$ (setzte $\sigma_\emptyset = 0$).
|
||||
|
||||
Für $h=\sum_{j=1}^l c_j \chi_{Q_j}$ heißt $\sigma_h := \max \sigma_{Q_j}$ Feinheit zur \begriff{Treppenfunktion} $h$.
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||||
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||||
Treppenfunktion $h=\sum_{j=1}^l c_j \chi_{Q_j}\in T_{\mathcal{Q}}(Q)$ heißt \begriff{zulässig} (\person{Riemann}-zulässsig) für $f$ falls $\forall j$ $\exists x_j\in Q_j:$ $c_j = f(x_j)$, d.h. auf jedem Quader $Q_j$ stimmt $h$ mit $f$ in (mindestens) einem Punkt $x_j$ überein.
|
||||
|
||||
Zu zulässigen $h$ nennen wir $S(h) := \sum_{j=1}^l c_j \vert Q_j\vert = \sum_{j=1}^l f(x_j) \cdot \vert Q_j\vert$ \begriff{\person{Riemann}-Summe} zu $h$.
|
||||
|
||||
Folge $\{ h_k\}$ zulässiger Treppenfunktionen zu $f$, deren Feinheit gegen Null geht (d.h. $\sigma_{h_k}\to 0$) heißt \begriff{\person{Riemann}-Folge} zu $f$.
|
||||
|
||||
$f$ heißt \person{Riemann}-integrierbar (kurz R-integrierbar) auf $Q$, falls $S\in \mathbb{R}$ existiert mit \begin{align}
|
||||
S = \lim\limits_{k\to\infty} S(h_k)\end{align} für \emph{alle} \person{Riemann}-Folgen $\{ h_k \}$ zu $f$.
|
||||
|
||||
Grenzwert $\int_Q f(x) \D x := S$ heißt \begriff{\person{Riemann}-Integral} (kurz R-Integral) von $f$ auf $Q$.
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||||
\end{*definition}
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||||
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||||
\begin{proposition}
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||||
\proplbl{integral_riemann_stetig_r_integrierbar}
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||||
Sei $f:Q\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ stetig und $Q\in\mathcal{Q}$ abgeschlossen \\
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||||
$\Rightarrow$ $f$ ist (\lebesque) integrierbar und \person{Riemann}-Integrierbar auf $Q$ mit R-$\int_Q f \D x = \int_Q f \D x$.
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||||
\end{proposition}
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||||
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||||
\begin{remark}
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||||
Sei $f:Q\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ beschränkt und es sei $N:=\{ x\in Q \mid f$ nicht stetig in $x \}$.
|
||||
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||||
Dann kann man zeigen: $f$ ist \person{Riemann}-Integrierbar, wenn $n$ Nullmenge ist.
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||||
|
||||
\begin{center}
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||||
\begin{tabular}{r@{\ \ }c@{\ \ }l}
|
||||
$f$ ist $R$-integrierbar & $\Leftrightarrow$ $N$ ist Nullmenge.
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Man sieht leicht: die \person{Dirichlet}-Funktion (\propref{messbarkeit_einfuehrung_dirichlet_funktion}) ist auf $[0,1]$ nicht R-integrierbar, da die Treppenfunktionen $h_0 = 0$ und $h_1 = 1$ auf $[0,1]$ mit belieb feiner Zerlegung $\{Q_j\}$ jeweils stets zulässig sind, sich jedoch in der \person{Riemann}-Summe $0$ bzw. $1$ unterscheiden. (Die \person{Dirichlet}-Funktion ist jedoch L-integrierbar)
|
||||
\end{remark}
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||||
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||||
\begin{proof}[\propref{integral_riemann_stetig_r_integrierbar}]
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||||
Als stetige Funktion ist $f$ auf $Q$ messbar und beschränkt und somit L-integrierbar.
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||||
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||||
Fixiere $\epsilon > 0$ und sei $h=\sum_{j=1}^{l_k} f(x_{k_j}) \chi_{Q_j}$ \person{Riemann}-Folge von Treppenfunktionen zu $f$.
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||||
|
||||
Für $\vert Q \vert = 0$ folgt die Behauptung leicht, da $S(h_k) = 0$ $\forall k\in\mathbb{N}$
|
||||
|
||||
Sei nun $\vert Q \vert > 0$. Da $f$ auf kompakter Menge $Q$ gleichmäßig stetig ist, existiert $\delta > 0$ mit $\vert f(x) - f(\tilde{x})\vert < \frac{\epsilon}{\vert Q \vert}$ falls $\vert x - \tilde{x}\vert < \delta$.
|
||||
|
||||
Da $\sigma_{h_k}\to 0$ $\exists k_0\in\mathbb{N}:$ $\sigma_{h_k} < \frac{\delta}{\sqrt{n}}$ $\forall k\ge k_0$ \\
|
||||
\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
|
||||
$\Rightarrow$ & $\vert x - \tilde{x}\vert < \delta$ $\forall x,\tilde{x}\in Q_{k_j}$ falls $k\ge k_0$ und $\vert f(x) - f(x_{j})\vert < \frac{\epsilon}{\vert Q \vert}$ $\forall x\in Q_{k_j}$ mit $k\ge k_0$\\
|
||||
$\Rightarrow$ & $\left\vert \int_Q f\D x - \int_Q h_k \D x \right\vert \le \int_Q \vert f - h_k\vert \D x \le \frac{\epsilon}{\vert Q \vert}\cdot \vert Q \vert = \epsilon$ $\forall k\ge k_0$
|
||||
\end{tabularx}
|
||||
|
||||
Da $S(h_k) = \int_Q h_k \D x$ und $\epsilon > 0$ beliebig folgt $S(h_k)\to \int_Q f\D x$.
|
||||
|
||||
Für jede \person{Riemann}-Folge $\{h_k\}$ zu $f$ ist $f$ R-integrierbar und Behauptung folgt.
|
||||
\end{proof}
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||||
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2. Semester/ANAG/TeX_files/Integral_R.tex
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271
2. Semester/ANAG/TeX_files/Integral_R.tex
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@ -0,0 +1,271 @@
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\section{Integration auf $\mathbb{R}$} \setcounter{equation}{0}
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||||
\subsection{Integrale konkret ausrechnen}
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||||
$\int_I f \D x$ auf Intervalle $I=(\alpha,\beta)\subset\overline{\mathbb{R}}$ (mit $\alpha\le\beta$) (da Randpunkte eines Intervalls $I\subset\mathbb{R}$ nur Nullmenge sind, könnte man statt offenem Intervall auch abgeschlossene bzw. halboffene Intervalle verwenden, ohne den Integralwert zu ändern)
|
||||
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||||
Schreibweise:\begin{align*}
|
||||
\int_{\alpha}^{\beta} f \D x &:= \int_I f \D x & &\text{und}& \int_{\beta}^{\alpha} f \D x &:= -\int_{\alpha}^{\beta} f \D x
|
||||
\end{align*}
|
||||
($\alpha = -\infty$ bzw. $\beta = +\infty$ zugelassen)
|
||||
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||||
\begin{underlinedenvironment}[beachte]
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||||
alle Intervalle sind messbare Mengen nach \propref{messbarkeit_satz_grundlegende_messbare_mengen}, \propref{messbarkeit_mengen_satz_acht}.
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||||
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||||
$\int_{\alpha}^{\beta} f \D x$ heißt auch \begriff{bestimmtes Integral} von $f$ auf $I$.
|
||||
\end{underlinedenvironment}
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||||
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||||
Nach \propref{messbarkeit_satz_grundlegende_messbare_mengen} \ref{messbarkeit_satz_sigma_algebra_zwei}:
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||||
\begin{proposition}
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||||
\proplbl{integral_r_integrierbar_auf_teilintervalle}
|
||||
Sei $f:I\to\mathbb{R}$ integrierbar auf $I$. Dann ist $I$ auch auf allen Teilintervallen $\tilde{I}\subset I$ integrierbar.
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||||
\end{proposition}
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||||
\begin{theorem}[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]
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||||
\proplbl{integral_r_hauptsatz}
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||||
Sei $f:I\to\mathbb{R}$ stetig und integrierbar auf Intervall $I\subset\mathbb{R}$ und sei $x_0\in I$. Dann
|
||||
\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
|
||||
\item $\tilde{F}:I\to \mathbb{R}$ mit $\tilde{F}(x) := \int_{x_0}^x f(y) \D y$ $\forall x\in I$ ist Stammfunktion von $f$ auf $I$.
|
||||
\item Für jede Stammfunktion $F:I\to \mathbb{R}$ auf $F$ gilt: \begin{align}
|
||||
\proplbl{integral_r_hauptsatz_eq}
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||||
F(b) - F(a) = \int_a^b f(x) \D x \quad\forall a,b\in I
|
||||
\end{align}
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||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{theorem}
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||||
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||||
\begin{remark}\vspace*{0pt}
|
||||
\begin{itemize}[topsep=\dimexpr-\baselineskip/2\relax]
|
||||
\item damit besitzt jede stetige Funktion auf $I$ eine Stammfunktion
|
||||
\item \eqref{integral_r_hauptsatz_eq} ist zentrale Formel zur Berechnung von Integralen auf $f$ der reelen Achse; die linke Seite in \eqref{integral_r_hauptsatz_eq} schreibt man auch kurz \begin{align*}
|
||||
F(b) - F(a) &= \left.F(x)\right|_a^b = \left. F\right|_a^b = [ F(x) ]_a^b = [ F ]_a^b
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{remark}
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||||
|
||||
\begin{proof}\hspace*{0pt}
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||||
\NoEndMark
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||||
\begin{enumerate}[label={zu \alph*},topsep=\dimexpr-\baselineskip/2\relax,leftmargin=\widthof{\texttt{zu a)\ }}]
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||||
\item Fixiere $x\in I$. Dann gilt für $t\neq 0$ \begin{align*}
|
||||
\frac{\tilde{F}(x + t) - \tilde{F}(x)}{t} &= \frac{1}{t} \left( \int_{x_0}^{x + t} f \D y - \int_{x_0}^{x} f \D y \right) = \frac{1}{t} \int_x^{x + t} f \D y =: \phi(t),
|
||||
\end{align*}
|
||||
wobei nach \propref{integral_r_integrierbar_auf_teilintervalle} alle Integrale existieren. \\
|
||||
$\xRightarrow{\cref{integral_grenzwertsatz_mittelwertsatz_integralrechnung}}$ $\forall t\neq 0$ $\exists \xi_t\in [x, x+t]$ (bzw. $[x + t, x]$ für $t < 0$): $\phi(t) = \frac{1}{\vert t \vert} f(\xi) \vert t \vert = f(\xi_t)$ \\
|
||||
$\xRightarrow{\text{$f$ stetig}}$ $\tilde{F}'(x) = \lim\limits_{t\to 0} \phi(t) = f(x)$ \\
|
||||
$\Rightarrow$ Behauptung
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||||
|
||||
\item Für eine beliebige Stammfunktion $F$ von $f$ gilt: $F(x) = \tilde{F}(x) + C$ für ein $c\in \mathbb{R}$ (vgl \propref{stammfunktion_uneindeutigkeit_stammfunktion}) \\ \begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
|
||||
$\Rightarrow$ & $F(b) - F(a) = \tilde{F}(b) - \tilde{F}(a) = \int_{x_0}^{b} f \D x - \int_{x_0}^{a} f \D x = \int_a^b f \D x$ \\
|
||||
$\Rightarrow$ & Behauptung \hfill\csname\InTheoType Symbol\endcsname
|
||||
\end{tabularx}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proof}
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||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
\begin{align*}
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||||
\int_a^b \gamma x \D x &= \left.\frac{\gamma}{2} x^2\right|_a^b = \frac{\gamma}{2} (b^2 - a^2)
|
||||
\end{align*}
|
||||
\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ }l@{\ }X}
|
||||
für $a = 0$: & Integral = $\frac{b( \gamma b)}{2}$ & (Flächenformel für's Dreieck) \\
|
||||
$a = -b <
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||||
0$: & Integral = 0 & (d.h. vorzeichenbehaftete Fläche)
|
||||
\end{tabularx}
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||||
\end{example}
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||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
\proplbl{integration_r_beispiel_5}
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||||
\begin{align*} \int_0^\pi \sin x \D x = -\cos x | _0^\pi = 1 - (-1) = 2\end{align*}
|
||||
\end{example}\begin{proposition}[Substitution für bestimmte Integrale]
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||||
Sei $f:I\to\mathbb{R}$ stetig, $\phi:I\to\mathbb{R}$ stetig \gls{diffbar} und streng monoton, $a,b\in I$. Dann:
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||||
\begin{align}
|
||||
\int_a^b f(x) \D x &= \int_{\phi(a)}^{\phi(b)}f (\phi(y)) \phi'(y) \D y
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
\begin{underlinedenvironment}[formal]
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||||
ersetzte $\alpha = \phi(y)$ und $\D x = \frac{\D x}{\D y} \D y = \phi'(y) \D y$.
