hiro/fpraktikum
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538
PET/protokoll/protokoll.tex
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@ -10,7 +10,7 @@
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage{subcaption}
\usepackage{amssymb}
\usetikzlibrary{external}\tikzexternalize
% bib
\addbibresource{protokoll.bib}
@ -165,204 +165,6 @@ ergibt sich die Rückprojektion
\section{Durchführung und Auswertung}
\label{sec:durch}
\subsection{Schwerpunktsdiagramme}
\label{sec:schwpkt}
\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{subfigure}{0.32\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=.9\textwidth]{../messungen/kalib/vergleich_mitte_nah_NAH.png}
\caption{Quelle nah.}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}{0.32\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=.9\textwidth]{../messungen/kalib/vergleich_mitte_nah_MITTE.png}
\caption{Quelle in Mitte der Detektoren.}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}{0.32\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=.9\textwidth]{../messungen/kalib/vergleich_mitte_fern_FERN.png}
\caption{Quelle fern.}
\end{subfigure}
\caption{Vergleich der Detektorsignale bei verschiedenen Quellabständen von Detektor A.}
\label{fig:abstand}
\end{figure}
Die Quelle lag bei den Messungen stets auf einem Tisch aus Plexiglas. Dadurch erwartet man eine
Abschwächung des Signals durch Reflexionen und Brechungen des Lichtes am unteren Detektorrand.
Wie man allerdings deutlich in~\ref{fig:abstand} (c) erkennen kann ist das Signal im unteren
Teil des Bildes deutlich stärker als im oberen. Dies lässt darauf schließen, dass die vom
Detektor kommenden Bilder horizontal invertiert sind.
Auch kann man die Kristallstruktur anhand der 8x8-Matrix artigen Anordnung der Dichteverteilung
der Messpunkte erkennen.
Die Dichte der Messpunkte ist in (a) deutlich im Zentrum der Aufnahme
konzentriert sowie die am Rand liegenden Bereiche höherer Messpunktdichte stark verzerrt. Daraus
wurde der Schluss, dass (a) eine Messung zeigt, bei der die Quelle nah am Detektor lag.
Die Unterschiede und Gründe für die Entscheidung zwischen mittleren (b) und fernen Quellabstand
(c) sind zum einen die Helligkeit der einzelnen Bereiche höherer Messpunktdichte zum anderen
müssten die äußeren Bereiche bei fernem Abstand weniger stark verzerrt sein, was
in~\ref{fig:abstand} allerdings nicht zu erkennen ist, da die Unterschiede zu marginal sind.
\subsection{Tomographische Messungen}
\label{sec:tom}
\subsubsection{Isotrope Dichteverteilung}
\label{sec:tom1}
Es wurde eine vorgegebene, aber unbekannte Quellkonfiguration innerhalb eines aus Wachs
bestehenden Phantoms vermessen und mit Hilfe dieser Messungen auf die Gestalt der
Quellkonfiguration geschlossen.\\
Gemessen wurde mit einer Geschwindigkeit von \(\SI{12}{\milli\metre\per\second}\), dem
Mittelfilter und neun Filterdimensionen.
\begin{figure}
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/1_einfach.png}
\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/1_gefiltert.png}
\caption{Messung bei \(7^\circ\).}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/3_einfach.png}
\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/3_gefiltert.png}
\caption{Messung bei \(18^\circ\).}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/3_einfach.png}
\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/3_gefiltert.png}
\caption{Messung bei \(18^\circ\).}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/5_einfach.png}
\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/5_gefiltert.png}
\caption{Messung bei \(36^\circ\).}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/9_einfach.png}
\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/9_gefiltert.png}
\caption{Messung bei \(90^\circ\).}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/13_einfach.png}
\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/13_gefiltert.png}
\caption{Messung bei \(150^\circ\).}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/15_einfach.png}
\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/15_gefiltert.png}
\caption{Messung bei \(178^\circ\).}
\end{subfigure}
\caption{Verlauf der Bildentstehung mit Gegenüberstellung von ungefilterter (links) und gefilterter (rechts) Projektion.}
\label{fig:tom1}
\end{figure}
\subsubsection{Anisotrope Dichteverteilung}
\label{sec:tom2}
Nun wurde wieder eine Dichteverteilung innerhalb des Phantoms gegeben. Nur das diesmal nur in der
Mitte des Phantoms eine Quelle lag und darum auf unbekannte Art und Weise Bleimünzen, der selben
Form und Größe wie die der Quelle verteilt waren. Deren Anordnung gilt es mit Hilfe der
aufgenommenen Messdaten, insbesondere der Form des Sinogramms, herauszufinden.
