diff --git a/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Abbildungen.tex b/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Abbildungen.tex
index d5d4c9d..54ff624 100644
--- a/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Abbildungen.tex	
+++ b/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Abbildungen.tex	
@@ -1,21 +1,23 @@
 \section{Abbildungen}
 
-\subsubsection{Überblick über Abbildungen}
-Eine \begriff{Abbildung} $f$ von eine Menge $X$ in einer Menge $Y$ ist eine Vorschrift, die jedem $x \in X$
-auf eindeutige Weise genau ein Element $f(x) \in Y$ zuordnet. Man schreibt dies als 
-\begin{align}
-f:
-\begin{cases}
-X \to Y \\ x \mapsto y
-\end{cases}\notag
-\end{align}
-oder $f: X \to Y, x \mapsto y$ oder noch einfacher $f: X \to Y$. Dabei heißt $X$ die
-\begriff{Definitionsmenge} und $Y$ die \begriff{Zielmenge} von $f$. Zwei Abbildungen heißen \begriff[Abbildung!]{gleich}, wenn ihre
-Definitionsmengen und Zielmengen gleich sind und sie jedem $x \in X$ das selbe Element
-$y \in Y$ zuordnen. Die Abbildungen von $X$ nach $Y$ bilden wieder eine Menge, welche wir 
-mit $\Abb(X,Y)$ bezeichnen. \\
+\begin{overview}[Abbildungen]
+	Eine \begriff{Abbildung} $f$ von eine Menge $X$ in einer Menge $Y$ ist eine Vorschrift, die jedem $x \in X$
+	auf eindeutige Weise genau ein Element $f(x) \in Y$ zuordnet. Man schreibt dies als 
+	\begin{align}
+	f:
+	\begin{cases}
+	X \to Y \\ x \mapsto y
+	\end{cases}\notag
+	\end{align}
+	oder $f: X \to Y, x \mapsto y$ oder noch einfacher $f: X \to Y$. Dabei heißt $X$ die
+	\begriff{Definitionsmenge} und $Y$ die \begriff{Zielmenge} von $f$. Zwei Abbildungen heißen \begriff[Abbildung!]{gleich}, wenn ihre
+	Definitionsmengen und Zielmengen gleich sind und sie jedem $x \in X$ das selbe Element
+	$y \in Y$ zuordnen. Die Abbildungen von $X$ nach $Y$ bilden wieder eine Menge, welche wir 
+	mit $\Abb(X,Y)$ bezeichnen.
+\end{overview}
 
 \begin{example}
+	\proplbl{1_2_2}
 	\begin{itemize}
 		\item Abbildungen mit Zielmenge $\mathbb R$ nennt man Funktion: $f: \mathbb R \to \mathbb
 		R, x \mapsto x^2$
@@ -58,8 +60,17 @@ mit $\Abb(X,Y)$ bezeichnen. \\
 	\end{itemize}
 \end{example}
 
+\begin{example}
+	\begin{itemize}
+		\item Die identische Abbildung $\id_X:X\to X$ ist stets bijektiv.
+		\item Für jede Teilmenge $A\subseteq X$ ist die Inklusionsabbildung $\iota_A:A\to X$ injektiv, aber im Allgemeinen nicht surjektiv.
+		\item Die Funktion $f:\real\to\real_{\ge 0}$ mit $x\mapsto x^2$ ist surjektiv, aber nicht injektiv.
+		\item Die Funktion $f:\real\to\real$ mit $x\mapsto x^3$ ist bijektiv.
+	\end{itemize}
+\end{example}
 
 \begin{definition}[Einschränkung]
+	\proplbl{1_2_6}
 	Sei $f: x \mapsto y$ eine Abbildung. Für $A \subset X$
 	definiert man die \begriff{Einschränkung}/Restrikton von $f$ auf $A$ als die Abbildung 
 	\begin{align}
@@ -73,6 +84,7 @@ mit $\Abb(X,Y)$ bezeichnen. \\
 \end{definition}
 
 \begin{remark}
+	\proplbl{1_2_7}
 	Man ordnet der Abbildung $f: X \to Y$ auch die Abbildungen $\mathcal P(X) \to \mathcal P(Y)$ und
 	$\mathcal P(Y) \to \mathcal P(X)$ auf den Potenzmengen zu. Man benutzt hier das gleiche 
 	Symbol $f(…)$ sowohl für die Abbildung $f: X \to Y$ als auch für $f: P(X) \to P(Y)$, was 
@@ -80,11 +92,12 @@ mit $\Abb(X,Y)$ bezeichnen. \\
 	In anderen Vorlesungen wird für $y \in Y$ auch $f^{-1}(y)$ statt $f^{-1}(\{y\})$ geschrieben. \\
 \end{remark}
 
-\begin{example}
+\begin{remark}
+	\proplbl{1_2_8}
 	Genau dann ist $f: X \to Y$ surjektiv, wenn $\Image(f)=Y$ \\
 	Genau dann ist $f: X \to Y \begin{cases} $injektiv$ \\ $surjektiv$ \\ $bijektiv$ \end{cases}$, wenn
 	$|f^{-1}(\{y\})| = \begin{cases} \le 1 \\ \ge 1 \\ =1  \end{cases} \quad \forall y \in Y$ \\
-\end{example}
+\end{remark}
 
 \begin{definition}[Komposition]
 	Sind $f: X \to Y$ und $g: Y \to Z$ Abbildungen, so ist die
@@ -98,6 +111,7 @@ mit $\Abb(X,Y)$ bezeichnen. \\
 \end{definition}
 
 \begin{proposition}
+	\proplbl{1_2_10}
 	Die Abbildung von Kompositionen ist assoziativ, d.h. es gilt: 
 	\begin{align}
 		h \circ (g \circ f) = (h \circ g)\circ f\notag
@@ -111,7 +125,7 @@ mit $\Abb(X,Y)$ bezeichnen. \\
 
 \begin{definition}[Umkehrabbildung]
 	Ist $f: X \to Y$ bijektiv, so gibt es zu jedem $y \in Y$
-	genau ein $x_y \in X$ mit $f(x_y)=y$, durch 
+	genau ein $x_y \in X$ mit $f(x_y)=y$ (\propref{1_2_7}), durch 
 	\begin{align}
 		f^{-1}: \begin{cases}
 		Y \to X \\ y \mapsto x_y
@@ -129,21 +143,22 @@ mit $\Abb(X,Y)$ bezeichnen. \\
 \end{proposition}
 \begin{proof}
 	Es ist $f^{-1}\in \Abb(X,X)$ und $f\circ f^{-1}\in \Abb(Y,Y)$. Für $y\in Y$ ist $(f\circ f^{-1})(x)=
-	f(f^{-1}(y))=y=id_Y$. Für $x\in X$ ist deshalb $f((f^{-1}\circ f)(x))=(f\circ (f^{-1}\circ f))(x)=
-	((f\circ f^{-1})\circ f)(x)=(id_Y \circ f)(x)=f(x)$. Da $f$ injektiv, folgt $f^{-1}\circ f=id_X$.
+	f(f^{-1}(y))=y=\id_Y$. Für $x\in X$ ist deshalb $f((f^{-1}\circ f)(x))=(f\circ (f^{-1}\circ f))(x)\overset{\propref{1_2_10}}{=}
+	((f\circ f^{-1})\circ f)(x)=(\id_Y \circ f)(x)=f(x)$. Da $f$ injektiv, folgt $f^{-1}\circ f=\id_X$.
 \end{proof}
 
