Beginn Einleitung Protokoll LM

LM/protokoll/protokoll.tex

@@ -21,6 +21,242 @@ supervisor=Anne-Sophie\ Berthold, coursedate=13.\ 12.\ 2019]{../../Lab_Report_La
 \section{Einleitung}
 \label{sec:einl}
 
+\subsection{Myonenentstehung durch primäre Höhenstrahlung}
+\label{sec:myonenenst}
+
+Im Versuch wird die mittlere Lebensdauer von Myonen gemessen.
+Die gemessenen Myonen entstehen durch Teilchenkollisionen und -zerfällen in ca.
+\(\SI{10}{\kilo\metre}\) Höhe. Dort trifft die primäre Höhenstrahlung, die zu
+\(\SI{85}{\percent}\) aus hochenergetischen Protonen besteht, auf die Erdatmosphäre.
+Die Protonen kollidieren also mit den Atomkernen der Atmosphäre, wodurch neben anderen Teilchen
+auch geladene Pionen entstehen:
+
+\begin{align}\label{eq:pionen}
+ p + p \rightarrow p + n + \pi^+ \\
+ p + n \rightarrow p + p + \pi^- 
+\end{align}
+
+Jedes dieser Pionen wiederum zerfällt mittels der schwachen Wechselwirkung innerhalb von 
+\(\SI{2,6e-8}{\second}\):
+
+\begin{align}\label{eq:myonen}
+\pi^+ \rightarrow \mu^+ + \nu_\mu \\
+\pi^- \rightarrow \mu^- + \bar\nu_\mu 
+\end{align}
+
+Diese bei dem Pionenzerfall entstandenen Myonen zerfallen nach einer mittleren Lebensdauer von
+\(\tau_\mu = \SI{2,19703\pm0,00004e-6}{\second}\) weiter:
+
+\begin{align}
+	\mu^+ \rightarrow e^+ + \nu_e + \bar\nu_\mu \\
+	\mu^- \rightarrow e^- + \bar\nu_e + \nu_\mu
+\end{align}
+
+Die Höhenstrahlung, die die Erdoberfläche erreicht besteht zu mehr als \(\SI{70}{\percent}\)
+aus Myonen. Die bei oben beschriebenen Prozessen entstehenden Myonen erreichen nur die 
+Erdoberfläche, da sie sich mit relativistischen Geschwindigkeiten bewegen und somit sowohl
+Zeitdilatation als auch die Längenkontraktion eine Rolle spielen.\\
+
+Durch Bestimmung der Lebensdauer der Myonen kann man die Kopplungskonstante der schwachen
+Wechselwirkung bestimmen:
+
+\begin{equation} \label{eq:kopplkonst}
+	\tau_\mu^-1 = G_F^2 \cdot \frac{m_\mu^5}{192 \pi^3}
+\end{equation}
+
+\(\mu^+\) und \(\mu^-\) haben ziemlich genau die gleichen Lebensdauern. 
+Der \(\mu^-\)-Einfang, der nur die negativ geladenen Myonen betrifft kann allerdings deren
+die Lebensdauer stark reduzieren.
+Kommt ein negativ geladenes Myon in Materie zur Ruhe, wird es von einem Atom aufgrund der
+elektromagnetischen Wechselwirkung eingefangen und erreicht in diesem nach nicht einmal
+\(\SI{e-12}{\second}\) den Grundzustand. Nach erreichen des Grundzustandes überlappen die
+Wellenfunktionen des Atomkerns und des Myons miteinander. Durch diese Überlappung kann es dazu
+kommen, dass das Myon von Kern absorbiert wird (\(\mu^- + p \rightarrow n + \nu_\mu\)), sodass 
+dieser Prozess mit dem des freien Zerfalls in Konkurrenz tritt und sich die effektive Lebensdauer 
+des negativ geladenen Myons verkürzt.
+
+\begin{equation}\label{eq:efflebenszeit}
+	\frac{1}{\tau} = \frac{1}{\tau_0} + \frac{1}{\tau_c}
+\end{equation}
+
+\begin{conditions}
+	\(\tau_c\) & \(\mu^-\)-Lebensdauer bei Einfang
+\end{conditions}
+
+\subsection{Messaufbau und Detektorfunktionsweise}
+\label{sec:aufbau}
+
+Eine Skizze der im Versuch verwendeten Messanordnung ist in~\ref*{fig:aufbau} zu sehen.
+Sie besteht aus drei Photomultipliern und Szintillatoren sowie zwei Kupferplatten, die je
+\(\SI{1}{\centi\metre}\) dick sind. Zwei der Szintillatoren befinden sich oberhalb der Kupferplatten
+und entsprechend eine unterhalb.
