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1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Abbildungen.tex

@@ -1,6 +1,6 @@
 \section{Abbildungen}
 
-\subsubsection{Überblick über Abbildungen}
+\begin{overview}[Abbildungen]
 	Eine \begriff{Abbildung} $f$ von eine Menge $X$ in einer Menge $Y$ ist eine Vorschrift, die jedem $x \in X$
 	auf eindeutige Weise genau ein Element $f(x) \in Y$ zuordnet. Man schreibt dies als 
 	\begin{align}
@@ -13,9 +13,11 @@ oder $f: X \to Y, x \mapsto y$ oder noch einfacher $f: X \to Y$. Dabei heißt $X
 	\begriff{Definitionsmenge} und $Y$ die \begriff{Zielmenge} von $f$. Zwei Abbildungen heißen \begriff[Abbildung!]{gleich}, wenn ihre
 	Definitionsmengen und Zielmengen gleich sind und sie jedem $x \in X$ das selbe Element
 	$y \in Y$ zuordnen. Die Abbildungen von $X$ nach $Y$ bilden wieder eine Menge, welche wir 
-mit $\Abb(X,Y)$ bezeichnen. \\
+	mit $\Abb(X,Y)$ bezeichnen.
+\end{overview}
 
 \begin{example}
+	\proplbl{1_2_2}
 	\begin{itemize}
 		\item Abbildungen mit Zielmenge $\mathbb R$ nennt man Funktion: $f: \mathbb R \to \mathbb
 		R, x \mapsto x^2$
@@ -58,8 +60,17 @@ mit $\Abb(X,Y)$ bezeichnen. \\
 	\end{itemize}
 \end{example}
 
+\begin{example}
+	\begin{itemize}
+		\item Die identische Abbildung $\id_X:X\to X$ ist stets bijektiv.
+		\item Für jede Teilmenge $A\subseteq X$ ist die Inklusionsabbildung $\iota_A:A\to X$ injektiv, aber im Allgemeinen nicht surjektiv.
+		\item Die Funktion $f:\real\to\real_{\ge 0}$ mit $x\mapsto x^2$ ist surjektiv, aber nicht injektiv.
+		\item Die Funktion $f:\real\to\real$ mit $x\mapsto x^3$ ist bijektiv.
+	\end{itemize}
+\end{example}
 
 \begin{definition}[Einschränkung]
+	\proplbl{1_2_6}
 	Sei $f: x \mapsto y$ eine Abbildung. Für $A \subset X$
 	definiert man die \begriff{Einschränkung}/Restrikton von $f$ auf $A$ als die Abbildung 
 	\begin{align}
@@ -73,6 +84,7 @@ mit $\Abb(X,Y)$ bezeichnen. \\
 \end{definition}
 
 \begin{remark}
+	\proplbl{1_2_7}
 	Man ordnet der Abbildung $f: X \to Y$ auch die Abbildungen $\mathcal P(X) \to \mathcal P(Y)$ und
 	$\mathcal P(Y) \to \mathcal P(X)$ auf den Potenzmengen zu. Man benutzt hier das gleiche 
 	Symbol $f(…)$ sowohl für die Abbildung $f: X \to Y$ als auch für $f: P(X) \to P(Y)$, was 
@@ -80,11 +92,12 @@ mit $\Abb(X,Y)$ bezeichnen. \\
 	In anderen Vorlesungen wird für $y \in Y$ auch $f^{-1}(y)$ statt $f^{-1}(\{y\})$ geschrieben. \\
 \end{remark}
 
-\begin{example}
+\begin{remark}
+	\proplbl{1_2_8}
 	Genau dann ist $f: X \to Y$ surjektiv, wenn $\Image(f)=Y$ \\
 	Genau dann ist $f: X \to Y \begin{cases} $injektiv$ \\ $surjektiv$ \\ $bijektiv$ \end{cases}$, wenn
 	$|f^{-1}(\{y\})| = \begin{cases} \le 1 \\ \ge 1 \\ =1  \end{cases} \quad \forall y \in Y$ \\
-\end{example}
+\end{remark}
 
 \begin{definition}[Komposition]
 	Sind $f: X \to Y$ und $g: Y \to Z$ Abbildungen, so ist die
@@ -98,6 +111,7 @@ mit $\Abb(X,Y)$ bezeichnen. \\
 \end{definition}
 
 \begin{proposition}
+	\proplbl{1_2_10}
 	Die Abbildung von Kompositionen ist assoziativ, d.h. es gilt: 
 	\begin{align}
 		h \circ (g \circ f) = (h \circ g)\circ f\notag
@@ -111,7 +125,7 @@ mit $\Abb(X,Y)$ bezeichnen. \\
 
 \begin{definition}[Umkehrabbildung]
 	Ist $f: X \to Y$ bijektiv, so gibt es zu jedem $y \in Y$
-	genau ein $x_y \in X$ mit $f(x_y)=y$, durch 
+	genau ein $x_y \in X$ mit $f(x_y)=y$ (\propref{1_2_7}), durch 
 	\begin{align}
 		f^{-1}: \begin{cases}
 		Y \to X \\ y \mapsto x_y
@@ -129,21 +143,22 @@ mit $\Abb(X,Y)$ bezeichnen. \\
 \end{proposition}
 \begin{proof}
 	Es ist $f^{-1}\in \Abb(X,X)$ und $f\circ f^{-1}\in \Abb(Y,Y)$. Für $y\in Y$ ist $(f\circ f^{-1})(x)=
-	f(f^{-1}(y))=y=id_Y$. Für $x\in X$ ist deshalb $f((f^{-1}\circ f)(x))=(f\circ (f^{-1}\circ f))(x)=
-	((f\circ f^{-1})\circ f)(x)=(id_Y \circ f)(x)=f(x)$. Da $f$ injektiv, folgt $f^{-1}\circ f=id_X$.
+	f(f^{-1}(y))=y=\id_Y$. Für $x\in X$ ist deshalb $f((f^{-1}\circ f)(x))=(f\circ (f^{-1}\circ f))(x)\overset{\propref{1_2_10}}{=}
+	((f\circ f^{-1})\circ f)(x)=(\id_Y \circ f)(x)=f(x)$. Da $f$ injektiv, folgt $f^{-1}\circ f=\id_X$.
 \end{proof}
 
