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TeX
\section{Auflösbare Gruppen}
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Sei $G$ eine endliche Gruppe.
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\begin{definition}[Normalreihe, Faktoren, Verfeinerung, Kompositionsreihe]
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\proplbl{1_10_1}
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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\item Eine \begriff{Normalreihe} von $G$ ist eine Folge von Untergruppen
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\begin{align}
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\label{eq1}
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G = G_0 \gneq G_1 \gneq ... \gneq G_n = 1\tag{$\ast$} %TODO: Normalteiler-aber-ungleich-Symbol erzeugen
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\end{align}
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Dabei ist $n$ die Länge der Normalreihe, und die Quotienten $\lnkset{G_{i-1}}{G_i}$ heißen die \begriff{Faktoren} der Normalreihe.
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\item Eine Normalreihe $G_0, \dots, G_n$ von $G$ ist eine \begriff{Verfeinerung} einer Normalreihe $H_0,\dots,H_m$ von $G$, wenn $i_1,\dots,i_m$ mit $H_j = G_{i_{j}} \forall j$ gibt.
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\item Eine \begriff{Kompositionsreihe} ist eine Normalreihe, die maximal bezüglich Verfeinerung ist.
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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\begin{remark}
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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\item Für eine Normalreihe \eqref{eq1} gilt nach \propref{1_3_7} + Ü27:
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Genau dann ist $\lnkset{G_{i-1}}{G_i}$ einfach, wenn es kein $G_{i-1} \gneq N \gneq G_i$ mit $N \unrhd G_{i-1}$ gibt. Das heißt, genau dann ist eine Normalreihe eine Kompositionsreihe, wenn alle ihre Faktoren einfach sind. % different to the lecutre notes, taken from the online version, because fehm avoided using the negation of the normal subgroup symbol!
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\item Jede Normalreihe besitzt eine Verfeinerung, die eine Kompositionsreihe ist.
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\end{enumerate}
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\end{remark}
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\begin{example}
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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\item $S_3$ hat eine Kompositionsreihe
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\begin{align}
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S_3 > A_3 > 1 \notag %TODO: Fix symbols
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\end{align}
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mit Faktoren $\lnkset{S_3}{A_3} \cong C_2$, $\lnkset{A_3}{1} \cong C_3$.
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\item $S_4$ hat die Kompositionsreihe
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\begin{align}
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S_4 > A_4 > V_4 > H=\langle (1\, 2)(3\, 4)\rangle > 1 \notag %TODO: Fix symbols
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\end{align}
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mit Faktoren $\lnkset{S_4}{A_4} \cong C_2$, $\lnkset{A_4}{V_4} \cong C_3$, $\lnkset{V_4}{H} \cong C_2$ und $\lnkset{H}{1}\cong C_2$.
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\item $S_5$ hat die Kompositionsreihe
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\begin{align}
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S_5 > A_5 > 1\notag %TODO: Fix symbols
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\end{align}
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mit Faktoren $\lnkset{S_5}{A_5} \cong C_2$, $\lnkset{A_5}{1} \cong A_5$ nach \propref{1_9_11}.
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\end{enumerate}
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\end{example}
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\begin{theorem}[\person{Jordan}-\person{Hölder}]
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Je zwei Kompositionsreihen von $G$ haben die gleiche Länge und ihre Faktoren stimmen bis auf Isomorphie und Reihenfolge überein.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Induktion über die minimal Länge $m$ einer Kompositionsreihe: Seien
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\begin{align}
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G &= A_0 \gneq A_1 \gneq \dotsm \gneq A_m = 1,\notag \\ %TODO: Fix symbols
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G &= B_0 \gneq B_1 \gneq \dotsm \gneq B_m = 1\notag
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\end{align}
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Kompositionsreihen mit $m$ minimal.
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\begin{itemize}
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\item $n = 0$: $G = 1$ klar
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\item $n > 0$: $G \neq 1 \Rightarrow m > 0$. Es ist $N = A_1 \cap B_1 \unlhd G$, $A_1,B_1 \unlhd G$
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\begin{itemize}
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\item \textbf{1. Fall:} $A_1 = B_1$: Behauptung aus Induktionshypothese für $N = A_1 = B_1$
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\item \textbf{2. Fall:} $A_1 \neq B_1$: Dann ist $A_1 \gneq A_1 B_1 \unlhd G$ und somit ist $A_1 B_1 = G$, denn $\lnkset{G}{A_1}$ ist einfach $\Rightarrow \lnkset{G}{A_1} = \lnkset{A_1 B_1}{A_1} \overset{\propref{1_3_10}}{\cong} \lnkset{B_1}{A_1 \cap B_1} = \lnkset{B_1}{N}$\\
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$\lnkset{G}{B_1} \cong \lnkset{A_1}{N}$ insbesondere sind $\lnkset{A_1}{N}$ und $\lnkset{B_1}{N}$ einfach. Sei $N=N_0 > N_1 > \dots > N_l = 1$ Kompositionsreihe. Dann ist auch $A_ > N > N_1 > \dots > N_l$ ist Kompositionsreihe der Länge $l+1$. Da $A_1 > A_2 > \dots > A_n$ Kompostionsreihe minimaler Länge $n-1$ ist. Es folgt aus der Induktionhyptothese, dass $n-1 = l+1$ und das die Faktoren übereinstimmen. Ebenso sind $B_1 > B_2 > \dots > B_m$ und $B_1 > N_0 > N_1 > \dots > N_l$ Kompositionsreibe mit Länge $m-1$ und $l+1$. Da $l+1 = n-1 < n$ folgt aus Induktionshypothese, dass $l+1 = m-1$ und dass die Faktoren übereinstimmen. Also $m = l+2 = n$ und $A_0 > \dots > A_n$ und $B_0 > \dots > B_n$ haben Faktoren $\lnkset{G}{A_1} \cong \lnkset{B_1}{N}$, $\lnkset{A_1}{N} \cong \lnkset{G}{B_2}$, $\lnkset{N}{N_1}$, $\lnkset{N_1}{N_2}$, $\dots$, $\lnkset{N_{l-1}}{N_l}$
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\end{itemize}
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\end{itemize}
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\end{proof}
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\begin{definition}[Kompositionsfaktoren, auflösbar]
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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\item Die Faktoren einer Kompositionsreihe von $G$ heißen die \begriff{Kompositionsfaktoren} von $G$.
