diff --git a/PET/protokoll/protokoll.tex b/PET/protokoll/protokoll.tex index 17e7ec9..b4e8d58 100644 --- a/PET/protokoll/protokoll.tex +++ b/PET/protokoll/protokoll.tex @@ -10,7 +10,7 @@ \usepackage[ngerman]{babel} \usepackage{subcaption} \usepackage{amssymb} - +\usetikzlibrary{external}\tikzexternalize % bib \addbibresource{protokoll.bib} @@ -165,204 +165,6 @@ ergibt sich die Rückprojektion \section{Durchführung und Auswertung} \label{sec:durch} -\subsection{Schwerpunktsdiagramme} -\label{sec:schwpkt} - -\begin{figure}[h!] - \centering - \begin{subfigure}{0.32\textwidth} - \centering - \includegraphics[width=.9\textwidth]{../messungen/kalib/vergleich_mitte_nah_NAH.png} - \caption{Quelle nah.} - \end{subfigure} - \begin{subfigure}{0.32\textwidth} - \centering - \includegraphics[width=.9\textwidth]{../messungen/kalib/vergleich_mitte_nah_MITTE.png} - \caption{Quelle in Mitte der Detektoren.} - \end{subfigure} - \begin{subfigure}{0.32\textwidth} - \centering - \includegraphics[width=.9\textwidth]{../messungen/kalib/vergleich_mitte_fern_FERN.png} - \caption{Quelle fern.} - \end{subfigure} - \caption{Vergleich der Detektorsignale bei verschiedenen Quellabständen von Detektor A.} - \label{fig:abstand} -\end{figure} - -Die Quelle lag bei den Messungen stets auf einem Tisch aus Plexiglas. Dadurch erwartet man eine -Abschwächung des Signals durch Reflexionen und Brechungen des Lichtes am unteren Detektorrand. -Wie man allerdings deutlich in~\ref{fig:abstand} (c) erkennen kann ist das Signal im unteren -Teil des Bildes deutlich stärker als im oberen. Dies lässt darauf schließen, dass die vom -Detektor kommenden Bilder horizontal invertiert sind. -Auch kann man die Kristallstruktur anhand der 8x8-Matrix artigen Anordnung der Dichteverteilung -der Messpunkte erkennen. -Die Dichte der Messpunkte ist in (a) deutlich im Zentrum der Aufnahme -konzentriert sowie die am Rand liegenden Bereiche höherer Messpunktdichte stark verzerrt. Daraus -wurde der Schluss, dass (a) eine Messung zeigt, bei der die Quelle nah am Detektor lag. -Die Unterschiede und Gründe für die Entscheidung zwischen mittleren (b) und fernen Quellabstand -(c) sind zum einen die Helligkeit der einzelnen Bereiche höherer Messpunktdichte zum anderen -müssten die äußeren Bereiche bei fernem Abstand weniger stark verzerrt sein, was -in~\ref{fig:abstand} allerdings nicht zu erkennen ist, da die Unterschiede zu marginal sind. - -\subsection{Tomographische Messungen} -\label{sec:tom} - -\subsubsection{Isotrope Dichteverteilung} -\label{sec:tom1} - -Es wurde eine vorgegebene, aber unbekannte Quellkonfiguration innerhalb eines aus Wachs -bestehenden Phantoms vermessen und mit Hilfe dieser Messungen auf die Gestalt der -Quellkonfiguration geschlossen.\\ - -Gemessen wurde mit einer Geschwindigkeit von \(\SI{12}{\milli\metre\per\second}\), dem -Mittelfilter und neun Filterdimensionen. - -\begin{figure} - \begin{subfigure}{0.5\textwidth} - \centering - \includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/1_einfach.png} - \includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/1_gefiltert.png} - \caption{Messung bei \(7^\circ\).} - \end{subfigure} - \begin{subfigure}{0.5\textwidth} - \centering - \includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/3_einfach.png} - \includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/3_gefiltert.png} - \caption{Messung bei \(18^\circ\).