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\documentclass[slug=GL, room=HZDR\ Dresden/Rossendorf\,\ Geb.\ 540/239, supervisor=Tim\ Ziegler, coursedate=25.\ 10.\ 2019]{../../Lab_Report_LaTeX/lab_report}
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\title{Gaslaser}
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\author{Oliver Matthes, Valentin Boettcher}
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\usepackage[version=4]{mhchem}
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\usepackage{todonotes}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{graphicx,wrapfig}
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\graphicspath{ {figs/} }
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\newcommand{\laser}{\textsc{Laser}}
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\newcommand{\hne}{\ce{HeNe}-Laser}
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\usepackage[ngerman]{babel}
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% bib
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\addbibresource{protokoll.bib}
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\newtheorem{acro}{Acronym}[section]
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\begin{document}
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\maketitle
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\section{Einleitung}%
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\label{sec:intro}
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Der \laser{} ist seit seiner Erfindung in den 1960er Jahren in der
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modernen Physik zu einem Standardwerkzeug geworden. Unter anderem
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kann ein Laserstrahl zur Erzeugung von sehr tiefen Temperaturen
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(Untersuchung von Quanteneffekten, Bose-Einstein Kondensation), zur
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Erzeugung und Untersuchung von Schockwellen und zur Beschleunigung von
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Elementarteilchen genutzt werden.
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Auch in der Technik findet der \laser{} aufgrund der hohen Koh\"arenz
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und Intensität des emittierten Lichtstrahls vielfach Anwendung. So
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hat man allt\"aglich mit auf Lasertechnologie basierenden
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Barcode-Scannern und CD-Spielern zu tun. Auch die moderne
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Telekommunikationstechnik um das Internet nutzt \laser{} zur
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Daten\"ubertragung.
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Zum n\"aheren Verst\"andnis sollte zun\"achst das Akronym \laser{}
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gekl\"art werden.
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\begin{acro}[Laser]
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\textsc{Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation.}
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\end{acro}
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Dementsprechend verst\"arkt ein \laser{} also Licht durch stimulierte
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Emission. Da die stimulierte Emission von Strahlung ein Photon in
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allen seinen Eigenschaften kopiert, wird im Allgemeinen koh\"arentes
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und bedingt durch die Verst\"arkung sehr intensives Licht erzeugt.
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Der grundlegende Aufbau eines Lasers ist erstaunlich einfach. So
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besteht ein Laser aus:
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\begin{enumerate}
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\item einem aktiven Medium (Gase, Festkörper)
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\item einem optischen Resonator (meist rotationssymmetrische, sph\"arische Spiegel)
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\item einer ``Energiepumpe'' (Lichtblitze, Elektronenst\"oße)
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\end{enumerate}
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\begin{figure}[H]\centering
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\includegraphics[width=.5\columnwidth]{schema.png}
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\caption[Aufbau]{Schema eines Lasers}
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\label{fig:aufb}
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\end{figure}
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Die Energiepumpe erzeugt im aktiven Medium eine
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Ungleichgewichtsbesetzung von Energieniveaus, die die induzierte
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Emission beg\"unstigt. Die Photonen oszillieren im Resonator mehrfach
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und werden bei jedem Durchlauf verst\"arkt, bis sie den
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Resonator verlassen.
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\section{Theoretische Grundlagen}%
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\label{sec:theo}
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\subsection{Besetzungsinversion und Laserbedingung}%
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\label{sec:inv}
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Die Elektronen in Atomen nehmen nach der Quantenmechanik nur diskrete
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Energien an. Wenn ein Elektron seinen Zustand wechselt, wird bei
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diesem \"Ubergang Licht emmitiert oder absorbiert wobei f\"ur die
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Energien \(E_i\) und die Frequenz des beteiligten Photons \(\nu\) gilt:
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\begin{equation}
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\label{eq:transfreq}
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h\nu = E_2 - E_1
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\end{equation}
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Es gibt drei Prozesse, die nun die Anzahl der Atome im Grundzustand
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\(N_1\) und der angeregten Atome \(N_2\) beeinflussen.
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\begin{description}
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\item[Absorbtion] Ein Photon wird von einem Atom absorbiert, welches
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dementsprechend angeregt wird. Die H\"aufigkeit dieses Prozesses ist
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proportional zur spektralen Energiedichte.
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\item[Spontane Emission] Ein angeregtes Atom geht in einen tieferen
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Zustand \"uber und sendet ein Photon aus. Dieser Prozess ist
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unabh\"angig von der umgebenden spektralen Energiedichte.
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\item[Stimulierte Emission] Das Atom wird von einem passenden Photon
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zur Emmission eines zweiten, identischen Photons angeregt und geht
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|
in einen tieferen Zustand \"uber. Die H\"aufigkeit dieses Prozesses ist
|
|
proportional zur spektralen Energiedichte.
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\end{description}
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Durch Aufstellung von Ratengleichungen f\"ur das thermische
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Gleichgewicht in einem Zweiniveausystem wird deutlich, dass in einem
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solchen Fall die spontane Emmission \"uberwiegt und keine
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Verst\"arkung auftreten kann, da die Wahrscheinlichkeit f\"ur Absorbtion
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und stimulierte Emmision gleich, sowie immer mehr Teilchen im
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Grundzustand als im angeregten Zustand sind.
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F\"ur die Photonenzahldichte \(q\) gilt mit der spektralen
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Energiedichte \(\rho(\nu)\) und dem Einsteinkoeffizienten f\"ur
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stimulierte Emission und unter Vernachl\"assigung der spontanen
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Emission:
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\begin{equation}
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\label{eq:qrate}
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\dv{q}{t}=\rho(\nu)B_{21}(N_2-N_1)
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\end{equation}
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Damit eine Verst\"arkung auftritt muss gelten:
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\begin{equation}
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\label{eq:first}
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\tag{Erste Laserbedingung}
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N_2>N_1
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\end{equation}
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Eine Besetzungsinversion kann erst mit einem Dreiniveausystem
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hergestellt werden. Da dort allerdings das untere Laserniveau der
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Grundzustand ist, w\"are eine sehr hohe Pumprate notwendig. Bei einem
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Vierniveausystem kann man durch die Nutzung eines selten thermisch
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besetzten Niveaus schon mit relativ geringen Pumpraten eine
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Besetzungsinversion erzeugen.
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\begin{figure}[H]\centering
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\includegraphics[width=.8\columnwidth]{heneniv.png}
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\caption[Aufbau]{Vierniveausystem des \hne{}}
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\label{fig:niveaus}
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\end{figure}
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Der \hne{} basiert auf dem in~\ref{fig:niveaus} dargestellten
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Vierniveausystem. Das Helium wird (z.B. mit Elektronenst\"o\ss{}en)
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angeregt (nach \(2^1S\) bzw. \(2^3S\)) und \"ubertr\"agt diese
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Anregungung durch Atomst\"o\ss{}e an das Neon, dessen Niveaus (\(5S\),
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\(4S\)) \"ahnlich liegen. Der im optisch sichtbaren Bereich liegende
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\"Ubergang \(5S\rightarrow 3P\) wird vorwiegend im \hne{} genutzt und
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ist f\"ur eine Besetzungsinversion besonders vorteilhaft, da die
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Lebensdauer der \(S\) Niveaus h\"oher als die der \(P\) Niveaus ist.