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\item $G$ ist \begriff{auflösbar}, wenn alle Kompositionsfaktoren von $G$ zyklisch sind.
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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\begin{example}
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\proplbl{1_10_6}
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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\item $S_3$ hat Kompositionsfaktoren $C_2, C_3$: auflösbar
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\item $S_4$ hat Kompositionsfaktoren $C_2,C_3,C_2,C_2$: auflösbar
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\item $S_n$, $n \geq 5$ hat Kompositionsfaktoren $C_2, A_n$: nicht auflösbar
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\item $G$ ist abelsch $\Longrightarrow G$ ist auflösbar (\propref{1_9_3}c)
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\item $G$ ist $p$-Gruppe $\Longrightarrow G$ ist auflösbar (\propref{1_9_3}d))
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\item $C_4 \text{ und } V_4$ haben Kompositionsfaktoren $C_2$ und $C_2$, aber $C_4 \not\cong V_4$.
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\end{enumerate}
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\end{example}
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\begin{lemma}
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\proplbl{1_10_7}
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Sei $N\unlhd G$, Genau dann ist $G$ auflösbar, wenn $N$ und $G/N$ auflösbar sind.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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\begin{itemize}
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\item $\Rightarrow$: Ist $N = N_0 > \dots > N_l = 1$ Kompositionsreihe, so kann $G > N_0 > \dots > N_l = 1$ zu einer Kompisitionsreihe von $G$ verfeinert werden, Kompositionsfaktoren von $N$ sind die Kompisitionsfaktoren von $G$. Somit ist $N$ auflösbar. Ist $\lnkset{G}{H} = H_0 > \dots > H_n$ Kompisitionsreihe von $\lnkset{G}{N}$, so kann $G = \pi^{-1}_{N}(H_0) > \pi^{-1}_{N}(H_1) > \dots > \pi^{-1}_{N}(H_k) = N > 1$ zu einer Kompositionsreihe verfeinert werden, die Kompositionsfaktoren von $\lnkset{G}{N}$ sind also Kompositionsfaktoren von $G$. Somit ist $\lnkset{G}{N}$ auflösbar.
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\item $\Leftarrow$: Sind $N = N_0 > \dots > N_l$ und $\lnkset{G}{N}=H_0 > \dots > H_k$ Kompisitionsreihe, so ist $G = \pi^{-1}_{N}(H_0) > \dots > \pi^{-1}_{N}(H_k) = N > N_1 > \dots > N_l$ eine Kompositionsreihe von $G$ und ist damit auflösbar.
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\end{itemize}
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\end{proof}
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\begin{proposition}
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\proplbl{1_10_8}
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Für $G$ sind äquivalent:
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\begin{enumerate}
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\item $G$ ist auflösbar.
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\item $G$ hat eine Normalreihe mit zyklischen Faktoren.
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\item $G$ hat eine Normalreihe mit abelschen Faktoren.
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\item $G$ hat eine Normalreihe mit auflösbaren Faktoren.
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\end{enumerate}
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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\begin{itemize}
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\item 1. $\Rightarrow$ 2. $\Rightarrow$ 3. $\xRightarrow{\propref{1_10_6}}$ 4.
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\item 4. $\Rightarrow$ 1.: Induktion über die Länge der Normalreihe mit \propref{1_10_7}
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\end{itemize}
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\end{proof}
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\begin{definition}[Kommutator, Kommutatoruntergruppe]
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Seien $x,y \in G$, $H,K \leq G$.
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\begin{enumerate}
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\item $[x,y] := x^{-1}y^{-1}xy$, der \begriff{Kommutator} von $x$ und $y$
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\item $[H,K] := \langle[h,k]\colon h \in H, k\in K\rangle$
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\item $G^{'} := [G,G]$, die \begriff{Kommutatoruntergruppe} von $G$
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Genau dann kommutieren $x$ und $y$ (also $xy = yx$), wenn $[x,y] = 1$. Es gilt $[x,y]^{-1} = [y,x]$.
