Add lecture 29 April 2019 STOCH

4. Semester/STOCH/TeX_files/stetige_Gleichverteilungen.tex

@@ -0,0 +1,47 @@
+\section{Stetige Gleichverteilung}
+\begin{*erinnerung}
+	$\O \subset \Rn$ Borel-messbar mit \person{Lebesgue}volumen $0 < \lambda(\O) < \infty$. Wahrscheinlichkeitsmaß ist $(\O, \borel(\O))$ mit Dichte
+	\begin{align*}
+	q\rho(x) = \frac{1}{\lambda(\O)}
+	\end{align*}
+	heißt stetige Gleichverteilung auf $\O$: $\Gleich(\O)$.\\
+	Für alle $A \in \borel(\O)$ gilt:
+	\begin{align*}
+		\P(A) = \int_{A} \rho(x) \d x = \frac{\lambda(A)}{\lambda(\O)}.
+	\end{align*}
+	Meist verwenden wir $\Gleich([a,b]), a < b$ (Gleichverteilung auf Intervall) mit $\rho(x) = \sfrac{1}{(b-a)}, a \le x \le b$ und Verteilungsfunktion
+	\begin{align*}
+		F(x) = 
+		\begin{cases}
+			0 & x < a\\
+			\int_{a}^{x} \frac{x-a}{b-a} & a \le x \le b\\
+			1 & x >b
+		\end{cases}
+	\end{align*}
+\end{*erinnerung}
+\section{Wartezeitverteilungen}
+\begriff{Negative Binomialverteilung}:\
+Wir wiederholen ein Bernoulliexperiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p \in [0,1]$ unendlich oft. Gesucht ist die Anzahl der Misserfolge bis zum $r$-ten Erfolg, $r \in \N$. Ein passender Ergebnisraum ist $\O = \N_0$. Für Modellierung ist es jedoch leichter in jedem Versuch Erfolgt (``1'') oder Misserfolg (``0'') festzuhalten und $i$ mit dem unendlichen Produktmaß des Bernoullimaßes auf $\set{0,1}^{\N}$ zu arbeiten.\\
+Als Zufallsvariable
+\begin{align*}
+	X_r : \set{0,1}^{\N} \to \O
+\end{align*}
+welche die Anzahl der Misserfolge bis zum $r$-ten Erfolg darstellt, setze
+\begin{align*}
+	X_r (\omega) &= \min \set{\sum_{i=1}^k \omega_i = r} = r
+	\intertext{Dann}
+	\P(X_r = k) &= \sum_{\substack{\omega \in \set{0,1}^{\N}\\ X_r(\omega) = k}} \prod_{i=1}^{\infty} \rho(\omega_i)
+	\intertext{mit $\rho(0) = 1-p, \rho(1) = 1$ (Zähldichte der Bernoulliverteilung), also}
+	\P(X_r = k) &= \binom{r+k-1}{k} (1-p)^k p^r \quad r \in \N_0.
+\end{align*}
+\begin{definition}[negative Binomialverteilung, geometrische Verteilung]
+	Sei $p \in[0,1]$ und $r \in \N$, dann heißt die Verteilung auf $\N_0$ mit Zähldichte
+	\begin{align*}
+		\rho(k) = \binom{r+k-1}{k} p^r (1-p)^k
+	\end{align*}
+	\begriff{negative Binomialverteilung} mit Parametern $(r,p)$. Schreibe $\negBin(r,p)$. Im Fall $r = 1$ nennen wir die Verteilung mit Zähldichte
+	\begin{align*}
+		\rho(k) = p(1-p)^k \quad k \in \N_0
+	\end{align*}
+	\begriff{geometrische Verteilung} mit Parametern $p$. Schreibe $\Geom(p)$.
+\end{definition}