} - \end{subfigure} - \begin{subfigure}{0.5\textwidth} - \centering - \includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/3_einfach.png} - \includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/3_gefiltert.png} - \caption{Messung bei \(18^\circ\).} - \end{subfigure} - \begin{subfigure}{0.5\textwidth} - \centering - \includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/5_einfach.png} - \includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/5_gefiltert.png} - \caption{Messung bei \(36^\circ\).} - \end{subfigure} - \begin{subfigure}{0.5\textwidth} - \centering - \includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/9_einfach.png} - \includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/9_gefiltert.png} - \caption{Messung bei \(90^\circ\).} - \end{subfigure} - \begin{subfigure}{0.5\textwidth} - \centering - \includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/13_einfach.png} - \includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/13_gefiltert.png} - \caption{Messung bei \(150^\circ\).} - \end{subfigure} - \begin{subfigure}{0.5\textwidth} - \centering - \includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/15_einfach.png} - \includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/15_gefiltert.png} - \caption{Messung bei \(178^\circ\).} - \end{subfigure} - \caption{Verlauf der Bildentstehung mit Gegenüberstellung von ungefilterter (links) und gefilterter (rechts) Projektion.} - \label{fig:tom1} -\end{figure} - -\subsubsection{Anisotrope Dichteverteilung} -\label{sec:tom2} - -Nun wurde wieder eine Dichteverteilung innerhalb des Phantoms gegeben. Nur das diesmal nur in der -Mitte des Phantoms eine Quelle lag und darum auf unbekannte Art und Weise Bleimünzen, der selben -Form und Größe wie die der Quelle verteilt waren. Deren Anordnung gilt es mit Hilfe der -aufgenommenen Messdaten, insbesondere der Form des Sinogramms, herauszufinden. - -\begin{figure}[h] - \centering - \includegraphics[width=.3\textwidth, angle=90]{../messungen/Tom2/tom2_Sinogramm.PNG} - \caption{Aufgenommenes Sinogramm bei Vermessung einer anisotropen Quelldichteverteilung.} - \label{fig:tom2} -\end{figure} - -\subsection{Einfluss verschiedener Filter} -\label{sec:filter} - -Zuletzt wurde noch der Einfluss verschiedener Filter auf die gefilterte Rückprojektion -untersucht. Dazu wurden die Messdaten aus~\ref{sec:tom1} verwendet. - -\begin{figure}[h] - \centering - \subfloat[Hanning-Filter.]{\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/olifilter/hanningweight9_gefiltert.png}} - \subfloat[Ramp-Filter.]{\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/olifilter/ramp9_gefiltert.png}}\\ - \subfloat[Shepp-Filter.]{\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/olifilter/shepp9_gefiltert.png}} - \subfloat[Rauschfilter.]{\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/olifilter/rauschfilter_gefiltert.png}} - \caption{Gegenüberstellung verschiedener Filter mit einer Dimension von je \(9\).} - \label{fig:filter} -\end{figure} - -Wie man in~\ref{fig:filter} erkennen kann, sehen sich die gefilterten Rückprojektionen mit dem -Hannig-Filter und dem Rauschfilter sowie jene mit Ramp-Filter und Shepp-Filter recht ähnlich. -Auf den Bildern (a) und (d) kann man die Quellverteilung obwohl sie im Vergleich zu (b) und (c) -unschärfer wirken besser erkennen, da störende Signale herausgefiltert werden.