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||||
|
||||
Ersetzung des Arguments von $f$ durch $x=\phi(y)$ bezeichnet man als \begriff{Substitution} bzw. Variablentransformation
|
||||
\end{underlinedenvironment}
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||||
\end{proposition}
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||||
|
||||
\begin{proof}
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||||
\NoEndMark
|
||||
Sei $F:I\to\mathbb{R}$ Stammfunktion von $f$ auf $I$ (existiert nach \propref{integral_r_hauptsatz}) \\
|
||||
\renewcommand{\arraystretch}{2}
|
||||
\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
|
||||
$\xRightarrow{\propref{stammfunktion_substitution}}$ & $F(\phi(\,\cdot\,))$ ist Stammfunktion zu $f(\phi(\,\cdot\,))\phi'(\,\cdot\,)$ \\
|
||||
$\xRightarrow{\propref{integral_r_hauptsatz}}$ & $\displaystyle \int_{\phi^{-1}(a)}^{\phi^{-1}(b)} f(\phi(y))\phi'(y) \D y = F(\phi(y))|_{\phi^{-1}(a)}^{\phi^{-1}(b)} = F(b) - F(a) = \int_a^b f(x) \D x$\hfill\csname\InTheoType Symbol\endcsname
|
||||
\end{tabularx}
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||||
\end{proof}
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||||
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||||
\begin{example}
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||||
\proplbl{integral_r_beispiel_7}
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\zeroAmsmathAlignVSpaces*
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\begin{align*}
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||||
\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \D x \overset{x = \phi(x) = \sin y}{=} \int_0^{\sfrac{\phi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 y}} \cdot \cos y \D y = \int_0^{\sfrac{\pi}{2}} 1 \D y = \frac{\pi}{2}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{example}
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||||
|
||||
\begin{proposition}[partielle Integration für bestimmte Integrale]
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||||
Seien $f$, $g:I\to\mathbb{R}$ stetig und $F$ bzw. $G$ die zugehörigen Stammfunktionen, $a$,$b\in I$. Dann \begin{align*}
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||||
\int_a^b f G \D x = FG|^b_a - \int_a^b F g \D x
|
||||
\end{align*}
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||||
\end{proposition}
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||||
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||||
\begin{proof}
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||||
Es gilt nach \propref{stammfunktion_partielle_integration}
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\begin{align*}
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||||
\int f G\D x &= F(x) G(x) - \int F g \D x
|
||||
\end{align*}
|
||||
und somit folgt aus \eqref{integral_r_hauptsatz_eq} \begin{align*}
|
||||
\int_a^b f G \D x = \left[ \int f G \D x \right]_a^b = [F \cdot G]_a^b - \left[ \int F g \D x \right] _a^b = F \cdot G |_a^b - \int_a^b F g \D x
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{example}
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||||
Fläche des Einheitskreises: betrachte $y = \sqrt{1 - x^2}$ und \begin{align*}
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||||
\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\D x &= \int_0^1 1 \cdot\sqrt{1 - x^2} \D x = \left[ x \cdot \sqrt{1 - x^2} \right]_0^1 - \int_0^1 x \cdot \frac{-2x}{2 \sqrt{1 - x^2}} \D x\\
|
||||
&= \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} - \int \frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}} \D x \overset{\text{\cref{integral_r_beispiel_7}}}{=} \frac{\pi}{2} - \int_0^1 \sqrt{1 - x^2} \D x
|
||||
\end{align*}
|
||||
$\Rightarrow$ Der Viertelkreis hat die Fläche $\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\D x = \dfrac{\frac{\pi}{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$ und folglich die Kreisfläche von $\pi$.
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
Berechne die Fläche zwischen den Graphen von $f(x) = x^2$, $g(x) = x+2$.
|
||||
|
||||
Schnittpunkte: $x_1 = -1$, $x_2 = 2$
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\int_{-1}^2 g - f \D x = \int_{-1}^2 x + 2 - x^2 \D x = \left[ \frac{1}{2}x^2 + 2x - \frac{1}{3} x^3 \right]_{-1}^2 = \frac{9}{2}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
\begin{example}
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||||
Berechne die Fläche zwischen den Graphen von $f(x) = x (x - 1)(x + 1) = x^3 - x$ und $g(x) = x_0$.
|
||||
|
||||
Schnittpunkte: $x_{1,3} = \pm\sqrt{2}$, $x_2 = 0$
|
||||
|
||||
Betrachte $g - f$ auf $[0,\sqrt{2}]$ \begin{align*}
|
||||
\int_0^{\sqrt{2}}g - f \D x &= \int_0^{\sqrt{2}} 2x - x^3 \D x = \left[ x^2 - \frac{x^4}{4} \right]_0^{\sqrt{2}} = 1,
|
||||
\end{align*}
|
||||
analog $\int_{-\sqrt{2}}^0 f - g \D x = 1$ \\
|
||||
$\Rightarrow$ Gesamtfläche = 2
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}[Differenz von Funktionswerten]
|
||||
Sei $f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$, $D$ offen, $f$ stetig \gls{diffbar}, $[x,y]\subset D$. Dann \begin{align*}
|
||||
f(y) - f(x) &= \int_0^1 f'(x + t(y - x)) \cdot (y - x) \D t = \int_0^1 f(x + t(y - x)) \D t (y - x)
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\begin{underlinedenvironment}[Hinweis]
|
||||
die linke Seite ist Element in $\mathbb{R}^n$ und die Integrale sind jeweils komponentenweise zu verstehen (Mitte = $\mathbb{R}^m$, rechts $\mathbb{R}^{n\times m}$). Man vergleiche den Mittelwertsatz (\propref{mittelwertsatz_mittelwertsatz}) und Schrankensatz (\propref{mittelwertsatz_schrankensatz}).
|
||||
\end{underlinedenvironment}
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\NoEndMark
|
||||
Sei $f = (f_1, \dotsc, f_n)$, $\phi_k: [0,1]\to\mathbb{R}$ mit $\phi_k(t) := f_K(x + t(y - x))$ \\\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
|
||||
$\Rightarrow$ & $\phi_t$ ist \gls{diffbar} auf $[0,1]$ mit $\phi_k'(t) = f'(x + t(y - x)) \cdot (y - x)$ \\
|
||||
$\xRightarrow{\text{\propref{integral_r_hauptsatz}}}$ & $f_k(y) - f_k(x) = \phi_k(1) - \phi_k(0) = \int_0^1 \phi_k'(t) \D t$ \\
|
||||
$\Rightarrow$ & Behauptung \hfill\csname\InTheoType Symbol\endcsname
|
||||
\end{tabularx}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\subsection{Uneigentliche Integrale}
|
||||
\begin{underlinedenvironment}[Frage]
|
||||
$\int_I f \D x$ für $I$ unbeschränkt bzw. $f$ unbeschränkt?