 \begin{remark}
+	\proplbl{1_2_13}
 	Achtung, wir verwenden hier das selbe Symbol $f^{-1}$ für zwei verschiedene Dinge: Die Abbildung
-	$f^{-1}: \mathcal P(X) \to \mathcal P(Y)$ existiert für jede Abbildung $f: X \to Y$, aber die
-	Umkehrabbildung $f^{-1}: Y \to X$ existiert nur für bijektive Abbildungen $f: X \to Y$.
+	$f^{-1}: \mathcal P(X) \to \mathcal P(Y)$ aus \propref{1_2_6} existiert für jede Abbildung $f: X \to Y$, aber die
+	Umkehrabbildung $f^{-1}: Y \to X$ aus \propref{1_2_10} existiert nur für bijektive Abbildungen $f: X \to Y$.
 \end{remark}
 
 \begin{definition}[Familie]
 	Seien $I$ und $X$ Mengen. Eine Abbildung $x: I \to X, i \mapsto
 	x_i$ nennt man \begriff{Familie} von Elementen von $X$ mit einer Indexmenge I (oder I-Tupel von 
 	Elementen von $X$) und schreibt diese auch als $(x_i)_{i \in I}$. Im Fall $I=\{1,2,...,n\}$
-	identifiziert man die I-Tupel auch mit den n-Tupeln. Ist $(x_i)_{i \in I}$ eine Familie von
+	identifiziert man die I-Tupel auch mit den n-Tupeln aus \propref{1_1_8}. Ist $(x_i)_{i \in I}$ eine Familie von
 	Teilmengen einer Menge $X$, so ist 
 	\begin{itemize}
 		\item $\bigcup X_i = \{x \in X \mid \exists i \in I(x \in X)\}$
@@ -169,4 +184,8 @@ mit $\Abb(X,Y)$ bezeichnen. \\
 	x \in X$ genau ein Paar $(x,y)$ mit $y \in Y$ enthält. Die Abbildungsvorschrift schickt dann
 	$x \in X$ auf das eindeutig bestimmte $y \in Y$ mit $(x,y) \in \Gamma$. Es ist dann $\Gamma =
 	\Gamma_f$.
+\end{remark}
+
+\begin{remark}
+	In anderen Vorlesungen wird die Zielmenge nicht immer als Teil der Definition einer Abbildung aufgefasst, d.h. man betrachtet zwei Abbildungen $f:X\to Y$ und $g:X\to Z$ mit gleicher Definitionsmenge dann als gleich, wenn $f(x)=g(x)$ für alle $x\in X$. Dies ist gleichbedeutend mit $\Gamma_f=\Gamma_g$. So würde man dann zum Beispiel $f_1$ und $f_2$ aus \propref{1_2_2} als gleich auffassen.
 \end{remark}
\ No newline at end of file
diff --git a/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Basis_und_Dimension.tex b/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Basis_und_Dimension.tex
index a1fc859..f49e596 100644
--- a/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Basis_und_Dimension.tex	
+++ b/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Basis_und_Dimension.tex	
@@ -14,6 +14,9 @@
 	Sei $(x_i)$ eine Familie von Elementen von $V$. Genau dann ist $(x_i)$ eine Basis von $V$, 
 	wenn sich jedes $x \in V$ auf eindeutige Weise als Linearkombination der $(x_i)$ schreiben lässt.
 \end{proposition}
+\begin{proof}
+	Dies folgt sofort aus \propref{2_2_10}
+\end{proof}
 
 \begin{example}
 	\begin{itemize}
@@ -27,6 +30,7 @@
 \end{example}
 
 \begin{proposition}
+	\propref{2_3_5}
 	Für eine Familie $(x_i)$ von Elementen von $V$ sind äquivalent:
 	\begin{itemize}
 		\item $B$ ist eine Basis von $V$.
@@ -39,13 +43,13 @@
 	\begin{itemize}
 		\item $1 \Rightarrow 2$: Sei $B$ eine Basis von $V$ und $J$ eine echte Teilmenge von $I$. Nach Definition ist $B$ ein 
 		Erzeugendensystem. Wähle $i_0 \in I\backslash J$. Da $(x_i)$ linear unabhängig ist, ist $x_{i_0}$ keine Element 
-		$\Span_K((x_i)_{i \in I\backslash \{i_0\}}) \ge \Span_K((x_i)_{i \in J})$. Insbesondere ist $(x_i)_{i\in J}$ kein 
+		$\Span_K((x_i)_{i \in I\backslash \{i_0\}}) \supseteq \Span_K((x_i)_{i \in J})$ (\propref{2_2_9}). Insbesondere ist $(x_i)_{i\in J}$ kein 
 		Erzeugendensystem von $V$. 
 		\item $2 \Rightarrow 3$: Sei $B$ ein minimales Erzeugendensystem und $(x_i)_{i \in J}$ eine Familie mit $J$ echter 
 		Obermenge von $I$. Wäre $(x_i)$ linear abhängig, so gäbe es ein $i_0$ mit $\Span_K((x_i)_{i \in I\backslash 
 			\{i_0\}}) = \Span_K((x_i)_{i \in I})=V$ im Widerspruch zur Minimalität von $B$. Also ist $B=(x_i)$ linear 
 		unabhängig. Wähle $j_0 \in J\backslash I$. Dann ist $x_{j_0} \in V=\Span_K(x_i) \le \Span_K((x_i)_{i \in 
-			J\backslash \{j_0\}})$ und somit ist $(x_i)_{i\in J}$ linear abhängig.
+			J\backslash \{j_0\}})$ und somit ist $(x_i)_{i\in J}$ linear abhängig nach \propref{2_2_9}.
 		\item $3 \Rightarrow 1$: Sei $B$ nun maximal linear unabhängig. Angenommen $B$ wäre kein Erzeugendensystem. 
 		Dann gibt es ein $x\in V \backslash \Span_K(x_i)$. Definiere $J=I \cup \{j_0\}$ mit $j_0 \notin I$ und $x_{j_0}:=x$. 
 		Aufgrund der Maximalität von $B$ ist $(x_i)$ linear abhängig, es gibt als Skalare $\lambda$, $(\lambda_i)$, nicht 
@@ -66,23 +70,25 @@
 	\text{J ist Erzeugendensystem von }V\}$. Da $I$ endlich ist, ist auch $\mathcal J$ endlich. Da $(x_i)$ 
 	Erzeugendensystem ist, ist $I\in J$, insbesondere $\mathcal J\neq\emptyset$. Es gibt deshalb ein bezüglich 
 	Inklusion minimales $J_0\in \mathcal J$, d.h. $J_1 \in \mathcal J$ so gilt nicht $J_1 \subsetneq J_0$. Deshalb 
-	ist $(x_i)_{i\in J_0}$ eine Basis von $V$.
+	ist $(x_i)_{i\in J_0}$ eine Basis von $V$ (\propref{2_3_5}).
 \end{proof}
 
 \begin{conclusion}
+	\proplbl{2_3_7}
 	Jeder endlich erzeugte $K$-Vektorraum besitzt eine endliche Basis.
 \end{conclusion}
 
