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\section{Auflösbare Gruppen}

Sei $G$ eine endliche Gruppe.

\begin{definition}[Normalreihe, Faktoren, Verfeinerung, Kompositionsreihe]
	\proplbl{1_10_1}
	\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
		\item Eine \begriff{Normalreihe} von $G$ ist eine Folge von Untergruppen
		\begin{align}
		\label{eq1}
		G = G_0 \gneq G_1 \gneq ... \gneq G_n = 1\tag{$\ast$} %TODO: Normalteiler-aber-ungleich-Symbol erzeugen
		\end{align}
		Dabei ist $n$ die Länge der Normalreihe, und die Quotienten $\lnkset{G_{i-1}}{G_i}$ heißen die \begriff{Faktoren} der Normalreihe.
		\item Eine Normalreihe $G_0, \dots, G_n$ von $G$ ist eine \begriff{Verfeinerung} einer Normalreihe $H_0,\dots,H_m$  von $G$, wenn $i_1,\dots,i_m$ mit $H_j = G_{i_{j}} \forall j$ gibt.
		\item Eine \begriff{Kompositionsreihe} ist eine Normalreihe, die maximal bezüglich Verfeinerung ist.
	\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{remark}
	\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
		\item Für eine Normalreihe \eqref{eq1} gilt nach \propref{1_3_7} + Ü27:
		Genau dann ist $\lnkset{G_{i-1}}{G_i}$ einfach, wenn es kein $G_{i-1} \gneq N \gneq G_i$ mit $N \unrhd G_{i-1}$ gibt. Das heißt, genau dann ist eine Normalreihe eine Kompositionsreihe, wenn alle ihre Faktoren einfach sind. % different to the lecutre notes, taken from the online version, because fehm avoided using the negation of the normal subgroup symbol!
		\item Jede Normalreihe besitzt eine Verfeinerung, die eine Kompositionsreihe ist.
	\end{enumerate}
\end{remark}

\begin{example}
	\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
		\item $S_3$ hat eine Kompositionsreihe
		\begin{align}
			S_3 > A_3 > 1 \notag %TODO: Fix symbols
		\end{align}
		mit Faktoren $\lnkset{S_3}{A_3} \cong C_2$, $\lnkset{A_3}{1} \cong C_3$.
		\item $S_4$ hat die Kompositionsreihe
		\begin{align}
			S_4 > A_4 > V_4 > H=\langle (1\, 2)(3\, 4)\rangle > 1 \notag %TODO: Fix symbols
		\end{align}
		mit Faktoren $\lnkset{S_4}{A_4} \cong C_2$, $\lnkset{A_4}{V_4} \cong C_3$, $\lnkset{V_4}{H} \cong C_2$ und $\lnkset{H}{1}\cong C_2$.
		\item $S_5$ hat die Kompositionsreihe
		\begin{align}
			S_5 > A_5 > 1\notag %TODO: Fix symbols
		\end{align}
		mit Faktoren $\lnkset{S_5}{A_5} \cong C_2$, $\lnkset{A_5}{1} \cong A_5$ nach \propref{1_9_11}.
	\end{enumerate}
\end{example}

\begin{theorem}[\person{Jordan}-\person{Hölder}]
	Je zwei Kompositionsreihen von $G$ haben die gleiche Länge und ihre Faktoren stimmen bis auf Isomorphie und Reihenfolge überein.
\end{theorem}