\\ - -%\begin{figure}[h] -% \centering -% \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth} -% \centering -% \includegraphics[width=.3\textwidth]{../messungen/olifilter/hanningweight9_gefiltert.png} -% \caption{Hanning-Filter.} -% \end{subfigure} -% \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth} -% \centering -% \includegraphics[width=.3\textwidth]{../messungen/olifilter/ramp9_gefiltert.png} -% \caption{Ramp-Filter.} -% \end{subfigure} -% \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth} -% \centering -% \includegraphics[width=.3\textwidth]{../messungen/olifilter/shepp9_gefiltert.png} -% \caption{Shepp-Filter.} -% \end{subfigure} -% \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth} -% \centering -% \includegraphics[width=.3\textwidth]{../messungen/olifilter/rauschfilter_gefiltert.png} -% \caption{Rausch-Filter.} -% \end{subfigure} -%\caption{Gegenüberstellung verschiedener Filter mit einer Dimension von je \(9\).} -%\label{fig:filter} -%\end{figure} - -Der Rauschfilter wurde außerdem mit Dimensionseinstellungen getestet. - -\begin{figure}[h!] - \centering - \subfloat[Dimension \(= 5\).]{\includegraphics[width=.3\textwidth]{../messungen/olifilter/rausch_5_gefiltert.png}} - \subfloat[Dimension \(= 9\).]{\includegraphics[width=.3\textwidth]{../messungen/olifilter/rauschfilter_gefiltert.png}} - \subfloat[Dimension \(= 12\).]{\includegraphics[width=.3\textwidth]{../messungen/olifilter/rausch12_gefiltert.png}} - \caption{Rauschfilter mit verschiedenen Dimensionen.} - \label{fig:rausch} -\end{figure} - -In~\ref{fig:rausch} erscheint (a) am unschärfsten und undeutlichsten, wenngleich man auch die -Intensität der einzelnen Quellen qualitativ abschätzen kann. In (b) und (c) hingegen ist die -Lage der Quellen besser auszumachen, da diese schärfer im Vergleich zu (a) sind. Es ist allerdings -kein wirklicher Unterschied zwischen (b) und (c) zu erkennen. - -%\begin{figure}[h!] -% \centering -% \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth} -% \centering -% \includegraphics[width=.6\textwidth]{../messungen/olifilter/rausch_5_gefiltert.png} -% \caption{Dimension \(= 5\).} -% \end{subfigure} -% \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth} -% \centering -% \includegraphics[width=.6\textwidth]{../messungen/olifilter/rauschfilter_gefiltert.png} -% \caption{Dimension \(= 9\).} -% \end{subfigure} -% \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth} -% \centering -% \includegraphics[width=.6\textwidth]{../messungen/olifilter/rausch12_gefiltert.png} -% \caption{Dimension \(= 12\).} -% \end{subfigure} -% \caption{Rauschfilter mit verschiedenen Dimensionen.} -% \label{fig:rausch} -%\end{figure} - \section{Auswertung} @@ -488,7 +290,8 @@ Die Aktivität der \ce{22^Na} Kalibrierungsprobe ergibt sich mit \end{equation} Die Z\"ahlate der zuf\"alligen Koinzidenzen ergibt sich aus -\todo{!!!!! GLEICHUNG} mit der Kantenl\"ange des Detektors +% \todo{!!!!! GLEICHUNG} +mit der Kantenl\"ange des Detektors \(a=\SI{54}{\milli\meter}\) und dem Detektorabstand \(D=\SI{386}{\milli\meter}\) sowie \(\Omega_{\min} = \frac{4a^2}{D^2} = 0.078\) @@ -508,7 +311,8 @@ untergeordnete Rolle und k\"onnen in guter N\"aherung vernachl\"assigt werden. Die Koinzidenznachweiseffektivit\"at bestimmt sich -\todo{equathsitoenshtioesnht} mit \(P_\beta = 0.90382\pm 0.00021\) zu: +% \todo{equathsitoenshtioesnht} % +mit \(P_\beta = 0.90382\pm 0.00021\) zu: \begin{align} \epsilon & = \frac{\mathfrak{R}}{P_\beta\cdot A \cdot @@ -583,6 +387,317 @@ Entsprechend ergibt sich dann der Detektorabstand zu: D &= \frac{\mathfrak{t}}{2c} = \SI{330\pm 90}{\milli\meter} \end{align} +\subsubsection{Schwerpunktsdiagramme} +\label{sec:schwpkt} + +\begin{figure}[h!] + \centering + \begin{subfigure}{0.32\textwidth} + \centering + \includegraphics[width=.9\textwidth]{../messungen/kalib/vergleich_mitte_nah_NAH.png} + \caption{Quelle nah.