 \begin{remark}
-	\begin{itemize}
-		\item Der Beweis des Theorems liefert ein konstruktives Verfahren: Ist $(x_1,...,x_n)$ ein endliches 
-		Erzeugendensystem von $V$, so prüfe man, ob es ein $i_0$ mit $x_{i_0} \in \Span_K((x_i)_{i\neq i_0})$ gibt. 
-		Falls Nein, ist $(x_1,...,x_n)$ eine Basis von $V$. Falls Ja, macht man mit $(x_1,...,x_{i_{0-1}}, x_{i_{0+1}},
-		...,x_n)$ weiter.
-		\item Man kann jedoch zeigen, dass jeder Vektorraum eine Basis besitzt. Die Gültigkeit der Aussage hängt jedoch 
-		von bestimmten mengentheoretischen Axiomen ab, auf die wir an dieser Stelle nicht eingehen werden. Siehe dazu 
-		LAAG 2. Semester.
-	\end{itemize}
+	Der Beweis von \propref{2_3_6} liefert ein konstruktives Verfahren: Ist $(x_1,...,x_n)$ ein endliches 
+	Erzeugendensystem von $V$, so prüfe man, ob es ein $i_0$ mit $x_{i_0} \in \Span_K((x_i)_{i\neq i_0})$ gibt. 
+	Falls Nein, ist $(x_1,...,x_n)$ eine Basis von $V$. Falls Ja, macht man mit $(x_1,...,x_{i_{0-1}}, x_{i_{0+1}},
+	...,x_n)$ weiter.
+\end{remark}
+
+\begin{remark}
+	Man kann jedoch zeigen, dass jeder Vektorraum eine Basis besitzt. Die Gültigkeit der Aussage hängt jedoch 
+	von bestimmten mengentheoretischen Axiomen ab, auf die wir an dieser Stelle nicht eingehen werden. Siehe dazu 
+	LAAG 2. Semester.
 \end{remark}
 
 \begin{lemma}[Austauschlemma]
@@ -119,13 +125,13 @@
 	$V$ ist.
 \end{proof}
 
-\begin{conclusion}
+\begin{conclusion}[Basisergänzungssatz]
 	Ist $V$ endlich erzeugt, so lässt sich jede linear unabhängige Familie zu einer Basis ergänzen: 
 	Ist $(x_1,...,x_n)$ linear unabhängig, so gibt es $m\ge n$ und $x_{n+1},x_{n+2},...,x_m$ für die $(x_1,...,x_n,
 	x_{n+1},...,x_m)$ eine Basis von $V$ ist.
 \end{conclusion}
 \begin{proof}
-	Nach dem Basisauswahlsatz (\propref{2_3_6}) besitzt $V$ eine endliche Basis, die Behauptung folgt somit aus dem \person{Steinitz}'schen Austauschsatz (\propref{2_3_10}).
+	Nach dem Basisauswahlsatz (\propref{2_3_6} und \propref{2_3_7}) besitzt $V$ eine endliche Basis, die Behauptung folgt somit aus dem \person{Steinitz}'schen Austauschsatz (\propref{2_3_10}).
 \end{proof}
 
 \begin{conclusion}
@@ -141,7 +147,7 @@
 	Ist $V$ endlich erzeugt, so haben alle Basen von $V$ die gleiche Mächtigkeit.
 \end{conclusion}
 \begin{proof}
-	Besitzt $V$ eine endliche Basis, so folgt deshalb die Behauptung aus \propref{2_3_12}.
+	$V$ besitzt eine endliche Basis (\propref{2_3_7}), deshalb folgt die Behauptung aus \propref{2_3_12}.
 \end{proof}
 
 \begin{definition}[Dimension]
@@ -162,7 +168,7 @@
 \begin{remark}
 	\begin{itemize}
 		\item $V$ ist genau dann endlich erzeugt, wenn $\dim_K(V)< \infty$.
-		\item $\dim_K(V)=\min\{|B| \mid \Span_K(B)=V\}=\max\{|B| \mid B\text{ linear unabhängig}\}$
+		\item Mit \propref{2_3_5} $\dim_K(V)=\min\{|B| \mid \Span_K(B)=V\}=\max\{|B| \mid B\text{ linear unabhängig}\}$
 	\end{itemize}
 \end{remark}
 
diff --git a/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Definition_und_Beispiele.tex b/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Definition_und_Beispiele.tex
index a901bd3..d6fd182 100644
--- a/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Definition_und_Beispiele.tex	
+++ b/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Definition_und_Beispiele.tex	
@@ -96,7 +96,7 @@ In diesem Kapitel sei $K$ ein Körper.
 		ist $W$ ein Untervektorraum.
 		\item $\Leftarrow$: Nach (UV1) und (UV2) lassen sich $+$ und $\cdot$ einschränken zu Abbildungen $+_w$: $W \times W \to W$ und 
 		$\cdot_w$: $K \times W \to W$. Nach (UV1) ist abgeschlossen und unter der Addition und für $x \in W$ ist auch $-x=
-		(-1)x \in W$ nach (UV2), $W$ ist somit Untergruppe von $(V,+)$. Insbesondere ist $(W,+)$ eine abelsche Gruppe, erfüllt 
+		(-1)x \in W$ nach (UV2), $W$ ist somit Untergruppe von $(V,+)$. Insbesondere ist $(W,+)$ eine abelsche Gruppe (\propref{1_3_14}), erfüllt 
 		also (V1). Die Verträglichkeit (V2) ist für $\lambda,\mu \in K$ und $x,y \in W$ gegeben, da sie auch für $x,y \in V$ 
 		erfüllt ist. Somit ist $(W,+_w,\cdot_w)$ ein $K$-Vektorraum.
 	\end{itemize}
@@ -117,13 +117,14 @@ In diesem Kapitel sei $K$ ein Körper.
 		\end{itemize}
 		\item In der Analysis werden Sie verschiedene Untervektorraum des $\mathbb R$-Vektorraum $\Abb(\mathbb R,\mathbb R)$ kennenlernen, etwa
 		den Raum $\mathcal C(\mathbb R,\mathbb R)$ der stetigen Funktionen und den Raum $\mathcal C^{-1}(\mathbb R,\mathbb 
-		R)$ der stetig differenzierbaren Funktionen. Die Menge der Polynomfunktionen $\{\tilde f\mid \tilde f\in \mathbb R[X]\}$ bildet
+		R)$ der stetig differenzierbaren Funktionen. Die Menge der Polynomfunktionen $\{\tilde f\mid \tilde f\in \mathbb R[X]\}$ (vgl. \propref{1_6_7}) bildet
 		einen Untervektorraum des $\mathbb R$-Vektorraum $\mathcal C^{-1}(\mathbb R,\mathbb R)$
 	\end{itemize}
 \end{example}
 
 
 \begin{lemma}
+	\proplbl{2_1_10}
 	Ist $V$ ein Vektorraum und $(W_i)_{i \in I}$ eine Familie von Untervektorraum von $V$, so ist auch $W=\bigcap W_i$ 
 	ein Untervektorraum von $V$.
 \end{lemma}
@@ -141,7 +142,7 @@ In diesem Kapitel sei $K$ ein Körper.
 \end{proposition}
 \begin{proof}
 	Sei $\mathcal V$ die Menge aller Untervektorraum von $X$, die $X$ enthalten. Sei $W=\bigcap \mathcal V$. Damit ist 
-	$W$ ein Untervektorraum von $V$ der $X$ enthält.
+	$W$ ein Untervektorraum (\propref{2_1_10}) von $V$ der $X$ enthält.
 \end{proof}
 
