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\section{Stammfunktionen}
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\setcounter{equation}{0}
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Sei $f:D\subset K^n\to K^{m\times n}$
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\begin{boldenvironment}[Frage]
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Existiert eine Funktion $F$ mit $F' = f$ auf $D$?
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\end{boldenvironment}
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\begin{*definition}[Stammfunktion, unbestimmtes Integral]
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$F: D\subset K^n\to K^m$ heißt Stammfunktion oder unbestimmtes Integral von $f$ auf $D$, falls $F$ diffbar und $F'(x) = f(x)$ $\forall x\in D$
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\end{*definition}
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Betrachte zunächst den Spezialfall $n=m=1$. Sei $f:D\subset K\to K$, $D$ offen. Die Beispiele zur Differentiation liefern folgende Stammfunktionen
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\begin{minipage}{0.45\linewidth}
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\begin{flushleft}
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für $K=\mathbb{R}$ und $K = \mathbb{C}$:
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\end{flushleft}
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\vspace*{1mm}
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\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
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\begin{tabularx}{\linewidth}{llX}
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\toprule
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$f(x)$ & \multicolumn{2}{l}{Stammfunktion $F(x)$} \\
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\midrule
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$\sin x$ & $-\cos x$ & \\
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$\cos x$ & $\sin x$ & \\
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$e^x$ & $e^x$ & \\
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$x^k$ & $\frac{1}{k+1} x^{k+1}$ & ($k\in\mathbb{Z}\setminus\{-1\})$ \\
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\bottomrule
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\end{tabularx}
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\end{minipage}
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\hfill%
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\begin{minipage}{0.45\linewidth}
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\begin{flushleft}
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für $K=\mathbb{R}$:
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\end{flushleft}
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\vspace*{1mm}
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\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
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\begin{tabularx}{\linewidth}{llX}
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\toprule
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$f(x)$ & \multicolumn{2}{l}{Stammfunktion $F(x)$} \\
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\midrule
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$a^x$ & $\frac{a^x}{\ln a}$ & \\
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$x^\alpha$ & $\frac{1}{\alpha + 1} x^{\alpha + 1}$ & ($x > 0$, $\alpha \in \mathbb{R}\setminus \{ - 1\})$ \\
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$\frac{1}{x}$ & $\ln\vert x\vert$ & ($x\in\mathbb{R}\setminus \{0\}$) \\
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$\frac{1}{1+x^2}$ & $\arctan x$ & \\
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\bottomrule
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\end{tabularx}
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\end{minipage}
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\begin{proposition}[partielle Integration]
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Seien $f,g:D\subset K\to K$, $D$ Gebiet mit zugehörigen Stammfunktion $F, G:D\to K$.
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Falls $f\cdot G:D\to K$ Stammfunktion, dann auch $(F\cdot g):D\to K$ mit
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\begin{align}
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\int F\cdot g \D x = F(x) G(x) - \int f\cdot G\D x\notag
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\end{align}
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\end{proposition}
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\begin{proposition}[Integration durch Substitution]
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Sei $f:D\subset K\to K$, $D$ Gebiet, mit Stammfunktion $F:D\to K$ und sei $\phi:D\to D$ \gls{diffbar}. Dann hat $f(\phi(.))\cdot \phi'(.):D\to K$ eine Stammfunktion mit \begin{align}
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\proplbl{stammfunktion_substitution_eq}
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\int f(\phi(x))\cdot\phi'(x)\D x &= F(\phi(x))\notag
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\end{align}
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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$F(\phi(.))$ ist nach der Kettenregel auf $D$ diffbar mit
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\begin{align*}
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\frac{\D}{\D x} F(\phi(x)) &= F'(\phi(x)) \cdot \phi'(x) = f(\phi(x)) \cdot \phi'(x)
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\end{align*}
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\end{proof}
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\begin{proposition}
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Sei $f:I\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $I$ offenes Intervall, $f(x)\neq 0$ auf $I$, dann gilt \begin{align}
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\int \frac{f'(x)}{f(x)} \D x = \ln \vert f(x) \vert\notag
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\end{align}
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\end{proposition} |