 \begin{remark}
+	\proplbl{1_2_13}
 	Achtung, wir verwenden hier das selbe Symbol $f^{-1}$ für zwei verschiedene Dinge: Die Abbildung
-	$f^{-1}: \mathcal P(X) \to \mathcal P(Y)$ existiert für jede Abbildung $f: X \to Y$, aber die
-	Umkehrabbildung $f^{-1}: Y \to X$ existiert nur für bijektive Abbildungen $f: X \to Y$.
+	$f^{-1}: \mathcal P(X) \to \mathcal P(Y)$ aus \propref{1_2_6} existiert für jede Abbildung $f: X \to Y$, aber die
+	Umkehrabbildung $f^{-1}: Y \to X$ aus \propref{1_2_10} existiert nur für bijektive Abbildungen $f: X \to Y$.
 \end{remark}
 
 \begin{definition}[Familie]
 	Seien $I$ und $X$ Mengen. Eine Abbildung $x: I \to X, i \mapsto
 	x_i$ nennt man \begriff{Familie} von Elementen von $X$ mit einer Indexmenge I (oder I-Tupel von 
 	Elementen von $X$) und schreibt diese auch als $(x_i)_{i \in I}$. Im Fall $I=\{1,2,...,n\}$
-	identifiziert man die I-Tupel auch mit den n-Tupeln. Ist $(x_i)_{i \in I}$ eine Familie von
+	identifiziert man die I-Tupel auch mit den n-Tupeln aus \propref{1_1_8}. Ist $(x_i)_{i \in I}$ eine Familie von
 	Teilmengen einer Menge $X$, so ist 
 	\begin{itemize}
 		\item $\bigcup X_i = \{x \in X \mid \exists i \in I(x \in X)\}$
@@ -170,3 +185,7 @@ mit $\Abb(X,Y)$ bezeichnen. \\
 	$x \in X$ auf das eindeutig bestimmte $y \in Y$ mit $(x,y) \in \Gamma$. Es ist dann $\Gamma =
 	\Gamma_f$.
 \end{remark}
+
+\begin{remark}
+	In anderen Vorlesungen wird die Zielmenge nicht immer als Teil der Definition einer Abbildung aufgefasst, d.h. man betrachtet zwei Abbildungen $f:X\to Y$ und $g:X\to Z$ mit gleicher Definitionsmenge dann als gleich, wenn $f(x)=g(x)$ für alle $x\in X$. Dies ist gleichbedeutend mit $\Gamma_f=\Gamma_g$. So würde man dann zum Beispiel $f_1$ und $f_2$ aus \propref{1_2_2} als gleich auffassen.
+\end{remark}

1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Basis_und_Dimension.tex

@@ -14,6 +14,9 @@
 	Sei $(x_i)$ eine Familie von Elementen von $V$. Genau dann ist $(x_i)$ eine Basis von $V$, 
 	wenn sich jedes $x \in V$ auf eindeutige Weise als Linearkombination der $(x_i)$ schreiben lässt.
 \end{proposition}
+\begin{proof}
+	Dies folgt sofort aus \propref{2_2_10}
+\end{proof}
 
 \begin{example}
 	\begin{itemize}
@@ -27,6 +30,7 @@
 \end{example}
 
 \begin{proposition}
+	\propref{2_3_5}
 	Für eine Familie $(x_i)$ von Elementen von $V$ sind äquivalent:
 	\begin{itemize}
 		\item $B$ ist eine Basis von $V$.
@@ -39,13 +43,13 @@
 	\begin{itemize}
 		\item $1 \Rightarrow 2$: Sei $B$ eine Basis von $V$ und $J$ eine echte Teilmenge von $I$. Nach Definition ist $B$ ein 
 		Erzeugendensystem. Wähle $i_0 \in I\backslash J$. Da $(x_i)$ linear unabhängig ist, ist $x_{i_0}$ keine Element 
-		$\Span_K((x_i)_{i \in I\backslash \{i_0\}}) \ge \Span_K((x_i)_{i \in J})$. Insbesondere ist $(x_i)_{i\in J}$ kein 
+		$\Span_K((x_i)_{i \in I\backslash \{i_0\}}) \supseteq \Span_K((x_i)_{i \in J})$ (\propref{2_2_9}). Insbesondere ist $(x_i)_{i\in J}$ kein 
 		Erzeugendensystem von $V$. 
 		\item $2 \Rightarrow 3$: Sei $B$ ein minimales Erzeugendensystem und $(x_i)_{i \in J}$ eine Familie mit $J$ echter 
 		Obermenge von $I$. Wäre $(x_i)$ linear abhängig, so gäbe es ein $i_0$ mit $\Span_K((x_i)_{i \in I\backslash 
 			\{i_0\}}) = \Span_K((x_i)_{i \in I})=V$ im Widerspruch zur Minimalität von $B$. Also ist $B=(x_i)$ linear 
 		unabhängig. Wähle $j_0 \in J\backslash I$. Dann ist $x_{j_0} \in V=\Span_K(x_i) \le \Span_K((x_i)_{i \in 
-			J\backslash \{j_0\}})$ und somit ist $(x_i)_{i\in J}$ linear abhängig.
+			J\backslash \{j_0\}})$ und somit ist $(x_i)_{i\in J}$ linear abhängig nach \propref{2_2_9}.
 		\item $3 \Rightarrow 1$: Sei $B$ nun maximal linear unabhängig. Angenommen $B$ wäre kein Erzeugendensystem. 
 		Dann gibt es ein $x\in V \backslash \Span_K(x_i)$. Definiere $J=I \cup \{j_0\}$ mit $j_0 \notin I$ und $x_{j_0}:=x$. 
 		Aufgrund der Maximalität von $B$ ist $(x_i)$ linear abhängig, es gibt als Skalare $\lambda$, $(\lambda_i)$, nicht 
@@ -66,23 +70,25 @@
 	\text{J ist Erzeugendensystem von }V\}$. Da $I$ endlich ist, ist auch $\mathcal J$ endlich. Da $(x_i)$ 
 	Erzeugendensystem ist, ist $I\in J$, insbesondere $\mathcal J\neq\emptyset$. Es gibt deshalb ein bezüglich 
 	Inklusion minimales $J_0\in \mathcal J$, d.h. $J_1 \in \mathcal J$ so gilt nicht $J_1 \subsetneq J_0$. Deshalb 
-	ist $(x_i)_{i\in J_0}$ eine Basis von $V$.
+	ist $(x_i)_{i\in J_0}$ eine Basis von $V$ (\propref{2_3_5}).
 \end{proof}
 