 \begin{definition}[Erzeugendensystem]
diff --git a/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Gruppen.tex b/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Gruppen.tex
index 2f20bae..37e04ae 100644
--- a/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Gruppen.tex	
+++ b/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Gruppen.tex	
@@ -12,8 +12,8 @@
 
 \begin{example}
 	\begin{itemize}
-		\item Für jede Menge $X$ ist $(\Abb(X,Y), \circ)$ eine Halbgruppe mit dem neutralen Element
-		$id_x$, also ein Monoid.
+		\item Für jede Menge $X$ ist $(\Abb(X,Y), \circ)$ eine Halbgruppe (\propref{1_2_10}) mit dem neutralen Element
+		$\id_x$, also ein Monoid.
 		\item $\mathbb N$ bildet mit der Addition eine Halbgruppe $(\mathbb N,+)$, aber kein Monoid,
 		da die 0 nicht in Fehm's Definition der natürlichen Zahlen gehörte
 		\item $\mathbb N_0$ bildet mit der Addition ein Monoid $(\mathbb N_0,+)$
@@ -61,7 +61,7 @@ Ein $x'$ heißt \begriff{inverses Element} zu $x$. \\
 	\begin{itemize}
 		\item Eine triviale Gruppe besteht nur aus ihrem neutralen Element. Tatsächlich ist $G=\{e\}$ mit
 		$e*e=e$ eine Gruppe.
-		\item Sei $X$ eine Menge. Die Menge $Sym(X) := \{f \in \Abb(X,X) \mid f$ ist bijektiv$\}$ der
+		\item Sei $X$ eine Menge. Die Menge $\Sym(X) := \{f \in \Abb(X,X) \mid f$ ist bijektiv$\}$ der
 		Permutationen von $X$ bildet mit der Komposition eine Gruppe $(\Sym(X),\circ)$, die 
 		\begriff[Gruppe!]{symmetrische Gruppe} auf $X$. Für $n \in \mathbb N$ schreibt man $S_n := \Sym(\{1,2,...,n\})$. 
 		Für $n \ge 3$ ist $S_n$ nicht abelsch.
@@ -96,6 +96,7 @@ In abelschen Gruppen notiert man Ausdrücke auch mit dem Summen- und Produktzeic
 \end{proof}
 
 \begin{proposition}
+	\proplbl{1_3_10}
 	Sei $(G,\cdot)$ eine Gruppe. Für $a,b \in G$ haben die Gleichungen $ax=b$ und
 	$ya=b$ eindeutige Lösungen in $G$, nämlich $x=a^{-1} \cdot b$ und $y=b \cdot a^{-1}$. 
 	Insbesondere gelten die folgenden Kürzungsregeln: $ax=ay \Rightarrow x=y$ und $xa=ya 
@@ -162,6 +163,7 @@ In abelschen Gruppen notiert man Ausdrücke auch mit dem Summen- und Produktzeic
 \end{definition}
 
 \begin{proposition}
+	\proplbl{1_3_14}
 	Sei $(G,\cdot)$ eine Gruppe und $\emptyset \neq H \subset G$. Genau dann ist
 	$H$ eine Untergruppe von $G$, wenn sich die Verknüpfung $\cdot: G \times G \to G$ zu einer
 	Abbildung $\cdot_H: H \times H \to H$ einschränken lässt (d.h. $\cdot\vert_{H \times H}=
@@ -187,6 +189,7 @@ In abelschen Gruppen notiert man Ausdrücke auch mit dem Summen- und Produktzeic
 \end{remark}
 
 \begin{example}
+	\proplbl{1_3_16}
 	\begin{itemize}
 		\item Jede Gruppe $G$ hat die triviale Untergruppe $H=\{e_G\}$ und $H=G$
 		\item Ist $H \le G$ und $K \le H$, so ist $K \le G$ (Transitivität)
@@ -220,7 +223,7 @@ In abelschen Gruppen notiert man Ausdrücke auch mit dem Summen- und Produktzeic
 	eine weitere Untergruppe von $G$, die $X$ enthält, so ist $H \subset H'$.
 \end{proposition}
 \begin{proof}
-	Sei $\mathcal{H}$ die Menge aller Untergruppen von $G$, die $X$ enthalten. Nach \propref{1_3_17} %TODO: Verlinkung
+	Sei $\mathcal{H}$ die Menge aller Untergruppen von $G$, die $X$ enthalten. Nach \propref{1_3_17}
 	ist $H:=
 	\bigcap \mathcal{H} := \bigcap H$ eine Untergruppe von $G$. Da $X \subset H'$ für jedes $H' \in 
 	\mathcal H$ ist auch $X \subset H$. Nach Definition ist $H$ in jedem $H' \le G$ mit $X \subset H'$
@@ -240,7 +243,7 @@ In abelschen Gruppen notiert man Ausdrücke auch mit dem Summen- und Produktzeic
 		\item Die leere Menge $X=\emptyset \le G$ erzeugt stets die triviale Untergruppe $\langle \emptyset\rangle
 		=\{e\} \le G$
 		\item Jede endliche Gruppe $G$ ist endlich erzeugt $G=\langle G\rangle$
-		\item Für $n \in \mathbb{N}_0$ ist $n\mathbb{Z}=\langle n\rangle \le \mathbb{Z}$. Ist $H \le \mathbb{Z}$
+		\item Für $n \in \mathbb{N}_0$ ist $n\mathbb{Z}=\langle n\rangle \le \mathbb{Z}$. Nach \propref{1_3_16} ist $n\in n\whole\le\whole$. Ist $H \le \mathbb{Z}$
 		mit $n \in H$, so ist auch $kn=nk=n+n+...+n \in H$ und somit auch $n\mathbb{Z} \le H$.
 	\end{itemize}
 \end{example}
\ No newline at end of file
diff --git a/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Koerper.tex b/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Koerper.tex
index 6d26598..40a2b16 100644
--- a/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Koerper.tex	
+++ b/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Koerper.tex	
@@ -6,7 +6,7 @@
 \end{definition}
 
 \begin{remark}
-	Ein Körper ist stets nullteilerfrei und $(K\backslash\{0\}, \cdot)$ ist eine abelsche
+	Nach \propref{1_4_13} ist ein Körper ist stets nullteilerfrei und $(K\backslash\{0\}, \cdot)$ ist eine abelsche
 	Gruppe. Ein Körper ist also ein Tripel $(K,+,\cdot)$ bestehend aus einer Menge $K$ und 2 Verknüpfungen
 	$+: K \times K \to K$ und $\cdot: K \times K \to K$, für die gelten: \\
 	(K1): $(K,+)$ ist eine abelsche Gruppe \\
@@ -49,21 +49,22 @@
 