\begin{proof}
	 Induktion über die minimal Länge $m$ einer Kompositionsreihe: Seien
	 \begin{align}
	 	G &= A_0 \gneq A_1 \gneq \dotsm \gneq A_m = 1,\notag \\ %TODO: Fix symbols
	 	G &= B_0 \gneq B_1 \gneq \dotsm \gneq B_m = 1\notag
	 \end{align}
	 Kompositionsreihen mit $m$ minimal. 
	 \begin{itemize}
	 	\item $n = 0$: $G = 1$ klar
	 	\item $n > 0$: $G \neq 1 \Rightarrow m > 0$. Es ist $N = A_1 \cap B_1 \unlhd G$, $A_1,B_1 \unlhd G$
	 	\begin{itemize}
	 		\item \textbf{1. Fall:} $A_1 = B_1$: Behauptung aus Induktionshypothese für $N = A_1 = B_1$
	 		\item \textbf{2. Fall:} $A_1 \neq B_1$: Dann ist $A_1 \gneq A_1 B_1 \unlhd G$ und somit ist $A_1 B_1 = G$, denn $\lnkset{G}{A_1}$ ist einfach $\Rightarrow \lnkset{G}{A_1} = \lnkset{A_1 B_1}{A_1} \overset{\propref{1_3_10}}{\cong} \lnkset{B_1}{A_1 \cap B_1} = \lnkset{B_1}{N}$\\
	 		$\lnkset{G}{B_1} \cong \lnkset{A_1}{N}$ insbesondere sind $\lnkset{A_1}{N}$ und $\lnkset{B_1}{N}$ einfach. Sei $N=N_0 > N_1 > \dots > N_l = 1$ Kompositionsreihe. Dann ist auch $A_ > N > N_1 > \dots > N_l$ ist Kompositionsreihe der Länge $l+1$. Da $A_1 > A_2 > \dots > A_n$ Kompostionsreihe minimaler Länge $n-1$ ist. Es folgt aus der Induktionhyptothese, dass $n-1 = l+1$ und das die Faktoren übereinstimmen. Ebenso sind $B_1 > B_2 > \dots > B_m$ und $B_1 > N_0 > N_1 > \dots > N_l$ Kompositionsreibe mit Länge $m-1$ und $l+1$. Da $l+1 = n-1 < n$ folgt aus Induktionshypothese, dass $l+1 = m-1$ und dass die Faktoren übereinstimmen. Also $m = l+2 = n$ und $A_0 > \dots > A_n$ und $B_0 > \dots > B_n$ haben Faktoren $\lnkset{G}{A_1} \cong \lnkset{B_1}{N}$, $\lnkset{A_1}{N} \cong \lnkset{G}{B_2}$, $\lnkset{N}{N_1}$, $\lnkset{N_1}{N_2}$, $\dots$, $\lnkset{N_{l-1}}{N_l}$
	 	\end{itemize}
	 \end{itemize}
\end{proof}

\begin{definition}[Kompositionsfaktoren, auflösbar]
	\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
		\item Die Faktoren einer Kompositionsreihe von $G$ heißen die \begriff{Kompositionsfaktoren} von $G$.
		\item $G$ ist \begriff{auflösbar}, wenn alle Kompositionsfaktoren von $G$ zyklisch sind.
	\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{example}
	\proplbl{1_10_6}
	\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
		\item $S_3$ hat Kompositionsfaktoren $C_2, C_3$: auflösbar
		\item $S_4$ hat Kompositionsfaktoren $C_2,C_3,C_2,C_2$: auflösbar
		\item $S_n$, $n \geq 5$ hat Kompositionsfaktoren $C_2, A_n$: nicht auflösbar
		\item $G$ ist abelsch $\Longrightarrow G$ ist auflösbar (\propref{1_9_3}c)
		\item $G$ ist $p$-Gruppe $\Longrightarrow G$ ist auflösbar (\propref{1_9_3}d))
		\item $C_4 \text{ und } V_4$ haben Kompositionsfaktoren $C_2$ und $C_2$, aber $C_4 \not\cong V_4$.
	\end{enumerate}
\end{example}

\begin{lemma}
	\proplbl{1_10_7}
	Sei $N\unlhd G$, Genau dann ist $G$ auflösbar, wenn $N$ und $G/N$ auflösbar sind.
\end{lemma}