 \begin{conclusion}
+	\proplbl{2_3_7}
 	Jeder endlich erzeugte $K$-Vektorraum besitzt eine endliche Basis.
 \end{conclusion}
 
 \begin{remark}
-	\begin{itemize}
-		\item Der Beweis des Theorems liefert ein konstruktives Verfahren: Ist $(x_1,...,x_n)$ ein endliches 
+	Der Beweis von \propref{2_3_6} liefert ein konstruktives Verfahren: Ist $(x_1,...,x_n)$ ein endliches 
 	Erzeugendensystem von $V$, so prüfe man, ob es ein $i_0$ mit $x_{i_0} \in \Span_K((x_i)_{i\neq i_0})$ gibt. 
 	Falls Nein, ist $(x_1,...,x_n)$ eine Basis von $V$. Falls Ja, macht man mit $(x_1,...,x_{i_{0-1}}, x_{i_{0+1}},
 	...,x_n)$ weiter.
-		\item Man kann jedoch zeigen, dass jeder Vektorraum eine Basis besitzt. Die Gültigkeit der Aussage hängt jedoch 
+\end{remark}
+
+\begin{remark}
+	Man kann jedoch zeigen, dass jeder Vektorraum eine Basis besitzt. Die Gültigkeit der Aussage hängt jedoch 
 	von bestimmten mengentheoretischen Axiomen ab, auf die wir an dieser Stelle nicht eingehen werden. Siehe dazu 
 	LAAG 2. Semester.
-	\end{itemize}
 \end{remark}
 
 \begin{lemma}[Austauschlemma]
@@ -119,13 +125,13 @@
 	$V$ ist.
 \end{proof}
 
-\begin{conclusion}
+\begin{conclusion}[Basisergänzungssatz]
 	Ist $V$ endlich erzeugt, so lässt sich jede linear unabhängige Familie zu einer Basis ergänzen: 
 	Ist $(x_1,...,x_n)$ linear unabhängig, so gibt es $m\ge n$ und $x_{n+1},x_{n+2},...,x_m$ für die $(x_1,...,x_n,
 	x_{n+1},...,x_m)$ eine Basis von $V$ ist.
 \end{conclusion}
 \begin{proof}
-	Nach dem Basisauswahlsatz (\propref{2_3_6}) besitzt $V$ eine endliche Basis, die Behauptung folgt somit aus dem \person{Steinitz}'schen Austauschsatz (\propref{2_3_10}).
+	Nach dem Basisauswahlsatz (\propref{2_3_6} und \propref{2_3_7}) besitzt $V$ eine endliche Basis, die Behauptung folgt somit aus dem \person{Steinitz}'schen Austauschsatz (\propref{2_3_10}).
 \end{proof}
 
 \begin{conclusion}
@@ -141,7 +147,7 @@
 	Ist $V$ endlich erzeugt, so haben alle Basen von $V$ die gleiche Mächtigkeit.
 \end{conclusion}
 \begin{proof}
-	Besitzt $V$ eine endliche Basis, so folgt deshalb die Behauptung aus \propref{2_3_12}.
+	$V$ besitzt eine endliche Basis (\propref{2_3_7}), deshalb folgt die Behauptung aus \propref{2_3_12}.
 \end{proof}
 
 \begin{definition}[Dimension]
@@ -162,7 +168,7 @@
 \begin{remark}
 	\begin{itemize}
 		\item $V$ ist genau dann endlich erzeugt, wenn $\dim_K(V)< \infty$.
-		\item $\dim_K(V)=\min\{|B| \mid \Span_K(B)=V\}=\max\{|B| \mid B\text{ linear unabhängig}\}$
+		\item Mit \propref{2_3_5} $\dim_K(V)=\min\{|B| \mid \Span_K(B)=V\}=\max\{|B| \mid B\text{ linear unabhängig}\}$
 	\end{itemize}
 \end{remark}
 

1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Definition_und_Beispiele.tex

@@ -96,7 +96,7 @@ In diesem Kapitel sei $K$ ein Körper.
 		ist $W$ ein Untervektorraum.
 		\item $\Leftarrow$: Nach (UV1) und (UV2) lassen sich $+$ und $\cdot$ einschränken zu Abbildungen $+_w$: $W \times W \to W$ und 
 		$\cdot_w$: $K \times W \to W$. Nach (UV1) ist abgeschlossen und unter der Addition und für $x \in W$ ist auch $-x=
-		(-1)x \in W$ nach (UV2), $W$ ist somit Untergruppe von $(V,+)$. Insbesondere ist $(W,+)$ eine abelsche Gruppe, erfüllt 
+		(-1)x \in W$ nach (UV2), $W$ ist somit Untergruppe von $(V,+)$. Insbesondere ist $(W,+)$ eine abelsche Gruppe (\propref{1_3_14}), erfüllt 
 		also (V1). Die Verträglichkeit (V2) ist für $\lambda,\mu \in K$ und $x,y \in W$ gegeben, da sie auch für $x,y \in V$ 
 		erfüllt ist. Somit ist $(W,+_w,\cdot_w)$ ein $K$-Vektorraum.
 	\end{itemize}
@@ -117,13 +117,14 @@ In diesem Kapitel sei $K$ ein Körper.
 		\end{itemize}
 		\item In der Analysis werden Sie verschiedene Untervektorraum des $\mathbb R$-Vektorraum $\Abb(\mathbb R,\mathbb R)$ kennenlernen, etwa
 		den Raum $\mathcal C(\mathbb R,\mathbb R)$ der stetigen Funktionen und den Raum $\mathcal C^{-1}(\mathbb R,\mathbb 
-		R)$ der stetig differenzierbaren Funktionen. Die Menge der Polynomfunktionen $\{\tilde f\mid \tilde f\in \mathbb R[X]\}$ bildet
+		R)$ der stetig differenzierbaren Funktionen. Die Menge der Polynomfunktionen $\{\tilde f\mid \tilde f\in \mathbb R[X]\}$ (vgl. \propref{1_6_7}) bildet
 		einen Untervektorraum des $\mathbb R$-Vektorraum $\mathcal C^{-1}(\mathbb R,\mathbb R)$
 	\end{itemize}
 \end{example}
 