 
 \begin{lemma}
+	\proplbl{1_5_7}
 	Sei $a \in \mathbb Z$ und sei $p$ eine Primzahl, die $a$ nicht teilt. Dann gibt es $b,k \in
 	\mathbb Z$ mit $ab+kp=1$.
 \end{lemma}
 \begin{proof}
 	Sei $n \in \mathbb N$ die kleinste natürliche Zahl der Form $n=ab+kp$. Angenommen, $n \ge 2$. Schreibe
-	$a=qp+r$ mit $q,r \in \mathbb Z$ und $0 \le r < p$. Aus der Nichtteilbarkeit von $a$ folgt $r \neq 0$, also 
+	$a=qp+r$ mit $q,r \in \mathbb Z$ und $0 \le r < p$ (\propref{1_4_6}). Aus der Nichtteilbarkeit von $a$ folgt $r \neq 0$, also 
 	$r \in \mathbb N$. Wegen $r=a\cdot 1-qp$ ist $n\le r$. Da $p$ Primzahl ist und $2\le n\le r < p$, gilt $n$ teilt
-	nicht $p$. Schreibe $p=c\cdot n+m$ mit $c,m \in \mathbb Z$ und $0 \le m<n$. Aus $n$ teilt nicht $p$ folgt
+	nicht $p$. Schreibe $p=c\cdot n+m$ mit $c,m \in \mathbb Z$ und $0 \le m<n$ (\propref{1_4_6}). Aus $n$ teilt nicht $p$ folgt
 	$m \neq 0$, also $m \in \mathbb N$. Da $m=p-cn=-abc+(1-kc)p$, ist $m<n$ ein Widerspruch zur Minimalität
 	von $n$. Die Annahme $n \ge 2$ war somit falsch. Es gilt $n=1$.
 \end{proof}
 
 \begin{example}[Endliche Primkörper]
 	Für jede Primzahl $p$ ist $\mathbb Z /p \mathbb Z$ ein Körper. Ist $\overline{a}\neq \overline{0}$, so gilt 
-	$p$ teilt nicht $a$ und somit gibt es $b,k \in \mathbb Z$ mit \\
+	$p$ teilt nicht $a$ und somit gibt es nach \propref{1_5_7} $b,k \in \mathbb Z$ mit \\
 	\begin{align}
 		ab+kp &= 1 \notag \\
 		\overline{(ab+kp)} &= \overline{1} = \overline{(ab)} = \overline{a} \cdot \overline{b} \notag
@@ -84,3 +85,11 @@
 	\end{itemize}
 	Insbesondere ist $\mathbb Z /p \mathbb Z$ nullteilerfrei, d.h. aus $p\vert ab$ folgt $p\vert a$ oder $p\vert b$.
 \end{proof}
+
+\begin{remark}
+	Ist $K$ ein Körper und $a,b\in K$, $b\neq 0$, so schreiben wir $\frac{a}{b}$ für $ab^{-1}=b^{-1}a$. Es gelten die bekannten Rechenregeln für Brüche (vgl. \propref{1_3_10}):
+	\begin{align}
+		\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}&=\frac{a_1b_2+a_2b_1}{b_1b_2}\notag \\
+		\frac{a_1}{b_1}\cdot\frac{a_2}{b_2}&=\frac{a_1a_2}{b_1b_2}\notag
+	\end{align}
+\end{remark}
\ No newline at end of file
diff --git a/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Linearkombinationen.tex b/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Linearkombinationen.tex
index 1a92b26..7eef1a7 100644
--- a/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Linearkombinationen.tex	
+++ b/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Linearkombinationen.tex	
@@ -99,6 +99,7 @@ Sei $V$ ein $K$-Vektorraum.
 \end{remark}
 
 \begin{proposition}
+	\proplbl{2_2_9}
 	Genau dann ist $(x_i)$ linear abhängig, wenn es $i_0 \in I$ gibt mit $x_{i_0} \in \Span_K((x_i)_{i\in 
 		I\backslash\{i_0\}})$. In diesem Fall ist $\Span_K((x_i)_{i\in I})=\Span_K((x_i)_{i\in I\backslash\{i_0\}})$.
 \end{proposition}
@@ -121,6 +122,7 @@ Sei $V$ ein $K$-Vektorraum.
 \end{proof}
 
 \begin{proposition}
+	\proplbl{2_2_10}
 	Genau dann ist $(x_i)$ linear unabhängig, wenn sich jedes $x\in \Span_K((x_i))$ in eindeutiger Weise 
 	als Linearkombination der $(x_i)$ schreiben lässt, d.h. $x=\sum_{i\in I} \lambda_i\cdot x_i=\sum_{i
 		\in I} \lambda'_i\cdot x_i$, so ist $\lambda_i=\lambda'_i$
diff --git a/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Logik_und_Mengen.tex b/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Logik_und_Mengen.tex
index 1d4b7d5..5f5200b 100644
--- a/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Logik_und_Mengen.tex	
+++ b/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Logik_und_Mengen.tex	
@@ -1,98 +1,101 @@
 \section{Logik und Mengen}
 
 Wir werden die Grundlagen der Logik und der Mengenlehre kurz ansprechen.
-\subsubsection{Überblick über die Aussagenlogik}
-Jede mathematisch sinnvolle Aussage ist entweder wahr oder falsch, aber nie beides!
-\begin{itemize}
-	\item "'$1+1=2$"' $\to$ wahr
-	\item "'$1+1=3$"' $\to$ falsch
-	\item "'Es gibt unendlich viele Primzahlen"' $\to$ wahr
-\end{itemize}
-Man ordnet jeder mathematischen Aussage $A$ einen Wahrheitswert "'wahr"' oder "'falsch"' zu. Aussagen
-lassen sich mit logischen Verknüpfungen zu neuen Aussagen zusammensetzen.
-\begin{itemize}
-	\item $\lor \to$ oder
-	\item $\land \to$ und
-	\item $\lnot \to$ nicht
-	\item $\Rightarrow \to$ impliziert
-	\item $\iff \to$ äquivalent
-\end{itemize}
-Sind also $A$ und $B$ zwei Aussagen, so ist auch $A \lor B$, $A \land B$, $\lnot A$, 
-$A \Rightarrow B$ und $A \iff B$ Aussagen. Der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage ist
-eindeutig bestimmt durch die Wahrheitswerte ihrer Einzelaussagen.
-\begin{itemize}
-	\item $\lnot (1+1=3) \to$ wahr
-	\item "'2 ist ungerade"' $\Rightarrow$ "'3 ist gerade"' $\to$ wahr
-	\item "'2 ist gerade"' $\Rightarrow$ "'Es gibt unendlich viele Primzahlen"' $\to$ wahr
-\end{itemize}
-$\newline$
-\begin{center}
-	\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
-		\hline
-		$A$ & $B$ & $A \lor B$ & $A \land B$ & $\lnot A$ & $A \Rightarrow B$ & $A \iff B$\\
-		\hline
-		w & w & w & w & f & w & w\\
-		\hline
-		w & f & w & f & f & f & f\\
-		\hline
-		f & w & w & f & w & w & f\\
-		\hline
-		f & f & f & f & w & w & w\\
-		\hline
-	\end{tabular}
-\end{center}
+\begin{overview}[Aussagenlogik]
+	Jede mathematisch sinnvolle Aussage ist entweder wahr oder falsch, aber nie beides!
+	\begin{itemize}
+		\item "'$1+1=2$"' $\to$ wahr
+		\item "'$1+1=3$"' $\to$ falsch
+		\item "'Es gibt unendlich viele Primzahlen"' $\to$ wahr
+	\end{itemize}
+	Man ordnet jeder mathematischen Aussage $A$ einen Wahrheitswert "'wahr"' oder "'falsch"' zu. Aussagen
+	lassen sich mit logischen Verknüpfungen zu neuen Aussagen zusammensetzen.
+	\begin{itemize}
+		\item $\lor \to$ oder
+		\item $\land \to$ und
+		\item $\lnot \to$ nicht
+		\item $\Rightarrow \to$ impliziert
+		\item $\iff \to$ äquivalent
+	\end{itemize}
+	Sind also $A$ und $B$ zwei Aussagen, so ist auch $A \lor B$, $A \land B$, $\lnot A$, 
+	$A \Rightarrow B$ und $A \iff B$ Aussagen. Der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage ist
+	eindeutig bestimmt durch die Wahrheitswerte ihrer Einzelaussagen.
+	\begin{itemize}
+		\item $\lnot (1+1=3) \to$ wahr
+		\item "'2 ist ungerade"' $\Rightarrow$ "'3 ist gerade"' $\to$ wahr
+		\item "'2 ist gerade"' $\Rightarrow$ "'Es gibt unendlich viele Primzahlen"' $\to$ wahr
+	\end{itemize}
+	$\newline$
+	\begin{center}
+		\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
+			\hline
+			$A$ & $B$ & $A \lor B$ & $A \land B$ & $\lnot A$ & $A \Rightarrow B$ & $A \iff B$\\
+			\hline
+			w & w & w & w & f & w & w\\
+			\hline
+			w & f & w & f & f & f & f\\
+			\hline
+			f & w & w & f & w & w & f\\
+			\hline
+			f & f & f & f & w & w & w\\
+			\hline
+		\end{tabular}
+	\end{center}
+\end{overview}
 