|
||||
\end{underlinedenvironment}
|
||||
\begin{underlinedenvironment}[Strategie]
|
||||
Verwende den Hauptsatz mittels Grenzprozess
|
||||
\end{underlinedenvironment}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
\proplbl{integral_r_uneigentlich_satz_eq}
|
||||
Sei $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ stetig für $a$, $b\in\mathbb{R}$. Dann \begin{center}
|
||||
$f$ integrierbar auf $(a,b]$ \ \ $\Leftrightarrow$ \ \ $\displaystyle \lim\limits_{\substack{x\downarrow a \\ x\neq a}} \int_a^b \vert f \vert \D x$ existiert
|
||||
\end{center}
|
||||
\begin{flalign}
|
||||
\proplbl{integral_r_uneigentlich_satz_eq}
|
||||
\Rightarrow \;\; \int_a^b f\D x &= \lim\limits_{k\to \infty} \int_{\alpha_k}^a f \D x \text{ für eine Folge $\alpha_k \downarrow a$}&
|
||||
\end{flalign}
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{remark}\vspace*{0pt}
|
||||
\proplbl{integral_r_uneigentlich_bemerkung}
|
||||
\begin{enumerate}[label={\alph*)},topsep=\dimexpr-\baselineskip/2\relax]
|
||||
\item Eine analoge Aussage gilt für $f:[a,b)\to\mathbb{R}$
|
||||
\item Falls $f$ beschränkt auf $(a,b]$, dann stets integrierbar (vgl. \propref{integral_grenzwertsatz_folgerung_fatou})
|
||||
\item Nutzen: Integrale können mittels Hauptsatz berechnet werden
|
||||
\item Für uneigentliche Integrale $\int_a^b f \D x$ im Sinne von \person{Riemann}-Integralen muss nur $\lim\limits_{\alpha\downarrow a} \int_{\alpha}^b f \D x$ existieren (vgl. \propref{integral_r_uneigentlich_beispiel_19} unten)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Sei $\alpha_k\downarrow a$, $a < \alpha_k$ $\forall k$ und \begin{align*}
|
||||
f_k(x) &:= \begin{cases}
|
||||
f(x) & \text{auf $(\alpha_k, b]$} \\
|
||||
0 & \text{auf $(a, \alpha_k)$}
|
||||
\end{cases}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Offenbar ist $\vert f_k\vert \le \vert f\vert$, $f_k\to f$, $\vert f_k\vert \to \vert f \vert$ \gls{fü} auf $(a,b)$.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item["`$\Rightarrow$"'] $f$ integrierbar auf $(a,b)$. Mit \propref{integral_grenzwertsatz_majorisierte_konvergenz} (Majorisierte Konvergenz) folgt \begin{align*}
|
||||
\lim\limits_{k\to\infty} \int_{\alpha_k}^b \vert f \vert \D x &= \lim\limits_{k\to\infty} \int_a^b \vert f_k\vert \D x = \int_a^b \vert f \vert \D x
|
||||
\end{align*}
|
||||
$\Rightarrow$ Behauptung $\xRightarrow[\text{Beträge}]{\text{ohne}}$ \eqref{integral_r_uneigentlich_satz_eq}
|
||||
|
||||
\item["`$\Leftarrow$"'] Folge $\{ \vert f_k\vert \}$ monoton wachsend, \begin{align*}
|
||||
\lim\limits_{k\to\infty} \int_a^b \vert f_k\vert \D x &= \lim\limits_{k\to\infty} \int_{\alpha_k}^b \vert f \vert \D x\quad\text{existiert}
|
||||
\end{align*}
|
||||
$\xRightarrow[\text{Konvergenz}]{\text{majorisierte}}$ $f$ integrierbar
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
$\int_0^1 \frac{1}{x^\gamma} \D x$ existiert für $0 < \gamma < 1$ und \emph{nicht} für $\gamma \ge 1$
|
||||
|
||||
Für $\gamma \neq 1$: $\displaystyle \int_{\alpha_k}^1 \frac{1}{x^\gamma} \D x = \left.\frac{1}{1 - \gamma}x^{1 - \gamma}\right|_{\alpha_k}^1 = \frac{1}{1-\gamma} (1 - \alpha_k)^{1 - \gamma} \xrightarrow{\alpha_k \downarrow 0} \frac{1}{1 - \gamma}$
|
||||
|
||||
(keine Konvergenz für $1 - \gamma \le 0$, $\gamma=1$: analog mit Stammfunktion $\ln x$)
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
sei $f:[a,+\infty]\to\mathbb{R}$ stetig, dann \begin{center}
|
||||
$f$ integrierbar auf $[a,+\infty]$ \ \ $\Leftrightarrow$ \ $\displaystyle \lim\limits_{\beta \to \infty} \int_a^\beta \vert f \vert \D x$ existiert
|
||||
\end{center}
|
||||
$\Rightarrow$ $\displaystyle \int_0^\infty f \D x = \lim\limits_{k\to\infty} \int_0^{\beta_k} f \D x$ für eine Folge $\beta_k\to\infty$
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
Analoge Bemerkungen wie in \propref{integral_r_uneigentlich_bemerkung}
|
||||
\end{remark}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Analog zu \propref{integral_r_uneigentlich_satz}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
\proplbl{integral_r_unbestimmt_beispiel_18}
|
||||
{\zeroAmsmathAlignVSpaces*
|
||||
\begin{flalign*}
|
||||
\int_1^\infty &\frac{1}{x^\gamma} \D x \text{existiert für $\gamma > 1$ und nicht für $0 \le \gamma \le 1$}&
|
||||
\end{flalign*}}
|
||||
|
||||
Für $\gamma \neq 1$:\begin{align*}
|
||||
\int_1^{\beta_k} \frac{1}{x^\gamma} \D x &= \left.\frac{1}{\gamma} x^{1 - \gamma}\right|_1^{\beta_k} = \frac{1}{\gamma - 1} (1 - \beta_k^{1 - \gamma}) \xrightarrow{\beta_k\to\infty} \frac{1}{\gamma - 1},
|
||||
\end{align*}
|
||||
falls $1 - \gamma < 0$ (keine Konvergenz für $1 - \gamma \ge 0$, $\gamma = 1$ analog mit Stammfunktion $\ln x$)
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
\proplbl{integral_r_uneigentlich_beispiel_19}
|
||||
{\zeroAmsmathAlignVSpaces\begin{flalign*}
|
||||
\int_0^\infty &\frac{\sin x}{x} \D x &
|
||||
\end{flalign*}}
|
||||
|
||||
Offenbar ist $\int_{(k - 1)\pi}^{k\pi} \left\vert \frac{\sin x}{x} \right\vert \D x \ge \frac{1}{k\pi} \int_{(k - 1)\pi}^{k\pi} \vert \sin x \vert \D x = \frac{2}{k\pi}$ $\forall k\ge 1$ (vgl. \propref{integration_r_beispiel_5}) \\
|
||||
$\Rightarrow$ $\int_0^{k\pi} \left\vert \frac{\sin x}{x}\right\vert \D x \ge \frac{2}{\pi} \sum_{j=1}^k \frac{1}{j} \xrightarrow{k\to\infty} \infty$ \\
|
||||
$\Rightarrow$ $\frac{\sin x}{x}$ \emph{nicht} integrierbar auf $(0,\infty)$
|
||||
|
||||
\emph{aber} $\int_1^\beta \frac{1}{x} \sin x \D x = \frac{\cos 1}{1} - \frac{\cos \beta}{\beta} - \int_1^\beta \frac{\cos x}{x^2} \D x$
|
||||
|
||||
Wegen $\left\vert\frac{\cos x}{x^2}\right\vert\le\frac{1}{x^2}$ $\forall x\neq 0$, $\frac{1}{x^2}$ ist integrierbar nach \propref{integral_r_unbestimmt_beispiel_18} \\
|
||||
$\Rightarrow$ $\lim\limits_{\beta\to\infty} \int_1^\beta \frac{\cos x}{x^2} \D x$ existiert nach \propref{integral_funktion_majorantenkriterium} \\
|
||||
$\Rightarrow$ $\lim\limits_{\beta\to\infty} \int_1^\beta \frac{\sin x}{x}\D x$ existiert $\Rightarrow$ $\int_0^\infty \frac{\sin x}{x} \left( = \frac{\pi}{2}\right)$ existiert als uneigentliches Integral im Sinne des \person{Riemann}-Integral (vgl \propref{integral_r_uneigentlich_bemerkung}), aber nicht als \lebesque-Integral.
|
||||
\end{example}
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,9 @@
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|||
Integration kann betrachtet werden als
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item verallgemeinerte Summation, d.h. $\int_\mu f\D x$ ist Grenzwert von Summen
|
||||
\item lineare Abbildung $\int: \mathcal{F}\marginnote{$\mathcal{F}$: Menge der Funktionen}\to \mathbb{R}$ über $\int_a^b (\alpha f + \beta g)\D x = \alpha \int_a^b f \D x + \beta \int_a^b g \D x$ Funktionen, d.h. als Grundlage benötigt man ein "`Volumen"' (Maß) für allgemeine Mengen $M\subset\mathbb{R}$.
|
||||
|
||||
Wir betrachten Funktionen $f:D\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\cup \{ \pm \infty \}$, welche komponentenweise auf $f:D\subset\mathbb{R}\to K^k$ erweitert werden kann. Benutze $C^m \cong \mathbb{R}^{2m}$ für $K=\mathbb{C}$.
|
||||
|
||||
Vgl. Buch: Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F.: Measure theory and fine properties of functions
|
||||
\end{itemize}
|
||||
596
2. Semester/ANAG/TeX_files/Messbarkeit.tex
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596
2. Semester/ANAG/TeX_files/Messbarkeit.tex
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|
@ -0,0 +1,596 @@
|
|||
\section{Messbare Mengen und messbare Funktionen}\setcounter{equation}{0}
|
||||
|
||||
Wir führen zunächst das \person{Lebesque}-Maß ein und behandeln dann messbare Mengen und messbare Funktionen.
|
||||
|
||||
\subsection{\person{Lebesque}-Maß}
|
||||
\begin{*definition}
|
||||
Wir definieren die Menge \begin{align*}
|
||||
\mathcal{Q} &:= \left\{ I_1 \times \dotsc \times I_n \subset\mathbb{R}^n \mid I_j\subset\mathbb{R}\text{ beschränktes Intervall} \right\}
|
||||
\end{align*}
|
||||
$\emptyset$ ist auch als beschränktes Intervall zugelassen. $Q\in\mathcal{Q}$ heißt \begriff{Quader}.
|
||||
|
||||
Sei $\vert I_j\vert :=$ Länge des Intervalls $I_j\subset\mathbb{R}$ (wobei $\vert\emptyset\vert = 0$), dann heißt \begin{align}
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||||
\proplbl{messbarkeit_definition_volumen_eq}
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||||
v(Q) &:= \vert I_1\vert \cdot \dots \cdot \vert I_n\vert \quad \text{für}\; Q = I_1\times \dotsc\times I_n \in\mathbb{Q}
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||||
\end{align}
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\begriff{Volumen} von $Q$
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\emph{beachte:} $v(q) = 0$ für "`dünne"' Quader (d.h. falls ein $\vert I_j\vert = 0$). Insbesondere $v(\emptyset) = 0$.
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\end{*definition}
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Wir möchten für beliebige Mengen $M\subset\mathbb{R}^n$ ein "`Volumenmaß"' definieren, das mit dem Volumen für Quader kompatibel ist.
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\begin{*definition}
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Dafür betrachte eine (Mengen-) Funktion $\vert .\vert :\mathcal{P}(\mathbb{R}^n)\to [0,\infty]$ mit \begin{align}
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\proplbl{messbarkeit_definition_lebesque_mass}
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\vert \mu \vert &= \inf \left\{ \left. \sum_{j=1}^{\infty} v(Q_j) \;\right|\; M\subset\bigcup\limits_{j=1}^\infty Q_j, \; \text{$Q_j\in\mathcal{Q}$ Quader} \right\}\quad\forall M\subset\mathbb{R}^n,
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||||
\end{align}
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die man \begriff{\person{Lebeque}-Maß} auf $\mathbb{R}^n$ nennt.
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$\vert \mu \vert$ heißt (\person{Lebesque}-Maß) von $M$, oft schreibt man auch $\mathcal{L}^{\mu}(M)$.
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\end{*definition}
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\begin{underlinedenvironment}[Hinweis]
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Das \lebesque-Maß wird in der Literatur vielfach nur für messbare Mengen definiert ($M\subset\mathbb{R}^n$) und die Erweiterung auf alle $M\subset\mathbb{R}^n$ wie in \eqref{messbarkeit_definition_lebesque_mass} wird dann als äußeres \lebesque-Maß bezeichnet.