\begin{proof}
	\begin{itemize}
		\item $\Rightarrow$: Ist $N = N_0 > \dots > N_l = 1$ Kompositionsreihe, so kann $G > N_0 > \dots > N_l = 1$ zu einer Kompisitionsreihe von $G$ verfeinert werden, Kompositionsfaktoren von $N$ sind die Kompisitionsfaktoren von $G$. Somit ist $N$ auflösbar. Ist $\lnkset{G}{H} = H_0 > \dots > H_n$ Kompisitionsreihe von $\lnkset{G}{N}$, so kann $G = \pi^{-1}_{N}(H_0) > \pi^{-1}_{N}(H_1) > \dots > \pi^{-1}_{N}(H_k) = N > 1$ zu einer Kompositionsreihe verfeinert werden, die Kompositionsfaktoren von $\lnkset{G}{N}$ sind also Kompositionsfaktoren von $G$. Somit ist $\lnkset{G}{N}$ auflösbar.
		\item $\Leftarrow$: Sind $N = N_0 > \dots > N_l$ und $\lnkset{G}{N}=H_0 > \dots > H_k$ Kompisitionsreihe, so ist $G = \pi^{-1}_{N}(H_0) > \dots > \pi^{-1}_{N}(H_k) = N > N_1 > \dots > N_l$ eine Kompositionsreihe von $G$ und ist damit auflösbar.
	\end{itemize}
\end{proof}

\begin{proposition}
	\proplbl{1_10_8}
	Für $G$ sind äquivalent:
	\begin{enumerate}
		\item $G$ ist auflösbar.
		\item $G$ hat eine Normalreihe mit zyklischen Faktoren.
		\item $G$ hat eine Normalreihe mit abelschen Faktoren.
		\item $G$ hat eine Normalreihe mit auflösbaren Faktoren.
	\end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{proof}
		\begin{itemize}
			\item 1. $\Rightarrow$ 2. $\Rightarrow$ 3. $\xRightarrow{\propref{1_10_6}}$ 4.
			\item 4. $\Rightarrow$ 1.: Induktion über die Länge der Normalreihe mit \propref{1_10_7}
		\end{itemize}
\end{proof}

\begin{definition}[Kommutator, Kommutatoruntergruppe]
	Seien $x,y \in G$, $H,K \leq G$.
	\begin{enumerate}
		\item $[x,y] := x^{-1}y^{-1}xy$, der \begriff{Kommutator} von $x$ und $y$
		\item $[H,K] := \langle[h,k]\colon h \in H, k\in K\rangle$
		\item $G^{'} := [G,G]$, die \begriff{Kommutatoruntergruppe} von $G$
	\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{remark}
	Genau dann kommutieren $x$ und $y$ (also $xy = yx$), wenn $[x,y] = 1$. Es gilt $[x,y]^{-1} = [y,x]$.
\end{remark}

\begin{lemma}
	\proplbl{1_10_11}
	Ist $\phi: G \to H$ ein Epimorphismus, so ist $\phi(G^{'}) = H^{'}$.
\end{lemma}

\begin{proof}
	Da $\phi([x,y]) = [\phi(x),\phi(y)]$ ist
	\begin{align}
	\phi(G^{'}) &= \phi(\langle\{ [x,y] \mid x,y \in H \}\rangle)\notag\\
	&= \langle\phi([x,y] \mid x,y \in G) \rangle \notag\\
	&= \langle\{[\phi(x),\phi(y)] \mid x,y \in G\}\rangle\notag \\
	&= \langle \{ [x,y] \mid x,y \in H \}\rangle = H^{'} \notag
	\end{align}
\end{proof}

\begin{lemma}
	\proplbl{1_10_12}
	$G^{'}$ ist der kleinste Normalteiler von $G$ mit $G/G^{'}$ abelsch.
\end{lemma}