-\subsubsection{Überblick über die Prädikatenlogik}
-Wir werden die Quantoren
-\begin{itemize}
-	\item $\forall$ (Allquantor, "'für alle"') und
-	\item $\exists$ (Existenzquantor, "'es gibt"') verwenden.
-\end{itemize}
-Ist $P(x)$ eine Aussage, deren Wahrheitswert von einem unbestimmten $x$ abhängt, so ist \\
-$\forall x: P(x)$ genau dann wahr, wenn $P(x)$ für alle $x$ wahr ist, \\
-$\exists x: P(x)$ genau dann wahr, wenn $P(x)$ für mindestens ein $x$ wahr ist. \\
-$\newline$
-Insbesondere ist $\lnot \forall x: P(x)$ genau dann wahr, wenn $\exists x: \lnot P(x)$ wahr ist. \\
-Analog ist $\lnot \exists x: P(x)$ genau dann wahr, wenn $\forall x: \lnot P(x)$ wahr ist.
+\begin{overview}[Prädikatenlogik]
+	Wir werden die Quantoren
+	\begin{itemize}
+		\item $\forall$ (Allquantor, "'für alle"') und
+		\item $\exists$ (Existenzquantor, "'es gibt"') verwenden.
+	\end{itemize}
+	Ist $P(x)$ eine Aussage, deren Wahrheitswert von einem unbestimmten $x$ abhängt, so ist \\
+	$\forall x: P(x)$ genau dann wahr, wenn $P(x)$ für alle $x$ wahr ist, \\
+	$\exists x: P(x)$ genau dann wahr, wenn $P(x)$ für mindestens ein $x$ wahr ist. \\
+	$\newline$
+	Insbesondere ist $\lnot \forall x: P(x)$ genau dann wahr, wenn $\exists x: \lnot P(x)$ wahr ist. \\
+	Analog ist $\lnot \exists x: P(x)$ genau dann wahr, wenn $\forall x: \lnot P(x)$ wahr ist.
+\end{overview}
 
-\subsubsection{Überblick über die Beweise}
-Unter einem Beweis verstehen wir die lückenlose Herleitung einer mathematischen Aussage aus einer
-Menge von Axiomen, Voraussetzungen und schon früher bewiesenen Aussagen. \\
-Einige Beweismethoden:
-\begin{itemize}
-	\item \textbf{Widerspruchsbeweis} \\
-	Man nimmt an, dass eine zu beweisende Aussage $A$ falsch sei und leitet daraus ab, dass eine 
-	andere Aussage sowohl falsch als auch wahr ist. Formal nutzt man die Gültigkeit der Aussage
-	$\lnot A \Rightarrow (B \land \lnot B) \Rightarrow A$.
-	\item \textbf{Kontraposition} \\
-	Ist eine Aussage $A \Rightarrow B$ zu beweisen, kann man stattdessen die Implikation 
-	$\lnot B \Rightarrow \lnot A$ beweisen.
-	\item \textbf{vollständige Induktion} \\
-	Will man eine Aussage $P(n)$ für alle natürlichen Zahlen zeigen, so genügt es, zu zeigen,
-	dass $P(1)$ gilt und dass unter der Induktionsbehauptung $P(n)$ stets auch $P(n+1)$ gilt 
-	(Induktionschritt). Dann gilt $P(n)$ für alle $n$. \\
-	Es gilt also das Induktionsschema: $P(1) \land \forall n: (P(n) \Rightarrow P(n+1)) \Rightarrow
-	\forall n: P(n)$.
-\end{itemize}
+\begin{overview}[Beweise]
+	Unter einem Beweis verstehen wir die lückenlose Herleitung einer mathematischen Aussage aus einer
+	Menge von Axiomen, Voraussetzungen und schon früher bewiesenen Aussagen. \\
+	Einige Beweismethoden:
+	\begin{itemize}
+		\item \textbf{Widerspruchsbeweis} \\
+		Man nimmt an, dass eine zu beweisende Aussage $A$ falsch sei und leitet daraus ab, dass eine 
+		andere Aussage sowohl falsch als auch wahr ist. Formal nutzt man die Gültigkeit der Aussage
+		$\lnot A \Rightarrow (B \land \lnot B) \Rightarrow A$.
+		\item \textbf{Kontraposition} \\
+		Ist eine Aussage $A \Rightarrow B$ zu beweisen, kann man stattdessen die Implikation 
+		$\lnot B \Rightarrow \lnot A$ beweisen.
+		\item \textbf{vollständige Induktion} \\
+		Will man eine Aussage $P(n)$ für alle natürlichen Zahlen zeigen, so genügt es, zu zeigen,
+		dass $P(1)$ gilt und dass unter der Induktionsbehauptung $P(n)$ stets auch $P(n+1)$ gilt 
+		(Induktionschritt). Dann gilt $P(n)$ für alle $n$. \\
+		Es gilt also das Induktionsschema: $P(1) \land \forall n: (P(n) \Rightarrow P(n+1)) \Rightarrow
+		\forall n: P(n)$.
+	\end{itemize}
+\end{overview}
 
