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63
1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Abbildungen.tex
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@ -1,21 +1,23 @@
\section{Abbildungen}
\subsubsection{Überblick über Abbildungen}
Eine \begriff{Abbildung} $f$ von eine Menge $X$ in einer Menge $Y$ ist eine Vorschrift, die jedem $x \in X$
auf eindeutige Weise genau ein Element $f(x) \in Y$ zuordnet. Man schreibt dies als
\begin{align}
f:
\begin{cases}
X \to Y \\ x \mapsto y
\end{cases}\notag
\end{align}
oder $f: X \to Y, x \mapsto y$ oder noch einfacher $f: X \to Y$. Dabei heißt $X$ die
\begriff{Definitionsmenge} und $Y$ die \begriff{Zielmenge} von $f$. Zwei Abbildungen heißen \begriff[Abbildung!]{gleich}, wenn ihre
Definitionsmengen und Zielmengen gleich sind und sie jedem $x \in X$ das selbe Element
$y \in Y$ zuordnen. Die Abbildungen von $X$ nach $Y$ bilden wieder eine Menge, welche wir
mit $\Abb(X,Y)$ bezeichnen. \\
\begin{overview}[Abbildungen]
Eine \begriff{Abbildung} $f$ von eine Menge $X$ in einer Menge $Y$ ist eine Vorschrift, die jedem $x \in X$
auf eindeutige Weise genau ein Element $f(x) \in Y$ zuordnet. Man schreibt dies als
\begin{align}
f:
\begin{cases}
X \to Y \\ x \mapsto y
\end{cases}\notag
\end{align}
oder $f: X \to Y, x \mapsto y$ oder noch einfacher $f: X \to Y$. Dabei heißt $X$ die
\begriff{Definitionsmenge} und $Y$ die \begriff{Zielmenge} von $f$. Zwei Abbildungen heißen \begriff[Abbildung!]{gleich}, wenn ihre
Definitionsmengen und Zielmengen gleich sind und sie jedem $x \in X$ das selbe Element
$y \in Y$ zuordnen. Die Abbildungen von $X$ nach $Y$ bilden wieder eine Menge, welche wir
mit $\Abb(X,Y)$ bezeichnen.
\end{overview}
\begin{example}
\proplbl{1_2_2}
\begin{itemize}
\item Abbildungen mit Zielmenge $\mathbb R$ nennt man Funktion: $f: \mathbb R \to \mathbb
R, x \mapsto x^2$
@ -58,8 +60,17 @@ mit $\Abb(X,Y)$ bezeichnen. \\
\end{itemize}
\end{example}
\begin{example}
\begin{itemize}
\item Die identische Abbildung $\id_X:X\to X$ ist stets bijektiv.
\item Für jede Teilmenge $A\subseteq X$ ist die Inklusionsabbildung $\iota_A:A\to X$ injektiv, aber im Allgemeinen nicht surjektiv.
\item Die Funktion $f:\real\to\real_{\ge 0}$ mit $x\mapsto x^2$ ist surjektiv, aber nicht injektiv.
\item Die Funktion $f:\real\to\real$ mit $x\mapsto x^3$ ist bijektiv.