} + \label{fig:ab-nah} + \end{subfigure} + \begin{subfigure}{0.32\textwidth} + \centering + \includegraphics[width=.9\textwidth]{../messungen/kalib/vergleich_mitte_nah_MITTE.png} + \caption{Quelle in Mitte.} + \label{fig:ab-mitte} + \end{subfigure} + \begin{subfigure}{0.32\textwidth} + \centering + \includegraphics[width=.9\textwidth]{../messungen/kalib/vergleich_mitte_fern_FERN.png} + \caption{Quelle fern.} + \label{fig:ab-fern} + \end{subfigure} + \caption{Vergleich der Detektorsignale bei verschiedenen + Quellabständen von Detektor A.} + \label{fig:abstand} +\end{figure} + +Um die Detektoren auch im Ortsraum zu kalibrieren wurden die Messdaten +(aus den Kalibrierungsmessungen) eingelesen und Schwerpunktsdiagramme +erstellt, um die werterbereiche der Koordinaten der eintreffenden +Signale den entsprechenden Detektorsegment zuzuordnen. Eine +entsprechnde Kalibrationsdatei wurde erzeugt und +abgespeichert. Grafische darstellungen der Diagramme sind +in~\ref{fig:abstand} f\"ur Detektor \(B\) gezeigt. (Die entsprechenden +Darstellungen f\"ur Det. A waren durch den ersetzten PM verzerrt.) +Man ergkennt deutlich mehr oder weniger stark ausgedehente +Schwerpunkte, die dann jeweils einer Zelle (rote Linien) zugeordnet +werden. + +Die Quelle lag bei den Messungen stets auf einem Tisch aus +Plexiglas. Dadurch erwartet man eine Abschwächung des Signals durch +Reflexionen und Brechungen des Lichtes am unteren Detektorrand. Wie +man allerdings deutlich in~\ref{fig:ab-fern} erkennen kann ist das +Signal im unteren Teil des Bildes deutlich stärker als im oberen. Dies +lässt darauf schließen, dass die vom Detektor kommenden Bilder +horizontal invertiert sind. Auch kann man die Kristallstruktur anhand +der \(8\times 8\)-Matrix artigen Anordnung der Dichteverteilung der +Messpunkte erkennen. Die Dichte der Messpunkte ist in +\ref{fig:ab-nah} deutlich im Zentrum der Aufnahme konzentriert sowie +die am Rand liegenden Bereiche höherer Messpunktdichte stark +verzerrt. Daraus wurde der Schluss, dass \ref{fig:ab-nah} eine Messung +zeigt, bei der die Quelle nah am Detektor lag. Das Wegfallen der Peaks +am Rand l\"asst auf nichterfolgende Reflexion aufgrund des Steilen +einfallswinkel (kleiner Winkel zur Normale) schließen. Es ist hier +keine sinnvolle Zuordnung zu Gitterpunkten mehr m\"oglich. Bei +gr\"o\ss{}eren Abst\"anden f\"allt die Verzerrung nicht merklich ins +gewicht. So ist aber die Dichte in~\ref{fig:ab-fern} (also in der +gr\"o\ss{}ten Entfernung) diffuser als in~\ref{fig:ab-mitte} (in der +Mitte). Mit zunehmenden Abstand der Quelle wird der Einfalswinkel der +Photonen immer Flacher (zur Detektoroberfl\"achennormale) und damit +die Ablenkung durch Reflexionen geringer. Es sollte also im +allgemeinen ein optimaler Abstand (geringe Verzerrung, ausreichende +Z\"ahlrate) existieren. + +% Die Unterschiede und +% Gründe für die Entscheidung zwischen mittleren \ref{fig:ab-mitte} und +% fernen Quellabstand \ref{fig:ab-fern} sind zum einen die Helligkeit +% der einzelnen Bereiche höherer Messpunktdichte zum anderen