\begin{proof}
	\begin{itemize}
		\item $G^{'}$ ist charakteristisch $\Rightarrow G^{'} \unlhd G$
		\item $\lnkset{G}{G^{'}} = \pi_{G^{'}} (G) \xRightarrow{\propref{1_10_11}} (\lnkset{G}{G^{'}})^{'} = \pi_{G^{'}}(G^{'}) = 1 \Rightarrow [x,y] = 1$ für alle $x,y \in \lnkset{G}{G^{'}}$, d.h. $\lnkset{G}{G^{'}}$ ist abelsch
		\item Sei $N \unlhd G$ mit $\lnkset{G}{N}$ abelsch $\Rightarrow \pi_{N}(G^{'}) \overset{\propref{1_10_11}}{=} (\lnkset{G}{N})^{'} = 1 \Rightarrow G^{'} \leq \ker(\pi_{N}) = N$, d.h. $G^{'}$ ist der kleinste Normalteiler.
	\end{itemize}
\end{proof}

\begin{definition}[Kommutatorreihe]
	Wir definieren die \begriff{Kommutatorreihe}
	\begin{align}
	G = G^{(0)} \geq G^{(1)} \geq \dots\notag
	\end{align}
	induktiv durch $G^{(0)} = G$ und $G^{(n+1)} = (G^{(n)})^{'}$.
\end{definition}

\begin{proposition}
	\proplbl{1_10_14}
	Ist $G = G_0 \gneq G_1 \gneq \dots \gneq G_n$ eine Normalreihe mit abelschen Faktoren (wir fordern ausnahmsweise nicht, dass $G_n = 1$), so ist $G^{(i)} \geq G$ für alle $i \leq n$. Insbesondere ist $G$ genau dann auflösbar, wenn $G^{(n)} = 1$ für ein $n$.
\end{proposition}

\begin{proof}
	Induktion über $n$!
	\begin{itemize}
		\item \textbf{$n = 0$:} klar
		\item \textbf{$n-1 \to n$:} Nach Induktionshypothese ist $G^{(n-1)} \leq G_{n-1}$, $\lnkset{G_{n-1}}{G_n}$ abelsch $\Rightarrow G^{(n)} = (G^{(n-1)})^{'} \leq (G_{n-1})^{'} \overset{\propref{1_10_12}}{\leq} G_n$.\\
		insbesondere
		\begin{itemize}
			\item $\Rightarrow$: Kompostiionsreihe $G = G_0 > G_1 > \dots G_n$ ist NR mit abelschen Faktoren $\Rightarrow G^{(n)} \leq G_n = 1 \Rightarrow G^{(n)} = 1$
			\item $\Leftarrow$: $G = G^{(0)} > G^{(1)} > \dots > G^{(n)} = 1$ mit $n$ minimal ist Normalreihe mit abelschen Faktoren $\xRightarrow{\propref{1_10_8}} G$ ist auflösbar.
		\end{itemize}
	\end{itemize}
\end{proof}

\begin{conclusion}
	Ist $G$ auflösbar und $H \geq G$, so ist auch $H$ auflösbar.
\end{conclusion}

\begin{proof}
	$G$ auflösbar $\xRightarrow{\propref{1_10_14}} G^{(n)} = 1$ für ein $n \Rightarrow H^{(n)} \leq G^{(n)} = 1 \Rightarrow H^{(n)} = 1 \xRightarrow{\propref{1_10_14}} H$ auflösbar.
\end{proof}

\begin{remark}
	Das kleinste $n$ mit $G^{(n)} = 1$ heißt \begriff{Stufe} von $G$. (rank im englischen Sprachraum)
\end{remark}

\begin{remark}
	Es gelten die folgenden tiefen Sätze:
	\begin{itemize}
		\item Satz von \person{Burnside}: Ist $\#G = p^{a}q^{b}$ mit $p,q$ prim, so ist $G$ auflösbar.
		\item Satz von \person{Feit}-\person{Thompson}: Ist $\#G$ ungerade, so ist $G$ auflösbar.
	\end{itemize}
\end{remark}