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3. Semester/NUME/TeX_files/Das_Newton-Verfahren.tex

@@ -2,7 +2,7 @@
 
 Das \person{Newton}-Verfahren beruht auf der Idee, die Gleichung $F(x) = 0$ für eine gegebene Näherung $y\in\real^n$ einer Nullstelle durch die linearisierte Gleichung 
 \begin{align}
-	F(y) + F'(y)(x-y) = 0\notag
+	F(y) + F'(y)(x-y) \overset{!}{=} 0\notag
 \end{align}
 zu ersetzen, eine Lösung $x$ dieser Gleichung (sofern möglich) zu berechnen und als neue Näherung für die Nullstelle zu verwenden.
 
@@ -80,6 +80,10 @@ Vorausgesetzt $F$ ist differenzierbar, dann ist dieses Verfahren durchführbar,
 
 Die Konvergenz der Folge $\{x^k\}$ gegen $x^\ast$ zusammen mit der Eigenschaft \cref{5.3} wird als \begriff{Q-quadratische Konvergenz} der Folge $\{x^k\}$ gegen $x^\ast$ bezeichnet.
 
+\begin{*anmerkung}
+	Es gibt neben der Q-quadratischen Konvergenz auch die R-quadratische Konvergenz. Das "'Q"' in Q-quadratischer Konvergenz kommt daher, dass man einen \textbf{Q}uotienten betrachtet: $\frac{\Vert x^{k+1}-x^\ast\Vert}{\Vert x^k-x^\ast\Vert}$. Das "'R"' in R-quadratischer Konvergenz steht für \textbf{R}adizieren, also das Wurzel-ziehen.
+\end{*anmerkung}
+
 \begin{remark}
 	Es gibt zahlreiche Modifikationen des \person{Newton}-Verfahrens, zum Beispiel
 	\begin{itemize}

3. Semester/NUME/TeX_files/Fehleranalyse.tex

@@ -74,6 +74,22 @@ Es stellt sich damit die Frage, wie sich die Rundungsfehler in in $y_0,...,y_{N-
 	&\vdots \notag \\
 	R_(a,y_0) &= \dots \notag
 \end{align}
+
+\begin{*anmerkung}
+	Wer sich fragt, was das soll: Die $y_i$ sind die Zwischenschritte zur Berechnung eines Terms. Soll zum Beispiel der Term $(1+2)^3-5$ berechnet werden, so ist
+	\begin{align}
+		y_0 &= 1+2 = 3 \notag \\
+		y_1 &= y_0^3 \notag \\
+		y_2 &= y_1-5 \notag
+	\end{align}
+	Die Restabbildungen $R_i$ setzen Zwischenschritte ein:
+	\begin{align}
+		R_2 &= y_1 -5\notag \\
+		R_1 &= y_0^3 -5 \notag \\
+		R_0 &= (1+2)^3 - 5\notag
+	\end{align}
+\end{*anmerkung}
+
 Für $k=0,...,N-1$ wird nun die Kondition der durch $y_k\mapsto R_k(a,y_0,...,y_k)$ definierten Abbildung betrachtet, um festzustellen, wie sich Rundungsfehler in $y_k$ auf das Ergebnis $y_N$ auswirken.
 
 \begin{definition}[relative Konditionszahlen, stabil, instabil]

3. Semester/NUME/TeX_files/Kondition_linearer_Gleichungssysteme.tex

@@ -56,7 +56,7 @@ Beispiele für eine Vektornorm und eine zugeordnete Matrixnorm sind:
 			&> 0
 		\end{split}
 	\end{align}
-	Also gilt $(\mathbbm{1}+B)x=0$ genau dann, wenn $x=0$. Somit ist $\mathbbm{1}+B$ regulär. Aus \cref{3.17} hat man
+	Also gilt $(\mathbbm{1}+B)x=0$ genau dann, wenn $x=0$. Somit ist $\mathbbm{1}+B$ regulär. Aus \cref{3.17} hat man und $y=(\mathbbm{1}+B)x$
 	\begin{align}
 		\Vert y\Vert = \Vert (\mathbbm{1}+B)(\mathbbm{1}-B)^{-1}y\Vert \ge (1-\Vert B\Vert)\Vert (\mathbbm{1}+B)^{-1}y\Vert \notag
 	\end{align}