müssten die +% äußeren Bereiche bei fernem Abstand weniger stark verzerrt sein, was +% in~\ref{fig:abstand} allerdings nicht zu erkennen ist, da die +% Unterschiede zu marginal sind. + +\subsection{Tomographische Messungen} +\label{sec:tom} + +\subsubsection{Unbekannte Quellkonfiguration} +\label{sec:tom1} + +Es wurde eine vorgegebene, aber unbekannte Quellkonfiguration +innerhalb eines aus Wachs (\"ahnlichkeit zu K\"orpergewebe) +bestehenden istropen und homogenen Beh\"alters vermessen und mit Hilfe +dieser Messungen auf die Gestalt der Quellkonfiguration geschlossen. + +Die Quelle befand sich dabei genau mittig zwischen den Detektoren, +welche dabei mit einer Geschwindigkeit von +\(\SI{12}{\milli\metre\per\second}\) verfahren wurden um eine Breite +von \(40\) Bins (Breite \SI{3.375}{\milli\meter}) zu vermessen. Die +Projektionen, R\"uckprojektionen und gefilterten R\"uckprojektionen +wurden in Echtzeit durch ein Computer graphisch dargestellt. Es kam +dabei der sog. ``Mittelfilter'' mit mit der Dimensionseinstellung +\(9\) zur Anwendung. Der Aufnahme und Rekonstruktionsprozess ist +in~\ref{fig:tom1} dargestellt und wird im Folgenden nachvollzogen. + +\begin{figure}[htp] + \begin{subfigure}{0.5\textwidth} + \centering + \includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/1_einfach.png} + \includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/1_gefiltert.png} + \caption{\(7^\circ\).} + \label{eq:tom1-7} + \end{subfigure} + \begin{subfigure}{0.5\textwidth} + \centering + \includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/3_einfach.png} + \includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/3_gefiltert.png} + \caption{\(18^\circ\).} + \label{eq:tom1-18} + \end{subfigure} + \begin{subfigure}{0.5\textwidth} + \centering + \includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/5_einfach.png} + \includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/5_gefiltert.png} + \caption{\(36^\circ\).} + \label{eq:tom1-36} + \end{subfigure} + \begin{subfigure}{0.5\textwidth} + \centering + \includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/9_einfach.png} + \includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/9_gefiltert.png} + \caption{\(90^\circ\).} + \label{eq:tom1-90} + \end{subfigure} + \begin{subfigure}{0.5\textwidth} + \centering + \includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/13_einfach.png} + \includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/13_gefiltert.png} + \caption{\(150^\circ\).} + \label{eq:tom1-150} + \end{subfigure} + \begin{subfigure}{0.5\textwidth} + \centering + \includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/15_einfach.png} + \includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/15_gefiltert.png} + \caption{\(178^\circ\).} + \label{eq:tom1-178} + \end{subfigure} + \caption{Verlauf der Bildentstehung mit Gegenüberstellung von + ungefilterter (links) und gefilterter (rechts) Projektion.