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Um nun die Verst\"arkungswirkung des Lasers in Anwendungen zu nutzen,
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ist eine Betrachtung von Energieverlusten n\"otig. \"Ublicherweise
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durchqueren Photonen einen Resonator der L\"ange \(L\) mehrfach und
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werden dabei durch stimulierte Emission verst\"arkt. Allerdings treten
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auch immer Verluste auf, sodass pro doppelten Umlauf die
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Intensit\"at um einen Faktor \(e^{-\kappa}\) korrigiert werden muss,
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wobei \(\kappa\) der sog. Verlustkoeffizient ist. Nach dieser
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Betrachtung muss die Verst\"arkung gr\"o\ss{}er sein als der Verlust.
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Mit dem Wirkungsquerschnitt \(\sigma_{21}=B_{21}\frac{h\cdot\nu}{c}\)
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ergibt sich:
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\begin{equation}
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\label{eq:zwlabe}
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\tag{zweite Laserbedingung}
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\sigma_{21}(N_2-N_1)\cdot 2L \geq \kappa
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\end{equation}
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Falls nur Verluste bei der Reflexion an den Resonatorspiegeln
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auftreten, gilt mit den Reflexionskoeffizienten \(r_1,r_2\):
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\begin{equation}
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\label{eq:kappa}
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\kappa = - \ln(r_1\cdot r_2)
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\end{equation}
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Falls der Laserprozess stabil ist, stellt sich ein Gleichgewicht ein
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und die \ref{eq:zwlabe} gilt mit einem Gleichheitszeichen.
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\subsection{Optischer Resonator}
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\label{sec:reso}
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Ein optischer Resonator besteht im einfachsten Fall aus zwei Spiegeln
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mit den Radien \(R_1,R_2\) im Abstand \(L\). (Siehe auch
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\ref{fig:aufb}.)
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% Damit ein stabiler Lasingprozess m\"oglich ist, muss sich ein
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% station\"ares Wellenfeld ausbilden.
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Damit sich in longitudinaler Richtung eine stehende Welle ausbilden
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kann, muss L ein Vielfaches der halben Wellenl\"ange des Lichtes sein.
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Der Abstand der m\"oglichen Frequenzen (Moden) betr\"agt daher:
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\begin{equation}
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\label{eq:longmodes}
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\Delta\nu = \frac{c}{2L}
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\end{equation}
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Wenn man die elektromagnetische Wellengleichung f\"ur in der
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\(x,y\)-Ebene langsam ver\"anderliche Felder n\"ahert (paraxial)
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ergeben sich analytische L\"osungen f\"ur strahlenartige Felder.
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Diese Strahlen zeigen in transversaler Richtung unterschiedliche
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Intesit\"atsverteilungen von denen die einfachste und am wenigsten
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divergierende Mode die Form einer Gaußverteilung hat:
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\textbf{Gau\ss{}-Strahl}
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\begin{figure}[H]\centering
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\includegraphics[width=.5\columnwidth]{gauss-strahl.png}
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\caption[Gauss]{Gau\ss{}-Strahl }
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\label{fig:gauss}
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\end{figure}
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Dieser Strahl wird, wie in~\ref{fig:gauss} ersichtlich, charakterisiert durch
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die Strahldicke \(w(z)\) und den Radius der Wellenfronten
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\(R(z)\). Die Angabe von Amplitude, Strahltaille \(w(z=0)=w_0\) und
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Wellenl\"ange beschreibt den Strahl vollst\"andig.
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\subsubsection{Matrizenopik}
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\label{sec:matrizen}
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Um eine Stabilit\"atsbedingung f\"ur den Resonator aufzustellen, muss
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zuerst das Verhalten des Lichtfeldes beschrieben werden. Die
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Matrizenmethode der Strahlenoptik ist auch auf Gau\ss{}strahlen
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anwendbar und stellt daher ein probates Mittel dar. Diese basiert auf
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der zweidimensionalen Darstellung des Lichtstrahles durch einen
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Vektor:
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\begin{equation}
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\mqty(d \\ \alpha) \widehat{=} \mqty(\text{Abstand zur Achse} \\
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\text{Winkel zur Achse})
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\end{equation}
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Das optische System wird durch eine Matrix dargestellt, die man
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eleganterweise durch Multiplikation der Matrizen der Einzelsysteme
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erh\"alt.
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\begin{equation}
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\label{eq:systmatrix}
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\mathfrak{M}_{\text{System}}=\mathfrak{M}_{\text{1}}\cdot\ldots\cdot\mathfrak{M}_{n}=\mqty(A
|
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& B \\ C & D)
|
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\end{equation}
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Die hier ben\"otigten Matrizen sind im folgenden aufgef\"uhrt.
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{\setlength{\tabcolsep}{20pt}
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\begin{table}[h!]
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\centering
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\begin{tabular}{l | c | l}
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\textbf{Element} & \textbf{Matrix} & \textbf{Parameter} \\
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\midrule\\
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\addlinespace[-2ex]
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freie Ausbreitung & \(\begin{pmatrix}
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1 & s \\
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0 & 1
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|
\end{pmatrix}\) & Wegl\"ange \(s\) \\
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\midrule\\
|
|
\addlinespace[-2ex]
|
|
d\"unne Linse & \(\begin{pmatrix}
|
|
1 & 0 \\
|
|
-1/f & 1
|
|
\end{pmatrix}\) & Brennweite \(f\) \\
|
|
\midrule\\
|
|
\addlinespace[-2ex]
|
|
sph\"arischer Spiegel & \(\begin{pmatrix}
|
|
1 & 0 \\
|
|
-2/R & 1
|
|
\end{pmatrix}\) & Radius \(R\) \\
|
|
|
|
\end{tabular}
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|
\caption{Einige optische Matrizen}
|
|
\label{tab:mats}
|
|
\end{table}}
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Definiert man einen Parameter
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\(\frac{1}{q(z)}=\frac{1}{R(z)}+i\frac{\lambda}{\pi w^2(z)}=a+i\cdot
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b\) enth\"alt dieser alle wichtigen Informationen des Strahls in einer
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Form, die man mit der Matrizenoptik behandeln kann (sog. komplexer
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Strahlradius aus dem Exponenten der mathematischen Darstellung des
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Gau\ss{}-Strahls).
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So transformiert sich dieser Parameter mit der Matrix
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\(\mathfrak{M}_{\text{System}}\) wie folgt:
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\begin{equation}
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\label{eq:qtrans}
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q'=\frac{Aq + B}{Cq+D}
|
|
\end{equation}
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So kann man die Kaustik eines Laserstrahls, der in einem
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hemisph\"arischen Resonator entsteht und durch eine Linse mit
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Brennweite \(f\) fokussiert wie folgt berechnet.
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Da \(R_2=\infty\) kann man \(z=0\) (Postition des Beamwaist) auf die
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Spiegelposition legen. Aus dem in~\ref{sec:stabres} diskutierten
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Anpassungen, ergibt sich der Beamwaist am Endspiegel zu:
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\begin{equation}
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\label{eq:konfwaist}
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w_0^4=\qty(\frac{\lambda}{\pi})^2L(R-L)
|
|
\end{equation}
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Wenn \(s\) den Weg vor der Linse und \(x\) den Weg nach der Linse
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bezeichnet, dann ergibt sich f\"ur den Imagin\"arteil von \(q'\):
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\begin{equation}
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\label{eq:qkaust}
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b'=b\cdot\frac{AD-CB}{A^2+B^2b^2}
|
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\end{equation}
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Damit kann man den Beamwaist des resultierenden Strahls berechnen:
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\begin{equation}
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\label{eq:reswaist}
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w'=\sqrt{\frac{\lambda}{\pi\cdot b'(x)}}
|
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\end{equation}
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\subsubsection{Stabilit\"at im Resonator}
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\label{sec:stabres}
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Wenn man den Gau\ss{}strahl so anpasst, dass \(R(z_1)=R_1,\;
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R(z_2)=R_2\) (siehe \ref{fig:gauss-res}) und fordert, dass der Strahl
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nach zweifacher Reflexion in sich selbst \"ubergeht, so erhält man ein
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geometrisches Kriterium f\"ur die Resonatorstabilit\"at.