+Wenn ein Myon im Kupfer gestoppt wird geben PM1 und PM2 ein Signal aus, nicht jedoch PM3. Wird ein
+solches Ereignis gemessen wird die Zeitmessung gestartet und gestoppt, wenn entweder 
+\(\SI{10}{\micro\second}\) vergangen sind, um zufällige Koinzidenzen, die beispielsweise durch
+den niederenergetischen Anteil der Höhenstrahlung auftreten können, zum größten Teil
+herausfiltern zu können, oder
+ein nach oben emittiertes Positron von PM2 gemessen wird bzw. ein nach unten emittiertes in
+PM3 detektiert wird. Ein Diskriminator wandelt anschließend noch die PM-Signale in Signale mit der
+gleichen Ausgangsbreite von \(\SI{41,7}{\nano\second}\) um. Alle gemessenen Ereignisse werden
+zum Schluss von einem an den Aufbau angeschlossenen PC verarbeitet.
+
+\begin{figure}[H]\centering
+	\includegraphics[width=.5\columnwidth]{./Versuchsaufbau.png}
+	\caption{Schematische Abbildung der Messanordnung.}
+	\label{fig:aufbau}
+\end{figure}
+
+\subsubsection{Szintillator}
+\label{sec:szinti}
+
+Wenn in das Szintillatormaterial, das organischer oder anorganischer Natur sein kann, ionisierende
+Strahlung eintritt, wie in diesem Versuch hauptsächlich Myonenstrahlung sowie Strahlung aus 
+Elektronen und Positronen, entstehen bei Stoßprozessen innerhalb des Materials Elektronen, Löcher
+oder Elektron-Loch-Paare (so genannte Exzitonen). Diese diffundieren durch das Detektormaterial
+bis sie auf einen Aktivator treffen, bei dem diese Ladungsträger rekombinieren und dadurch
+Photonen emittieren. Diese Photonen haben nun eine Wellenlänge, die sich im Bereich sichtbaren
+Lichts befindet, und gelangen durch den Szintillator zum angeschlossenen Photomultiplier.
+
+\subsubsection{Photomultiplier}
+\label{sec:photomulti}
+
+Im Photomultiplier (PM) treffen die Photonen aus dem Szintillator zunächst auf eine Photodiode,
+die die auftreffenden Photonen mit Hilfe des Photoeffekts in ein elektrisches Signal umwandelt.
+Je nachdem wie viele Photonen auftreffen, kann dieses Signal aus nur wenigen Elektronen bestehen.
+Um das Signal messen zu können, wird es in einem Sekundärelektronenvervielfältiger verstärkt.
+In diesem Vervielfältiger liegt eine Hochspannung an, sodass sich alle Elektronen in eine Richtung
+bewegen. Während ihrer Reise gen Anode treffen sie immer wieder auf Dynoden aus denen sie 
+weitere Elektronen herauslösen. Dadurch wird die Zahl der Elektronen exponentiell größer.
+Die Elektronenanzahl, die am Ende gemessen wird, hängt dabei erstens von der Anzahl der Photonen
+ab, die eingangs auf die Photodiode getroffen sind, aber auch von der Hochspannung, weswegen diese
+genau eingestellt werden muss.
+
+\subsection{Likelihood-Methode}
+\label{sec:likemeth}
+
+Die so genannte Maximum-Likelihood-Methode ist eine Methode mit der man aus zuvor gemessenen Daten
+eine gesuchte, aber natürlich unbekannte, Größe abschätzt. Man bestimmt also den Wert, für den
+es am wahrscheinlichsten ist, die zuvor gemessenen Daten zu messen.\\
+
+Um diese Methode anwenden zu können, muss die Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung \(P(\vec{x},\tau)\)
+der gemessenen Werte in Abhängigkeit der unbekannten, also gesuchten Größe
+\(\tau\) bekannt sein (\(\vec{x}\) meint hier die Gesamtheit der Messdaten). 
+Mit Hilfe dieser Verteilungen ergibt sich die Likelihood-Funktion \(L\) 
+dann aus dem Produkt über all dieser.
+
+\begin{equation}\label{eq:likefkt}
+ L(\vec{x},\tau) = \prod_{i=1}^{N} P(x_i,\tau)
+\end{equation}
+
+Um nun aus~\ref{eq:likefkt} den wahrscheinlichsten Wert herauszufinden, muss diese Funktion
+maximiert werden. Praktisch maximiert man allerdings den Logarithmus der Funktion, da dies
+einfacher ist, weil sich das Produkt dadurch in eine Summe umwandelt. Es muss also gelten 
+(\(\hat\tau\) meint hier den wahrscheinlichsten Wert):
+
+\begin{equation}\label{eq:likediff}
+ \frac{d \ln L}{d a} \mid_{\tau = \hat{\tau}} = 0
+\end{equation}
+
+In diesem Versuch gibt es drei verschiedene Möglichkeiten, die Maximum-Likelihood-Methode
+anzuwenden, die im Folgenden kurz umrissen werden sollen.
