From 8b22b91c46f322f11af7cf224e111a563e0aed13 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Ameyah Date: Mon, 29 Apr 2019 14:23:47 +0200 Subject: [PATCH] Add lecture 29 April 2019 STOCH --- .../TeX_files/stetige_Gleichverteilungen.tex | 47 +++++++++++ .../unbedingte_Wahrscheinlichkeiten.tex | 77 ++++++++++++++++++- 4. Semester/STOCH/Vorlesung STOCH.tex | 2 + .../tex/latex/mathoperators/mathoperators.sty | 2 + 4 files changed, 126 insertions(+), 2 deletions(-) create mode 100644 4. Semester/STOCH/TeX_files/stetige_Gleichverteilungen.tex diff --git a/4. Semester/STOCH/TeX_files/stetige_Gleichverteilungen.tex b/4. Semester/STOCH/TeX_files/stetige_Gleichverteilungen.tex new file mode 100644 index 0000000..9278042 --- /dev/null +++ b/4. Semester/STOCH/TeX_files/stetige_Gleichverteilungen.tex @@ -0,0 +1,47 @@ +\section{Stetige Gleichverteilung} +\begin{*erinnerung} + $\O \subset \Rn$ Borel-messbar mit \person{Lebesgue}volumen $0 < \lambda(\O) < \infty$. Wahrscheinlichkeitsmaß ist $(\O, \borel(\O))$ mit Dichte + \begin{align*} + q\rho(x) = \frac{1}{\lambda(\O)} + \end{align*} + heißt stetige Gleichverteilung auf $\O$: $\Gleich(\O)$.\\ + Für alle $A \in \borel(\O)$ gilt: + \begin{align*} + \P(A) = \int_{A} \rho(x) \d x = \frac{\lambda(A)}{\lambda(\O)}. + \end{align*} + Meist verwenden wir $\Gleich([a,b]), a < b$ (Gleichverteilung auf Intervall) mit $\rho(x) = \sfrac{1}{(b-a)}, a \le x \le b$ und Verteilungsfunktion + \begin{align*} + F(x) = + \begin{cases} + 0 & x < a\\ + \int_{a}^{x} \frac{x-a}{b-a} & a \le x \le b\\ + 1 & x >b + \end{cases} + \end{align*} +\end{*erinnerung} +\section{Wartezeitverteilungen} +\begriff{Negative Binomialverteilung}:\ +Wir wiederholen ein Bernoulliexperiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p \in [0,1]$ unendlich oft. Gesucht ist die Anzahl der Misserfolge bis zum $r$-ten Erfolg, $r \in \N$. Ein passender Ergebnisraum ist $\O = \N_0$. Für Modellierung ist es jedoch leichter in jedem Versuch Erfolgt (``1'') oder Misserfolg (``0'') festzuhalten und $i$ mit dem unendlichen Produktmaß des Bernoullimaßes auf $\set{0,1}^{\N}$ zu arbeiten.\\ +Als Zufallsvariable +\begin{align*} + X_r : \set{0,1}^{\N} \to \O +\end{align*} +welche die Anzahl der Misserfolge bis zum $r$-ten Erfolg darstellt, setze +\begin{align*} + X_r (\omega) &= \min \set{\sum_{i=1}^k \omega_i = r} = r + \intertext{Dann} + \P(X_r = k) &= \sum_{\substack{\omega \in \set{0,1}^{\N}\\ X_r(\omega) = k}} \prod_{i=1}^{\infty} \rho(\omega_i) + \intertext{mit $\rho(0) = 1-p, \rho(1) = 1$ (Zähldichte der Bernoulliverteilung), also} + \P(X_r = k) &= \binom{r+k-1}{k} (1-p)^k p^r \quad r \in \N_0. +\end{align*} +\begin{definition}[negative Binomialverteilung, geometrische Verteilung] + Sei $p \in[0,1]$ und $r \in \N$, dann heißt die Verteilung auf $\N_0$ mit Zähldichte + \begin{align*} + \rho(k) = \binom{r+k-1}{k} p^r (1-p)^k + \end{align*} + \begriff{negative Binomialverteilung} mit Parametern $(r,p)$. Schreibe $\negBin(r,p)$. Im Fall $r = 1$ nennen wir die Verteilung mit Zähldichte + \begin{align*} + \rho(k) = p(1-p)^k \quad k \in \N_0 + \end{align*} + \begriff{geometrische Verteilung} mit Parametern $p$. Schreibe $\Geom(p)$. +\end{definition} \ No newline at end of file diff --git a/4. Semester/STOCH/TeX_files/unbedingte_Wahrscheinlichkeiten.tex b/4. Semester/STOCH/TeX_files/unbedingte_Wahrscheinlichkeiten.tex index 6d012a2..468d444 100644 --- a/4. Semester/STOCH/TeX_files/unbedingte_Wahrscheinlichkeiten.tex +++ b/4. Semester/STOCH/TeX_files/unbedingte_Wahrscheinlichkeiten.tex @@ -312,7 +312,80 @@ $A$ ist stetig, also messbar. Die Verteilung von $X+Y$ ist dann $(\P_X \otimes \ \begin{definition}[Faltung] Seien $\P_1 , \P_2$ Wahrscheinlichkeitsmaße auf $(\Rn, \borel(\Rn))$. Das durch \begin{align*} - \P_1 \ast \P_2(F) = \iint \indi_F (x+y) \P_1 (\d x)\P_2 (\d y) + \P_1 \star \P_2(F) = \iint \indi_F (x+y) \P_1 (\d x)\P_2 (\d y) \end{align*} definierte Wahrscheinlichkeitsmaß $\P_1 \ast \P_2 = (\P_1 \otimes \P_2) \circ A^{-1}$ auf $(\Rn, \borel(\Rn))$ heißt \begriff{Faltung} von $\P_1$ und $\P_2$. -\end{definition} \ No newline at end of file +\end{definition} +\begin{proposition} + Seien $X,Y: \O \to \Rn$ unabhängige Zufallsvariablen mit Verteilungen $\P_X, \P_Y$. Dann ist + \begin{align*} + \P_{X+Y} = \P_X + \P_Y + \end{align*} + die Verteilung von $X + Y$. +\end{proposition} +\begin{proof} + Siehe Herleitung Faltung. +\end{proof} +Faltung von Wahrscheinlichkeitsmaßen und Dichten besitzen wieder eine Dichte. +\begin{proposition} + Seien $\P_1 , \P_2$ Wahrscheinlichkeitsmaße auf $(\R, \borel(\Rn))$ + \begin{enumerate} + \item Diskreter Fall: Sind $\P_1 , \P_2$ de facto Wahrscheinlichkeitsmaße auf $(\Z, \pows(\Z))$ mit Zähldichte $\rho_1 , \rho_2$. Dann ist die Faltung $\P_1 \star \P_2$ Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\Z, \borel(\Z))$ mit Zähldichte + \begin{align*} + \rho_1 \star \rho_2 (k) = \sum_{l \in \Z} \rho_1 (l) \rho_2 (k-l). + \end{align*} + \item Stetiger Fall: Besitzt $\P_1 , \P_2$ Dichtefunktionen $\rho_1, \rho_2$, so besitzt die Faltung $\P_1 \star \P_2$ die Dichtefunktion + \begin{align*} + \rho_1 \star \rho_2 (x) = \int_{\R} \rho_1 (y) \rho_2 (x-y) \d y \quad x \in \R + \end{align*} + \end{enumerate} +\end{proposition} +\begin{proof} + \begin{enumerate} + \item Diskrete Fall: Sei $k \in \Z$ + \begin{align*} + (\P_1 \otimes \P_2)(A = k) &= \sum_{\substack{l_1,l_2 \in \Z\\ l_1 + l_2 = k}} \rho_1 (l_1) \rho_2 (l_2)\\ + &= \rho_1 \star \rho_2 (k) + \end{align*} + \item Stetiger Fall: Sei $c \in \R$ + \begin{align*} + \P_1 + \P_2 ((-\infty, c]) &= (\P_1 \otimes \P_2)(A \le c)\\ + &= \iint_{\R^2} \indi_{(\infty,c]} (x+y) \rho_1 (x) \rho_2 (y) \d x \d y\\ + \overset{y = z -x}&{=} \iint_{\R^2} \indi_{(\infty,c]} (z) \rho_1 (x) \rho_2 (z-x) \d x \d z\\ + &= \int_{-\infty}^c \underbrace{\int_{\R} \rho_1 (x) \rho_2 (z-x) \d x}_{\rho_1 \star \rho_2 (z)} \d z + \end{align*} + \end{enumerate} +\end{proof} +\begin{example} + Seien $X \sim \Pois(\lambda), Y \sim \Pois(\mu)$ zwei unabhängigen reellen Zufallsvariablen (mit Werten in $\N_0$). Dann ist $X+Y$ eine Zufallsvariable mit Werten in $\N_0$ und Zähldichte + \begin{align*} + \P(X+Y+k) &= \sum_{l \in \Z} \P(X=l) \P(Y = k-l)\\ + &= \sum_{l \in \Z} \frac{\lambda^l}{l!} e^{-\lambda} \frac{\mu^{k-l}}{(k-l)!} e^{-\mu}\\ + &= e^{-(\lambda + \mu)} \frac{1}{k!}\sum_{l=0}^k \binom{k}{l} \lambda^l \mu^{k-l}\\ + &= e^{-(\lambda + \mu)} \frac{1}{k!} (\lambda + \mu)^k \quad \forall k \in \N_0 + \intertext{so dass} + X + Y &\sim \Pois(\lambda + \mu). + \end{align*} + D.h. der Typ der Verteilung ist bei der Faltung erhalten geblieben. +\end{example} +\begin{remark} + Das ist aber nicht immer der Fall! +\end{remark} +\begin{example} + Seien $X,Y \sim \Gleich([0,1])$ zwei unabhängige Zufallsvariablen mit Dichten $\rho(x) = \indi_{[0,1]}(x)$. Dann ist $X+Y$ eine Zufallsvariable mit Werten in $[0,2]$ und Dichte + \begin{align*} + \rho \star \rho(x) &= \int_{\R} \rho(y) \rho(x-y) \d x \d y\\ + &= \int_{\R} \indi_{[0,1]}(y) \indi_{[0,1]}(x-y) \d y\\ + &= \int_{0 \vee (x-1)}^{1 \wedge x} = \begin{cases} + x &\quad 0 \le x \le 1\\ + 2 -x &\quad 1 \le x \le 2\\ + 0 &\quad \sonst + \end{cases} + \end{align*} %TODO add pics +% \begin{tikzpicture} +% +% \end{tikzpicture} +% \begin{tikzpicture} +% +% \end{tikzpicture} +\end{example} \ No newline at end of file diff --git a/4. Semester/STOCH/Vorlesung STOCH.tex b/4. Semester/STOCH/Vorlesung STOCH.tex index ac7b7cc..e73dc77 100644 --- a/4. Semester/STOCH/Vorlesung STOCH.tex +++ b/4. Semester/STOCH/Vorlesung STOCH.tex @@ -44,6 +44,8 @@ \chaptermark{Bedingte Wahrscheinlichkeiten und (Un)-abbhängigkeit} \input{./TeX_files/Bedingte_Wahrscheinlichkeiten} \input{./TeX_files/unbedingte_Wahrscheinlichkeiten} +\chapter{Weitere Standardmodelle der Wahrscheinlichkeitstheorie} +\input{./TeX_files/stetige_Gleichverteilungen} \chapter{Test} diff --git a/texmf/tex/latex/mathoperators/mathoperators.sty b/texmf/tex/latex/mathoperators/mathoperators.sty index 52ab705..2a6ca15 100644 --- a/texmf/tex/latex/mathoperators/mathoperators.sty +++ b/texmf/tex/latex/mathoperators/mathoperators.sty @@ -240,6 +240,8 @@ \DeclareMathOperator{\Hyper}{Hyper} % hypergeometric-distribution \DeclareMathOperator{\Pois}{Poisson} % Poisson-distribution \DeclareMathOperator{\Gleich}{U} % Gleich-distribution +\DeclareMathOperator{\negBin}{negBin} % negative Bin-distribution +\DeclareMathOperator{\Geom}{Geom} % geometrische-distribution % Other stuff for stochastic