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\begin{wrapfigure}{r}{10cm}
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\includegraphics[width=10cm]{gauss-res.png}
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|
\caption[Gauss]{Gau\ss{}-Strahl im Resonator}
|
|
\label{fig:gauss-res}
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|
\end{wrapfigure}
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Mit der Defintion
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\begin{equation}
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\label{eq:gparams}
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g_i=1-\frac{L}{R_i};\; i=1,2
|
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\end{equation}
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ist ein Resonator stabil, falls:
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\begin{equation}
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\label{eq:stabbed}
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0\leq g_1g_2\leq 1
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\end{equation}
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\subsection{Modenstruktur und Linienverbreiterung des Laser-Lichtes}
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\label{ref:linv}
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Da, wie in~\ref{sec:reso} diskutiert, mehrere Moden im Resonator
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stabil sind, werden im Allgemeinen auch mehrere Moden verst\"arkt.
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Unterschiedliche Moden werden in der Regel unterschiedlich
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verst\"arkt, sodass nur endlich viele Moden die~\ref{eq:zwlabe}
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erf\"ullen, also \"uber der Verlustgrenze liegen.
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Da h\"ohere transversale Moden schneller Divergieren als die
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Gau\ss{}mode, sind bei diesen Moden die Beugungsverluste gr\"o\ss{}er,
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sodass meist nur wenige davon \"uber der Verlustgrenze
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liegen.~\cite[171]{Sigrist2018}
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|
Die longitudinalen Moden unterscheiden sich in ihren Frequenzen und
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liegen mit steigender Resonatorl\"ange zunehmend dicht
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(\ref{eq:longmodes}). Die stimulierte Emission akzeptiert aufgrund der
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sog. \textbf{Linienverbreiterung} mehrere Frequenzen, also mehrere
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longitudinale Moden, die sich die Besetzungsinversion teilen m\"ussen.
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F\"ur die Linienverbreiterung sind unter anderem die Energie-Zeit
|
|
Unsch\"arfe, strahlungsfreie \"Uberg\"ange, elastische St\"o\ss{}e
|
|
(Druckverbreiterung) und der Dopplereffekt (Dopplerverbreiterung)
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verantwortlich. Dabei unterscheidet zwischen \textit{homogener-} (die
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ersten drei Beispiele) und \textit{inhomogener} Linienverbreiterung,
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|
wobei erstere auf alle Gassatome gleichzeitig und letztere nur auf
|
|
bestimmte Atomgruppen wirkt.
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Beim \hne{} in diesem Versuch \"uberwiegt die Dopplerverbreitung,
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|
deren Halbwertsbreite hier angegeben werden soll.
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\begin{equation}
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\label{eq:doppler}
|
|
(\Delta\nu)_{\text{Doppler}}=2\cdot \nu_0\qty(\frac{2kT\ln{2}}{mc^2})^{1/2}
|
|
\end{equation}
|
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\begin{conditions}
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T & Temperatur \\
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\nu_0 & Zentralfrequenz \\
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|
m & mittlere Atommasse
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\end{conditions}
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\subsection{Fabry-Perot-Interferometer}
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\label{sec:fabry}
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Das \textit{Fabry-Perot-Interferometer} (im Folgenden FPI) beruht auf
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|
Vielstrahlinterferenz, worin sich auch seine hohe spektrale
|
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Aufl\"osung begr\"undet. Die einfallende Welle wird zwischen zwei
|
|
planparallelen Fl\"achen (genannt Etalon, Abstand \(d\),
|
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Reflexionsverm\"ogen \(R\)) sehr oft reflektiert. Die Wellen, die das
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|
Etalon verlassen, interferieren nur bei bestimmten Abst\"anden \(d\)
|
|
oder Wellenl\"angen \(\lambda\) konstruktiv.
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|
Damit kann das FPI sowohl als Interferometer zur Messung von
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|
Frequenzen, als auch als Modenfilter eingesetzt werden.
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|
Der \textit{freie Spektralbereich} (FSR) des FPI gibt an, wie weit die
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|
einzelnen passierenden Frequenzen auseinander liegen und kann zur
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|
Kalibrierung von Frequenzdifferenzen genutzt werden.
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Es gilt:
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\begin{eqnarray}
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\label{eq:fsr}
|
|
\text{FSR} = \frac{c}{2\cdot d} = \delta\nu \\
|
|
\Delta\text{FSR} = \frac{c}{2\cdot d^2}\cdot\Delta d
|
|
\end{eqnarray}
|
|
|
|
Die \textit{Finesse} des FPI ist der Quotient aus FSR und
|
|
Halbwertsbreite der Peaks, also ein Ma\ss{} f\"ur die Aufl\"osung des
|
|
FPI:
|
|
|
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\begin{equation}
|
|
\label{eq:finesse}
|
|
\mathfrak{F} = \frac{\pi\sqrt{R}}{1-R}
|
|
\end{equation}
|
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|
|
Es sollte also \(R\rightarrow 1\) gelten.
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|
|
Es ist zu beachten, dass die hier aufgef\"uhrten Beziehungen nur bei
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senkrechten Strahleinfall gelten.
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\subsection{Malus Law}
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\label{sec:malus}
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|
Die Intensit\"at einer ebenen Welle nach einem Polfilter ergibt sich
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durch Projektion der Eingangswelle auf die Richtung des Filters. Die
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Quadratur ergibt sich aus der Intensit\"atsberechnung \(\propto
|
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E^2\). \(\Theta\) bezeichnet den relativen Winkel der
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|
Polarisationsrichtungen.
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\begin{equation}
|
|
\label{eq:malus}
|
|
I(\Theta)=I_0\cdot \cos^2{\Theta}
|
|
\end{equation}
|
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|
|
\section{Versuchaufbau und Ger\"ate}
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\label{sec:versuaufb}
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Der Versuchaufbau ist schematisch in~\ref{fig:aufb} dargestellt und umfasst unter anderem:
|
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\begin{description}
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\item[Spiegel] Nummeriert von 1 bis 10.
|
|
\item[Laser] Kommerzieller \hne{} und gr\"uner Justagelaser.
|
|
\item[Laserr\"ohre] \hne{} Laserr\"ohre
|
|
\item[Blenden] Als Justagehilfe und zum Ausblenden von unerw\"unschten Moden.
|
|
\item[Linsen und Filter] Zur Untersuchung der Strahleigenschaften. (Sammellinse, Polfilter, Graufilter)
|
|
\item[Fabry Perot Interferometer] Festaufbau, Konfokal
|
|
\item[Leistungsmessger\"at] Zur Leistungsmessung und als Justagehilfe.
|
|
\item[Faserspektrometer] \textsc{Ocean Optics HR2000+} als Referenzmessger\"at.