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=.3\textwidth, angle=90]{../messungen/Tom2/tom2_Sinogramm.PNG}
\caption{Aufgenommenes Sinogramm bei Vermessung einer anisotropen Quelldichteverteilung.}
\label{fig:tom2}
\end{figure}
\subsection{Einfluss verschiedener Filter}
\label{sec:filter}
Zuletzt wurde noch der Einfluss verschiedener Filter auf die gefilterte Rückprojektion
untersucht. Dazu wurden die Messdaten aus~\ref{sec:tom1} verwendet.
\begin{figure}[h]
\centering
\subfloat[Hanning-Filter.]{\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/olifilter/hanningweight9_gefiltert.png}}
\subfloat[Ramp-Filter.]{\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/olifilter/ramp9_gefiltert.png}}\\
\subfloat[Shepp-Filter.]{\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/olifilter/shepp9_gefiltert.png}}
\subfloat[Rauschfilter.]{\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/olifilter/rauschfilter_gefiltert.png}}
\caption{Gegenüberstellung verschiedener Filter mit einer Dimension von je \(9\).}
\label{fig:filter}
\end{figure}
Wie man in~\ref{fig:filter} erkennen kann, sehen sich die gefilterten Rückprojektionen mit dem
Hannig-Filter und dem Rauschfilter sowie jene mit Ramp-Filter und Shepp-Filter recht ähnlich.
Auf den Bildern (a) und (d) kann man die Quellverteilung obwohl sie im Vergleich zu (b) und (c)
unschärfer wirken besser erkennen, da störende Signale herausgefiltert werden.\\
%\begin{figure}[h]
% \centering
% \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth}
% \centering
% \includegraphics[width=.3\textwidth]{../messungen/olifilter/hanningweight9_gefiltert.png}
% \caption{Hanning-Filter.}
% \end{subfigure}
% \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth}
% \centering
% \includegraphics[width=.3\textwidth]{../messungen/olifilter/ramp9_gefiltert.png}
% \caption{Ramp-Filter.}
% \end{subfigure}
% \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth}
% \centering
% \includegraphics[width=.3\textwidth]{../messungen/olifilter/shepp9_gefiltert.png}
% \caption{Shepp-Filter.}
% \end{subfigure}
% \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth}
% \centering
% \includegraphics[width=.3\textwidth]{../messungen/olifilter/rauschfilter_gefiltert.png}
% \caption{Rausch-Filter.}
% \end{subfigure}
%\caption{Gegenüberstellung verschiedener Filter mit einer Dimension von je \(9\).}
%\label{fig:filter}
%\end{figure}
Der Rauschfilter wurde außerdem mit Dimensionseinstellungen getestet.
\begin{figure}[h!]
\centering
\subfloat[Dimension \(= 5\).]{\includegraphics[width=.3\textwidth]{../messungen/olifilter/rausch_5_gefiltert.png}}
\subfloat[Dimension \(= 9\).]{\includegraphics[width=.3\textwidth]{../messungen/olifilter/rauschfilter_gefiltert.png}}
\subfloat[Dimension \(= 12\).]{\includegraphics[width=.3\textwidth]{../messungen/olifilter/rausch12_gefiltert.png}}
\caption{Rauschfilter mit verschiedenen Dimensionen.}
\label{fig:rausch}
\end{figure}
In~\ref{fig:rausch} erscheint (a) am unschärfsten und undeutlichsten, wenngleich man auch die
Intensität der einzelnen Quellen qualitativ abschätzen kann. In (b) und (c) hingegen ist die
Lage der Quellen besser auszumachen, da diese schärfer im Vergleich zu (a) sind. Es ist allerdings
kein wirklicher Unterschied zwischen (b) und (c) zu erkennen.
%\begin{figure}[h!]