 
 \begin{lemma}
+	\proplbl{2_1_10}
 	Ist $V$ ein Vektorraum und $(W_i)_{i \in I}$ eine Familie von Untervektorraum von $V$, so ist auch $W=\bigcap W_i$ 
 	ein Untervektorraum von $V$.
 \end{lemma}
@@ -141,7 +142,7 @@ In diesem Kapitel sei $K$ ein Körper.
 \end{proposition}
 \begin{proof}
 	Sei $\mathcal V$ die Menge aller Untervektorraum von $X$, die $X$ enthalten. Sei $W=\bigcap \mathcal V$. Damit ist 
-	$W$ ein Untervektorraum von $V$ der $X$ enthält.
+	$W$ ein Untervektorraum (\propref{2_1_10}) von $V$ der $X$ enthält.
 \end{proof}
 
 \begin{definition}[Erzeugendensystem]

1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Gruppen.tex

@@ -12,8 +12,8 @@
 
 \begin{example}
 	\begin{itemize}
-		\item Für jede Menge $X$ ist $(\Abb(X,Y), \circ)$ eine Halbgruppe mit dem neutralen Element
-		$id_x$, also ein Monoid.
+		\item Für jede Menge $X$ ist $(\Abb(X,Y), \circ)$ eine Halbgruppe (\propref{1_2_10}) mit dem neutralen Element
+		$\id_x$, also ein Monoid.
 		\item $\mathbb N$ bildet mit der Addition eine Halbgruppe $(\mathbb N,+)$, aber kein Monoid,
 		da die 0 nicht in Fehm's Definition der natürlichen Zahlen gehörte
 		\item $\mathbb N_0$ bildet mit der Addition ein Monoid $(\mathbb N_0,+)$
@@ -61,7 +61,7 @@ Ein $x'$ heißt \begriff{inverses Element} zu $x$. \\
 	\begin{itemize}
 		\item Eine triviale Gruppe besteht nur aus ihrem neutralen Element. Tatsächlich ist $G=\{e\}$ mit
 		$e*e=e$ eine Gruppe.
-		\item Sei $X$ eine Menge. Die Menge $Sym(X) := \{f \in \Abb(X,X) \mid f$ ist bijektiv$\}$ der
+		\item Sei $X$ eine Menge. Die Menge $\Sym(X) := \{f \in \Abb(X,X) \mid f$ ist bijektiv$\}$ der
 		Permutationen von $X$ bildet mit der Komposition eine Gruppe $(\Sym(X),\circ)$, die 
 		\begriff[Gruppe!]{symmetrische Gruppe} auf $X$. Für $n \in \mathbb N$ schreibt man $S_n := \Sym(\{1,2,...,n\})$. 
 		Für $n \ge 3$ ist $S_n$ nicht abelsch.
@@ -96,6 +96,7 @@ In abelschen Gruppen notiert man Ausdrücke auch mit dem Summen- und Produktzeic
 \end{proof}
 
 \begin{proposition}
+	\proplbl{1_3_10}
 	Sei $(G,\cdot)$ eine Gruppe. Für $a,b \in G$ haben die Gleichungen $ax=b$ und
 	$ya=b$ eindeutige Lösungen in $G$, nämlich $x=a^{-1} \cdot b$ und $y=b \cdot a^{-1}$. 
 	Insbesondere gelten die folgenden Kürzungsregeln: $ax=ay \Rightarrow x=y$ und $xa=ya 
@@ -162,6 +163,7 @@ In abelschen Gruppen notiert man Ausdrücke auch mit dem Summen- und Produktzeic
 \end{definition}
 
 \begin{proposition}
+	\proplbl{1_3_14}
 	Sei $(G,\cdot)$ eine Gruppe und $\emptyset \neq H \subset G$. Genau dann ist
 	$H$ eine Untergruppe von $G$, wenn sich die Verknüpfung $\cdot: G \times G \to G$ zu einer
 	Abbildung $\cdot_H: H \times H \to H$ einschränken lässt (d.h. $\cdot\vert_{H \times H}=
@@ -187,6 +189,7 @@ In abelschen Gruppen notiert man Ausdrücke auch mit dem Summen- und Produktzeic
 \end{remark}
 