|
|
\end{description}
|
|
|
|
|
|
\begin{figure}[H]\centering
|
|
\includegraphics[width=.5\columnwidth]{aufb.png}
|
|
\caption[Aufbau]{Versuchasfbau}
|
|
\label{fig:aufb}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
|
|
|
|
\section{Durchf\"uhrung}
|
|
\label{sec:durch}
|
|
|
|
\subsection{Stabilit\"atsbereich}
|
|
\label{sec:stabber}
|
|
|
|
Da \(g_1(R_1=\infty)=1\) folgt mit \(R_2=\SI{1}{\meter}\) und \(0\leq
|
|
g_2\leq 1\) durch~\ref{eq:stabbed}:
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|
|
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\begin{equation}
|
|
\label{eq:stabber}
|
|
g_2=1-\frac{L}{\SI{1}{\meter}}\implies\SI{0}{\meter}\leq L \leq \SI{1}{\meter}
|
|
\end{equation}
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|
|
Das ist auch aus dem Stabilit\"atsdiagramm ersichtlich. Die orangene
|
|
Linie liegt genau f\"ur eben diese \(L\) im Stabilit\"atsbereich.
|
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\begin{figure}[H]\centering
|
|
\includegraphics[width=.5\columnwidth]{figs/stabdiag.pdf}
|
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\caption[Gauss]{Stabilit\"atsdiagramm}
|
|
\label{fig:stabdiag}
|
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\end{figure}
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|
\subsection{Justage und Messung der Verst\"arkung im Einfachdurchgang}
|
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\label{sec:justage}
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|
Ziel des Versuches ist es, in einer mit \hne{} Gemisch gef\"ullte
|
|
R\"ohre, einen Laserprozess anzuregen. An dieser R\"ohre sind
|
|
Elektroden angebracht, die eine Gasentladung in Gang bringen k\"onnen
|
|
(anschalten der R\"ohre). Im ersten Schritt wird daher der
|
|
Verst\"arkungseffekt bei Durchgang eines Laserstrahls betrachtet.
|
|
Durch Anpassen der Spiegel 4 und 5 und zweier Blenden auf der
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|
optischen Achse (OA) der vormontierten \ce{HeNe}-R\"ohre wurde der
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|
rote Laser parallel zur OA ausgerichtet, sodass er die R\"ohre ohne
|
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st\"orende Reflexe an den Kappilarw\"anden passierte. Auf \"ahnliche
|
|
Weise geschah das auch mit dem gr\"unen Laser (\"uber Spiegel 1, 2).
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Anschlie\ss{}end wurde die Leistung des kommerziellen Lasers vor der
|
|
R\"ohre und bei Durchgang durch diese im deaktivierten und im aktiven
|
|
Zustand sowie der Untergrund des Powermeters gemessen. Bei allen
|
|
Leistungsmessungen wurde die Raumbeleuchtung abgeschaltet. Die
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|
Messzeit wurde auf \SI{150}{\second} festgelegt, da die Schwankung
|
|
des Messwertes ab dieser Zeit annähernd konstant blieb.
|
|
|
|
\subsection{Aufbau des Hemisph\"arischen Resonators}
|
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\label{sec:aufbauhemi}
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|
Nach dem Einbau der Resonatorspiegel (planar und sph\"arisch) wurde
|
|
deren Justage mit Hilfe von R\"uckreflexen der Justagelaser
|
|
durchgef\"uhrt. Die anf\"angliche Leistung des Lasers war gering,
|
|
konnte jedoch durch Beamwalken (iteratives Feinjustieren der
|
|
Stellschrauben an den Spiegel) erheblich gesteigert werden (auf ca
|
|
\SI{1}{\milli\watt}).
|
|
|
|
Anschlie\ss{}end wurde der ausgekoppelte Laserstrahl auf eine zweite
|
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optische Bahn justiert und die Ausgangsleistung des Lasers in
|
|
Abh\"angigkeit der Resonatorl\"ange gemessen. Die L\"ange wurde durch
|
|
Verschieben des gekr\"ummten Spiegels verstellt.
|
|
|
|
\subsection{Messung der Polarisationseigenschaften}
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\label{sec:poleig}
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|
Nach Einstellung der Resonatorl\"ange auf \SI{80}{\centi\meter}, wurde
|
|
ein Polarisationsfilter in den Strahlengang gebracht und die
|
|
transmittierte Leistung in Abh\"angigkeit des Polfilterwinkels
|
|
gemessen.
|
|
Die Messzeit wurde aus Zeitgr\"unden auf \SI{1}{\minute} reduziert.
|
|
Da die Polarisationsrichtung des Lasers mit der Nullstellung des
|
|
Polfilters \"ubereinstimmte, konnte der Polarisationswinkel absolut
|
|
abgelesen werden.
|
|
|
|
\subsection{Messung der Kaustik}
|
|
\label{sec:messkaus}
|
|
|
|
Zur Messung der Kaustik wurde eine Linse mit \(f=\SI{15}{cm}\)
|
|
einem Abstand \(s=\SI{64.5\pm 2.0}{\centi\meter}\) in den Strahlengang
|
|
gebracht und alles bis auf die Gau\ss{}mode ausgeblendet. Die
|
|
Strahlkaustik konnte dann mit einer CCD Kamera bei fester Linse
|
|
aufgenommen werden. Mit dem Programm \textsc{Laser Light Inspector}
|
|
wurde nach Anpassung der Belichtung auf eine S\"attigung von
|
|
\(200/255\) das FWHM des Laserstrahls durch einen automatischen
|
|
Gauß-Fit bestimmt (in vertikaler Richtung, da Anomalie in
|
|
horizontaler Richtung). Der Abstand des Kamerasensors wurde durch die
|
|
Brennweite der Linse abgesch\"atzt.
|
|
|
|
Die Messunsicherheiten ergeben sich aus der Schwierigkeit, die genauen
|
|
Abst\"ande der Aufpunkte der Spiegel zu bestimmen und wurden
|
|
gesch\"atzt.
|
|
|
|
\subsection{Messung des Spektrums mit dem Faserspektrometer}
|
|
\label{sec:faser}
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|
Das Faserspektrometer \textsc{Ocean Optics HR+C1743} wurde in den
|
|
Strahlengang gebracht und das Spektrum des offenen \hne{}s digital aufgenommen.
|
|
|
|
\subsection{Messung von Spektra mit dem FPI}
|
|
\label{sec:kalibzeit}
|
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|
|
Nach Justage des Strahlengangs auf das FPI durch R\"uckreflexe wurde
|
|
der Abstand der Spiegel auf \(d=\SI{7.50+-0.25}{\centi\meter}\)
|
|
bestimmt. Dabei war darauf zu achten, dass der Strahl genau mittig auf
|
|
die Spiegel trifft, sodass~\ref{eq:fsr} gilt. Falls der Strahl nich in
|
|
der Mitte auftrifft kommt es zu Mehrfachuml\"aufen und der
|
|
Wegunterschied verdoppelt sich.
|
|
|
|
Die Ungenauigkeit von \(d\) wurde gesch\"atzt (stat. Ungenauigkeit),
|
|
da ein genaues Ablesen wieder aufgrund perspektivischer Effekte
|
|
schwierig war.
|
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|
Anschlie\ss{}end wurde das Spektrum des kommerzielen Lasers ohne
|
|
Filter und zweifach mit Polfilter in verschiedenen Stellungen mit Hilfe
|
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eines Digitaloszilloskops aufgenommen. Zwecks der Untersuchung der
|
|
longitudinalen Modenstruktur des offenen Lasers wurde dessen Spektrum
|
|
bei zwei verschiedenen Resonatorl\"angen gemessen.