% \centering
% \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth}
% \centering
% \includegraphics[width=.6\textwidth]{../messungen/olifilter/rausch_5_gefiltert.png}
% \caption{Dimension \(= 5\).}
% \end{subfigure}
% \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth}
% \centering
% \includegraphics[width=.6\textwidth]{../messungen/olifilter/rauschfilter_gefiltert.png}
% \caption{Dimension \(= 9\).}
% \end{subfigure}
% \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth}
% \centering
% \includegraphics[width=.6\textwidth]{../messungen/olifilter/rausch12_gefiltert.png}
% \caption{Dimension \(= 12\).}
% \end{subfigure}
% \caption{Rauschfilter mit verschiedenen Dimensionen.}
% \label{fig:rausch}
%\end{figure}
\section{Auswertung}
@ -488,7 +290,8 @@ Die Aktivität der \ce{22^Na} Kalibrierungsprobe ergibt sich mit
\end{equation}
Die Z\"ahlate der zuf\"alligen Koinzidenzen ergibt sich aus
\todo{!!!!! GLEICHUNG} mit der Kantenl\"ange des Detektors
% \todo{!!!!! GLEICHUNG}
mit der Kantenl\"ange des Detektors
\(a=\SI{54}{\milli\meter}\) und dem Detektorabstand
\(D=\SI{386}{\milli\meter}\) sowie
\(\Omega_{\min} = \frac{4a^2}{D^2} = 0.078\)
@ -508,7 +311,8 @@ untergeordnete Rolle und k\"onnen in guter N\"aherung vernachl\"assigt
werden.
Die Koinzidenznachweiseffektivit\"at bestimmt sich
\todo{equathsitoenshtioesnht} mit \(P_\beta = 0.90382\pm 0.00021\) zu:
% \todo{equathsitoenshtioesnht} %
mit \(P_\beta = 0.90382\pm 0.00021\) zu:
\begin{align}
\epsilon & = \frac{\mathfrak{R}}{P_\beta\cdot A \cdot
@ -583,6 +387,317 @@ Entsprechend ergibt sich dann der Detektorabstand zu:
D &= \frac{\mathfrak{t}}{2c} = \SI{330\pm 90}{\milli\meter}
\end{align}
\subsubsection{Schwerpunktsdiagramme}
\label{sec:schwpkt}
\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{subfigure}{0.32\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=.9\textwidth]{../messungen/kalib/vergleich_mitte_nah_NAH.png}
\caption{Quelle nah.}
\label{fig:ab-nah}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}{0.32\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=.9\textwidth]{../messungen/kalib/vergleich_mitte_nah_MITTE.png}
\caption{Quelle in Mitte.}
\label{fig:ab-mitte}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}{0.32\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=.9\textwidth]{../messungen/kalib/vergleich_mitte_fern_FERN.png}
\caption{Quelle fern.}
\label{fig:ab-fern}
\end{subfigure}
\caption{Vergleich der Detektorsignale bei verschiedenen
Quellabständen von Detektor A.}
\label{fig:abstand}
\end{figure}
Um die Detektoren auch im Ortsraum zu kalibrieren wurden die Messdaten
(aus den Kalibrierungsmessungen) eingelesen und Schwerpunktsdiagramme
erstellt, um die werterbereiche der Koordinaten der eintreffenden
Signale den entsprechenden Detektorsegment zuzuordnen. Eine
entsprechnde Kalibrationsdatei wurde erzeugt und
abgespeichert. Grafische darstellungen der Diagramme sind
in~\ref{fig:abstand} f\"ur Detektor \(B\) gezeigt. (Die entsprechenden
Darstellungen f\"ur Det. A waren durch den ersetzten PM verzerrt.)
Man ergkennt deutlich mehr oder weniger stark ausgedehente
Schwerpunkte, die dann jeweils einer Zelle (rote Linien) zugeordnet
werden.