3. Semester/NUME/TeX_files/Lineare_Quadratmittelprobleme.tex

@@ -318,4 +318,16 @@ gilt $r(x)=\Vert ax-b\Vert_2^2$, man beachte $y_i-f(t_i,x)=y_i-\sum_{j=1}^n x_j\
 		\end{henrysmatrix} \notag
 	\end{align}
 	und das Ausgleichsproblem \cref{3.16} hat die Lösung $x^\ast=(1.0385..., 2.2692...)^T$.
+	\begin{center}
+		\begin{tikzpicture}
+			\draw[->] (0,0) -- (5,0);
+			\draw[->] (0,0) -- (0,7);
+			\node at (5.5,0) (t) {$t$};
+			\node at (0,7.5) (y) {$y$};
+			\draw[fill=black] (0,0.5) circle (0.1);
+			\draw[fill=black] (3,4) circle (0.1);
+			\draw[fill=black] (4,5) circle (0.1);
+			\draw[dashed] (0,1.0385) -- (5,6.19225);
+		\end{tikzpicture}
+	\end{center}
 \end{example}

3. Semester/NUME/TeX_files/gedaempftes_Newton-Verfahren.tex

@@ -4,7 +4,7 @@ Es wird eine Möglichkeit zur Erreichung globaler Konvergenzeigenschaften des \p
 \begin{align}
 	\upphi(x): \begin{cases}
 		\real^n&\to \real \\
-		x&\mapsto \frac{1}{2}\Vert F(x)\Vert_2^2
+		x&\mapsto \frac{1}{2}\Vert F(x)\Vert_2^2 \left(=\frac{1}{2}F(x)^TF(x)\right)
 	\end{cases}\notag
 \end{align}
 zur Beurteilung der Güte der Näherung $x$. Falls $F'(x)$ regulär und $d(x)\in\real^n$ die \person{Newton}-Richtung im Punkt $x$ ist, das heißt die Gleichung $F(x)+F'(x)d=0$ löst, dann folgt
@@ -21,7 +21,7 @@ und
 		&= (1-2t)\upphi(x) + o(t)
 	\end{split}
 \end{align}
-das heißt $\upphi(x+td(x))<\upphi(x)$ für alle $t>0$ hinreichend klein. Die \person{Newton}-Richtung $d(x)$ ist also eine Abstiegsrichtung von $\upphi$ im Punkt $x$. Die Idee besteht nun darin, eine Iteration der Form
+das heißt $\upphi(x+td(x))<\upphi(x)$ für alle $t>0$ hinreichend klein. Die \person{Newton}-Richtung $d(x)$ ist also eine Abstiegsrichtung von $\upphi$ im Punkt $x$. Falls $F'(x)$ singulär, dann liefert $-\nabla\upphi$ eine Abstiegsrichtung, falls $F'(x)^TF(x)\neq 0$. Die Idee besteht nun darin, eine Iteration der Form
 \begin{align}
 	x^{k+1} = x^k + t_kd^k\notag
 \end{align}
@@ -30,7 +30,7 @@ durchzuführen, wobei $d^k=d(x^k)$ die \person{Newton}-Richtung im Punkt $x^k$ u
 	S = \left\lbrace 2^{-i}\mid i\in\natur\right\rbrace = \left\lbrace 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots\right\rbrace \notag
 \end{align}
 
-\begin{algorithm}
+\begin{algorithm}[gedämpftes \person{Newton}-Verfahren]
 	\proplbl{5_2_1}
 	Input: $x^0\in\real^n$, $\epsilon\ge 0$, $q\in (0,1)$ und $F$ in geeigneter Form
 	\begin{lstlisting}