|
|
|
|
\section{Auswertung}
|
|
\label{sec:auswertung}
|
|
|
|
\subsection{Verst\"arkung im Einfachdurchgang}
|
|
\label{sec:ausweinf}
|
|
|
|
\begin{table}[h]
|
|
\begin{tabular}{l|SSSS}
|
|
\toprule
|
|
& {Mittelwert [\si{\micro\watt}]} & {Standartabweichung
|
|
[\si{\micro\watt}]} & {Minimum
|
|
[\si{\micro\watt}]}
|
|
& {Maximum [\si{\micro\watt}]} \\
|
|
\midrule
|
|
Untergrund & 0.839 & 0.031 & 0.771 & 0.888 \\
|
|
R\"ohre aktiv & 965.161 & 4.2 & 958.229 & 973.112 \\
|
|
R\"ohre inaktiv & 907.161 & 17.5 & 885.229 & 949.112 \\
|
|
vor R\"ohre & 1319.161 & 2.0 & 1319.229 & 1329.112 \\
|
|
\bottomrule
|
|
\end{tabular}
|
|
\caption{Leistungsmessungen des Einfachdurchgangs mit abgezogenem Untergrund}
|
|
\label{tab:leistungeinfach}
|
|
\end{table}
|
|
|
|
Die systematischen Messungenauigkeiten liegen beim Powermeter weit
|
|
unter der statistischen Schwankung und werden hier vernachl\"assigt.
|
|
|
|
Der Untergrund der Messung ist in Relation zum Rest der Messungen
|
|
relativ gering und wurde in~\ref{tab:leistungeinfach} abgezogen. Da
|
|
er jedoch eine Gr\"o\ss{}enordnung unter den \"ublichen Messwerten und
|
|
deren statistischer Schwankung liegt, wird der Untergrund in allen
|
|
folgenden Messungen vernachl\"assigt, weil die Messbereiche nicht
|
|
vergleichbar sind.
|
|
Die inaktive R\"ohre absorbiert den kommerzielen Laser relativ stark
|
|
(ca. \SI{0.4}{\milli\watt}), wobei die Leistung des durch die R\"ohre
|
|
transmittierten Strahles relativ stark schwankt.
|
|
|
|
Die Aktivierung der R\"ohre verst\"arkt den Strahl kaum (\(\approx\)
|
|
\SI{6}{\percent}), scheint diesen aber zu stabilisieren, auch wenn die
|
|
Leistungschwankung immer noch gr\"o\ss{}er als vor der R\"ohre ist.
|
|
|
|
Um einen leistungstarken Laser-Strahl zu erzeugen, sind demnach also
|
|
viele Durchg\"ange notwendig.
|
|
|
|
\subsection{Ausgangsleistung in Abh\"angigkeit der Resonatorl\"ange}
|
|
|
|
Wie in~\ref{fig:power-over-l} zu sehen und in~\ref{tab:leistunglaenge}
|
|
zu lesen, bricht die Leistung ab
|
|
ca. \SI{90}{\centi\meter} ein und wird bei \SI{1}{\meter} sehr klein.
|
|
Das best\"atigt die Stabilit\"atsbedingung aus~\ref{sec:stabber}. Der
|
|
Leistungseinbruch vor der eigentlichen Stabilit\"atsgrenze ist
|
|
eventuell auf die zunehmende Abweichung von der paraxialen N\"aherung
|
|
und Justageschwierigkeiten aufgrund der langen Wegl\"ange
|
|
zur\"uckzuf\"uhren.
|
|
|
|
Die Messabweichungen der L\"ange wurden auf \(\Delta L = \SI{.5}{\centi\meter}\)
|
|
abgesch\"atzt und sind von statistischer Natur. Der systematische
|
|
Fehler des Lineals ist im Vergleich sehr klein (\(\approx
|
|
\SI{.5}{\milli\meter}\)). Der hohe Sch\"atzwert der Messungenauigkeit ist
|
|
bedingt druch die Schwierigkeiten des Ablesens der Spiegelposition
|
|
(Perspektivabh\"angigkeit durch Abstand zum Ma\ss{}stab).
|
|
|
|
|
|
Vernachl\"assigt wurden hier die Ungenauigkeiten, die sich beim
|
|
Einstellen des Leistungsmaximums durch Beamwalken ergeben, da die
|
|
Betrachtungen hier eher qualitativer Natur sind.
|
|
|
|
\begin{figure}[b]\centering
|
|
\includegraphics[width=.8\columnwidth]{figs/power-over-l.pdf}
|
|
\caption{Maximale Durchschnittsleistung in Abh\"angigkeit der Resonatorl\"ange }
|
|
\label{fig:power-over-l}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\begin{table}[b]
|
|
\centering
|
|
\begin{tabular}{SSS}
|
|
\toprule
|
|
{L [\si{\centi\metre}]} & {P [\si{\milli\watt}]} & {\(\Delta\)P [\si{\micro\watt}]}\\
|
|
\midrule
|
|
60 & 0.991 & 7.1 \\
|
|
75 & 1.01 & 6.3 \\
|
|
90 & 0.99 & 4.6 \\
|
|
95 & 0.825 & 3.0 \\
|
|
100 & 0.313 & 5.0 \\
|
|
\bottomrule
|
|
\end{tabular}
|
|
\caption{Maximalleistung in Abh\"angigkeit der Resonatorl\"ange }
|
|
\label{tab:leistunglaenge}
|
|
\end{table}
|
|
|
|
\subsection{Polarisationseigenschaften des Laserstrahls}
|
|
\label{sec:diskpol}
|
|
|
|
Die im Laser verbauten Brewsterfenster erlaubten nur Moden mit einer
|
|
Polarisationsrichtung. Alle anderen werden herausreflektiert und
|
|
damit nicht verst\"arkt. Somit folgt die Transmission, wie
|
|
in~\ref{fig:malus} zu erkennen, sehr gut dem Gesetz von Malus.
|
|
|
|
Die Messungenauigkeiten resultieren hier aus der Statistik des
|
|
Leistungsmessger\"tes und der Einstellung des Polfilters (halbes
|
|
Skalenteil \(=0.5^\circ\)), sind also
|
|
beide statistischer Natur. Die Abweichungen von der Theorie \"uber die
|
|
Abweichungsgrenzen hinaus deuten auf untersch\"atzte (systematsiche)
|
|
Faktoren hin.
|
|
|
|
|
|
\begin{figure}[b]\centering
|
|
\includegraphics[width=.8\columnwidth]{figs/malus.pdf}
|
|
\caption{Maximale Durchschnittsleistung in Abh\"angigkeit des Polarisationswinkels}
|
|
\label{fig:malus}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\begin{table}[b]
|
|
\centering
|
|
\begin{tabular}{SSS}
|
|
\toprule
|
|
{\(\Theta\) [\si{\deg}]} & {P [\si{\milli\watt}]} & {\(\Delta\)P [\si{\micro\watt}]}\\
|
|
\midrule
|
|
180 & 0.844 & 3.6 \\
|
|
170 & 0.796 & 6.1 \\
|
|
160 & 0.728 & 3.0 \\
|
|
130 & 0.301 & 1.5 \\
|
|
100 & 0.0163 & 0.084 \\
|
|
90 & 0.00611 & 0.0066 \\
|
|
80 & 0.0445 & 0.22 \\
|
|
60 & 0.222 & 1.7 \\
|
|
45 & 0.415 & 2.2 \\
|
|
20 & 0.733 & 6.7 \\
|
|
10 & 0.798 & 2.7 \\
|
|
0 & 0.825 & 3.1 \\
|
|
\bottomrule
|
|
\end{tabular}
|
|
\caption{Maximale Durchschnittsleistung in Abh\"angigkeit des Polarisationswinkels}
|
|
\label{tab:malus}
|
|
\end{table}
|
|
|
|
\subsection{Messung der Kaustik}
|
|
\label{sec:messkaustdisk}
|
|
Da die Intensit\"at des Gausstrahls proportional zu
|
|
\(\exp{\frac{-2r^2}{w^2}}\) ist, gillt also:
|
|
|
|
\begin{equation}
|
|
\label{eq:beamwaistfwhm}
|
|
w = 2\sigma = \frac{\overset{\text{der Intensitätsverteilung}}{\text{FWHM)}}}{\sqrt{2\ln{2}}}
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
Da die Messung der Entfernung des CCD Chips ungenau war, wurde neben
|
|
dem initialen Beamwaist \(w_0\) auch ein Offset \(\delta\) der Kameraposition
|
|
gefittet. Es ergeben sich \(w_0=\SI{396\pm 16}{\micro\meter}\) und
|
|
\(\delta=\SI{1.2}{cm}\) (Ungenauigkeit aus Fitfehler).