Die Quelle lag bei den Messungen stets auf einem Tisch aus
Plexiglas. Dadurch erwartet man eine Abschwächung des Signals durch
Reflexionen und Brechungen des Lichtes am unteren Detektorrand. Wie
man allerdings deutlich in~\ref{fig:ab-fern} erkennen kann ist das
Signal im unteren Teil des Bildes deutlich stärker als im oberen. Dies
lässt darauf schließen, dass die vom Detektor kommenden Bilder
horizontal invertiert sind. Auch kann man die Kristallstruktur anhand
der \(8\times 8\)-Matrix artigen Anordnung der Dichteverteilung der
Messpunkte erkennen. Die Dichte der Messpunkte ist in
\ref{fig:ab-nah} deutlich im Zentrum der Aufnahme konzentriert sowie
die am Rand liegenden Bereiche höherer Messpunktdichte stark
verzerrt. Daraus wurde der Schluss, dass \ref{fig:ab-nah} eine Messung
zeigt, bei der die Quelle nah am Detektor lag. Das Wegfallen der Peaks
am Rand l\"asst auf nichterfolgende Reflexion aufgrund des Steilen
einfallswinkel (kleiner Winkel zur Normale) schließen. Es ist hier
keine sinnvolle Zuordnung zu Gitterpunkten mehr m\"oglich. Bei
gr\"o\ss{}eren Abst\"anden f\"allt die Verzerrung nicht merklich ins
gewicht. So ist aber die Dichte in~\ref{fig:ab-fern} (also in der
gr\"o\ss{}ten Entfernung) diffuser als in~\ref{fig:ab-mitte} (in der
Mitte). Mit zunehmenden Abstand der Quelle wird der Einfalswinkel der
Photonen immer Flacher (zur Detektoroberfl\"achennormale) und damit
die Ablenkung durch Reflexionen geringer. Es sollte also im
allgemeinen ein optimaler Abstand (geringe Verzerrung, ausreichende
Z\"ahlrate) existieren.
% Die Unterschiede und
% Gründe für die Entscheidung zwischen mittleren \ref{fig:ab-mitte} und
% fernen Quellabstand \ref{fig:ab-fern} sind zum einen die Helligkeit
% der einzelnen Bereiche höherer Messpunktdichte zum anderen müssten die
% äußeren Bereiche bei fernem Abstand weniger stark verzerrt sein, was
% in~\ref{fig:abstand} allerdings nicht zu erkennen ist, da die
% Unterschiede zu marginal sind.
\subsection{Tomographische Messungen}
\label{sec:tom}
\subsubsection{Unbekannte Quellkonfiguration}
\label{sec:tom1}
Es wurde eine vorgegebene, aber unbekannte Quellkonfiguration
innerhalb eines aus Wachs (\"ahnlichkeit zu K\"orpergewebe)
bestehenden istropen und homogenen Beh\"alters vermessen und mit Hilfe
dieser Messungen auf die Gestalt der Quellkonfiguration geschlossen.
Die Quelle befand sich dabei genau mittig zwischen den Detektoren,
welche dabei mit einer Geschwindigkeit von
\(\SI{12}{\milli\metre\per\second}\) verfahren wurden um eine Breite
von \(40\) Bins (Breite \SI{3.375}{\milli\meter}) zu vermessen. Die
Projektionen, R\"uckprojektionen und gefilterten R\"uckprojektionen
wurden in Echtzeit durch ein Computer graphisch dargestellt. Es kam
dabei der sog. ``Mittelfilter'' mit mit der Dimensionseinstellung
\(9\) zur Anwendung. Der Aufnahme und Rekonstruktionsprozess ist
in~\ref{fig:tom1} dargestellt und wird im Folgenden nachvollzogen.
\begin{figure}[htp]
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/1_einfach.png}
\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/1_gefiltert.png}
\caption{\(7^\circ\).}
\label{eq:tom1-7}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/3_einfach.png}
\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/3_gefiltert.png}
\caption{\(18^\circ\).}
\label{eq:tom1-18}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/5_einfach.png}
\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/5_gefiltert.png}
\caption{\(36^\circ\).}
\label{eq:tom1-36}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/9_einfach.png}
\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/9_gefiltert.png}
\caption{\(90^\circ\).}
\label{eq:tom1-90}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/13_einfach.png}
\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/13_gefiltert.png}
\caption{\(150^\circ\).}
\label{eq:tom1-150}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/15_einfach.png}
\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/15_gefiltert.png}
\caption{\(178^\circ\).}
\label{eq:tom1-178}
\end{subfigure}
\caption{Verlauf der Bildentstehung mit Gegenüberstellung von
ungefilterter (links) und gefilterter (rechts) Projektion.}
\label{fig:tom1}
\end{figure}
\begin{description}
\item[\(7^\circ\) (\ref{eq:tom1-7})] Es sind auf der horizontalen
zwei gleich starke Signale zu unterscheiden. Vertical ist die
R\"uckprojektion homogen, da keine information in dieser Richtung
vorhanden ist. Die gefilterte R\"uckprojektion erscheint
verwaschener. Aufgrund der Filterung ist auch der schwarze
Hintergrund ins Graue verschoben.