 \begin{example}
+	\proplbl{1_3_16}
 	\begin{itemize}
 		\item Jede Gruppe $G$ hat die triviale Untergruppe $H=\{e_G\}$ und $H=G$
 		\item Ist $H \le G$ und $K \le H$, so ist $K \le G$ (Transitivität)
@@ -220,7 +223,7 @@ In abelschen Gruppen notiert man Ausdrücke auch mit dem Summen- und Produktzeic
 	eine weitere Untergruppe von $G$, die $X$ enthält, so ist $H \subset H'$.
 \end{proposition}
 \begin{proof}
-	Sei $\mathcal{H}$ die Menge aller Untergruppen von $G$, die $X$ enthalten. Nach \propref{1_3_17} %TODO: Verlinkung
+	Sei $\mathcal{H}$ die Menge aller Untergruppen von $G$, die $X$ enthalten. Nach \propref{1_3_17}
 	ist $H:=
 	\bigcap \mathcal{H} := \bigcap H$ eine Untergruppe von $G$. Da $X \subset H'$ für jedes $H' \in 
 	\mathcal H$ ist auch $X \subset H$. Nach Definition ist $H$ in jedem $H' \le G$ mit $X \subset H'$
@@ -240,7 +243,7 @@ In abelschen Gruppen notiert man Ausdrücke auch mit dem Summen- und Produktzeic
 		\item Die leere Menge $X=\emptyset \le G$ erzeugt stets die triviale Untergruppe $\langle \emptyset\rangle
 		=\{e\} \le G$
 		\item Jede endliche Gruppe $G$ ist endlich erzeugt $G=\langle G\rangle$
-		\item Für $n \in \mathbb{N}_0$ ist $n\mathbb{Z}=\langle n\rangle \le \mathbb{Z}$. Ist $H \le \mathbb{Z}$
+		\item Für $n \in \mathbb{N}_0$ ist $n\mathbb{Z}=\langle n\rangle \le \mathbb{Z}$. Nach \propref{1_3_16} ist $n\in n\whole\le\whole$. Ist $H \le \mathbb{Z}$
 		mit $n \in H$, so ist auch $kn=nk=n+n+...+n \in H$ und somit auch $n\mathbb{Z} \le H$.
 	\end{itemize}
 \end{example}

1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Koerper.tex

@@ -6,7 +6,7 @@
 \end{definition}
 
 \begin{remark}
-	Ein Körper ist stets nullteilerfrei und $(K\backslash\{0\}, \cdot)$ ist eine abelsche
+	Nach \propref{1_4_13} ist ein Körper ist stets nullteilerfrei und $(K\backslash\{0\}, \cdot)$ ist eine abelsche
 	Gruppe. Ein Körper ist also ein Tripel $(K,+,\cdot)$ bestehend aus einer Menge $K$ und 2 Verknüpfungen
 	$+: K \times K \to K$ und $\cdot: K \times K \to K$, für die gelten: \\
 	(K1): $(K,+)$ ist eine abelsche Gruppe \\
@@ -49,21 +49,22 @@
 
 
 \begin{lemma}
+	\proplbl{1_5_7}
 	Sei $a \in \mathbb Z$ und sei $p$ eine Primzahl, die $a$ nicht teilt. Dann gibt es $b,k \in
 	\mathbb Z$ mit $ab+kp=1$.
 \end{lemma}
 \begin{proof}
 	Sei $n \in \mathbb N$ die kleinste natürliche Zahl der Form $n=ab+kp$. Angenommen, $n \ge 2$. Schreibe
-	$a=qp+r$ mit $q,r \in \mathbb Z$ und $0 \le r < p$. Aus der Nichtteilbarkeit von $a$ folgt $r \neq 0$, also 
+	$a=qp+r$ mit $q,r \in \mathbb Z$ und $0 \le r < p$ (\propref{1_4_6}). Aus der Nichtteilbarkeit von $a$ folgt $r \neq 0$, also 
 	$r \in \mathbb N$. Wegen $r=a\cdot 1-qp$ ist $n\le r$. Da $p$ Primzahl ist und $2\le n\le r < p$, gilt $n$ teilt
-	nicht $p$. Schreibe $p=c\cdot n+m$ mit $c,m \in \mathbb Z$ und $0 \le m<n$. Aus $n$ teilt nicht $p$ folgt
+	nicht $p$. Schreibe $p=c\cdot n+m$ mit $c,m \in \mathbb Z$ und $0 \le m<n$ (\propref{1_4_6}). Aus $n$ teilt nicht $p$ folgt
 	$m \neq 0$, also $m \in \mathbb N$. Da $m=p-cn=-abc+(1-kc)p$, ist $m<n$ ein Widerspruch zur Minimalität
 	von $n$. Die Annahme $n \ge 2$ war somit falsch. Es gilt $n=1$.
 \end{proof}
 
 \begin{example}[Endliche Primkörper]
 	Für jede Primzahl $p$ ist $\mathbb Z /p \mathbb Z$ ein Körper. Ist $\overline{a}\neq \overline{0}$, so gilt 
-	$p$ teilt nicht $a$ und somit gibt es $b,k \in \mathbb Z$ mit \\
+	$p$ teilt nicht $a$ und somit gibt es nach \propref{1_5_7} $b,k \in \mathbb Z$ mit \\
 	\begin{align}
 		ab+kp &= 1 \notag \\
 		\overline{(ab+kp)} &= \overline{1} = \overline{(ab)} = \overline{a} \cdot \overline{b} \notag
@@ -84,3 +85,11 @@
 	\end{itemize}
 	Insbesondere ist $\mathbb Z /p \mathbb Z$ nullteilerfrei, d.h. aus $p\vert ab$ folgt $p\vert a$ oder $p\vert b$.
 \end{proof}
+
+\begin{remark}
+	Ist $K$ ein Körper und $a,b\in K$, $b\neq 0$, so schreiben wir $\frac{a}{b}$ für $ab^{-1}=b^{-1}a$. Es gelten die bekannten Rechenregeln für Brüche (vgl. \propref{1_3_10}):
+	\begin{align}
+		\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}&=\frac{a_1b_2+a_2b_1}{b_1b_2}\notag \\
+		\frac{a_1}{b_1}\cdot\frac{a_2}{b_2}&=\frac{a_1a_2}{b_1b_2}\notag
+	\end{align}
+\end{remark}