|
|
|
|
Wie in \ref{fig:kaustik} zu erkennen, ist die \"Ubereinstimmung mit
|
|
der theoretischen Kurve sehr gut. Alle Werte stimmen innerhalb der
|
|
Toleranzen mit der Theoriekurve \"uberein. Das verifiziert die
|
|
Gauß'sche Optik und spricht daf\"ur, dass nur die Gau\ss{}mode angeregt
|
|
wurde.
|
|
|
|
Die Ungenauigkeit der \(z\) Koordinate (Abstand der Kamera) ist
|
|
statistischer Natur und wurde auf \SI{1}{\centi\meter} gesch\"atzt
|
|
(was sich nun gut mit dem Offset deckt). Die systematsiche
|
|
Unsicherheit des FWHM wurde auf \(\SI{1}{px}=\SI{5.6}{\micro\meter}\)
|
|
gesch\"atzt.
|
|
|
|
Der theoretische Wert f\"ur den Beamwaist liegt bei
|
|
\SI{284}{\micro\meter} und liegt nicht innerhalb der Toleranzen. Gr\"unde
|
|
daf\"ur k\"onnten Effekte an der Blende und Abweichungen der Geometrie
|
|
durch ungenaue Einstellung der Resonatorspiegel sein.
|
|
|
|
\begin{figure}[b]\centering
|
|
\includegraphics[width=.8\columnwidth]{figs/kaustik.pdf}
|
|
\caption{Gemessene und Theoretische Kaustik}
|
|
\label{fig:kaustik}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\begin{table}[b]
|
|
\centering
|
|
\begin{tabular}{SSS}
|
|
\toprule
|
|
{\(z\) [\si{\centi\meter}]} & {FWHM [\si{px}]} & {\(w\) [\si{\micro\meter}]}\\
|
|
\midrule
|
|
11 & 29.9 & 142 \\
|
|
13 & 19.1 & 91 \\
|
|
15 & 14.0 & 67 \\
|
|
17 & 17.5 & 83 \\
|
|
19 & 27.7 & 132 \\
|
|
21 & 41.5 & 197 \\
|
|
23 & 56. & 266 \\
|
|
27 & 78.3 & 372 \\
|
|
\bottomrule
|
|
\end{tabular}
|
|
\caption{Werte der Kaustikmessung}
|
|
\label{tab:kaustik}
|
|
\end{table}
|
|
|
|
\subsection{Messung des Spektrums mit dem Faserspektrometer}
|
|
\label{sec:faserausw}
|
|
|
|
Das in~\ref{fig:faserspek} geplottete Spektrum zeigt, wie zu erwarten
|
|
war, einen gro\ss{}en Peak bei
|
|
\(\lambda_0=\SI{631.9}{\nano\meter}\). Es sind keine individuellen
|
|
Moden erkennbar. Der Abstand der einzelnen Messpunkte betr\"agt rund
|
|
\(\Delta\lambda=\SI{.5}{\nano\meter}\).
|
|
|
|
Damit ergibt sich f\"ur die Frequenzaufl\"osung um \(\lambda_0\):
|
|
|
|
\begin{equation}
|
|
\Delta\nu=c\cdot\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0^2}=\SI{3.30e11}{\hertz}
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
Der Modenabstand betr\"agt nach \ref{eq:longmodes} (Ungenauigkeiten
|
|
aus \(L=\SI{80+-.5}{\centi\meter}\) erst in vierter Nachkommastelle):
|
|
|
|
\begin{equation}
|
|
\label{eq:moda}
|
|
\delta\nu = \SI{1.87e8}{\hertz} < \Delta\nu
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
Somit k\"onnen keine individuellen Moden aufgel\"ost werden.
|
|
\begin{figure}[b]\centering
|
|
\includegraphics[width=.8\columnwidth]{figs/faserspek.pdf}
|
|
\caption{Spektrum des offenen \hne{}s}
|
|
\label{fig:faserspek}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\subsection{Kalibierierung der Zeitachse des Oszilloskops}
|
|
\label{sec:kalibzeitausw}
|
|
|
|
Man gewinnt mit~\ref{eq:fsr}:
|
|
|
|
\begin{equation}
|
|
\label{eq:realfsr}
|
|
\text{FSR} = \SI{2.00+-0.07}{\giga\hertz}
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
Im folgenden werden die wird die Einheit der Zeitachse mit \si{u}
|
|
bezeichnet. Mit den Positionen zweier zusammengeh\"origer Peaks (siehe~\ref{fig:fsrkalib})
|
|
\(t_1=\SI{88}{u},\; t_2=\SI{204}{u}\) (\(\Delta t = \SI{1}{u}\), 1 Digit)
|
|
kann man eine Beziehung zwischen \si{u} und \si{\hertz} herstellen.
|
|
|
|
\begin{eqnarray}
|
|
\label{eq:unithertz}
|
|
\si{u} = \frac{\text{FSR}}{t_2-t_1} =\SI{.172}{\mega\hertz} \\
|
|
\Delta\si{u} = \sqrt{\qty(\frac{\Delta\text{FSR}}{x_2-x_1})^2 +
|
|
2\cdot\qty(\frac{\text{FSR}}{(x_2-x_1)^2}\Delta t)^2} & = \SI{.07}{\mega\hertz}
|
|
\end{eqnarray}
|
|
|
|
Die Aufl\"osung des FPI ist also um Gr\"o\ss{}enordnungen besser, als
|
|
die des Faserspektrometers. Die Unsicherheit der Einheitsumrechnung,
|
|
die sich aus der L\"angenmessung des FPI und der
|
|
Digitalisierungsungenauigkeit fortpflanzt, ist erstaunlich gering.
|
|
|
|
\begin{figure}[b]\centering
|
|
\includegraphics[width=.8\columnwidth]{figs/fsrkalib.pdf}
|
|
\caption{Kalibrierung des FSR, Spektrum des Kommerzielen \hne{}}
|
|
\label{fig:fsrkalib}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
Falls eine Gr\"o\ss{}e \(g\) in \si{u} gemessen und dann in \si{\hertz}
|
|
umgerechnet wird, so gilt f\"ur ihre Unsicherheit:
|
|
|
|
\begin{equation}
|
|
\label{eq:uerr}
|
|
\Delta g = \sqrt{\qty(g\cdot\Delta u)^2 + \qty(\Delta g\cdot u)^2}
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
Diese Relation wird im Folgenden immer angewandt.