\item[\(18^\circ\) (\ref{eq:tom1-18})] Die vertikale Differenzierung
der Signale beginnt. Auch entstehen leichte Artefakte fernab der
Quelle (links). Die gefilterte R\"uckprojektion ist wiederum
unsch\"arfer, wenn auch Elle linien deutilcher von schw\"acheren
getrennt sind.
\item[\(36^\circ\) (\ref{eq:tom1-36})] Die R\"uckprojektionen
manifestieren sich zunhemend als interferrierende Linien. Bereiche
die vom Detektorwinkel aus gesehen neben den Quellen liegen bleiben
dunkler, da auf diesen sichtlinien weniger ereignissee gez\"ahlt
werden. Die gefilterte RP verh\"alt sich unver\"andert.
\item[\(90^\circ\) (\ref{eq:tom1-90})] Es ist nun in der ungefilterten
RP deutlich eine Unterteilung des Bildes in vier rechteckige Zonen
zu erkennen. Rechts oben und links unten ist das bild dunkler und
ann\"ahernd frei von Artefakten. Diese Bereiche entsprechen den
Sichtlinien aus denen der detektor wenige ereignisse Erhalten
hat. Die rekonstruktion kann diese bereiche
``ausschlie\ss{}en''. Die anderen beiden bereiche weisen
linienartige Artefakte auf, da dort die Quellen immer in der
Sichtlinie lag, auch wenn diese Linien aufgrund der
rundumbeobachtung aus zwei ortogonalen richtungen nun schw\"acher
als im vorherigen Bild sind. Es sind nun gen\"ugend informationen
verf\"ugbar um eine dritte, schwache Quelle (links unten)
auszumachen. In der gefilterten RP ist das Bild weniger
differenziert und die dritte Quelle ist sogar schlechter zu
erkennen.
\item[\(150^\circ\) (\ref{eq:tom1-150})] Sowohl in der gefilterten als
auch der ungefilterten RP sind die artefakte nun schw\"acher und
mehr in der mitte konzentriert. Intuitiv gesehen, werden die
Artefakte von neuen Linien (projektionen) \"uberlagert, in denen zu
erkennen ist, das dort keine Qellen vorliegen. Die schwache Quelle
ist deutlicher zu erkennen. In der Gefliterten RP sind zwar die
Artefakte gleichm\"a\ss{}iger verteilt, jedoch auch deutlicher
auszumachen (andere Farbskalierung). Die Quellen sind allerdings
besser zu differenzieren.
\item[\(178^\circ\) (\ref{eq:tom1-178})] Der trend aus dem vorherigen
Bild setzt sich fort. Es ist nun Information aus allen n\"otigen
Richtungen vorhanden und die Artefakte treten nun eher als
gleichm\"a\ss{}iger Hintergrund zu auf. Dieser Hintergund wird in
der gefilterten RP nun besser unterdr\"uckt (da der filter gl\"attet
und mittelt) und die Quellen sin deutlich besser abgegrenzt. Die
runde Form der Quellen l\"asst sich nun ausmachen, auch wenn die
schwache Quelle ins ovale verzerrt ist. Dieser umstand ist
verst\"andlich, da diese Quelle erst in den letzten \(90^\circ\)
aufgel\"ost wurde.
\end{description}
Trotz der geringen statistik (um die 5 Ereignisse pro Projektion, zu
schnelles Verfahren der Detektoren) ist es m\"oglich die einzelnen
Quellen zu unterscheiden und positionieren. Aus dem verglich Radien der
Reproduziert Quellverteilungen mit den bekannten Radien l\"asst sich
die Ortsaufl\"osung absch\"atzen. Die relativen
intensit\"aten der drei Quellen k\"onnen bei bekannter aktivit\"at
einer Quelle zur bestimmung der Aktivitäten dre beiden Anderen genutzt werden.