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\end{underlinedenvironment}
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\begin{lemma}
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\proplbl{messbarkeit_nur_offene_mengen}
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Mann kann sich in \eqref{messbarkeit_definition_lebesque_mass} auf offene Mengen beschränken.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Fixiere $\epsilon > 0$. Sei $M\subset\bigcup_{j=1}^\infty Q_j$, $Q_j\in\mathcal{Q}$ und $\alpha := \sum_{j=1}^\infty v(Q_j) < \vert M \vert + \epsilon$.
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||||
Wähle offene Quader $\tilde{Q_j}\in\mathcal{Q}$ mit $Q_j\subset\tilde{Q_j}$, $v(\tilde{Q}_j)< v(Q_j) + \frac{\epsilon}{\alpha}$ \\
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||||
$\Rightarrow$ $M\subset\bigcup_{j=1}^\infty \tilde{Q_j}$ und $\vert M \vert \le \sum_{j=1}^\infty v(\tilde{Q_j}) < \alpha + \epsilon < \vert M \vert + 2\epsilon$.
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Wegen $\epsilon > 0$ beliebig folgt die Behauptung.
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\end{proof}
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\begin{proposition}
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Es gilt: \begin{align}
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\proplbl{messbarkeit_satz_teilmenge_kleineres_mass_eq}
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M_1 \subset M_2 &\Rightarrow \vert M_1 \vert \le \vert M_2\vert
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||||
\end{align}
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||||
und die Abbildung $\mu\mapsto \vert \mu\vert$ ist \begriff{$\sigma$-subadditiv}, d.h. \begin{align}
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\proplbl{messbarkeit_sigma_subadditiv_eq}
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||||
\left\vert \bigcup_{j=1}^\infty M_k\right\vert &\le \sum_{k=1}^\infty \vert M_k\vert, \quad\text{für } M_j\subset\mathbb{R}^n, \;j\in\mathbb{N}_{\ge 1}
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||||
\end{align}
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||||
\end{proposition}
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\begin{proof}
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\eqref{messbarkeit_satz_teilmenge_kleineres_mass_eq} folgt direkt aus \eqref{messbarkeit_definition_lebesque_mass} (Definition, das Infimum über eine größere Menge ist größer).
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||||
Für \eqref{messbarkeit_sigma_subadditiv_eq} fixiere $\epsilon > 0$. Dann \begin{align*}
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\exists Q_{k_j} \in \mathcal{Q}&: M_k \subset\bigcup_{j=1}^\infty Q_{k_j},& \sum_{j=1}^\infty v(Q_{k_j}) &\le \vert M_k\vert + \frac{\epsilon}{2^k}
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||||
\end{align*}
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||||
Wegen $\bigcup_{k=1}^\infty M_k\subset \bigcup_{j,k=1}^\infty v(Q_{k_j}) \le \sum_{k=1}^\infty \vert M_k\vert + \epsilon$ folgt \begin{align*}
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||||
\left\vert\bigcup_{k=1}^\infty M_k\right\vert \le \sum_{j,k=1}^\infty v(Q_{k_j}) \le \sum_{k=1}^\infty \vert M_k\vert + \epsilon
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||||
\end{align*}
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||||
Da $\epsilon>0$ beliebig, folgt die Behauptung.
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||||
\end{proof}
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\begin{*definition}
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||||
$N\subset\mathbb{R}^n$ heißt \begriff{Nullmenge}, falls $\vert N \vert = 0$. Offenbar gilt:\begin{align}
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||||
\tilde{N}\subset N,\;\vert N \vert = 0 &\Rightarrow \;\vert \tilde{N}\vert = 0 \\
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||||
\vert N_k\vert = 0 \;\forall k\in\mathbb{N}&\Rightarrow \;\left\vert \bigcup_{k=1}^\infty N_k \right\vert = 0
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||||
\end{align}
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||||
\end{*definition}
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||||
Nach \eqref{messbarkeit_satz_teilmenge_kleineres_mass_eq} und \eqref{messbarkeit_sigma_subadditiv_eq} gilt:{\zeroAmsmathAlignVSpaces** \begin{align}
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||||
\proplbl{messbarkeit_m_gleich_m_ohne_nullmenge}
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||||
M\subset\mathbb{R}^n,\;\vert N \vert = 0 \;&\Rightarrow\; \vert M \vert = \vert M \setminus N\vert
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||||
\end{align}}
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||||
\begin{proof}\NoEndMark Dann $\vert M \setminus N\vert \overset{\eqref{messbarkeit_satz_teilmenge_kleineres_mass_eq}}{\le} \vert M \vert \overset{\eqref{messbarkeit_sigma_subadditiv_eq}}{\le} \underbrace{\vert M\cap N\vert}_{=0} + \vert M \setminus N\vert = \vert M \setminus N\vert$ $\Rightarrow$ Behauptung.\hfill\csname\InTheoType Symbol\endcsname\end{proof}
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\begin{example} Es sind Nullmengen
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\begin{enumerate}[label={(\alph*)}]
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\item $\vert \emptyset\vert = 0$
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\item $\vert \{ x\} \vert = 0$ $\forall x\in\mathbb{R}^n$
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||||
$\vert$abzählbar viele Punkte$\vert = 0$, folglich $\mathcal{L}^1(\mathbb{Q}) = 0$, $\mathcal{L}^1(\mathbb{N}) = 0$ (d.h. wir betrachten $\mathbb{Q}, \mathbb{N}$ als Teilmengen von $\mathbb{R}$, d.h. $n=1$)
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||||
\item $\vert M \vert = 0$ falls $M\subsetneqq \mathbb{R}^n$ (echter affiner Unterraum)
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||||
\item $\vert \partial Q\vert = 0$ für $Q\in\mathcal{Q}$
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||||
\item "`schöne"' Kurven im $\mathbb{R}^2$
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"`schöne"' Kurven und Flächen im $\mathbb{R}^3$
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\end{enumerate}
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\end{example}
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\begin{conclusion}
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Es ist $v(q) = \vert Q\vert$ $\forall Q\in\mathcal{Q}$
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Damit im folgenden Stets $\vert Q\vert$ statt $v(Q)$
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\end{conclusion}
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\begin{proof}
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Sei $Q\in\mathcal{Q}$. Da offenbar $v(Q) = v(\cl Q)$ und $\vert Q\vert = \vert \cl Q\vert$ können wir $Q$ als abgeschlossen annehmen.
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||||
Für ein fixiertes $\epsilon > 0$ existieren nach \propref{messbarkeit_nur_offene_mengen} offene $Q_j\in\mathcal{Q}$ mit \begin{alignat*}{3}
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||||
Q&\subset\bigcup_{j=1}^\infty Q_j &\quad\text{und}\quad& \sum_{j=1}^\infty v(Q_j) &\le \vert Q \vert + \epsilon
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||||
\end{alignat*}
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||||
Da $Q$ kompakt ist, wird es durch endlich viele $Q_j$ überdeckt d.h. \gls{obda} $Q\subset\bigcup_{j=1}^\infty Q_j$. Mittels einer geeigneten Zerlegung der $Q_j$ folgt aus \eqref{messbarkeit_definition_volumen_eq}, dass $v(Q)\le \sum_{j=1}^\infty v(Q_j)$. Somit gilt: \begin{align*}
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||||
\vert Q \vert \overset{\eqref{messbarkeit_definition_lebesque_mass}}{\le} v(Q) \le \vert Q \vert + \epsilon
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||||
\end{align*}
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||||
Da $\epsilon > 0$ beliebig, folgt die Behauptung.
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\end{proof}
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\begin{*definition}
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||||
Eine Eigenschaft gilt \gls{fü} auf $M\subset\mathbb{R}^n$, falls eine Nullmenge existiert, sodass die Eigenschaft $\forall x\in M\setminus N$ gilt. Man sagt auch, dass die Eigenschaft für \gls{fa} $x\in M$ gilt.
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\end{*definition}
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\begin{example}
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\proplbl{messbarkeit_einfuehrung_dirichlet_funktion}
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Für die \person{Dirichlet}-Funktion \begin{align*}
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f(x) &=\begin{cases}
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||||
1, &x\in\mathbb{Q} \\ 0,&x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}
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||||
\end{cases}
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||||
\end{align*}
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||||
ist $f=0$ \gls{fü} auf $\mathbb{R}$.
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\end{example}
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\subsection{Messbare Mengen}
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\begin{underlinedenvironment}[Frage]
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gilt für paarweise disjunkte Mengen $M_k$ in \eqref{messbarkeit_sigma_subadditiv_eq} Gleichheit?
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Obwohl es wünschenswert wäre, gibt es "`sehr exotische"' Mengen, für die dies nicht gilt (vgl. Bemerkung zum Auswahlaxiom in Kap. 2).
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||||
Deshalb betrachten wir "`gutartige"' Mengen.
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\end{underlinedenvironment}
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\begin{*definition}
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Eine Menge $M\subset\mathbb{R}^n$ heißt \begriff{messbar}, falls \begin{align}
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||||
\vert \tilde{M}\vert = \vert \tilde{M}\cap M\vert + \vert \tilde{M}\setminus M\vert \quad\forall \tilde{M}\in\mathbb{R}\marginnote{"`Sie können sich keine Menge vorstellen, die nicht messbar ist."' (Hr. Schönherr, 2014)}
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||||
\end{align}
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||||
Man beachte, dass nach \eqref{messbarkeit_sigma_subadditiv_eq} stets \begin{align}
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\proplbl{messbarkeit_definition_messbar_folgerung}
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||||
\vert \tilde{M} \vert \le \vert \tilde{M} \cap M\vert + \vert \tilde{M}\setminus M\vert \quad\forall M,\tilde{M}\subset\mathbb{R}^n
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||||
\end{align}
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||||
Beim Nachweis der Messbarkeit muss man nur "`$\ge$"' prüfen.