|
|
|
|
\subsection{Bestimmung der Finesse}
|
|
\label{sec:bestfinesse}
|
|
|
|
Zur Bestimmung der Finesse wurde das FWHM der vier Peaks
|
|
in~\ref{fig:fsrkalib} gemittelt.
|
|
|
|
\begin{align}
|
|
\label{eq:fwhmlaser}
|
|
\overline{\text{FWHM}} =&\; \SI{4.72}{u} = \SI{81\pm
|
|
6}{\mega\hertz} \\
|
|
\sigma_{\overline{\text{FWHM}}} =&\; \SI{.31}{u}\\
|
|
\Delta\overline{\text{FWHM}} =&
|
|
\sqrt{\qty(\overline{\text{FWHM}}\cdot\Delta u)^2 +
|
|
\qty(\frac{\sigma_{\overline{\text{FWHM}}}}{\sqrt{4}}\cdot u)^2}
|
|
\end{align}
|
|
|
|
F\"ur die Finesse gilt nun:
|
|
|
|
\begin{align}
|
|
\label{eq:finesselaser}
|
|
\mathfrak{F} =& \frac{\text{FSR}}{\text{FWHM}}=\SI{24.6\pm 2.0}{} \\
|
|
\Delta\mathfrak{F} =&
|
|
\sqrt{\qty(\frac{\Delta\text{FSR}}{\text{FWHM}})^2 + \qty(\frac{\text{FSR}}{\text{FWHM}^2}\cdot\Delta\text{FWHM})^2}
|
|
\end{align}
|
|
|
|
Das ist sicherlich kein überragender Wert (vgl. Anleitung, Anhang),
|
|
aber, wie in~\ref{fig:fsrkalib} zu erkennen, zur Aufl\"osung der
|
|
longitudinalen Moden ausreichend.
|
|
|
|
\subsection{Modenstruktur des Kommerziellen Lasers}
|
|
\label{sec:modkomm}
|
|
Nach~\ref{fig:polarisations} haben die beiden erkennbaren Moden des
|
|
kommerziellen Lasers genau orthogonale Polarisation. Ein Plot beider
|
|
Spektren in ein Diagramm war leider nicht m\"oglich, da die Daten einer
|
|
Aufnahme fehlerhaft waren.
|
|
|
|
|
|
\label{sec:modsturkom}
|
|
\begin{figure}[b]\centering
|
|
\includegraphics[width=.3\columnwidth]{pol1.png}
|
|
\includegraphics[width=.3\columnwidth]{pol2.png}
|
|
\caption[Gauss]{Spektrum des kommerziellen \hne{}s f\"ur zwei
|
|
orthogonale Polarisationen}
|
|
\label{fig:polarisations}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
Der Abstand der Moden des kommerziellen Lasers wird den Daten
|
|
aus~\ref{fig:lengthkomm} entnommen und \"uber die fünf sichtbaren Gruppen
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gemittelt:
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\begin{figure}[b]\centering
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\includegraphics[width=.8\columnwidth]{figs/komm_all_peaks.pdf}
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\caption{Bestimmung der Resonatorl\"ange, Spektrum des kommerziellen \hne{}}
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\label{fig:lengthkomm}
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\end{figure}
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\begin{equation}
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\label{eq:modeabstkom}
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\overline{\delta\nu_k}=\SI{37.6\pm 2.2}{u}=\SI{650\pm 40}{\mega\hertz}
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\end{equation}
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Die Ungenauigkeiten kommen hier aus der Statistik der Mittelung.
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Damit kann nun die unbekannte L\"ange des Resonators bestimmt werden.
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\begin{align}
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L_k =& \frac{c}{2\cdot \delta\nu_k} = \SI{23.1\pm 1.6}{\centi\meter}
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\\
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\Delta L_k =& \abs{\frac{c}{2\cdot\delta\nu_k^2}\cdot \Delta\delta\nu_k}
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\end{align}
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Dieses Ergebnis erscheint plausibel und die Pr\"azision ist mit den
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vorhergehenden L\"angenmessungen vergleichbar.
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\subsection{Longitudinale Modenstruktur des offenen \hne{}}
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\label{sec:longoff}
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Die Bestimmung des Modenabstandes verl\"auft analog
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zu~\ref{sec:modkomm} (auch hier wird gemittelt). Da sich der Maßstab
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der Zeitachse des Oszilloskops ge\"andert hat, muss die Umrechnung in
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\si{\hertz} wieder analog zu~\ref{sec:kalibzeitausw} kalibriert
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werden.
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Die gemessenen Spektren und Peakpositionen sind in~\ref{fig:off_80_60} dargestellt.
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\begin{figure}[b]\centering
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\includegraphics[width=.5\columnwidth]{figs/off_80.pdf}
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\includegraphics[width=.5\columnwidth]{figs/off_60.pdf}
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\caption{Spektrum des offenen \hne{} bei \(L=\SI{80}{\centi\meter}\)
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und \(L=\SI{60}{\centi\meter}\)}
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\label{fig:off_80_60}
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\end{figure}
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Die Pr\"azision ist hier durch die geringe Anzahl von sichtbaren Moden
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limitiert.
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Die Ungenauigkeit der Messung der Resonatorl\"ange wurde wieder auf
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\SI{.5}{\centi\meter} gesch\"atzt.
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Mit~\ref{eq:longmodes} kann aus der Resonatorl\"ange der Modenabstand berechnet
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werden. Man erh\"alt nun f\"ur die Modenabst\"ande:
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\begin{table}[H]
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\centering
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\begin{tabular}{SSS}
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\toprule
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{\(L\) [\si{\centi\meter}]} & {\(\delta\nu\) Theorie [\si{\mega\hertz}]} & {\(\delta\nu\) experimentell [\si{\mega\hertz}]}\\
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\midrule
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80 & 187.4\pm 1.2 & 201\pm 14 \\
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60 & 249.8\pm 2.1 & 279\pm 11 \\
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\bottomrule
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\end{tabular}
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\caption{Modenabs\"ande am offenen \hne{}}
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\label{tab:longmodstruk}
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\end{table}
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Es ergibt sich also f\"ur \(L=\SI{60}{\centi\meter}\) in
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\"Ubereinstimmung innerhalb der Fehlergrenzen. F\"ur
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\(L=\SI{60}{\centi\meter}\) ist die Differenz gr\"o\ss{}er als die
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Messungenauigkeiten. Dieser Umstand k\"onnte eventuell auf die geringe
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Anzahl von Peaks \"uber die gemittelt wird zur\"uckzuf\"uhren sein. Da
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somit die Statistik mangelhaft wird, k\"onnten vernachl\"assigte
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systematische Abweichungen zum Tragen kommen (die Messunsicherheiten
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wurden untersch\"atzt).
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\subsection{Betrachtung der Linienverbreiterung}
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\label{sec:linver}
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Die geringe Anzahl sichtbarer Moden macht es schwierig, qualifizierte
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Aussagen \"uber die Einh\"ullende zu treffen und l\"asst auf eine hohe Verlustgrenze
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schlie\ss{}en. Eventuell wurde auch die zum Ausblenden der
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ungew\"unschten Transversalmoden verwendete Blende zu sehr zugedreht.
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Die Temperatur in der Laserr\"ohre sollte die Umgebungstemperatur
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\(\approx \SI{300}{\kelvin}\) \"ubersteigen. Wie in der Anleitung und
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in~\cite[60]{Sigrist2018} dargestellt, sollte bei solchen Temperaturen
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der Hauptanteil der Linienverbreiterung durch die inhomogene
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Dopplerverbreiterung zustandekommen (Dopplerverbreiterung
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ca. \SI{1.5}{\giga\hertz}). Die Einh\"ullende des Modenspektrums
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sollte also einer Gaußkurve gleichen, da die Intensit\"aten der
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einzelnen Moden zum Profil der Dopplerverbreiterung proportional sind
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(Gau\ss{}kurve).