+
+\subsubsection{Max-Log-Likelihood-Methode und das exponentielle Zerfallsgesetz}
+\label{eq:likezerfall}
+
+Myonen zerfallen nach dem exponentiellen Zerfallsgesetz:
+
+\begin{equation}\label{eq:zerfall}
+ N(t) = N(t_0) \cdot \exp[-\frac{t-t_0}{\tau}]
+\end{equation}
+
+Die Wahrscheinlichkeitsdichte ergibt sich damit zu:
+
+\begin{equation}\label{eq:wahrzerfall}
+ P(t_i,\tau) = \frac{1}{\tau} \cdot e^{-t_i/\tau}
+\end{equation}
+
+Diese Gleichung gilt allerdings nur für eine unendliche Beobachtungszeit, da hier das Integral
+von \(t = 0\) bis \(t = \infty\) 1 ergibt.
+Da eine Beobachtungszeit solcher Länge unmöglich zu realisieren ist, muss~\ref{eq:wahrzerfall}
+für Zeiten bis maximal \(T\) normiert werden:
+
+\begin{equation}\label{eq:modzerfall}
+ P(t_i,\tau) = \frac{1}{\tau}e^{-t_i/\tau} \cdot \frac{1}{1-e^{-\frac{T}{\tau}}}
+\end{equation}
+
+Daraus folgt:
+
+\begin{equation}\label{key}
+ \ln L = \sum (-\frac{t_i}{\tau} - \ln\tau - \ln(1-e^{-T/\tau}))
+\end{equation}
+
+und
+
+\begin{equation}\label{key}
+ \hat\tau = \frac{1}{N} \sum t_i + \frac{T e^{-\frac{T}{\tau}}}{1-e^{-\frac{T}{\tau}}}
+\end{equation}
+
+Bei dieser Methode muss in diesem Experiment allerdings beachtet werden, dass keine \(N\)
+unterschiedliche Zeiten, sondern \(K\) Kanäle mit \(N_i\) Counts im \(i\)-ten Kanal gemessen
+werden. Jeder Messwert ist mit einer statistischen Messungenauigkeit \(\sqrt{N_i}\) behaftet.
+Unter Berücksichtigung dieser Besonderheiten folgt für \(\hat\tau\):
+
+\begin{equation}\label{key}
+ \hat\tau = \frac{1}{N} \sum_{k=1}^{K}N_k\cdot t_k + Korrektur
+\end{equation}
+
+Für die Standardabweichung ergibt sich aus der Fehlerfortpflanzung:
+
+\begin{equation}\label{key}
+ \sigma_{\hat\tau} = \frac{1}{N} \sqrt{\sum N_k \cdot t_k^2}
+\end{equation}
+
+\subsubsection{Max-Likelihood-Methode und die Poissonverteilung}
+\label{sec:likepoisson}
+
+Da es sich bei diesem Experiment um Zählmessungen handelt (man hat \(f_i\) Einträge pro
+Zeitkanal \(i\)), ist die Poissonverteilung mit dem mittleren Erwartungswert \(f\) eine gute 
+Möglichkeit, die Messungen statistisch zu  beschreiben. Die Wahrscheinlichkeit, \(N_i\) Einträge 
+im \(i\)-ten Zeitkanal zu messen, wird durch folgende Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung 
+beschrieben:
+
+\begin{equation}\label{eq:poisson}
+ P(N_i,f_i) = \frac{f_i^{N_i} \cdot e^{-f_i}}{N_i !}
+\end{equation}
+
+Mit der Varianz um für \(N_i\) um den entsprechenden Mittelwert \(f_i\):
+
+\begin{equation}\label{key}
+ \sigma_i^2 = f_i
+\end{equation}
+
+Es ergibt sich für die logarithmierte Likelihood-Funktion:
+
+\begin{equation}\label{key}
+ -2\ln L = -2\sum_{i} N_i \ln f_i +2N +2\sum_{i} \ln(N_i!)
+\end{equation} 
+
+Da der Term \(2N +2\sum_{i} \ln(N_i!)\) nicht von der gesuchten Größe \(\tau\) abhängt, reicht es
+aus \(-2\sum_{i} N_i \ln f_i\) über \(\tau\) aufzutragen.
+
+\subsubsection{Max-Log-Likelihood-Methode und Gaußverteilung}
+\label{sec:likegauss}
+
+Für den Grenzfall großer Erwartungswerte, bedeutet mindestens \(f_i > 10\) pro Kanal, also für
+eine große Observationszeit (hier eine Langzeitmessung, die eine Woche lang läuft), geht die 
+Poissonverteilung in die Gaußverteilung über. Für das hier durchgeführte Experiment ergibt sich
+die Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung zu:
+
+\begin{equation}\label{eq:wahrgauss}
+ P(N_i,\tau) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma_i^2}} \cdot \exp[-\frac{(N_i-f_i)^2}{2\sigma_1^2}]
+\end{equation}
+
+Analog zur Poissonverteilung folgt für die logarithmierte Likelihoodfunktion:
+
+\begin{equation}\label{key}
+ -2\ln L = \sum_{i}\ln ()
+\end{equation}
+
 \section{Verzeichnisse}
 
 \label{sec:literatur}