} + \label{fig:tom1} +\end{figure} + +\begin{description} +\item[\(7^\circ\) (\ref{eq:tom1-7})] Es sind auf der horizontalen + zwei gleich starke Signale zu unterscheiden. Vertical ist die + R\"uckprojektion homogen, da keine information in dieser Richtung + vorhanden ist. Die gefilterte R\"uckprojektion erscheint + verwaschener. Aufgrund der Filterung ist auch der schwarze + Hintergrund ins Graue verschoben. + +\item[\(18^\circ\) (\ref{eq:tom1-18})] Die vertikale Differenzierung + der Signale beginnt. Auch entstehen leichte Artefakte fernab der + Quelle (links). Die gefilterte R\"uckprojektion ist wiederum + unsch\"arfer, wenn auch Elle linien deutilcher von schw\"acheren + getrennt sind. + +\item[\(36^\circ\) (\ref{eq:tom1-36})] Die R\"uckprojektionen + manifestieren sich zunhemend als interferrierende Linien. Bereiche + die vom Detektorwinkel aus gesehen neben den Quellen liegen bleiben + dunkler, da auf diesen sichtlinien weniger ereignissee gez\"ahlt + werden. Die gefilterte RP verh\"alt sich unver\"andert. + +\item[\(90^\circ\) (\ref{eq:tom1-90})] Es ist nun in der ungefilterten + RP deutlich eine Unterteilung des Bildes in vier rechteckige Zonen + zu erkennen. Rechts oben und links unten ist das bild dunkler und + ann\"ahernd frei von Artefakten. Diese Bereiche entsprechen den + Sichtlinien aus denen der detektor wenige ereignisse Erhalten + hat. Die rekonstruktion kann diese bereiche + ``ausschlie\ss{}en''. Die anderen beiden bereiche weisen + linienartige Artefakte auf, da dort die Quellen immer in der + Sichtlinie lag, auch wenn diese Linien aufgrund der + rundumbeobachtung aus zwei ortogonalen richtungen nun schw\"acher + als im vorherigen Bild sind. Es sind nun gen\"ugend informationen + verf\"ugbar um eine dritte, schwache Quelle (links unten) + auszumachen. In der gefilterten RP ist das Bild weniger + differenziert und die dritte Quelle ist sogar schlechter zu + erkennen. +\item[\(150^\circ\) (\ref{eq:tom1-150})] Sowohl in der gefilterten als + auch der ungefilterten RP sind die artefakte nun schw\"acher und + mehr in der mitte konzentriert. Intuitiv gesehen, werden die + Artefakte von neuen Linien (projektionen) \"uberlagert, in denen zu + erkennen ist, das dort keine Qellen vorliegen. Die schwache Quelle + ist deutlicher zu erkennen. In der Gefliterten RP sind zwar die + Artefakte gleichm\"a\ss{}iger verteilt, jedoch auch deutlicher + auszumachen (andere Farbskalierung). Die Quellen sind allerdings + besser zu differenzieren. + +\item[\(178^\circ\) (\ref{eq:tom1-178})] Der trend aus dem vorherigen + Bild setzt sich fort. Es ist nun Information aus allen n\"otigen + Richtungen vorhanden und die Artefakte treten nun eher als + gleichm\"a\ss{}iger Hintergrund zu auf. Dieser Hintergund wird in + der gefilterten RP nun besser unterdr\"uckt (da der filter gl\"attet + und mittelt) und die Quellen sin deutlich besser abgegrenzt. Die + runde Form der Quellen l\"asst sich nun ausmachen, auch wenn die + schwache Quelle ins ovale verzerrt ist. Dieser umstand ist + verst\"andlich, da diese Quelle erst in den letzten \(90^\circ\) + aufgel\"ost wurde. +\end{description} + + +Trotz der geringen statistik (um die 5 Ereignisse pro Projektion, zu +schnelles Verfahren der Detektoren) ist es m\"oglich die einzelnen +Quellen zu unterscheiden und positionieren. Aus dem verglich Radien der +Reproduziert Quellverteilungen mit den bekannten Radien l\"asst sich +die Ortsaufl\"osung absch\"atzen. Die relativen +intensit\"aten der drei Quellen k\"onnen bei bekannter aktivit\"at +einer Quelle zur bestimmung der Aktivitäten dre beiden Anderen genutzt werden. + + + + +\subsubsection{Anisotrope Dichteverteilung} +\label{sec:tom2} + +Nun wurde wieder eine Dichteverteilung innerhalb des Phantoms gegeben. Nur das diesmal nur in der +Mitte des Phantoms eine Quelle lag und darum auf unbekannte Art und Weise Bleimünzen, der selben +Form und Größe wie die der Quelle verteilt waren. Deren Anordnung gilt es mit Hilfe der +aufgenommenen Messdaten, insbesondere der Form des Sinogramms, herauszufinden. + +\begin{figure}[h] + \centering + \includegraphics[width=.3\textwidth, angle=90]{../messungen/Tom2/tom2_Sinogramm.PNG} + \caption{Aufgenommenes Sinogramm bei Vermessung einer anisotropen Quelldichteverteilung.