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||||
\end{*definition}
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||||
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||||
\begin{proposition}
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||||
\proplbl{messbarkeit_satz_grundlegende_messbare_mengen}
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||||
\begin{enumerate}[label={(\alph*)}]
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||||
\item \proplbl{messbarkeit_satz_sigma_algebra_eins} $\emptyset$, $\mathbb{R}^n$ sind messbar
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||||
\item \proplbl{messbarkeit_satz_sigma_algebra_zwei} $M\subset\mathbb{R}^n$ messbar $\Rightarrow$ $M^C = \mathbb{R}^n\setminus M$ messbar
|
||||
\item \proplbl{messbarkeit_satz_sigma_algebra_drei} $M_1, M_2, \dotsc\subset\mathbb{R}^n$ messbar $\Rightarrow$ $\bigcup_{j=1}^\infty M_j$, $\bigcap_{j=1}^\infty M_j$ messbar
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proposition}
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||||
|
||||
\begin{*definition}
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||||
Eine Menge von Teilmengen $\mu\subset X$ (hier $X=\mathbb{R}^n$) mit den Eigenschaften \cref{messbarkeit_satz_sigma_algebra_eins,messbarkeit_satz_sigma_algebra_zwei,messbarkeit_satz_sigma_algebra_drei} heißt \begriff{$\sigma$-algebra}
|
||||
\end{*definition}
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||||
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||||
\begin{proof}\hspace*{0pt}
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||||
\begin{itemize}[topsep=\dimexpr-\baselineskip / 2\relax]
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||||
\item[\ref{messbarkeit_satz_sigma_algebra_eins}] wegen $\vert\emptyset\vert = 0$ und \eqref{messbarkeit_m_gleich_m_ohne_nullmenge}: $\vert \tilde{M}\vert \le \vert\tilde{M}\setminus\emptyset\vert = \vert\tilde{M}\vert$
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||||
|
||||
\item[\ref{messbarkeit_satz_sigma_algebra_zwei}] wegen $\tilde{M}\cap M = \tilde{M}\setminus M^C$, $\tilde{M}\setminus M = \tilde{M}\cap M^C$ $\Rightarrow$ Behauptung
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||||
|
||||
\item[\ref{messbarkeit_satz_sigma_algebra_drei}] \eqref{messbarkeit_sigma_subadditiv_eq} liefert \begin{align*}
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||||
\vert\tilde{M}\vert \le \vert \tilde{M}\cap M\vert + \vert\tilde{M}\setminus M\vert \quad\forall \tilde{M}, \;M\subset\mathbb{R}^n,
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||||
\end{align*}
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||||
sodass man nur noch "`$\ge$"' zeigen muss.
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||||
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||||
\begin{itemize}
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||||
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||||
\item Seien $M_1$, $M_2$ messbar, dann gilt für beliebige $\tilde{M}\subset\mathbb{R}^n$: \begin{align*}
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||||
\tilde{M}\cap (M_1\cup M_2) &=(\tilde{M}\cap M_1)\cup \big( (\tilde{M}\setminus M_1)\cap M_2 \big), \\
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||||
\tilde{M}\setminus (M_1\cup M_2) &= (\tilde{M}\setminus M_1)\setminus M_2
|
||||
\end{align*}
|
||||
folglich \begin{align*}
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||||
\vert \tilde{M}\vert &= \vert \tilde{M}\cap M_1\vert + \vert \tilde{M}\setminus M_1 \vert = \vert\tilde{M}\cap M_1\vert + \vert (\tilde{M}\setminus M_1)\cap M_2\vert + \vert (\tilde{M}\setminus M_1)\setminus M_2\vert \\
|
||||
&\ge \vert \tilde{M}\cap (M_1\cup M_2)\vert + \vert \tilde{M} \setminus (M_1\cup M_2) \vert,
|
||||
\end{align*}
|
||||
daher $M_1\cup M_2$ messbar.
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||||
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||||
\item Da $(M_1\cap M_2)^C = M_1^C\cup M_2^C$ ist auch $M_1\cap M_2$ messbar.\\
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||||
\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
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||||
$\Rightarrow$ & $M_1,\dotsc,M_k$ messbar \\
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||||
$\Rightarrow$ & $M_1\cup \dotsc\cup M_k$ sowie $M_1\cap\dotsc\cap M_2$ messbar (Induktion).
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||||
\end{tabularx}
|
||||
|
||||
\item Seien jetzt $M_1,\dotsc\subset\mathbb{R}^n$ messbar und paarweise disjunkt \\
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||||
\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
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||||
$\Rightarrow$ & alle $A_k := \bigcup_{j=1}^k M_j$ messbar. Für beliebige $\tilde{M}\subset\mathbb{R}^n$ folgt schrittweise
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||||
\end{tabularx}
|
||||
\begin{align*}
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||||
\vert \tilde{M} \cap A_k \vert + \sum_{j=2}^k \vert \tilde{M}\cap M_j\vert = \sum_{j=1}^k \vert \tilde{M}\cap M_j\vert
|
||||
\end{align*}
|
||||
Mit $A = \bigcup_{j=1}^\infty M_j$ folgt \begin{align}
|
||||
\proplbl{messbarkeit_sigma_algebra_beweis_eq}
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||||
\vert \tilde{M}\vert = \vert \tilde{M}\cap A_k\vert + \vert \tilde{M}\setminus A_k\vert \ge \sum_{j=1}^k \vert \tilde{M}\cap M_j\vert + \vert \tilde{M}\setminus A\vert \quad \forall k\in\mathbb{N},
|
||||
\end{align}
|
||||
\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
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||||
$\xRightarrow{k\to\infty}$ & $\vert \tilde{M} \vert \ge \sum_{j=1}^\infty \vert \tilde{M}\cap M_j\vert + \vert \tilde{M} \setminus A\vert \overset{\eqref{messbarkeit_sigma_subadditiv_eq}}{\ge} \vert \tilde{M}\cap A\vert + \vert\tilde{M}\setminus A\vert$ \\
|
||||
$\Rightarrow$ & $A$ messbar
|
||||
\end{tabularx}
|
||||
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||||
\item Folglich sind die $M_j$ nicht paarweise disjunkt, ersetze $M_j$ durch $\underbrace{A_j \setminus A_{j-1}}_{=M_j'}$ und argumentiere wie oben (da $\bigcup_{k=1}^\infty M_k = \bigcup_{k=1}^\infty M_k^C$ $\Rightarrow$ $\bigcup_{k=1}^\infty M_k$ messbar, $\bigcap$ analog).
|
||||
\end{itemize}
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||||
\end{itemize}
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||||
\end{proof}
|
||||
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||||
\begin{proposition}
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||||
\proplbl{messbarkeit_mengen_ober_unter_mengen}
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||||
Seien $M_1$, $M_2$, $\dotsc\subset\mathbb{R}^n$ messbar. Dann \begin{enumerate}[label={(\alph*)}]
|
||||
\item \proplbl{messbarkeit_sigma_additiv}
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||||
$M_j$ paarweise disjunkt $\Rightarrow$ $\left\vert \bigcup_{k=1}^\infty M_k\right\vert = \sum_{k=1}^\infty \vert M_k\vert$ ($\sigma$-additiv)
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||||
\item \proplbl{messbarkeit_teilmengen_grenzwert_gleich_mass_vereinigung}
|
||||
$M_1\subset M_2\subset\dotsc$ $\Rightarrow$ $\lim\limits_{k\to\infty} \vert M_k\vert = \left\vert \bigcup_{k=1}^\infty M_k\right\vert$
|
||||
\item \proplbl{messbarkeit_mengen_ober_unter_mengen_c}
|
||||
$M_1\supset M_2 \supset \dotsc$ und $\vert M_1 \vert < \infty$ $\Rightarrow$ $\lim\limits_{k\to\infty} \vert M_k\vert = \left\vert \bigcup_{k=1}^\infty M_k\right\vert$
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{proposition}
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||||
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||||
\begin{proof}\hspace*{0pt}
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||||
\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
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||||
\item Aus \eqref{messbarkeit_sigma_algebra_beweis_eq} mit $\tilde{M} = \mathbb{R}^n$ erhält man \begin{align*}
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||||
\sum_{k=1}^{m} \vert M_k\vert = \left\vert\bigcup_{k=1}^m M_k\right\vert \overset{\eqref{messbarkeit_sigma_subadditiv_eq}}{\le} \sum_{k=1}^\infty \vert M_k\vert
|
||||
\end{align*}
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||||
Der Grenzübergang $m\to\infty$ liefert die Behauptung.
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||||
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||||
\item Nach \ref{messbarkeit_sigma_additiv} gilt: $\vert M_k\vert = \vert M_1 \vert + \sum_{k=1}^k \vert M_j\setminus M_{j-1}$, und folglich \begin{align*}
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||||
\vert M_k\vert = \vert M_1 \vert + \sum_{k=1}^\infty \vert M_k\setminus M_{k-1}\vert \overset{\ref{messbarkeit_sigma_additiv}}{=} \left\vert \bigcup_{k=1}^\infty M_k\right\vert
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\item $A:= \bigcap_{k=1}^\infty M_k$. Wegen $\vert M_1\setminus M_k\vert = \vert M_1 \vert - \vert M_k\vert$ nach \eqref{messbarkeit_sigma_subadditiv_eq} hat man \begin{alignat*}{5}
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||||
&\vert M_1\vert &\;\overset{\eqref{messbarkeit_sigma_subadditiv_eq}}{\le}\;& \vert A \vert + \vert M_1 \setminus A\vert &\;=\;& \vert A \vert + \left\vert \bigcup_{k=1}^\infty M_1 \setminus M_k\right\vert\\ &&\overset{\ref{messbarkeit_teilmengen_grenzwert_gleich_mass_vereinigung}}{=}\;& \vert A \vert + \lim\limits_{k\to\infty} \vert M_1 \setminus M_k\vert&=\;& \vert A \vert + \vert M_1\vert - \lim\limits_{k\to\infty} \vert M_k\vert \\
|
||||
&&\le\;\,& \lim\limits_{k\to\infty} \vert M_k\vert + \vert M_1\vert - \lim\limits_{k\to\infty} \vert M_k\vert &=\;& \vert M_1\vert&
|
||||
\end{alignat*}
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||||
Subtraktion von $\vert M_1\vert$ liefert die Behauptung.
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{proof}
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||||
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||||
\begin{proposition}
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||||
\proplbl{messbarkeit_mengen_satz_acht}
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||||
Es gilt: \begin{enumerate}[label={(\alph*)}]
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||||
\item alle Quader sind Messbar ($Q\in\mathcal{Q}$)
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||||
\item Offene und abgeschlossene $M\subset\mathbb{R}^n$ sind messbar
|
||||
\item alle Nullmengen sind messbar
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||||
\item Sei $M\subset\mathbb{R}^n$ messbar, $M_0\subset\mathbb{R}^n$, beide Mengen unterscheiden sich voneinander nur um eine Nullmenge, d.h. $\vert (M\setminus M_0)\cup (M_0\setminus M)\vert = 0$ \\
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||||
$\Rightarrow$ $M_0$ messbar.
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{proposition}
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||||
|
||||
\begin{proof}\hspace*{0pt}
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||||
\begin{enumerate}[label={\alph*)},topsep=\dimexpr -\baselineskip / 2 \relax]
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||||
\item Sei $Q\in\mathbb{Q}$ Quader. Für $\tilde{M}\subset\mathbb{R}^n$, $\epsilon > 0$ wähle $Q_j$ mit \begin{align*}
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||||
\tilde{M} &\subset \bigcup_{j=1}^\infty Q_j,& \sum_{j=1}^\infty \vert Q_j\vert &\le \vert \tilde{M}\vert + \epsilon
|
||||
\end{align*}
|
||||
Aus \eqref{messbarkeit_definition_volumen_eq} folgert man $\vert Q_j\vert = \vert Q_j\cap Q\vert + \vert Q_j\setminus Q\vert$, da man $Q_j\setminus Q$ in endlich viele disjunkte Quader zerlegen kann. \\
|
||||
\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }l@{\ }l@{\ }l@{\ }l}
|
||||
$\Rightarrow$ & $\vert \tilde{M}\cap Q\vert + \vert \tilde{M}\setminus Q\vert$ & $\overset{\eqref{messbarkeit_sigma_subadditiv_eq}}{\le} \sum_{j=1}^\infty \vert Q_j\cap Q\vert + \sum_{j=1}^\infty \vert Q_j\setminus Q\vert$ & $= \sum_{j=1}^\infty \vert Q_j\vert$ & $\le \vert \tilde{M} \vert + \epsilon$
|
||||
\end{tabularx}
|
||||
Da $\epsilon$ beliebig, $\vert \tilde{M} \vert \ge \vert \tilde{M} \cap Q\vert + \vert \tilde{M} \setminus Q\vert$ und \eqref{messbarkeit_definition_messbar_folgerung}, ergibt sich die Behauptung.