\end{itemize}
\end{example}
\begin{definition}[Einschränkung]
\proplbl{1_2_6}
Sei $f: x \mapsto y$ eine Abbildung. Für $A \subset X$
definiert man die \begriff{Einschränkung}/Restrikton von $f$ auf $A$ als die Abbildung
\begin{align}
@ -73,6 +84,7 @@ mit $\Abb(X,Y)$ bezeichnen. \\
\end{definition}
\begin{remark}
\proplbl{1_2_7}
Man ordnet der Abbildung $f: X \to Y$ auch die Abbildungen $\mathcal P(X) \to \mathcal P(Y)$ und
$\mathcal P(Y) \to \mathcal P(X)$ auf den Potenzmengen zu. Man benutzt hier das gleiche
Symbol $f(…)$ sowohl für die Abbildung $f: X \to Y$ als auch für $f: P(X) \to P(Y)$, was
@ -80,11 +92,12 @@ mit $\Abb(X,Y)$ bezeichnen. \\
In anderen Vorlesungen wird für $y \in Y$ auch $f^{-1}(y)$ statt $f^{-1}(\{y\})$ geschrieben. \\
\end{remark}
\begin{example}
\begin{remark}
\proplbl{1_2_8}
Genau dann ist $f: X \to Y$ surjektiv, wenn $\Image(f)=Y$ \\
Genau dann ist $f: X \to Y \begin{cases} $injektiv$ \\ $surjektiv$ \\ $bijektiv$ \end{cases}$, wenn
$|f^{-1}(\{y\})| = \begin{cases} \le 1 \\ \ge 1 \\ =1 \end{cases} \quad \forall y \in Y$ \\
\end{example}
\end{remark}
\begin{definition}[Komposition]
Sind $f: X \to Y$ und $g: Y \to Z$ Abbildungen, so ist die
@ -98,6 +111,7 @@ mit $\Abb(X,Y)$ bezeichnen. \\
\end{definition}
\begin{proposition}
\proplbl{1_2_10}
Die Abbildung von Kompositionen ist assoziativ, d.h. es gilt:
\begin{align}
h \circ (g \circ f) = (h \circ g)\circ f\notag
@ -111,7 +125,7 @@ mit $\Abb(X,Y)$ bezeichnen. \\
\begin{definition}[Umkehrabbildung]
Ist $f: X \to Y$ bijektiv, so gibt es zu jedem $y \in Y$
genau ein $x_y \in X$ mit $f(x_y)=y$, durch
genau ein $x_y \in X$ mit $f(x_y)=y$ (\propref{1_2_7}), durch
\begin{align}
f^{-1}: \begin{cases}
Y \to X \\ y \mapsto x_y
@ -129,21 +143,22 @@ mit $\Abb(X,Y)$ bezeichnen. \\
\end{proposition}
\begin{proof}
Es ist $f^{-1}\in \Abb(X,X)$ und $f\circ f^{-1}\in \Abb(Y,Y)$. Für $y\in Y$ ist $(f\circ f^{-1})(x)=
f(f^{-1}(y))=y=id_Y$. Für $x\in X$ ist deshalb $f((f^{-1}\circ f)(x))=(f\circ (f^{-1}\circ f))(x)=
((f\circ f^{-1})\circ f)(x)=(id_Y \circ f)(x)=f(x)$. Da $f$ injektiv, folgt $f^{-1}\circ f=id_X$.
f(f^{-1}(y))=y=\id_Y$. Für $x\in X$ ist deshalb $f((f^{-1}\circ f)(x))=(f\circ (f^{-1}\circ f))(x)\overset{\propref{1_2_10}}{=}
((f\circ f^{-1})\circ f)(x)=(\id_Y \circ f)(x)=f(x)$. Da $f$ injektiv, folgt $f^{-1}\circ f=\id_X$.
\end{proof}
\begin{remark}
\proplbl{1_2_13}
Achtung, wir verwenden hier das selbe Symbol $f^{-1}$ für zwei verschiedene Dinge: Die Abbildung
$f^{-1}: \mathcal P(X) \to \mathcal P(Y)$ existiert für jede Abbildung $f: X \to Y$, aber die
Umkehrabbildung $f^{-1}: Y \to X$ existiert nur für bijektive Abbildungen $f: X \to Y$.
$f^{-1}: \mathcal P(X) \to \mathcal P(Y)$ aus \propref{1_2_6} existiert für jede Abbildung $f: X \to Y$, aber die
Umkehrabbildung $f^{-1}: Y \to X$ aus \propref{1_2_10} existiert nur für bijektive Abbildungen $f: X \to Y$.
\end{remark}
\begin{definition}[Familie]
Seien $I$ und $X$ Mengen. Eine Abbildung $x: I \to X, i \mapsto
x_i$ nennt man \begriff{Familie} von Elementen von $X$ mit einer Indexmenge I (oder I-Tupel von
Elementen von $X$) und schreibt diese auch als $(x_i)_{i \in I}$. Im Fall $I=\{1,2,...,n\}$
identifiziert man die I-Tupel auch mit den n-Tupeln. Ist $(x_i)_{i \in I}$ eine Familie von
identifiziert man die I-Tupel auch mit den n-Tupeln aus \propref{1_1_8}. Ist $(x_i)_{i \in I}$ eine Familie von
Teilmengen einer Menge $X$, so ist
\begin{itemize}
\item $\bigcup X_i = \{x \in X \mid \exists i \in I(x \in X)\}$
@ -169,4 +184,8 @@ mit $\Abb(X,Y)$ bezeichnen. \\
x \in X$ genau ein Paar $(x,y)$ mit $y \in Y$ enthält. Die Abbildungsvorschrift schickt dann
$x \in X$ auf das eindeutig bestimmte $y \in Y$ mit $(x,y) \in \Gamma$. Es ist dann $\Gamma =
\Gamma_f$.
