\section{Stammfunktionen}
\setcounter{equation}{0}
Sei $f:D\subset K^n\to K^{m\times n}$

\begin{boldenvironment}[Frage]
	Existiert eine Funktion $F$ mit $F' = f$ auf $D$?
\end{boldenvironment}

\begin{*definition}[Stammfunktion, unbestimmtes Integral]
	$F: D\subset K^n\to K^m$ heißt Stammfunktion oder unbestimmtes Integral von $f$ auf $D$, falls $F$ diffbar und $F'(x) = f(x)$ $\forall x\in D$
\end{*definition}

Betrachte zunächst den Spezialfall $n=m=1$. Sei $f:D\subset K\to K$, $D$ offen. Die Beispiele zur Differentiation liefern folgende Stammfunktionen

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
	\begin{flushleft}
		für $K=\mathbb{R}$ und $K = \mathbb{C}$:
	\end{flushleft}
	\vspace*{1mm}
	\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{llX}
		\toprule
		$f(x)$ & \multicolumn{2}{l}{Stammfunktion $F(x)$} \\
		\midrule
		$\sin x$ & $-\cos x$ & \\
		$\cos x$ & $\sin x$ & \\
		$e^x$ & $e^x$ & \\
		$x^k$ & $\frac{1}{k+1} x^{k+1}$ & ($k\in\mathbb{Z}\setminus\{-1\})$ \\
		\bottomrule
	\end{tabularx}
\end{minipage}
\hfill%
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
	\begin{flushleft}
		für $K=\mathbb{R}$:
	\end{flushleft}
	\vspace*{1mm}
	\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{llX}
		\toprule
		$f(x)$ & \multicolumn{2}{l}{Stammfunktion $F(x)$} \\
		\midrule
		$a^x$ & $\frac{a^x}{\ln a}$ & \\
		$x^\alpha$ & $\frac{1}{\alpha + 1} x^{\alpha + 1}$ & ($x > 0$, $\alpha \in \mathbb{R}\setminus \{ - 1\})$ \\
		$\frac{1}{x}$ & $\ln\vert x\vert$ & ($x\in\mathbb{R}\setminus \{0\}$) \\
		$\frac{1}{1+x^2}$ & $\arctan x$ & \\
		\bottomrule
	\end{tabularx}
\end{minipage}
	
\begin{proposition}[partielle Integration]
	Seien $f,g:D\subset K\to K$, $D$ Gebiet mit zugehörigen Stammfunktion $F, G:D\to K$.
	
	Falls $f\cdot G:D\to K$ Stammfunktion, dann auch $(F\cdot g):D\to K$ mit 
	\begin{align}
		\int F\cdot g \D x = F(x) G(x) - \int f\cdot G\D x\notag
	\end{align}
\end{proposition}

\begin{proposition}[Integration durch Substitution]
	Sei $f:D\subset K\to K$, $D$ Gebiet, mit Stammfunktion $F:D\to K$ und sei $\phi:D\to D$ \gls{diffbar}. Dann hat $f(\phi(.))\cdot \phi'(.):D\to K$ eine Stammfunktion mit \begin{align}
		\proplbl{stammfunktion_substitution_eq}
		\int f(\phi(x))\cdot\phi'(x)\D x &= F(\phi(x))\notag
	\end{align}
\end{proposition}
\begin{proof}
	$F(\phi(.))$ ist nach der Kettenregel auf $D$ diffbar mit 
	\begin{align*}
		\frac{\D}{\D x} F(\phi(x)) &= F'(\phi(x)) \cdot \phi'(x) = f(\phi(x)) \cdot \phi'(x)
	\end{align*}
\end{proof}

\begin{proposition}
	Sei $f:I\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $I$ offenes Intervall, $f(x)\neq 0$ auf $I$, dann gilt \begin{align}
		\int \frac{f'(x)}{f(x)} \D x = \ln \vert f(x) \vert\notag
	\end{align}
\end{proposition}