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Um eine Schätzung f\"ur die Linienverbreiterung zu erhalten, wurde
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eine Gaußfunktion \"uber die drei bei \(L=\SI{80}{\centi\meter}\)
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sichtbaren Peaks mit abgezogener Baseline gefittet
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(siehe~\ref{fig:fit_einh}). Als freie Parameter wurden die
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Standardabweichung \(\sigma\) und die H\"ohe gew\"ahlt. Der
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Mittelwert wurde fest auf den h\"ochsten Peak gelegt, da die
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Verst\"arkung im Zentrum des Verbreiterungsprofils am gr\"o\ss{}ten
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ist.
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\begin{figure}[b]\centering
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\includegraphics[width=.8\columnwidth]{figs/verbr_fit.pdf}
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|
\caption{Einh\"ullende der Intesit\"aten der longitudinalen Moden
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des offenen \hne{}}
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\label{fig:fit_einh}
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\end{figure}
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F\"ur die Standardabweichung und Breite ergibt sich nun:
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\begin{align}
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\sigma =& \SI{53\pm 20}{u} = \SI{340\pm 130}{\mega\hertz} \\
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\Delta\nu =& 2\sqrt{2\ln{2}}\cdot\sigma = \SI{800\pm 300}{\mega\hertz}
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\end{align}
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Die Abweichung von \(\sigma\) ergibt sich nicht aus dem Fit Residuum,
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sondern wurde gesch\"atzt. Die erhaltene Linienverbreiterung
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\(\Delta\nu\) ist ungef\"ahr halb so gro\ss{} wie der in der
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Literatur f\"ur \hne{} angegebene~\cite[60]{Sigrist2018}.
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Dementsprechend erh\"alt man mit~\ref{eq:doppler} (angepasst f\"ur
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\(\sigma\) anstatt der Halbwertsbreite), wobei
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\(m=\SI{3.35092e-26}{\kg}\)~\cite{IUPAC2013} und
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\(\nu_0=\SI{473.755}{\tera\hertz}\) ~\cite[226]{Sigrist2018}.
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\begin{align}
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\label{eq:temp}
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T = \qty(\frac{\sigma\cdot c}{\nu_0})^2\cdot \frac{m}{k_B}=\SI{110\pm 90}{\kelvin}
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|
\end{align}
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Das ist also selbst mit bei Aussch\"opfung der Unsicherheitsgrenzen kein
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sinnvolles Ergebnis, da die Temperatur sehr weit unter dem
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Gefrierpunkt und allemal unter der Zimmertemperatur
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liegt. Da~\ref{eq:temp} quadratisch in \(\sigma\) ist, bewirkt eine
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Verdopplung der Breite eine Vervierfachung der erhaltenen
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Temperatur. Die zu geringe Linienbreite verf\"alscht die errechnete
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Temperatur also enorm. F\"ur ein plausibles Ergebnis w\"ahre fast die
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Doppelte breite \(\sigma\) notwendig. Soetwas l\"asst sich nicht als
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Unsicherheit behandeln, da die Fehlergrenzen dann negative
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Temperaturen (in \si{\kelvin}) umfassen. Bei Vernachl\"ssigung anderer
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Verbreiterungsmechanismen ist ja eigentlich eher zu hohe Temperatur zu
|
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erwarten.
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Drei sichtbare Moden lassen also keine vern\"unftige
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Temperaturabsch\"atzung zu. Die Qualit\"at der Messung ist hier die
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Limitierung. Drei Peaks auf drei freihe Parameter lassen keinen
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aussagekr\"aftigen Fit zu.
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\section {Zusammenfassung}
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\label{sec:zusfass}
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Bei der Messung der Verstärkung des kommerziellen Lasers beim
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Einfachdurchgang durch die \hne{}-Röhre, konnte festgestellt werden,
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dass die aktivierte \hne{}-Röhre den kommerziellen Laser zwar kaum
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verstärkt, wohl aber stabilisiert und für eine Verstärkung lediglich
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mehrere Durchgänge durch den Resonator nötig wären.
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|
Die Messung der Laserausgangsleistung in Abhängigkeit von der
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Resonatorlänge ergab das aus~\ref{sec:stabber} erwartete Ergebnis:
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die Ausgangsleistung brach ab einer Resonatorlänge von
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ca. \SI{0,9}{\meter} trastisch ein, was auf die zunehmende
|
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Instabilität zurückzuführen ist.
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|
Bei der Überprüfung der Ausgangleistung des Laser in Abhängigkeit des
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Winkels eines externen Polarisators (Malus Law), konnte eine gute
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Übereinstimmung der Messwerte mit der theoretischen Kurve gezeigt
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|
werden (vgl.~\ref{fig:malus}).
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|
Beim Nachvollziehen der Kaustik des Strahls konnte ebenfalls eine sehr
|
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gute Übereinstimmung von Theorie und Praxis nachgewiesen werden.
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Die Messung des Spektrums des Lasers mit Hilfe eines
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Faserspektrometers, zeigte wie zu erwarten einen starken Peak bei
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\(\lambda_0=\SI{631.9}{\nano\meter}\). Der in der Literatur für einen
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\hne-Laser angegebene Wellenlänge beträgt:
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\(\lambda_0=\SI{632.8}{\nano\meter}\), was eine geringe Abweichung
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darstellt. Da der Peak auf dem Faserspektrometer relativ breit ist,
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w\"ahren mehrere Messungen n\"otig, um das Peakzentrum genauer zu
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bestimmen. Im dem Sinne ist die in~\ref{sec:faser} angegebene
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Abweichung untersch\"atzt worden.
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Die ermittelte Finesse des FPI beträgt: \(\mathfrak{F}=\SI{24.6\pm
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2.0}{}\). Die Wert der Finesse von handelsüblichen FPI bewegt sich im
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Bereich von einigen Zehn bis einigen Hundert. Dieses Interferometer
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befindet sich also im unteren Teil dieses Bereichs.
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Der ermittelte Abstand der beiden Moden des kommerziellen Lasers, die
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genau orthogonal zu einander polarisiert sind, ist:
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\(\overline{\delta\nu_k}=\SI{650\pm 40}{\mega\hertz}\).
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Der Vergleich der ermittelten logitudinalen Modenstruktur mit den
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berechneten Werten (vgl.~\ref{tab:longmodstruk}) zeigt für eine
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Resonatorlänge von \(L=\SI{80}{\centi\meter}\) eine Übereinstimmung
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innerhalb der Ungenauigkeiten. Für \(L=\SI{60}{\centi\meter}\)
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hingegen weicht der experimentelle Wert etwas, wenn auch nicht stark,
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ab.
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Die Bestimmung der Einhüllenden des longitudinalen Modenspektrums
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stellte sich als recht schwierig dar, da nur drei Peaks vorhanden
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waren. Der Versuch durch einen manuellen Gauß-Fit, auf die Temperatur
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des Gasgemisches zu schließen, war nicht Erfolgreich, weil aufgrund
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der wenigen Peaks eine zu geringe Linienbreite und damit auch eine
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viel zu geringe Temperatur ermittelt wurde.
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\section{Literatur}
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\label{sec:literatur}
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\printbibliography
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\end{document}
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