\end{remark}
\begin{remark}
In anderen Vorlesungen wird die Zielmenge nicht immer als Teil der Definition einer Abbildung aufgefasst, d.h. man betrachtet zwei Abbildungen $f:X\to Y$ und $g:X\to Z$ mit gleicher Definitionsmenge dann als gleich, wenn $f(x)=g(x)$ für alle $x\in X$. Dies ist gleichbedeutend mit $\Gamma_f=\Gamma_g$. So würde man dann zum Beispiel $f_1$ und $f_2$ aus \propref{1_2_2} als gleich auffassen.
\end{remark}

38
1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Basis_und_Dimension.tex
View file

@ -14,6 +14,9 @@
Sei $(x_i)$ eine Familie von Elementen von $V$. Genau dann ist $(x_i)$ eine Basis von $V$,
wenn sich jedes $x \in V$ auf eindeutige Weise als Linearkombination der $(x_i)$ schreiben lässt.
\end{proposition}
\begin{proof}
Dies folgt sofort aus \propref{2_2_10}
\end{proof}
\begin{example}
\begin{itemize}
@ -27,6 +30,7 @@
\end{example}
\begin{proposition}
\propref{2_3_5}
Für eine Familie $(x_i)$ von Elementen von $V$ sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item $B$ ist eine Basis von $V$.
@ -39,13 +43,13 @@
\begin{itemize}
\item $1 \Rightarrow 2$: Sei $B$ eine Basis von $V$ und $J$ eine echte Teilmenge von $I$. Nach Definition ist $B$ ein
Erzeugendensystem. Wähle $i_0 \in I\backslash J$. Da $(x_i)$ linear unabhängig ist, ist $x_{i_0}$ keine Element
$\Span_K((x_i)_{i \in I\backslash \{i_0\}}) \ge \Span_K((x_i)_{i \in J})$. Insbesondere ist $(x_i)_{i\in J}$ kein
$\Span_K((x_i)_{i \in I\backslash \{i_0\}}) \supseteq \Span_K((x_i)_{i \in J})$ (\propref{2_2_9}). Insbesondere ist $(x_i)_{i\in J}$ kein
Erzeugendensystem von $V$.
\item $2 \Rightarrow 3$: Sei $B$ ein minimales Erzeugendensystem und $(x_i)_{i \in J}$ eine Familie mit $J$ echter
Obermenge von $I$. Wäre $(x_i)$ linear abhängig, so gäbe es ein $i_0$ mit $\Span_K((x_i)_{i \in I\backslash
\{i_0\}}) = \Span_K((x_i)_{i \in I})=V$ im Widerspruch zur Minimalität von $B$. Also ist $B=(x_i)$ linear
unabhängig. Wähle $j_0 \in J\backslash I$. Dann ist $x_{j_0} \in V=\Span_K(x_i) \le \Span_K((x_i)_{i \in
J\backslash \{j_0\}})$ und somit ist $(x_i)_{i\in J}$ linear abhängig.
J\backslash \{j_0\}})$ und somit ist $(x_i)_{i\in J}$ linear abhängig nach \propref{2_2_9}.
\item $3 \Rightarrow 1$: Sei $B$ nun maximal linear unabhängig. Angenommen $B$ wäre kein Erzeugendensystem.
Dann gibt es ein $x\in V \backslash \Span_K(x_i)$. Definiere $J=I \cup \{j_0\}$ mit $j_0 \notin I$ und $x_{j_0}:=x$.