} + \label{fig:tom2} +\end{figure} + +\subsection{Einfluss verschiedener Filter} +\label{sec:filter} + +Zuletzt wurde noch der Einfluss verschiedener Filter auf die gefilterte Rückprojektion +untersucht. Dazu wurden die Messdaten aus~\ref{sec:tom1} verwendet. + +\begin{figure}[h] + \centering + \subfloat[Hanning-Filter.]{\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/olifilter/hanningweight9_gefiltert.png}} + \subfloat[Ramp-Filter.]{\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/olifilter/ramp9_gefiltert.png}}\\ + \subfloat[Shepp-Filter.]{\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/olifilter/shepp9_gefiltert.png}} + \subfloat[Rauschfilter.]{\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/olifilter/rauschfilter_gefiltert.png}} + \caption{Gegenüberstellung verschiedener Filter mit einer Dimension von je \(9\).} + \label{fig:filter} +\end{figure} + +Wie man in~\ref{fig:filter} erkennen kann, sehen sich die gefilterten Rückprojektionen mit dem +Hannig-Filter und dem Rauschfilter sowie jene mit Ramp-Filter und Shepp-Filter recht ähnlich. +Auf den Bildern (a) und (d) kann man die Quellverteilung obwohl sie im Vergleich zu (b) und (c) +unschärfer wirken besser erkennen, da störende Signale herausgefiltert werden.\\ + +%\begin{figure}[h] +% \centering +% \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth} +% \centering +% \includegraphics[width=.3\textwidth]{../messungen/olifilter/hanningweight9_gefiltert.png} +% \caption{Hanning-Filter.} +% \end{subfigure} +% \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth} +% \centering +% \includegraphics[width=.3\textwidth]{../messungen/olifilter/ramp9_gefiltert.png} +% \caption{Ramp-Filter.} +% \end{subfigure} +% \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth} +% \centering +% \includegraphics[width=.3\textwidth]{../messungen/olifilter/shepp9_gefiltert.png} +% \caption{Shepp-Filter.} +% \end{subfigure} +% \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth} +% \centering +% \includegraphics[width=.3\textwidth]{../messungen/olifilter/rauschfilter_gefiltert.png} +% \caption{Rausch-Filter.} +% \end{subfigure} +%\caption{Gegenüberstellung verschiedener Filter mit einer Dimension von je \(9\).} +%\label{fig:filter} +%\end{figure} + +Der Rauschfilter wurde außerdem mit Dimensionseinstellungen getestet. + +\begin{figure}[h!] + \centering + \subfloat[Dimension \(= 5\).]{\includegraphics[width=.3\textwidth]{../messungen/olifilter/rausch_5_gefiltert.png}} + \subfloat[Dimension \(= 9\).]{\includegraphics[width=.3\textwidth]{../messungen/olifilter/rauschfilter_gefiltert.png}} + \subfloat[Dimension \(= 12\).]{\includegraphics[width=.3\textwidth]{../messungen/olifilter/rausch12_gefiltert.png}} + \caption{Rauschfilter mit verschiedenen Dimensionen.} + \label{fig:rausch} +\end{figure} + +In~\ref{fig:rausch} erscheint (a) am unschärfsten und undeutlichsten, wenngleich man auch die +Intensität der einzelnen Quellen qualitativ abschätzen kann. In (b) und (c) hingegen ist die +Lage der Quellen besser auszumachen, da diese schärfer im Vergleich zu (a) sind. Es ist allerdings +kein wirklicher Unterschied zwischen (b) und (c) zu erkennen. + +% \begin{figure}[h!] +% \centering +% \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth} +% \centering +% \includegraphics[width=.6\textwidth]{../messungen/olifilter/rausch_5_gefiltert.png} +% \caption{Dimension \(= 5\).