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||||
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||||
\item Sei $M\subset\mathbb{R}^n$ offen. Betrachte die Folge $\{x_n\}_{k=1}^\infty$ aller rationale Punkte in $M$ und $w_k\subset M$ sei jeweils der größte offene Würfel mit dem Mittelpunkt $x_k$ und Kantenlänge $\le 1$.
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||||
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||||
Dann $M = \bigcup_{k=1}^\infty w_k$, denn für jedes $x\in M$ ist $B_{\epsilon}(x)\subset M$ für ein $\epsilon > 0$ und somit ist $x\in w_k$ für ein $x_k$ nahe genug bei $x$. Folglich ist $M$ messbar nach \propref{messbarkeit_satz_grundlegende_messbare_mengen}.
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||||
|
||||
Für $M\subset\mathbb{R}^n$ abgeschlossen ist das Komplement $\mathbb{R}^n\setminus M$ offen und somit messbar. Damit ist $M=\mathbb{R}^n\setminus (\mathbb{R}^n\setminus M)$ messbar.
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||||
|
||||
\item Für eine Nullmenge $N$, $\tilde{M}\subset\mathbb{R}^n$ ist $\vert \tilde{M} \vert \overset{\eqref{messbarkeit_sigma_subadditiv_eq}}{\le} \vert \tilde{M}\cap N\vert + \vert \tilde{M} \setminus N\vert \overset{\eqref{messbarkeit_satz_teilmenge_kleineres_mass_eq}}{\le} \vert N \vert + \vert \tilde{M} \setminus N\vert \overset{\eqref{messbarkeit_m_gleich_m_ohne_nullmenge}}{=} \vert\tilde{M}\vert$
|
||||
|
||||
\item Mit den Nullmengen $N_1 := M\setminus M_0$, $N_2 = M_0\setminus M$ gilt $M_0 = (M\setminus N_1)\cup N_2$. Da $M\setminus N_1$ messbar ist, erhält man für beliebiges $\tilde{M}\subset \mathbb{R}^n$
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||||
\begin{center}
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||||
\begin{tabular}{r@{\ }c@{\ }l}
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||||
$\vert \tilde{M}\cap M_0\vert + \vert \tilde{M}\setminus M_0\vert$ &=& $\vert\tilde{M} \cap ((M\setminus N_1)\cup N_2)\vert + \vert \tilde{M} \setminus ((M\setminus N_1)\cup N_2)\vert$ \\
|
||||
& $\overset{\eqref{messbarkeit_satz_teilmenge_kleineres_mass_eq},\eqref{messbarkeit_sigma_subadditiv_eq}}{\le}$ & $\vert M\cap(M\setminus N_1)\vert + \vert \tilde{M} \cap N_2\vert + \vert \tilde{M} \setminus (M \setminus N_1)\vert$ \\
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||||
&=& $\vert \tilde{M}\vert$
|
||||
\end{tabular}
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||||
\end{center}
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||||
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||||
Mit \eqref{messbarkeit_definition_messbar_folgerung} folgt dann, dass $M_0$ messbar ist.
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||||
\end{enumerate}
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\end{proof}
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\subsection{Messbare Funktionen}
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Wir führen nun eine für die Integrationstheorie grundlegende Klasse von Funktionen ein. Dabei erlauben wir $\pm \infty$ als Funktionswerte und benutzen die Bezeichnung \begin{align*}
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||||
\overline{\mathbb{R}} &= \mathbb{R}\cup \{ \pm \infty \} = [ -\infty, \infty ]
|
||||
\end{align*}
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||||
sowie für $a\in\mathbb{R}$ \begin{align*}
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||||
(a,\infty] &= (0,\infty)\cup\{ \infty \},
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||||
\end{align*}
|
||||
und analog $[a,\infty]$, $(-\infty,a)$, $[-\infty,a]$. \marginnote{vgl. Kap. 5}
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||||
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||||
Für $\epsilon > 0$ definieren wir offene $\epsilon$-Kugeln um $\pm\infty$ durch \begin{align*}
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||||
B_\epsilon(\infty) &:= \left( \frac{1}{\epsilon}, \infty \right] & &\text{bzw.} & B_\epsilon(\-\infty) := \left[ -\infty, -\frac{1}{\epsilon} \right)
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
$U\subset\overline{\mathbb{R}}$ \emph{offen}, falls für jedes $x\in U$ ein $\epsilon > 0$ existiert, sodass $B_\epsilon \subset U$. Damit sind inbsesondere die offenen Mengen aus $\mathbb{R}$ auch offen in $\overline{\mathbb{R}}$ und die offenen Mengen in $\overline{\mathbb{R}}$ bilden eine Topologie. \marginnote{vgl. Kap. 8}
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||||
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||||
\begin{*definition}
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||||
Eine Funktion $f:D\subset\mathbb{R}\to\overline{\mathbb{R}}$ heißt \begriff{messbar}, falls $D$ messbar ist und $f^{-1}(U)$ für jede offene Menge $U\subset\overline{\mathbb{R}}$ messbar ist.
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||||
\end{*definition}
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||||
|
||||
\begin{conclusion}
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||||
Sei $f:D\subset\mathbb{R}\to\overline{\mathbb{R}}$ mit $D$ messbar. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:\begin{enumerate}[label={(\alph*)}]
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||||
\item \proplbl{messbarkeit_funktionen_satz_neun_eins}
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||||
$f$ ist messbar
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||||
\item \proplbl{messbarkeit_funktionen_satz_neun_zwei}
|
||||
$f^{-1}\left( [-\infty, a)\right)$ messbar $\forall a\in\mathbb{Q}$
|
||||
\item \proplbl{messbarkeit_funktionen_satz_neun_drei}
|
||||
$f^{-1}\left( [-\infty, a] \right)$ ist messbar $\forall a\in \mathbb{Q}$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{conclusion}
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||||
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||||
\begin{proof}
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||||
Aus den Eigenschaften messbarer Mengen folgt mit \begin{align*}
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||||
f^{-1}\left( [-\infty, a]\right) &= \bigcap_{k=1}^\infty f^{-1}\left( \left[ -\infty, a + \frac{1}{k} \right]\right) \\
|
||||
f^{-1} \left([-\infty, a)\right) &= \bigcup_{k=1}^\infty f^{-1}\left( \left[ -\infty, a - \frac{1}{k}\right] \right)
|
||||
\end{align*}
|
||||
die Äquivalenz von \ref{messbarkeit_funktionen_satz_neun_zwei} und \ref{messbarkeit_funktionen_satz_neun_drei}.
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||||
|
||||
Offenbar ist \ref{messbarkeit_funktionen_satz_neun_eins} $\Rightarrow$ \ref{messbarkeit_funktionen_satz_neun_zwei} $\Leftrightarrow$ \ref{messbarkeit_funktionen_satz_neun_drei}.
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||||
|
||||
Für $a,b\in\mathbb{Q}$ ist dann \begin{align*}
|
||||
f^{-1}\big( (a,b) \big) &= f^{-1}\left( [-\infty, b]\right) \cap f^{-1}\left( [a,\infty] \right) = f^{-1}\left( [-\infty, a)\right) \cap \left( f^{-1} \big( [-\infty, a] \big)\right)^C
|
||||
\end{align*}
|
||||
messbar und offensichtlich $f^{-1}\big( (a,\infty] \big)$ ebenfalls.
|
||||
|
||||
Da jede offene Menge $U\subset\overline{\mathbb{R}}$ die abzählbare Vereinigung von Mengen der Form $(a,b)$, $[-\infty, a)$, $(a,]$ mit $a,b\in\mathbb{Q}$ ist, folgt die Messbarkeit von $f^{-1}(U)$ und somit \ref{messbarkeit_funktionen_satz_neun_eins}.
|
||||
\end{proof}
|
||||
\begin{underlinedenvironment}[Hinweis]
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||||
Wir werden sehen, dass die Menge aller messbaren Funktionen die Menge der stetigen Funktionen enthält, aber auch noch viele Weitere.
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||||
\end{underlinedenvironment}
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||||
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||||
\begin{*definition}
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||||
Für $M\subset\mathbb{R}^n$ heißt $\chi_\mu:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ mit \begin{align*}
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||||
\chi_\mu = \begin{cases}
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||||
1, &x\in M\\ 0, &x\in\mathbb{R}^n\setminus M
|
||||
\end{cases}
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||||
\end{align*}
|
||||
\begriff{charakteristische Funktion} von $M$.
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||||
\end{*definition}
|
||||
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||||
Offenbar gilt
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||||
\begin{conclusion}
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||||
$\chi_\mu:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ ist messbar \gls{gdw} $M\subset\mathbb{R}^n$ messbar ist.
|
||||
\end{conclusion}
|
||||
|
||||
\begin{*definition}
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||||
Eine Funktion $h:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ heißt \begriff{Treppenfunktion}, falls es $M_1, \dotsc, M_k\subset\mathbb{R}^n$ und $c_1,\dotsc,c_k\in\mathbb{R}$ gibt mit \begin{align}
|
||||
\proplbl{messbarkeit_definition_treppenfunktion_eq}
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||||
h(x) = \sum_{j=1}^k a_j \chi_{\mu_j}(x)
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
Die Menge der Treppenfunktionen \mathsymbol{T}{$T(\mathbb{R})$} ist mit der üblichen Addition und skalarer Multiplikation für Funktionen ein Vektorraum.