\subsubsection{Anisotrope Dichteverteilung}
\label{sec:tom2}
Nun wurde wieder eine Dichteverteilung innerhalb des Phantoms gegeben. Nur das diesmal nur in der
Mitte des Phantoms eine Quelle lag und darum auf unbekannte Art und Weise Bleimünzen, der selben
Form und Größe wie die der Quelle verteilt waren. Deren Anordnung gilt es mit Hilfe der
aufgenommenen Messdaten, insbesondere der Form des Sinogramms, herauszufinden.
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=.3\textwidth, angle=90]{../messungen/Tom2/tom2_Sinogramm.PNG}
\caption{Aufgenommenes Sinogramm bei Vermessung einer anisotropen Quelldichteverteilung.}
\label{fig:tom2}
\end{figure}
\subsection{Einfluss verschiedener Filter}
\label{sec:filter}
Zuletzt wurde noch der Einfluss verschiedener Filter auf die gefilterte Rückprojektion
untersucht. Dazu wurden die Messdaten aus~\ref{sec:tom1} verwendet.
\begin{figure}[h]
\centering
\subfloat[Hanning-Filter.]{\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/olifilter/hanningweight9_gefiltert.png}}
\subfloat[Ramp-Filter.]{\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/olifilter/ramp9_gefiltert.png}}\\
\subfloat[Shepp-Filter.]{\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/olifilter/shepp9_gefiltert.png}}
\subfloat[Rauschfilter.]{\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/olifilter/rauschfilter_gefiltert.png}}
\caption{Gegenüberstellung verschiedener Filter mit einer Dimension von je \(9\).}
\label{fig:filter}
\end{figure}
Wie man in~\ref{fig:filter} erkennen kann, sehen sich die gefilterten Rückprojektionen mit dem
Hannig-Filter und dem Rauschfilter sowie jene mit Ramp-Filter und Shepp-Filter recht ähnlich.
Auf den Bildern (a) und (d) kann man die Quellverteilung obwohl sie im Vergleich zu (b) und (c)
unschärfer wirken besser erkennen, da störende Signale herausgefiltert werden.\\
%\begin{figure}[h]
% \centering
% \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth}
% \centering
% \includegraphics[width=.3\textwidth]{../messungen/olifilter/hanningweight9_gefiltert.png}
% \caption{Hanning-Filter.}
% \end{subfigure}
% \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth}
% \centering
% \includegraphics[width=.3\textwidth]{../messungen/olifilter/ramp9_gefiltert.png}
% \caption{Ramp-Filter.}
% \end{subfigure}
% \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth}
% \centering
% \includegraphics[width=.3\textwidth]{../messungen/olifilter/shepp9_gefiltert.png}
% \caption{Shepp-Filter.}
% \end{subfigure}
% \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth}
% \centering
% \includegraphics[width=.3\textwidth]{../messungen/olifilter/rauschfilter_gefiltert.png}
% \caption{Rausch-Filter.}
% \end{subfigure}
%\caption{Gegenüberstellung verschiedener Filter mit einer Dimension von je \(9\).}
%\label{fig:filter}
%\end{figure}
Der Rauschfilter wurde außerdem mit Dimensionseinstellungen getestet.
\begin{figure}[h!]
\centering
\subfloat[Dimension \(= 5\).]{\includegraphics[width=.3\textwidth]{../messungen/olifilter/rausch_5_gefiltert.png}}
\subfloat[Dimension \(= 9\).]{\includegraphics[width=.3\textwidth]{../messungen/olifilter/rauschfilter_gefiltert.png}}
\subfloat[Dimension \(= 12\).]{\includegraphics[width=.3\textwidth]{../messungen/olifilter/rausch12_gefiltert.png}}
\caption{Rauschfilter mit verschiedenen Dimensionen.}
\label{fig:rausch}
\end{figure}
In~\ref{fig:rausch} erscheint (a) am unschärfsten und undeutlichsten, wenngleich man auch die
Intensität der einzelnen Quellen qualitativ abschätzen kann. In (b) und (c) hingegen ist die
Lage der Quellen besser auszumachen, da diese schärfer im Vergleich zu (a) sind. Es ist allerdings
kein wirklicher Unterschied zwischen (b) und (c) zu erkennen.