} +% \end{subfigure} +% \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth} +% \centering +% \includegraphics[width=.6\textwidth]{../messungen/olifilter/rauschfilter_gefiltert.png} +% \caption{Dimension \(= 9\).} +% \end{subfigure} +% \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth} +% \centering +% \includegraphics[width=.6\textwidth]{../messungen/olifilter/rausch12_gefiltert.png} +% \caption{Dimension \(= 12\).} +% \end{subfigure} +% \caption{Rauschfilter mit verschiedenen Dimensionen.} +% \label{fig:rausch} +% \end{figure} + + \subsection{Theoriebeispiel} \label{sec:theobei} Zur Verbesserung des Verst\"andnisses der Projektions- und @@ -594,31 +709,31 @@ Beispiels nachvollzogen. \begin{subfigure}[t]{.25\textwidth} \centering \includegraphics[width=.6\textwidth]{../auswertung/figs/theory/source.pdf} - \caption{Ausgangsmatrix} + \caption{Ausgangsmatrix \(\mathfrak{M}_0\)} \label{fig:theory-source} \end{subfigure} \begin{subfigure}[t]{.25\textwidth} \centering \includegraphics[width=.6\textwidth]{../auswertung/figs/theory/projection.pdf} - \caption{Sinogram} + \caption{Sinogram \(\mathfrak{P}_0\)} \label{fig:theory-projection} \end{subfigure} \begin{subfigure}[t]{.25\textwidth} \centering \includegraphics[width=.6\textwidth]{../auswertung/figs/theory/convoluted.pdf} - \caption{Gefiltertes Sinogram} + \caption{Gefiltertes Sinogram \(\mathfrak{P}_1\)} \label{fig:theory-convoluted} \end{subfigure} \begin{subfigure}[t]{.25\textwidth} \centering \includegraphics[width=.6\textwidth]{../auswertung/figs/theory/rec_simple.pdf} - \caption{Einfache R\"uckprojektion} + \caption{Einfache R\"uckprojektion \(\mathfrak{M}_1\)} \label{fig:theory-rec_simple} \end{subfigure} \begin{subfigure}[t]{.25\textwidth} \centering \includegraphics[width=.6\textwidth]{../auswertung/figs/theory/rec_filtered.pdf} - \caption{Gefilterte R\"uckprojektion} + \caption{Gefilterte R\"uckprojektion \(\mathfrak{M}_2\)} \label{fig:theory-rec_filtered} \end{subfigure} \caption[Graustufendarstellung der @@ -653,12 +768,12 @@ berechenet. Dabei wurden die diagonalen entsprechend gewichtet. \end{equation} Ein gefiltertes Sinogramm~\ref{fig:theory-convoluted} ergibt sich durch -Faltung der Zeilen von \(\mathfrak{M}_0\) mit +Faltung der Zeilen von \(\mathfrak{P}_0\) mit \(F = \mqty(-.1 & .25 & -.1)\). \begin{equation} \label{eq:filter} - \mathfrak{M}_1 = \mathfrak{M}_0 * F = + \mathfrak{P}_1 = \mathfrak{P}_0 * F = \begin{pmatrix} -1.6 & 4. & -2.4 & 1.8 & -0.3\\ 0.188 & -0.583 & 3.304 & -1.405 & 0.002\\ @@ -667,7 +782,7 @@ Faltung der Zeilen von \(\mathfrak{M}_0\) mit \end{pmatrix} \end{equation} -Die R\"uckprojektion des einfachen Sinogramms +Die R\"uckprojektion des einfachen Sinogramms~\eqref{eq:proj} ergib~\ref{fig:theory-rec_simple}. {\footnotesize @@ -709,8 +824,9 @@ ergib~\ref{fig:theory-rec_simple}. \end{pmatrix} = \mathfrak{M}_1 \end{align}} -Aus dem gefilterten Sinogramm ergibt sich auf \"ahnliche -Weise~\ref{fig:theory-rec_filtered} +Aus dem gefilterten Sinogramm~\eqref{eq:filter} ergibt sich auf +\"ahnliche Weise~\ref{fig:theory-rec_filtered} + {\footnotesize \setlength{\arraycolsep}{2.5pt}