1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Linearkombinationen.tex

@@ -99,6 +99,7 @@ Sei $V$ ein $K$-Vektorraum.
 \end{remark}
 
 \begin{proposition}
+	\proplbl{2_2_9}
 	Genau dann ist $(x_i)$ linear abhängig, wenn es $i_0 \in I$ gibt mit $x_{i_0} \in \Span_K((x_i)_{i\in 
 		I\backslash\{i_0\}})$. In diesem Fall ist $\Span_K((x_i)_{i\in I})=\Span_K((x_i)_{i\in I\backslash\{i_0\}})$.
 \end{proposition}
@@ -121,6 +122,7 @@ Sei $V$ ein $K$-Vektorraum.
 \end{proof}
 
 \begin{proposition}
+	\proplbl{2_2_10}
 	Genau dann ist $(x_i)$ linear unabhängig, wenn sich jedes $x\in \Span_K((x_i))$ in eindeutiger Weise 
 	als Linearkombination der $(x_i)$ schreiben lässt, d.h. $x=\sum_{i\in I} \lambda_i\cdot x_i=\sum_{i
 		\in I} \lambda'_i\cdot x_i$, so ist $\lambda_i=\lambda'_i$

1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Logik_und_Mengen.tex

@@ -1,7 +1,7 @@
 \section{Logik und Mengen}
 
 Wir werden die Grundlagen der Logik und der Mengenlehre kurz ansprechen.
-\subsubsection{Überblick über die Aussagenlogik}
+\begin{overview}[Aussagenlogik]
 	Jede mathematisch sinnvolle Aussage ist entweder wahr oder falsch, aber nie beides!
 	\begin{itemize}
 		\item "'$1+1=2$"' $\to$ wahr
@@ -41,8 +41,9 @@ $\newline$
 			\hline
 		\end{tabular}
 	\end{center}
+\end{overview}
 
-\subsubsection{Überblick über die Prädikatenlogik}
+\begin{overview}[Prädikatenlogik]
 	Wir werden die Quantoren
 	\begin{itemize}
 		\item $\forall$ (Allquantor, "'für alle"') und
@@ -54,8 +55,9 @@ $\exists x: P(x)$ genau dann wahr, wenn $P(x)$ für mindestens ein $x$ wahr ist.
 	$\newline$
 	Insbesondere ist $\lnot \forall x: P(x)$ genau dann wahr, wenn $\exists x: \lnot P(x)$ wahr ist. \\
 	Analog ist $\lnot \exists x: P(x)$ genau dann wahr, wenn $\forall x: \lnot P(x)$ wahr ist.
+\end{overview}
 
-\subsubsection{Überblick über die Beweise}
+\begin{overview}[Beweise]
 	Unter einem Beweis verstehen wir die lückenlose Herleitung einer mathematischen Aussage aus einer
 	Menge von Axiomen, Voraussetzungen und schon früher bewiesenen Aussagen. \\
 	Einige Beweismethoden:
@@ -74,25 +76,26 @@ Einige Beweismethoden:
 		Es gilt also das Induktionsschema: $P(1) \land \forall n: (P(n) \Rightarrow P(n+1)) \Rightarrow
 		\forall n: P(n)$.
 	\end{itemize}
+\end{overview}
 
-\subsubsection{Überblick über die Mengenlehre}
+\begin{overview}[Mengenlehre]
 	Jede Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterscheidbarer Objekte zu einem Ganzen. Eine
 	Menge enthält also solche Objekte, die Elemente der Menge. Die Menge ist durch ihre Elemente
 	vollständig bestimmt. Diese Objekte können für uns verschiedene mathematische Objekte, wie
 	Zahlen, Funktionen oder andere Mengen sein. Man schreibt $x \in M$ bzw. $x \notin M$, wenn x ein
-bzw. kein Element der Menge ist. \\
-$\newline$
+	bzw. kein Element der Menge ist.
+	
 	Ist $P(x)$ ein Prädikat, so bezeichnet man eine Menge mit $X := \{x \mid P(x)\}$. Hierbei muss
 	man vorsichtig sein, denn nicht immer lassen sich alle $x$ für die $P(x)$ gilt, widerspruchsfrei
-zu einer Menge zusammenfassen. \\
-$\newline$
+	zu einer Menge zusammenfassen.
+\end{overview}
 
 \begin{example}[endliche Mengen]
 	Eine Menge heißt endlich, wenn sie nur endlich viele Elemente enthält. Endliche Mengen
 	notiert man oft in aufzählender Form: $M = \{1;2;3;4;5;6\}$. Hierbei ist die Reihenfolge
 	der Elemente nicht relevant, auch nicht die Häufigkeit eines Elements. \\
 	Sind die Elemente paarweise verschieden, dann ist die Anzahl der Elemente die Mächtigkeit
-	(oder Kardinalität) der Menge, die wir mit $|M|$ bezeichnen. \\
+	(oder Kardinalität) der Menge, die wir mit $|M|$ bezeichnen.
 \end{example}
 
 \begin{example}[unendliche Mengen]
@@ -104,7 +107,7 @@ $\newline$
 		\neq 0\}$
 		\item Menge der reellen Zahlen: $\mathbb R := \{x \mid x$ ist eine reelle Zahl$\}$
 	\end{itemize}
-	Ist $M$ eine Menge, so gilt $|M|=\infty$ \\
+	Ist $M$ eine Menge, so gilt $|M|=\infty$
 \end{example}
 
 \begin{example}[leere Menge]
@@ -113,6 +116,7 @@ $\newline$
 
 
 \begin{definition}[Teilmenge]
+	\proplbl{1_1_8}
 	Sind $X$ und $Y$ zwei Mengen, so heißt $X$ eine \begriff{Teilmenge} von 
 	$Y$, wenn jedes Element von $X$ auch Element von $Y$ ist, dass heißt wenn für alle 
 	$x$ $(x \in X \Rightarrow x \in Y)$ gilt.