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||||
|
||||
Man beachte, dass die Darstellung in \eqref{messbarkeit_definition_treppenfunktion_eq}, d.h. die Wahl der $\mu_j$ und $c_j = a_j$ nicht eindeutig ist. Insbesondere kann man $\mu_j$ stets paarweise disjunkt wählen.
|
||||
\end{*definition}
|
||||
|
||||
Man sieht leicht
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||||
\begin{conclusion}
|
||||
\ \\
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||||
\begin{tabularx}{\linewidth}{X@{\ }c@{\ }X}
|
||||
\hfill Die Treppenfunktion $h\in T(\mathbb{R}^n)$ ist messbar & $\Leftrightarrow$ & es gibt mindestens eine Darstellung \eqref{messbarkeit_definition_treppenfunktion_eq}, bei der alle $\mu_j$ messbar sind.
|
||||
\end{tabularx}
|
||||
\end{conclusion}
|
||||
|
||||
\begin{*definition}
|
||||
Für $f:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ definieren wir die \begriff{Nullfortsetzung} $\overline{f}:\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ durch \begin{align}
|
||||
\overline{f}(x) &:= \begin{cases}
|
||||
f(x), &x\in D\\ 0,&x\in\mathbb{R}^n\setminus D
|
||||
\end{cases}
|
||||
\end{align}
|
||||
\end{*definition}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
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||||
\proplbl{messbarkeit_funktion_nullfortsetzung}
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||||
Es gilt:\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
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||||
\item Sei $f:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ messbar. Dann ist auch die Nullfortsetzung $\overline{f}:\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ messbar
|
||||
\item Sei $f:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ messbar und $D'\subset D$ messbar. Dann ist $f$ auf $D'$ messbar, d.h. insbesondere $\left. f\right|_{D'}$ ist messbar.
|
||||
\item Seien $f,g:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$. Sei $f$ messbar und $f=g$ \gls{fü} auf $D$. Dann ist $g$ messbar.
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||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proposition}
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||||
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||||
\begin{example}
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||||
Die \person{Dirichlet}-Funktion ist auf $\mathbb{R}$ messbar.
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||||
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||||
$h=0$ ist messbare Treppenfunktion auf $\mathbb{R}$ und stimmt mit der \person{Dirichlet}-Funktion \gls{fü} überein.
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||||
\end{example}
|
||||
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||||
\begin{proof}\hspace*{0pt}
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||||
\begin{enumerate}[label={(\alph*)},topsep=\dimexpr -\baselineskip / 2\relax]
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||||
\item Für ein offenes $U\subset\overline{\mathbb{R}}$ ist $\overline{f}^{-1}(U) = f^{-1}(U)$ falls $0\notin U$ und andernfalls $\overline{f}^{-1}(U) = f^{-1}(U)\cup (\mathbb{R}^n\setminus D)$.
|
||||
\item Für offenes $U\subset\overline{\mathbb{R}}$ ist $\left(\left. f\right|_{D'}\right)^{-1} (U) = f^{-1} (U)\cap D$.
|
||||
\item Für $U\subset\overline{R}$ offen: $f^{-1}(U)$ ist messbar und $g^{-1}(U)$ unterscheidet sich von $f^{-1}(U)$ nur um eine Nullmenge. Somit ist $g^{-1}(U)$ nach \propref{messbarkeit_mengen_satz_acht} messbar.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\rule{0.4\linewidth}{0.1pt}
|
||||
|
||||
\begin{*definition}
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||||
Für $f:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ und $\alpha\in\overline{\mathbb{R}}$ schreibt man verkürzt
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||||
\begin{align*}
|
||||
\{ f > \alpha \} := \{ x\in D \mid f(x) > \alpha \}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Man definiert mit \begin{align*}
|
||||
f^{+} &:= f\cdot \chi_{\{f > 0\}}, & f^{-} &:= -f\cdot \chi_{\{f \le 0\}}
|
||||
\end{align*}
|
||||
den \begriff{positive Teil} bzw. \begriff{negative Teil} von $f$, und man hat $f = f^+ - f^-$.
|
||||
|
||||
Weiterhin ist
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||||
\begin{align*}
|
||||
f:=\max(f_1, f_2):\mathbb{R}^n\to\mathbb{R},\;\;f(x) = \max \{ f_1(x), f_2(x) \} \quad \forall x\in\mathbb{R}^n
|
||||
\end{align*}
|
||||
und analog: $\min(f_1, f_2)$, $\sup\limits_{k\in\mathbb{N}} f_k$, $\inf\limits_{k\in\mathbb{N}} f_k$, $\limsup\limits_{k\to\infty} f_k$, $\liminf\limits_{k\in\mathbb{N}} f_k$
|
||||
|
||||
Bei punktweiser Konvergenz $f_k(x)\to f(x)$ für \gls{fa} $x\in D$ schreibt man auch $f_k\to f$ \gls{fü} auf $D$.
|
||||
\end{*definition}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}[zusammengesetzte messbare Funktionen]
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||||
\proplbl{messbarkeit_funktionen_komposition}
|
||||
Für $D\subset\mathbb{R}^n$ messbar gilt \begin{enumerate}[label={\alph*)}]
|
||||
\item \proplbl{messbarkeit_funktion_zusammensetzung_addition_eins}
|
||||
$f,g:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ messbar $\Rightarrow$ $f\pm g$, $f\cdot g$ messbar,
|
||||
|
||||
falls $g\neq 0$ auf $D$ $\Rightarrow$ $\frac{f}{g}$ messbar
|
||||
\item \proplbl{messbarkeit_funktion_zusammensetzung_addition_zwei}
|
||||
$f,g:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ messbar, $c\in\mathbb{R}$ $\Rightarrow$ $f^{\pm}$, $\vert f \vert$, $\max(f,g)$, $\min(f,g)$ messbar
|
||||
\item \proplbl{messbarkeit_funktion_zusammensetzung_addition_drei}
|
||||
$f_k:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ messbar $\forall k\in\mathbb{N}$ $\Rightarrow$ $\sup\limits_{k} f_k$, $\inf\limits_{k} f_k$, $\liminf\limits_{k} f_k$, $\limsup\limits_{k} f_k$ messbar
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{underlinedenvironment}[Hinweis]
|
||||
In \ref{messbarkeit_funktion_zusammensetzung_addition_eins} nur Funktionen mit Wertein in $\mathbb{R}$, nicht $\overline{\mathbb{R}}$, sonst ist die zusammengesetzte Funktion eventuell nicht erklärt.
|
||||
\end{underlinedenvironment}
|
||||
|
||||
\begin{proof}\hspace*{0pt}
|
||||
\NoEndMark
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||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $\forall a\in\mathbb{Q}$ gilt: \begin{align*}
|
||||
\left( f + g\right)^{-1}\big( [-\infty, a) \big) &= \bigcup\limits_{\substack{\alpha,\beta\in\mathbb{Q}\\ a + \beta \le \alpha}} f^ {-1} ([-\infty,\alpha])\cap g^{-1}([-\infty,\beta))
|
||||
\end{align*}
|
||||
ist messbar, folglich $f+g$ messbar
|
||||
|
||||
\item Für $c > 0$ ist \begin{align*}
|
||||
(cf)^{-1}([-\infty, a]) &= f^{-1} \left(\left[ -\infty,\frac{a}{c}\right)\right)&&\text{messbar als Menge,} \\
|
||||
(-cf)^{-1}) ([-\infty,a)) &= f^{-1}\left( \left(-\frac{a}{c},+\infty \right]\right)&&\text{messbar}
|
||||
\end{align*}
|
||||
$\Rightarrow$ $cf$ messbar ($c=0$ trivial) \\
|
||||
$\Rightarrow$ $-f$, $f+(-g)$ messbar
|
||||
|
||||
\item Wegen \begin{align*}\left(f^2\right)^{-1}([-\infty,a)) = f^{-1}([-\infty,\sqrt{a}))\setminus f^{-1}([-\infty,-\sqrt{a}])\quad \forall a\ge 0\end{align*} ist $f^2$ messbar \\
|
||||
$\Rightarrow$ $f\cdot g = \frac{1}{2}\left( (f+g)^2 - f^2 - g^2\right)$ messbar
|
||||
|
||||
\item Falls $g\neq 0$ auf $D$ ist für $a\ge 0$ \begin{align*}
|
||||
\left( \frac{1}{g}\right)^{-1} ([-\infty, -a)) &= g^{-1}\left( \left( -\frac{1}{a}, 0\right)\right) & \left( \frac{1}{g}\right)^{-1} ([a,\infty]) &= g^{-1} \left( \left( 0,\frac{1}{a}\right) \right)
|
||||
\end{align*}
|
||||
und mit $\left( \frac{1}{g}\right)^{-1}([-\infty,0)) = g^{-1}([\infty, 0))$ folgt $\frac{1}{g}$ messbar \\
|
||||
$\Rightarrow$ Produkt $f\cdot \frac{1}{g} = \frac{f}{g}$ messbar
|
||||
|
||||
\item Aus der Messbarkeit der Niveaumengen $\{ f > 0\}$, $\{ f < 0\}$ folgt die Messbarkeit von $f^{\pm} = f\chi_{\{ f \substack{>\\<}0\}}$, $\vert f\vert = f^{+} + f^{-}$, $\max(f,g) = (f - g)^+ + g$, $\min(f,g) = -(f\cdot g)^- + g$ \\
|
||||
$\Rightarrow$ \ref{messbarkeit_funktion_zusammensetzung_addition_eins}, \ref{messbarkeit_funktion_zusammensetzung_addition_zwei}
|
||||
|
||||
\item Zu \ref{messbarkeit_funktion_zusammensetzung_addition_drei}: Verwende \begin{align*}
|
||||
\left(\inf_{k\in\mathbb{N}} f_k\right)^{-1}([-\infty,a)) &= \bigcup_{k=1}^\infty f_k^{-1}([-\infty,a]) \\
|
||||
\left(\sup_{k\in\mathbb{N}} f_k\right)^{-1}([-\infty,a]) &= \bigcap_{k=1}^\infty f_k^{-1}([-\infty,a])
|
||||
\end{align*}
|
||||
$\Rightarrow$ $\inf f_k$, $\sup f_k$ messbar.
|
||||
|
||||
\item Folglich \begin{align*}
|
||||
\left.\begin{aligned}
|
||||
\liminf\limits_{a\to\infty} f_k &= \sup\limits_{j\ge 1} \underbrace{\inf\limits_{k\ge j}}_{=g_j} f_k \\
|
||||
\limsup\limits_{k\to\infty} f_k &= \adjustlimits{\inf}_{j\ge 1} {\sup}_{k\ge j} f_k
|
||||
\end{aligned}\right\} \begin{gathered}
|
||||
\text{messbar}
|
||||
\end{gathered}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\hfill\csname\InTheoType Symbol\endcsname
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}[Approximation messbarer Funktionen]
|
||||
\proplbl{messbarkeit_funktion_approximation}
|
||||
Sei $f:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$, $D$ messbar. Dann
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }c@{\ \ }X}
|
||||
\hspace*{0.19\linewidth} $f$ messbar & $\Leftrightarrow$ & $\exists$ Folge $\{ h_k\}$ von Treppenfunktionen mit $h_k\to f$ \gls{fü} auf $D$
|
||||
\end{tabularx}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{proposition}
|
||||
\begin{proof}\hspace*{0pt}
|
||||
\begin{itemize}[topsep=\dimexpr-\baselineskip/2\relax]
|
||||
\item["`$\Rightarrow$"'] $f$ messbar, somit auch $f^{\pm}$. Setzte mit $h_0^{\pm} := 0$ schrittweise \begin{align*}
|
||||
\left.\begin{aligned}
|
||||
M_k^{\pm} &:= \left\{ x\in D \;\left|\; f^{\pm}(x) \ge \frac{1}{k} + h_{k-1}^\pm \right.\right\}, \\
|
||||
h_k^{\pm} &:= \sum_{j=1}^k \frac{1}{j}\chi_{M_j^{\pm}}
|
||||
\end{aligned}\right\}\begin{gathered}
|
||||
\;\,\text{für $k\ge 1$}
|
||||
\end{gathered}
|
||||
\end{align*}
|
||||
da $h_{k-1}^\pm$ messbar ist, ist $M_k^{\pm} = \left( f^{\pm} - \frac{1}{k} - h_{k-1}^\pm\right)([0,\infty])$ messbar und
|
||||
$h_k^{\pm}$ ist Treppenfunktion; $f^{\pm}\ge h_k^{\pm}$ auf $D$.