4. Semester/STOCH/TeX_files/unbedingte_Wahrscheinlichkeiten.tex

@@ -312,7 +312,80 @@ $A$ ist stetig, also messbar. Die Verteilung von $X+Y$ ist dann $(\P_X \otimes \
 \begin{definition}[Faltung]
 	Seien $\P_1 , \P_2$ Wahrscheinlichkeitsmaße auf $(\Rn, \borel(\Rn))$. Das durch
 	\begin{align*}
-		\P_1 \ast \P_2(F) = \iint \indi_F (x+y) \P_1 (\d x)\P_2 (\d y)
+		\P_1 \star \P_2(F) = \iint \indi_F (x+y) \P_1 (\d x)\P_2 (\d y)
 	\end{align*}
 	definierte Wahrscheinlichkeitsmaß $\P_1 \ast \P_2 = (\P_1 \otimes \P_2) \circ A^{-1}$ auf $(\Rn, \borel(\Rn))$ heißt \begriff{Faltung} von $\P_1$ und $\P_2$.
-\end{definition}
+\end{definition}
+\begin{proposition}
+	Seien $X,Y: \O \to \Rn$ unabhängige Zufallsvariablen mit Verteilungen $\P_X, \P_Y$. Dann ist
+	\begin{align*}
+		\P_{X+Y} = \P_X + \P_Y
+	\end{align*}
+	die Verteilung von $X +  Y$.
+\end{proposition}
+\begin{proof}
+	Siehe Herleitung Faltung.
+\end{proof}
+Faltung von Wahrscheinlichkeitsmaßen und Dichten besitzen wieder eine Dichte.
+\begin{proposition}
+	Seien $\P_1 , \P_2$ Wahrscheinlichkeitsmaße auf $(\R, \borel(\Rn))$
+	\begin{enumerate}
+		\item Diskreter Fall: Sind $\P_1 , \P_2$ de facto Wahrscheinlichkeitsmaße auf $(\Z, \pows(\Z))$ mit Zähldichte $\rho_1 , \rho_2$. Dann ist die Faltung $\P_1 \star \P_2$ Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\Z, \borel(\Z))$ mit Zähldichte
+		\begin{align*}
+			\rho_1 \star \rho_2 (k) = \sum_{l \in \Z} \rho_1 (l) \rho_2 (k-l).
+		\end{align*}
+		\item Stetiger Fall: Besitzt $\P_1 , \P_2$ Dichtefunktionen $\rho_1, \rho_2$, so besitzt die Faltung $\P_1 \star \P_2$ die Dichtefunktion
+		\begin{align*}
+			\rho_1 \star \rho_2 (x) = \int_{\R} \rho_1 (y) \rho_2 (x-y) \d y \quad x \in \R
+		\end{align*}
+	\end{enumerate}
+\end{proposition}
+\begin{proof}
+	\begin{enumerate}
+		\item Diskrete Fall: Sei $k \in \Z$
+		\begin{align*}
+			(\P_1 \otimes \P_2)(A = k) &= \sum_{\substack{l_1,l_2 \in \Z\\ l_1 + l_2 = k}} \rho_1 (l_1) \rho_2 (l_2)\\
+			&= \rho_1 \star \rho_2 (k)
+		\end{align*}
+		\item Stetiger Fall: Sei $c \in \R$ 
+		\begin{align*}
+		\P_1 + \P_2 ((-\infty, c]) &= (\P_1 \otimes \P_2)(A \le c)\\
+		&= \iint_{\R^2} \indi_{(\infty,c]} (x+y) \rho_1 (x) \rho_2 (y) \d x \d y\\
+		\overset{y = z -x}&{=} \iint_{\R^2} \indi_{(\infty,c]} (z) \rho_1 (x) \rho_2 (z-x) \d x \d z\\
+		&= \int_{-\infty}^c \underbrace{\int_{\R} \rho_1 (x) \rho_2 (z-x) \d x}_{\rho_1 \star \rho_2 (z)} \d z
+		\end{align*}
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+\begin{example}
+	Seien $X \sim \Pois(\lambda), Y \sim \Pois(\mu)$ zwei unabhängigen reellen Zufallsvariablen (mit Werten in $\N_0$). Dann ist $X+Y$ eine Zufallsvariable mit Werten in $\N_0$ und Zähldichte
+	\begin{align*}
+		\P(X+Y+k) &= \sum_{l \in \Z} \P(X=l) \P(Y = k-l)\\
+		&= \sum_{l \in \Z} \frac{\lambda^l}{l!} e^{-\lambda} \frac{\mu^{k-l}}{(k-l)!} e^{-\mu}\\
+		&= e^{-(\lambda + \mu)} \frac{1}{k!}\sum_{l=0}^k \binom{k}{l} \lambda^l \mu^{k-l}\\
+		&= e^{-(\lambda + \mu)} \frac{1}{k!} (\lambda + \mu)^k \quad \forall k \in \N_0
+		\intertext{so dass}
+		X + Y &\sim \Pois(\lambda + \mu).
+	\end{align*}
+	D.h. der Typ der Verteilung ist bei der Faltung erhalten geblieben.
+\end{example}
+\begin{remark}
+	Das ist aber nicht immer der Fall!
+\end{remark}
+\begin{example}
+	Seien $X,Y \sim \Gleich([0,1])$ zwei unabhängige Zufallsvariablen mit Dichten $\rho(x) = \indi_{[0,1]}(x)$. Dann ist $X+Y$ eine Zufallsvariable mit Werten in $[0,2]$ und Dichte
+	\begin{align*}
+		\rho \star \rho(x) &= \int_{\R} \rho(y) \rho(x-y) \d x \d y\\
+		&= \int_{\R} \indi_{[0,1]}(y) \indi_{[0,1]}(x-y) \d y\\
+		&= \int_{0 \vee (x-1)}^{1 \wedge x} = \begin{cases}
+		x &\quad 0 \le x \le 1\\
+		2 -x &\quad 1 \le x \le 2\\
+		0 &\quad \sonst
+		\end{cases}
+	\end{align*} %TODO add pics
+%	\begin{tikzpicture}
+%	
+%	\end{tikzpicture}
+%	\begin{tikzpicture}
+%	
+%	\end{tikzpicture}
+\end{example}

4. Semester/STOCH/Vorlesung STOCH.tex

@@ -44,6 +44,8 @@
 \chaptermark{Bedingte Wahrscheinlichkeiten und (Un)-abbhängigkeit}
 \input{./TeX_files/Bedingte_Wahrscheinlichkeiten}
 \input{./TeX_files/unbedingte_Wahrscheinlichkeiten}
+\chapter{Weitere Standardmodelle der Wahrscheinlichkeitstheorie}
+\input{./TeX_files/stetige_Gleichverteilungen}
 
 \chapter{Test}
 

texmf/tex/latex/mathoperators/mathoperators.sty

@@ -240,6 +240,8 @@
 \DeclareMathOperator{\Hyper}{Hyper}     % hypergeometric-distribution
 \DeclareMathOperator{\Pois}{Poisson}    % Poisson-distribution
 \DeclareMathOperator{\Gleich}{U}        % Gleich-distribution
+\DeclareMathOperator{\negBin}{negBin}   % negative Bin-distribution
+\DeclareMathOperator{\Geom}{Geom}        % geometrische-distribution
 
 % Other stuff for stochastic