-\subsubsection{Überblick über die Mengenlehre}
-Jede Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterscheidbarer Objekte zu einem Ganzen. Eine
-Menge enthält also solche Objekte, die Elemente der Menge. Die Menge ist durch ihre Elemente
-vollständig bestimmt. Diese Objekte können für uns verschiedene mathematische Objekte, wie
-Zahlen, Funktionen oder andere Mengen sein. Man schreibt $x \in M$ bzw. $x \notin M$, wenn x ein
-bzw. kein Element der Menge ist. \\
-$\newline$
-Ist $P(x)$ ein Prädikat, so bezeichnet man eine Menge mit $X := \{x \mid P(x)\}$. Hierbei muss
-man vorsichtig sein, denn nicht immer lassen sich alle $x$ für die $P(x)$ gilt, widerspruchsfrei
-zu einer Menge zusammenfassen. \\
-$\newline$
+\begin{overview}[Mengenlehre]
+	Jede Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterscheidbarer Objekte zu einem Ganzen. Eine
+	Menge enthält also solche Objekte, die Elemente der Menge. Die Menge ist durch ihre Elemente
+	vollständig bestimmt. Diese Objekte können für uns verschiedene mathematische Objekte, wie
+	Zahlen, Funktionen oder andere Mengen sein. Man schreibt $x \in M$ bzw. $x \notin M$, wenn x ein
+	bzw. kein Element der Menge ist.
+	
+	Ist $P(x)$ ein Prädikat, so bezeichnet man eine Menge mit $X := \{x \mid P(x)\}$. Hierbei muss
+	man vorsichtig sein, denn nicht immer lassen sich alle $x$ für die $P(x)$ gilt, widerspruchsfrei
+	zu einer Menge zusammenfassen.
+\end{overview}
 
 \begin{example}[endliche Mengen]
 	Eine Menge heißt endlich, wenn sie nur endlich viele Elemente enthält. Endliche Mengen
 	notiert man oft in aufzählender Form: $M = \{1;2;3;4;5;6\}$. Hierbei ist die Reihenfolge
 	der Elemente nicht relevant, auch nicht die Häufigkeit eines Elements. \\
 	Sind die Elemente paarweise verschieden, dann ist die Anzahl der Elemente die Mächtigkeit
-	(oder Kardinalität) der Menge, die wir mit $|M|$ bezeichnen. \\
+	(oder Kardinalität) der Menge, die wir mit $|M|$ bezeichnen.
 \end{example}
 
 \begin{example}[unendliche Mengen]
@@ -104,7 +107,7 @@ $\newline$
 		\neq 0\}$
 		\item Menge der reellen Zahlen: $\mathbb R := \{x \mid x$ ist eine reelle Zahl$\}$
 	\end{itemize}
-	Ist $M$ eine Menge, so gilt $|M|=\infty$ \\
+	Ist $M$ eine Menge, so gilt $|M|=\infty$
 \end{example}
 
 \begin{example}[leere Menge]
@@ -113,6 +116,7 @@ $\newline$
 
 
 \begin{definition}[Teilmenge]
+	\proplbl{1_1_8}
 	Sind $X$ und $Y$ zwei Mengen, so heißt $X$ eine \begriff{Teilmenge} von 
 	$Y$, wenn jedes Element von $X$ auch Element von $Y$ ist, dass heißt wenn für alle 
 	$x$ $(x \in X \Rightarrow x \in Y)$ gilt.
diff --git a/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Polynome.tex b/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Polynome.tex
index d75e5ee..1e581f8 100644
--- a/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Polynome.tex	
+++ b/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Polynome.tex	
@@ -6,17 +6,17 @@ In diesem Abschnitt sei $R$ ein kommutativer Ring mit Einselement. \\
 	Unter einem \begriff{Polynom} in der "'Unbekannte"' $x$ versteht man einen Ausdruck der Form
 	$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n = \sum_{k=0}^{n} a_kx^k$ mit $a_0,...,a_n \in R$. Fasst man $x$
 	als ein beliebiges Element von $R$ auf, gelten einige offensichtliche Rechenregeln: \\
-	Ist $f(x)=\sum \limits_{k=0}^{n} a_kx^k$ und $g(x)=\sum \limits_{k=0}^{n} b_kx^k$ so ist
+	Ist $f(x)=\sum _{k=0}^{n} a_kx^k$ und $g(x)=\sum _{k=0}^{n} b_kx^k$ so ist
 	\begin{itemize}
-		\item $f(x)+g(x)=\sum \limits_{k=0}^{n} (a_k+b_k)x^k$
-		\item $f(x)\cdot g(x)=\sum \limits_{k=0}^{2n} c_kx^k$ mit $c_k=\sum \limits_{j=0}^{k} a_jb_{k-j}$
+		\item $f(x)+g(x)=\sum _{k=0}^{n} (a_k+b_k)x^k$
+		\item $f(x)\cdot g(x)=\sum _{k=0}^{2n} c_kx^k$ mit $c_k=\sum _{j=0}^{k} a_jb_{k-j}$
 	\end{itemize}
 	Dies motiviert die folgende präzise Definition für den Ring der Polynome über $R$ in einer "'Unbestimmten"'
 	$x$.
 \end{remark}
 
 \begin{definition}[Polynom]
-	Sei $R[X]$ die Menge der Folgen in $R$, die fast überall 0 sind, also
+	Sei $R[X]$ die Menge der Folgen in $R$ (siehe \propref{1_2_13}), die fast überall 0 sind, also
 	\begin{align}
 		R[X]:=\{(a_k)_{k \in \mathbb N_0} \mid \forall k(a_k \in R) \land \exists n_0: \forall k>n_0(a_k=0)\} \notag
 	\end{align}
@@ -26,7 +26,7 @@ Wir definieren Addition und Multiplikation auf $R[X]$:
 \begin{itemize}
 	\item $(a_k)_{k \in \mathbb N_0}+(b_k)_{k \in \mathbb N_0}=(a_k+b_k)_{k \in \mathbb N_0}$
 	\item $(a_k)_{k \in \mathbb N_0}\cdot (b_k)_{k \in \mathbb N_0}=(c_k)_{k \in \mathbb N_0}$ mit 
-	$c_k = \sum \limits_{j=0}^{k} a_jb_{k-j}$
+	$c_k = \sum _{j=0}^{k} a_jb_{k-j}$
 \end{itemize}
 $\newline$
 
@@ -75,13 +75,14 @@ man $f$ \begriff[Polynom!]{konstant}, \begriff[Polynom!]{linear} bzw. \begriff[P
 \end{proof}
 
 \begin{theorem}[Polynomdivision]
+	\proplbl{1_6_5}
 	Sei $K$ ein Körper und sei $0 \neq g \in K[X]$. Für jedes Polynom
 	$f \in K[X]$ gibt es eindeutig bestimmte $g,h,r \in K[X]$ mit $f=gh+r$ und $\deg(r)<\deg(g)$. 
 \end{theorem}
 \begin{proof}
 	Existenz und Eindeutigkeit
 	\begin{itemize}
-		\item Existenz: Sei $n=\deg(f)$, $m=\deg(g)$, $f=\sum \limits_{k=0}^{n} a_kX^k$, $g=\sum \limits_{k=0}^{m} b_kX^k$ \\
+		\item Existenz: Sei $n=\deg(f)$, $m=\deg(g)$, $f=\sum _{k=0}^{n} a_kX^k$, $g=\sum _{k=0}^{m} b_kX^k$ \\
 		Induktion nach $n$ bei festem $g$. \\
 		IA: Ist $n<m$, so wählt man $h=0$ und $r=f$.\\
 		IB: Wir nehmen an, dass die Aussage für alle Polynome vom Grad kleiner als $n$ gilt.\\
@@ -99,11 +100,12 @@ man $f$ \begriff[Polynom!]{konstant}, \begriff[Polynom!]{linear} bzw. \begriff[P
 	Polynomdivision durchzuführen.
 \end{remark}
 