1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Polynome.tex

@@ -6,17 +6,17 @@ In diesem Abschnitt sei $R$ ein kommutativer Ring mit Einselement. \\
 	Unter einem \begriff{Polynom} in der "'Unbekannte"' $x$ versteht man einen Ausdruck der Form
 	$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n = \sum_{k=0}^{n} a_kx^k$ mit $a_0,...,a_n \in R$. Fasst man $x$
 	als ein beliebiges Element von $R$ auf, gelten einige offensichtliche Rechenregeln: \\
-	Ist $f(x)=\sum \limits_{k=0}^{n} a_kx^k$ und $g(x)=\sum \limits_{k=0}^{n} b_kx^k$ so ist
+	Ist $f(x)=\sum _{k=0}^{n} a_kx^k$ und $g(x)=\sum _{k=0}^{n} b_kx^k$ so ist
 	\begin{itemize}
-		\item $f(x)+g(x)=\sum \limits_{k=0}^{n} (a_k+b_k)x^k$
-		\item $f(x)\cdot g(x)=\sum \limits_{k=0}^{2n} c_kx^k$ mit $c_k=\sum \limits_{j=0}^{k} a_jb_{k-j}$
+		\item $f(x)+g(x)=\sum _{k=0}^{n} (a_k+b_k)x^k$
+		\item $f(x)\cdot g(x)=\sum _{k=0}^{2n} c_kx^k$ mit $c_k=\sum _{j=0}^{k} a_jb_{k-j}$
 	\end{itemize}
 	Dies motiviert die folgende präzise Definition für den Ring der Polynome über $R$ in einer "'Unbestimmten"'
 	$x$.
 \end{remark}
 
 \begin{definition}[Polynom]
-	Sei $R[X]$ die Menge der Folgen in $R$, die fast überall 0 sind, also
+	Sei $R[X]$ die Menge der Folgen in $R$ (siehe \propref{1_2_13}), die fast überall 0 sind, also
 	\begin{align}
 		R[X]:=\{(a_k)_{k \in \mathbb N_0} \mid \forall k(a_k \in R) \land \exists n_0: \forall k>n_0(a_k=0)\} \notag
 	\end{align}
@@ -26,7 +26,7 @@ Wir definieren Addition und Multiplikation auf $R[X]$:
 \begin{itemize}
 	\item $(a_k)_{k \in \mathbb N_0}+(b_k)_{k \in \mathbb N_0}=(a_k+b_k)_{k \in \mathbb N_0}$
 	\item $(a_k)_{k \in \mathbb N_0}\cdot (b_k)_{k \in \mathbb N_0}=(c_k)_{k \in \mathbb N_0}$ mit 
-	$c_k = \sum \limits_{j=0}^{k} a_jb_{k-j}$
+	$c_k = \sum _{j=0}^{k} a_jb_{k-j}$
 \end{itemize}
 $\newline$
 
@@ -75,13 +75,14 @@ man $f$ \begriff[Polynom!]{konstant}, \begriff[Polynom!]{linear} bzw. \begriff[P
 \end{proof}
 
 \begin{theorem}[Polynomdivision]
+	\proplbl{1_6_5}
 	Sei $K$ ein Körper und sei $0 \neq g \in K[X]$. Für jedes Polynom
 	$f \in K[X]$ gibt es eindeutig bestimmte $g,h,r \in K[X]$ mit $f=gh+r$ und $\deg(r)<\deg(g)$. 
 \end{theorem}
 \begin{proof}
 	Existenz und Eindeutigkeit
 	\begin{itemize}
-		\item Existenz: Sei $n=\deg(f)$, $m=\deg(g)$, $f=\sum \limits_{k=0}^{n} a_kX^k$, $g=\sum \limits_{k=0}^{m} b_kX^k$ \\
+		\item Existenz: Sei $n=\deg(f)$, $m=\deg(g)$, $f=\sum _{k=0}^{n} a_kX^k$, $g=\sum _{k=0}^{m} b_kX^k$ \\
 		Induktion nach $n$ bei festem $g$. \\
 		IA: Ist $n<m$, so wählt man $h=0$ und $r=f$.\\
 		IB: Wir nehmen an, dass die Aussage für alle Polynome vom Grad kleiner als $n$ gilt.\\
@@ -99,11 +100,12 @@ man $f$ \begriff[Polynom!]{konstant}, \begriff[Polynom!]{linear} bzw. \begriff[P
 	Polynomdivision durchzuführen.
 \end{remark}
 
-\begin{example}
+\begin{*example}
 	in $\mathbb Q[X]$: $(x^3+x^2+1):(x^2+1)=x+1$ Rest $-x$
-\end{example}
+\end{*example}
 
 \begin{definition}[Nullstelle]
+	\propref{1_6_7}
 	Sei $f(X)=\sum_{k \ge 0} a_kX^k \in \mathbb R[X]$. Für $\lambda \in
 	\mathbb R$ definiert man die Auswertung von $f$ in $\lambda$ $f(\lambda)=\sum_{k \ge 0} a_k\lambda^k
 	\in \mathbb R$. Das Polynom $f$ liefert auf diese Weise eine Abbildung $\tilde f: \mathbb R \to \mathbb R$ und
@@ -112,6 +114,7 @@ man $f$ \begriff[Polynom!]{konstant}, \begriff[Polynom!]{linear} bzw. \begriff[P
 \end{definition}
 
 \begin{lemma}
+	\proplbl{1_6_8}
 	Für $f,g \in \mathbb R[X]$ und $\lambda \in \mathbb R$i ist 
 	\begin{align}
 		(f+g)(\lambda)&=f(\lambda)+g(\lambda)\notag\\
@@ -119,28 +122,29 @@ man $f$ \begriff[Polynom!]{konstant}, \begriff[Polynom!]{linear} bzw. \begriff[P
 	\end{align}
 \end{lemma}
 \begin{proof}
-	Ist $f=\sum \limits_{k \ge 0} a_kX^k$ und $g=\sum \limits_{k\ge 0} b_kX^k$, so ist \\
+	Ist $f=\sum _{k \ge 0} a_kX^k$ und $g=\sum _{k\ge 0} b_kX^k$, so ist \\
 	\begin{align}
-		f(\lambda)+g(\lambda)&=\sum \limits_{k \ge 0} a_k\lambda^k + \sum \limits_{k\ge 0} b_k\lambda^k \notag \\
-		&= \sum \limits_{k\ge 0} (a_k+b_k)\lambda^k\notag \\
+		f(\lambda)+g(\lambda)&=\sum _{k \ge 0} a_k\lambda^k + \sum _{k\ge 0} b_k\lambda^k \notag \\
+		&= \sum _{k\ge 0} (a_k+b_k)\lambda^k\notag \\
 		&=(f+g)(\lambda)\notag
 	\end{align}
 	und 
 	\begin{align}
-		f(\lambda)\cdot g(\lambda)&= \sum \limits_{k\ge 0} a_k\lambda^k \cdot \sum \limits_{k\ge 0} b_k\lambda^k\notag \\
-		&= \sum \limits_{k \ge 0} \sum \limits_{i+j=k} (a_i+b_j)\lambda^k \notag \\
+		f(\lambda)\cdot g(\lambda)&= \sum _{k\ge 0} a_k\lambda^k \cdot \sum _{k\ge 0} b_k\lambda^k\notag \\
+		&= \sum _{k \ge 0} \sum _{i+j=k} (a_i+b_j)\lambda^k \notag \\
 		&= (fg)(\lambda) \notag
 	\end{align}
 \end{proof}
 