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\end{remark}
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\begin{lemma}
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\proplbl{1_10_11}
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Ist $\phi: G \to H$ ein Epimorphismus, so ist $\phi(G^{'}) = H^{'}$.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Da $\phi([x,y]) = [\phi(x),\phi(y)]$ ist
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\begin{align}
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\phi(G^{'}) &= \phi(\langle\{ [x,y] \mid x,y \in H \}\rangle)\notag\\
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&= \langle\phi([x,y] \mid x,y \in G) \rangle \notag\\
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&= \langle\{[\phi(x),\phi(y)] \mid x,y \in G\}\rangle\notag \\
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&= \langle \{ [x,y] \mid x,y \in H \}\rangle = H^{'} \notag
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\end{align}
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\end{proof}
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\begin{lemma}
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\proplbl{1_10_12}
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$G^{'}$ ist der kleinste Normalteiler von $G$ mit $G/G^{'}$ abelsch.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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\begin{itemize}
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\item $G^{'}$ ist charakteristisch $\Rightarrow G^{'} \unlhd G$
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\item $\lnkset{G}{G^{'}} = \pi_{G^{'}} (G) \xRightarrow{\propref{1_10_11}} (\lnkset{G}{G^{'}})^{'} = \pi_{G^{'}}(G^{'}) = 1 \Rightarrow [x,y] = 1$ für alle $x,y \in \lnkset{G}{G^{'}}$, d.h. $\lnkset{G}{G^{'}}$ ist abelsch
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\item Sei $N \unlhd G$ mit $\lnkset{G}{N}$ abelsch $\Rightarrow \pi_{N}(G^{'}) \overset{\propref{1_10_11}}{=} (\lnkset{G}{N})^{'} = 1 \Rightarrow G^{'} \leq \ker(\pi_{N}) = N$, d.h. $G^{'}$ ist der kleinste Normalteiler.
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\end{itemize}
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\end{proof}
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\begin{definition}[Kommutatorreihe]
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Wir definieren die \begriff{Kommutatorreihe}
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\begin{align}
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G = G^{(0)} \geq G^{(1)} \geq \dots\notag
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\end{align}
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induktiv durch $G^{(0)} = G$ und $G^{(n+1)} = (G^{(n)})^{'}$.
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\end{definition}
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\begin{proposition}
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\proplbl{1_10_14}
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Ist $G = G_0 \gneq G_1 \gneq \dots \gneq G_n$ eine Normalreihe mit abelschen Faktoren (wir fordern ausnahmsweise nicht, dass $G_n = 1$), so ist $G^{(i)} \geq G$ für alle $i \leq n$. Insbesondere ist $G$ genau dann auflösbar, wenn $G^{(n)} = 1$ für ein $n$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Induktion über $n$!
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\begin{itemize}
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\item \textbf{$n = 0$:} klar
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\item \textbf{$n-1 \to n$:} Nach Induktionshypothese ist $G^{(n-1)} \leq G_{n-1}$, $\lnkset{G_{n-1}}{G_n}$ abelsch $\Rightarrow G^{(n)} = (G^{(n-1)})^{'} \leq (G_{n-1})^{'} \overset{\propref{1_10_12}}{\leq} G_n$.\\
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insbesondere
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\begin{itemize}
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\item $\Rightarrow$: Kompostiionsreihe $G = G_0 > G_1 > \dots G_n$ ist NR mit abelschen Faktoren $\Rightarrow G^{(n)} \leq G_n = 1 \Rightarrow G^{(n)} = 1$
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\item $\Leftarrow$: $G = G^{(0)} > G^{(1)} > \dots > G^{(n)} = 1$ mit $n$ minimal ist Normalreihe mit abelschen Faktoren $\xRightarrow{\propref{1_10_8}} G$ ist auflösbar.
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\end{itemize}
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\end{itemize}
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\end{proof}
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\begin{conclusion}
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Ist $G$ auflösbar und $H \geq G$, so ist auch $H$ auflösbar.
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\end{conclusion}
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\begin{proof}
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$G$ auflösbar $\xRightarrow{\propref{1_10_14}} G^{(n)} = 1$ für ein $n \Rightarrow H^{(n)} \leq G^{(n)} = 1 \Rightarrow H^{(n)} = 1 \xRightarrow{\propref{1_10_14}} H$ auflösbar.
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\end{proof}
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\begin{remark}
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Das kleinste $n$ mit $G^{(n)} = 1$ heißt \begriff{Stufe} von $G$. (rank im englischen Sprachraum)
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\end{remark}
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\begin{remark}
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Es gelten die folgenden tiefen Sätze:
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\begin{itemize}
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\item Satz von \person{Burnside}: Ist $\#G = p^{a}q^{b}$ mit $p,q$ prim, so ist $G$ auflösbar.
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\item Satz von \person{Feit}-\person{Thompson}: Ist $\#G$ ungerade, so ist $G$ auflösbar.
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\end{itemize}
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\end{remark} |