-\begin{example}
+\begin{*example}
 	in $\mathbb Q[X]$: $(x^3+x^2+1):(x^2+1)=x+1$ Rest $-x$
-\end{example}
+\end{*example}
 
 \begin{definition}[Nullstelle]
+	\propref{1_6_7}
 	Sei $f(X)=\sum_{k \ge 0} a_kX^k \in \mathbb R[X]$. Für $\lambda \in
 	\mathbb R$ definiert man die Auswertung von $f$ in $\lambda$ $f(\lambda)=\sum_{k \ge 0} a_k\lambda^k
 	\in \mathbb R$. Das Polynom $f$ liefert auf diese Weise eine Abbildung $\tilde f: \mathbb R \to \mathbb R$ und
@@ -112,6 +114,7 @@ man $f$ \begriff[Polynom!]{konstant}, \begriff[Polynom!]{linear} bzw. \begriff[P
 \end{definition}
 
 \begin{lemma}
+	\proplbl{1_6_8}
 	Für $f,g \in \mathbb R[X]$ und $\lambda \in \mathbb R$i ist 
 	\begin{align}
 		(f+g)(\lambda)&=f(\lambda)+g(\lambda)\notag\\
@@ -119,28 +122,29 @@ man $f$ \begriff[Polynom!]{konstant}, \begriff[Polynom!]{linear} bzw. \begriff[P
 	\end{align}
 \end{lemma}
 \begin{proof}
-	Ist $f=\sum \limits_{k \ge 0} a_kX^k$ und $g=\sum \limits_{k\ge 0} b_kX^k$, so ist \\
+	Ist $f=\sum _{k \ge 0} a_kX^k$ und $g=\sum _{k\ge 0} b_kX^k$, so ist \\
 	\begin{align}
-		f(\lambda)+g(\lambda)&=\sum \limits_{k \ge 0} a_k\lambda^k + \sum \limits_{k\ge 0} b_k\lambda^k \notag \\
-		&= \sum \limits_{k\ge 0} (a_k+b_k)\lambda^k\notag \\
+		f(\lambda)+g(\lambda)&=\sum _{k \ge 0} a_k\lambda^k + \sum _{k\ge 0} b_k\lambda^k \notag \\
+		&= \sum _{k\ge 0} (a_k+b_k)\lambda^k\notag \\
 		&=(f+g)(\lambda)\notag
 	\end{align}
 	und 
 	\begin{align}
-		f(\lambda)\cdot g(\lambda)&= \sum \limits_{k\ge 0} a_k\lambda^k \cdot \sum \limits_{k\ge 0} b_k\lambda^k\notag \\
-		&= \sum \limits_{k \ge 0} \sum \limits_{i+j=k} (a_i+b_j)\lambda^k \notag \\
+		f(\lambda)\cdot g(\lambda)&= \sum _{k\ge 0} a_k\lambda^k \cdot \sum _{k\ge 0} b_k\lambda^k\notag \\
+		&= \sum _{k \ge 0} \sum _{i+j=k} (a_i+b_j)\lambda^k \notag \\
 		&= (fg)(\lambda) \notag
 	\end{align}
 \end{proof}
 
 \begin{proposition}
+	\proplbl{1_6_9}
 	Ist $K$ ein Körper und $\lambda \in K$ eine Nullstelle von $f \in K[X]$ so gibt es ein
 	eindeutig bestimmtes $h \in K[X]$ mit $f(X)=(X-\lambda)\cdot h(x)$.
 \end{proposition}
 \begin{proof}
-	Es gibt $h,r \in K[X]$ mit $f(X)=(X-\lambda)\cdot h(x)+r(x)$ und $\deg(r)<\deg(X-\lambda)=1$, also $r \in
+	Nach \propref{1_6_5} gibt es gibt $h,r \in K[X]$ mit $f(X)=(X-\lambda)\cdot h(x)+r(x)$ und $\deg(r)<\deg(X-\lambda)=1$, also $r \in
 	K$. Da $\lambda$ Nullstelle von $f$ ist, gilt $0=f(\lambda)=(\lambda-\lambda)\cdot h(\lambda)+r(\lambda)=
-	r(\lambda)$. Hieraus folgt $r=0$. Eindeutigkeit folgt aus Eindeutigkeit der Polynomdivision.
+	r(\lambda)$ nach \propref{1_6_8}. Hieraus folgt $r=0$. Eindeutigkeit folgt aus Eindeutigkeit in \propref{1_6_5}.
 \end{proof}
 
 \begin{conclusion}
@@ -183,7 +187,7 @@ man $f$ \begriff[Polynom!]{konstant}, \begriff[Polynom!]{linear} bzw. \begriff[P
 	Für einen Körper $K$ sind äquivalent:
 	\begin{itemize}
 		\item Jedes Polynom $f \in K[X]$ mit $\deg(f)>0$ hat eine Nullstelle in $K$.
-		\item Jedes Polynom $f \in K[X]$ zerfällt in Linearfaktoren, also $f(X)=a\cdot \prod \limits_{i=1}^n 
+		\item Jedes Polynom $f \in K[X]$ zerfällt in Linearfaktoren, also $f(X)=a\cdot \prod _{i=1}^n 
 		(X-\lambda_i)$ mit $n=\deg(f), a, \lambda_i \in K$.
 	\end{itemize}
 \end{proposition}
@@ -192,9 +196,9 @@ man $f$ \begriff[Polynom!]{konstant}, \begriff[Polynom!]{linear} bzw. \begriff[P
 		\item $1 \Rightarrow 2:$ Induktion nach $n=\deg(f)$ \\
 		Ist $n\le0$, so ist nichts zu zeigen. \\
 		Ist $n>0$, so hat $f$ eine Nullstelle $\lambda_n \in K$, somit $f(X)=(X-\lambda_n)\cdot g(X)$ mit $g(X) \in K[X]$
-		und $\deg(g)=n-1$, Nach IV ist $g(X)=a\cdot \prod \limits_{i=1}^n (X-\lambda_i)$. Somit ist $f(X)=a\cdot \prod 
-		\limits_{i=1}^n (X-\lambda_i)$.
-		\item $2 \Rightarrow 1:$ Sei $f \in K[X]$ mit $n=\deg(f)>0$. Damit gilt $f(X)=a\cdot \prod \limits_{i=1}^n (X-\lambda_i)$.
+		und $\deg(g)=n-1$, Nach IV ist $g(X)=a\cdot \prod _{i=1}^n (X-\lambda_i)$. Nach \propref{1_6_9} ist $f(X)=a\cdot \prod 
+		_{i=1}^n (X-\lambda_i)$.
+		\item $2 \Rightarrow 1:$ Sei $f \in K[X]$ mit $n=\deg(f)>0$. Damit gilt $f(X)=a\cdot \prod _{i=1}^n (X-\lambda_i)$.
 		Da $n>0$, hat $f$ z.B. die Nullstelle $\lambda_1$.
 	\end{itemize}
 \end{proof}
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 \title{\textbf{Lineare Algebra WS2017/18}}
 \author{Dozent: Prof. Dr. Arno Fehm}