 \begin{proposition}
+	\proplbl{1_6_9}
 	Ist $K$ ein Körper und $\lambda \in K$ eine Nullstelle von $f \in K[X]$ so gibt es ein
 	eindeutig bestimmtes $h \in K[X]$ mit $f(X)=(X-\lambda)\cdot h(x)$.
 \end{proposition}
 \begin{proof}
-	Es gibt $h,r \in K[X]$ mit $f(X)=(X-\lambda)\cdot h(x)+r(x)$ und $\deg(r)<\deg(X-\lambda)=1$, also $r \in
+	Nach \propref{1_6_5} gibt es gibt $h,r \in K[X]$ mit $f(X)=(X-\lambda)\cdot h(x)+r(x)$ und $\deg(r)<\deg(X-\lambda)=1$, also $r \in
 	K$. Da $\lambda$ Nullstelle von $f$ ist, gilt $0=f(\lambda)=(\lambda-\lambda)\cdot h(\lambda)+r(\lambda)=
-	r(\lambda)$. Hieraus folgt $r=0$. Eindeutigkeit folgt aus Eindeutigkeit der Polynomdivision.
+	r(\lambda)$ nach \propref{1_6_8}. Hieraus folgt $r=0$. Eindeutigkeit folgt aus Eindeutigkeit in \propref{1_6_5}.
 \end{proof}
 
 \begin{conclusion}
@@ -183,7 +187,7 @@ man $f$ \begriff[Polynom!]{konstant}, \begriff[Polynom!]{linear} bzw. \begriff[P
 	Für einen Körper $K$ sind äquivalent:
 	\begin{itemize}
 		\item Jedes Polynom $f \in K[X]$ mit $\deg(f)>0$ hat eine Nullstelle in $K$.
-		\item Jedes Polynom $f \in K[X]$ zerfällt in Linearfaktoren, also $f(X)=a\cdot \prod \limits_{i=1}^n 
+		\item Jedes Polynom $f \in K[X]$ zerfällt in Linearfaktoren, also $f(X)=a\cdot \prod _{i=1}^n 
 		(X-\lambda_i)$ mit $n=\deg(f), a, \lambda_i \in K$.
 	\end{itemize}
 \end{proposition}
@@ -192,9 +196,9 @@ man $f$ \begriff[Polynom!]{konstant}, \begriff[Polynom!]{linear} bzw. \begriff[P
 		\item $1 \Rightarrow 2:$ Induktion nach $n=\deg(f)$ \\
 		Ist $n\le0$, so ist nichts zu zeigen. \\
 		Ist $n>0$, so hat $f$ eine Nullstelle $\lambda_n \in K$, somit $f(X)=(X-\lambda_n)\cdot g(X)$ mit $g(X) \in K[X]$
-		und $\deg(g)=n-1$, Nach IV ist $g(X)=a\cdot \prod \limits_{i=1}^n (X-\lambda_i)$. Somit ist $f(X)=a\cdot \prod 
-		\limits_{i=1}^n (X-\lambda_i)$.
-		\item $2 \Rightarrow 1:$ Sei $f \in K[X]$ mit $n=\deg(f)>0$. Damit gilt $f(X)=a\cdot \prod \limits_{i=1}^n (X-\lambda_i)$.
+		und $\deg(g)=n-1$, Nach IV ist $g(X)=a\cdot \prod _{i=1}^n (X-\lambda_i)$. Nach \propref{1_6_9} ist $f(X)=a\cdot \prod 
+		_{i=1}^n (X-\lambda_i)$.
+		\item $2 \Rightarrow 1:$ Sei $f \in K[X]$ mit $n=\deg(f)>0$. Damit gilt $f(X)=a\cdot \prod _{i=1}^n (X-\lambda_i)$.
 		Da $n>0$, hat $f$ z.B. die Nullstelle $\lambda_1$.
 	\end{itemize}
 \end{proof}

1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/Vorlesung LAAG.tex

@@ -199,7 +199,20 @@
 	hidealllines=true,%
 	innerleftmargin=10pt,%
 ]{*example}{\hspace*{-10pt}\rule{5pt}{5pt}\hspace*{5pt}Beispiel}
-\newtheorem{overview}[theorem]{Überblick}
+
+\newmdtheoremenv[%
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+]{overview}[theorem]{Überblick}
 
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@@ -549,7 +562,7 @@
 
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 \titlelabel{\thetitle.\quad}%. behind section/sub... (3. instead of 3)
-\counterwithout{section}{chapter}
+%\counterwithout{section}{chapter}
 \renewcommand{\thechapter}{\Roman{chapter}}
 \renewcommand{\thepart}{\Alph{part}}
 %italic chapters (due to titlesec package some more stuff)
@@ -599,7 +612,7 @@
 	\markright{\thesection.\ #1}{}}
 
 %change numbering of equations to be section by section
-\counterwithout{equation}{section}
+%\counterwithout{equation}{section}
 
 \title{\textbf{Lineare Algebra WS2017/18}}
 \author{Dozent: Prof. Dr. Arno Fehm}