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Falls $f^\pm(x) = \infty$, dann $x\in M_k^\pm$ $\forall k\in\mathbb{N}$ und $h_k^\pm(x)\to f^{\pm}(x)$
|
||||
|
||||
\item Falls $0\le f^{\pm}(x) < \infty$, dann gilt für unendlich viele $k\in\mathbb{N}$: $x\notin M_k^\pm$, somit $0\le f^{\pm}(x) - h_{k-1}^\pm < \frac{1}{k}$
|
||||
|
||||
$\Rightarrow$ $h_k^\pm(x) \to f^{\pm}(x)$\\
|
||||
$\Rightarrow$ $h_k^+(x) - h_k^-(x) \to f^+(x) - f^-(x) = f(x)$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\item["`$\Leftarrow$"']
|
||||
Sei $\tilde{f}(x) := \limsup\limits_{k\to\infty} h_k(x)$ $\forall x\in D$ $\Rightarrow$ $f(x) = \tilde{f}(x)$ \gls{fü} auf $D$ \\
|
||||
Nach \propref{messbarkeit_funktionen_komposition}: $h_k$ messbar $\Rightarrow$ $\tilde{f}$ messbar
|
||||
|
||||
Da $f=\tilde{f}$ \gls{fü} folgt $f$ messbar.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{conclusion}
|
||||
\proplbl{messbarkeit_funktion_existenz_monotone_treppenfunktionen}
|
||||
Sei $f:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ messbar mit $f\ge 0$
|
||||
|
||||
$\Rightarrow$ $\exists$ Folge $\{h_k\}$ von Treppenfunktionen mit $0 \le h_1 \le h_2 \le \dotsc \le f$ auf $D$ und $h_k\to f$ \gls{fü} auf $D$.
|
||||
\end{conclusion}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
\proplbl{messbarkeit_funktion_funktion_messbar}
|
||||
Sei $f:D\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ und $D$ messbar, $N\subset\mathbb{R}^n$ mit $\vert N \vert = 0$ und $f$ stetig auf $D\subset N$
|
||||
|
||||
$\Rightarrow$ $f$ messbar auf $D$
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\NoEndMark
|
||||
Offenbar $\tilde{D} = D\setminus N$ messbar. Da $f$ stetig auf $\tilde{D}$ ist, ist $f^{-1}(U)\setminus N$ offen in $\tilde{D}$ für $U\subset \mathbb{R}$ offen, d.h. $f^{-1}(U)\setminus N = M\cap \tilde{D}$ für ein $M\subset\mathbb{R}^n$ offen.
|
||||
|
||||
\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ }X}
|
||||
$\Rightarrow$ & $f^{-1}(U)\setminus N$ messbar \\
|
||||
$\xRightarrow{\propref{messbarkeit_mengen_satz_acht}}$ & $f^{-1}(U)$ messbar\\
|
||||
$\Rightarrow$ & $f$ messbar.\hfill\csname\InTheoType Symbol\endcsname
|
||||
\end{tabularx}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
Folgende Funktionen sind messbar
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Stetige Funktionen auf offenen und abgeschlossenen Mengen (wähle $N=\emptyset$ im obigen Satz), insbesondere konstante Funktionen sind messbar
|
||||
\item Funktionen auf offenen und abgeschlossenen Mengen, die \gls{fü} mit einer stetigen Funktion übereinstimmen
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||||
\item $\tan$, $\cot$ auf $\mathbb{R}$ (setzte z.b. $\tan\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right) = \cot(k\pi) = 0$ $\forall k$)
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\item $x\to \sin\frac{1}{x}$ auf $[-1,1]$ (setzte beliebigen Wert in $x=0$)
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\item $\chi_M:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ist für $\vert\partial M\vert = 0$ messbar auf $\mathbb{R}$ (dann ist $\chi$ auf $\inn M$, $\ext M$ stetig)
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\end{itemize}
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\end{example}
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\begin{underlinedenvironment}[Hinweis]
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Die \person{Dirichlet}-Funktion ist stetig auf $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ und somit nach \propref{messbarkeit_funktion_funktion_messbar} messbar. Man beachte aber, das dies nicht bedeutet, dass die \person{Dirichlet}-Funktion auf $\mathbb{R}$ \gls{fü} stetig ist! (sie ist nirgends stetig auf $\mathbb{R}$)
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\end{underlinedenvironment}
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\begin{lemma}[Egorov]
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\proplbl{messbarkeit_funktion_egorov}
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Seien $f_k:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ messbar $\forall k\in\mathbb{N}$. Sei $A\subset D$ messbar mit $\vert A \vert < \infty$ und gelte $f_k(x)\to f(x)$ für \gls{fa} $x\in A$
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$\Rightarrow$ $\forall \epsilon > 0$ existieren messbare Menge $B\subset A$ mit $\vert A \setminus B \vert < \epsilon$ und $f_k \to f$ gleichmäßig auf $B$.
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\end{lemma}
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\begin{proof}\hspace*{0pt}
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\begin{itemize}[topsep=\dimexpr -\baselineskip / 2 \relax]
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\item
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Offenbar $f$ messbar auf $A$ und Mengen \begin{align*}
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M_{m,l} := \bigcup_{j=l}^\infty \left\{ x\in A \;\left| \; \vert f_j(x) - f(x)\vert > \frac{1}{2^m} \right. \right\},\quad m,l\in\mathbb{N}
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\end{align*}
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sind messbar mit $M_{m,1} \supset M_{m,2} \supset \dotsc$ $\forall m\in\mathbb{N}$.
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Wegen $f_k(x) \to f(x)$ $\forall x\in A\setminus N$ für eine Nullmenge $N$ folgt $\bigcap_{l\in\mathbb{N}} M_{m,l} \subset N$ und $\vert \bigcap_{l\in\mathbb{N}} M_{m,l} \vert = 0$ $\forall m\in\mathbb{N}$ \\
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$\Rightarrow$ $\forall m\in\mathbb{N}$ $\exists l_m \in\mathbb{N}$ mit $\vert M_{m,l_m} \vert < \frac{\epsilon}{2^m}$ (vgl. \propref{messbarkeit_mengen_ober_unter_mengen} \ref{messbarkeit_mengen_ober_unter_mengen_c})
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Mit $M:=\bigcup_{m\in\mathbb{N}} M_{m,l_m}$ und $B:= A\setminus M$ folgt \begin{align*}
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\vert A \setminus B \vert &= \vert M \vert \le \sum_{m=1}^\infty \vert M_{m,l_m} \vert \le \underbrace{\sum_{m=1}^\infty \frac{\epsilon}{2^m}}_{\mathclap{\frac{1}{2^m}\text{ ist geometrische Reihe}}} = \epsilon
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\end{align*}
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\item Weiterhin hat man $\forall m\in\mathbb{N}$ \begin{align*}
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\vert f_k(x) - f(x) \vert \le \frac{1}{2^m}\quad\forall x\in B,\;k \ge l_m
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\end{align*}
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$\Rightarrow$ gleichmäßige Konvergenz auf $B$
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\end{itemize}
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\end{proof}
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\begin{example}
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Betrachte $f_k(x) = x^k$ auf $[0,1]$.
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Man hat $f_k(x) \to 0$ \gls{fü} auf $[0,1]$ und gleichmäßige Konvergenz auf $[0,\alpha]$ $\forall \alpha\in (0,1)$.
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\end{example}
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@ -130,7 +130,7 @@ topline=false,%
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rightline=false,%
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bottomline=false,%
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innertopmargin=0pt,%
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innerbottommargin=-3pt,%
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innerbottommargin=-0pt,%
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frametitlefont=\normalfont\bfseries\color{black},%
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skipabove=5pt,%
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skipbelow=10pt,%
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@ -322,6 +322,12 @@ innerleftmargin=10pt,%
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\newcommand\equalhat{\mathrel{\stackon[1.5pt]{=}{\stretchto{%
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\scalerel*[\widthof{=}]{\wedge}{\rule{1ex}{3ex}}}{0.5ex}}}}
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\makeatletter
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\newcommand{\leqnos}{\tagsleft@true\let\veqno\@@leqno}
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||||
\newcommand{\reqnos}{\tagsleft@false\let\veqno\@@eqno}
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\reqnos
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\makeatother
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%General newcommands!
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\newcommand{\comp}{\mathbb{C}} % complex set C
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\newcommand{\real}{\mathbb{R}} % real set R
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@ -368,6 +374,7 @@ innerleftmargin=10pt,%
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\newcommand{\imagz}{\mathfrak{Im}}
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\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
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\renewcommand{\phi}{\varphi}
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\newcommand{\lebesque}{\person{Lebesque}}
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% Math Operators
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\DeclareMathOperator{\inn}{int} % Set of inner points
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@ -423,6 +430,7 @@ innerleftmargin=10pt,%
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\newacronym{gdw}{gdw.}{genau dann wenn}
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\newacronym{fa}{fa.}{fast alle}
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\newacronym{fü}{f.ü.}{fast überall}
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\newacronym{obda}{oBdA}{ohne Beschränkung der Allgemeinheit}
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\newacronym{tf}{TF}{\begriff{Teilfolge}}
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\newacronym{hw}{Hw}{\begriff{Häufungswert}}
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@ -471,6 +479,7 @@ innerleftmargin=10pt,%
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\proplbl{chap_15_3}
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\proplbl{satz_15_8}
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\proplbl{satz_15_1}
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\proplbl{zwischenwertsatz}
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Test für Labels.
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\end{proposition}
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@ -485,5 +494,11 @@ Test für Labels.
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\include{./TeX_files/Mittelwertsatz}
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\include{./TeX_files/Stammfunktion}
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\chapter{Integration}
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\input{./TeX_files/Integration}
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\include{./TeX_files/Messbarkeit}
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\include{./TeX_files/Integral}
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\include{./TeX_files/Integral_R}
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\include{./TeX_files/Fubini}
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\end{document}
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\end{document}
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