% \begin{figure}[h!]
% \centering
% \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth}
% \centering
% \includegraphics[width=.6\textwidth]{../messungen/olifilter/rausch_5_gefiltert.png}
% \caption{Dimension \(= 5\).}
% \end{subfigure}
% \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth}
% \centering
% \includegraphics[width=.6\textwidth]{../messungen/olifilter/rauschfilter_gefiltert.png}
% \caption{Dimension \(= 9\).}
% \end{subfigure}
% \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth}
% \centering
% \includegraphics[width=.6\textwidth]{../messungen/olifilter/rausch12_gefiltert.png}
% \caption{Dimension \(= 12\).}
% \end{subfigure}
% \caption{Rauschfilter mit verschiedenen Dimensionen.}
% \label{fig:rausch}
% \end{figure}
\subsection{Theoriebeispiel}
\label{sec:theobei}
Zur Verbesserung des Verst\"andnisses der Projektions- und
@ -594,31 +709,31 @@ Beispiels nachvollzogen.
\begin{subfigure}[t]{.25\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=.6\textwidth]{../auswertung/figs/theory/source.pdf}
\caption{Ausgangsmatrix}
\caption{Ausgangsmatrix \(\mathfrak{M}_0\)}
\label{fig:theory-source}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}[t]{.25\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=.6\textwidth]{../auswertung/figs/theory/projection.pdf}
\caption{Sinogram}
\caption{Sinogram \(\mathfrak{P}_0\)}
\label{fig:theory-projection}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}[t]{.25\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=.6\textwidth]{../auswertung/figs/theory/convoluted.pdf}
\caption{Gefiltertes Sinogram}
\caption{Gefiltertes Sinogram \(\mathfrak{P}_1\)}
\label{fig:theory-convoluted}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}[t]{.25\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=.6\textwidth]{../auswertung/figs/theory/rec_simple.pdf}
\caption{Einfache R\"uckprojektion}
\caption{Einfache R\"uckprojektion \(\mathfrak{M}_1\)}
\label{fig:theory-rec_simple}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}[t]{.25\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=.6\textwidth]{../auswertung/figs/theory/rec_filtered.pdf}
\caption{Gefilterte R\"uckprojektion}
\caption{Gefilterte R\"uckprojektion \(\mathfrak{M}_2\)}
\label{fig:theory-rec_filtered}
\end{subfigure}
\caption[Graustufendarstellung der
@ -653,12 +768,12 @@ berechenet. Dabei wurden die diagonalen entsprechend gewichtet.
\end{equation}
Ein gefiltertes Sinogramm~\ref{fig:theory-convoluted} ergibt sich durch
Faltung der Zeilen von \(\mathfrak{M}_0\) mit
Faltung der Zeilen von \(\mathfrak{P}_0\) mit
\(F = \mqty(-.1 & .25 & -.1)\).
\begin{equation}
\label{eq:filter}
\mathfrak{M}_1 = \mathfrak{M}_0 * F =
\mathfrak{P}_1 = \mathfrak{P}_0 * F =
\begin{pmatrix}
-1.6 & 4. & -2.4 & 1.8 & -0.3\\
0.188 & -0.583 & 3.304 & -1.405 & 0.002\\
@ -667,7 +782,7 @@ Faltung der Zeilen von \(\mathfrak{M}_0\) mit
\end{pmatrix}
\end{equation}
Die R\"uckprojektion des einfachen Sinogramms
Die R\"uckprojektion des einfachen Sinogramms~\eqref{eq:proj}
ergib~\ref{fig:theory-rec_simple}.
{\footnotesize
@ -709,8 +824,9 @@ ergib~\ref{fig:theory-rec_simple}.
\end{pmatrix} = \mathfrak{M}_1
\end{align}}
Aus dem gefilterten Sinogramm ergibt sich auf \"ahnliche
Weise~\ref{fig:theory-rec_filtered}
Aus dem gefilterten Sinogramm~\eqref{eq:filter} ergibt sich auf
\"ahnliche Weise~\ref{fig:theory-rec_filtered}
{\footnotesize
\setlength{\arraycolsep}{2.5pt}