Aufgrund der Maximalität von $B$ ist $(x_i)$ linear abhängig, es gibt als Skalare $\lambda$, $(\lambda_i)$, nicht
@ -66,23 +70,25 @@
\text{J ist Erzeugendensystem von }V\}$. Da $I$ endlich ist, ist auch $\mathcal J$ endlich. Da $(x_i)$
Erzeugendensystem ist, ist $I\in J$, insbesondere $\mathcal J\neq\emptyset$. Es gibt deshalb ein bezüglich
Inklusion minimales $J_0\in \mathcal J$, d.h. $J_1 \in \mathcal J$ so gilt nicht $J_1 \subsetneq J_0$. Deshalb
ist $(x_i)_{i\in J_0}$ eine Basis von $V$.
ist $(x_i)_{i\in J_0}$ eine Basis von $V$ (\propref{2_3_5}).
\end{proof}
\begin{conclusion}
\proplbl{2_3_7}
Jeder endlich erzeugte $K$-Vektorraum besitzt eine endliche Basis.
\end{conclusion}
\begin{remark}
\begin{itemize}
\item Der Beweis des Theorems liefert ein konstruktives Verfahren: Ist $(x_1,...,x_n)$ ein endliches
Erzeugendensystem von $V$, so prüfe man, ob es ein $i_0$ mit $x_{i_0} \in \Span_K((x_i)_{i\neq i_0})$ gibt.
Falls Nein, ist $(x_1,...,x_n)$ eine Basis von $V$. Falls Ja, macht man mit $(x_1,...,x_{i_{0-1}}, x_{i_{0+1}},
...,x_n)$ weiter.
\item Man kann jedoch zeigen, dass jeder Vektorraum eine Basis besitzt. Die Gültigkeit der Aussage hängt jedoch
von bestimmten mengentheoretischen Axiomen ab, auf die wir an dieser Stelle nicht eingehen werden. Siehe dazu
LAAG 2. Semester.
\end{itemize}
Der Beweis von \propref{2_3_6} liefert ein konstruktives Verfahren: Ist $(x_1,...,x_n)$ ein endliches
Erzeugendensystem von $V$, so prüfe man, ob es ein $i_0$ mit $x_{i_0} \in \Span_K((x_i)_{i\neq i_0})$ gibt.
Falls Nein, ist $(x_1,...,x_n)$ eine Basis von $V$. Falls Ja, macht man mit $(x_1,...,x_{i_{0-1}}, x_{i_{0+1}},
...,x_n)$ weiter.
\end{remark}
\begin{remark}
Man kann jedoch zeigen, dass jeder Vektorraum eine Basis besitzt. Die Gültigkeit der Aussage hängt jedoch
von bestimmten mengentheoretischen Axiomen ab, auf die wir an dieser Stelle nicht eingehen werden. Siehe dazu
LAAG 2. Semester.
\end{remark}
\begin{lemma}[Austauschlemma]
@ -119,13 +125,13 @@
$V$ ist.
\end{proof}
\begin{conclusion}
\begin{conclusion}[Basisergänzungssatz]
Ist $V$ endlich erzeugt, so lässt sich jede linear unabhängige Familie zu einer Basis ergänzen:
Ist $(x_1,...,x_n)$ linear unabhängig, so gibt es $m\ge n$ und $x_{n+1},x_{n+2},...,x_m$ für die $(x_1,...,x_n,
x_{n+1},...,x_m)$ eine Basis von $V$ ist.
\end{conclusion}
\begin{proof}
Nach dem Basisauswahlsatz (\propref{2_3_6}) besitzt $V$ eine endliche Basis, die Behauptung folgt somit aus dem \person{Steinitz}'schen Austauschsatz (\propref{2_3_10}).
Nach dem Basisauswahlsatz (\propref{2_3_6} und \propref{2_3_7}) besitzt $V$ eine endliche Basis, die Behauptung folgt somit aus dem \person{Steinitz}'schen Austauschsatz (\propref{2_3_10}).
\end{proof}
\begin{conclusion}
@ -141,7 +147,7 @@
Ist $V$ endlich erzeugt, so haben alle Basen von $V$ die gleiche Mächtigkeit.
\end{conclusion}
\begin{proof}
Besitzt $V$ eine endliche Basis, so folgt deshalb die Behauptung aus \propref{2_3_12}.
$V$ besitzt eine endliche Basis (\propref{2_3_7}), deshalb folgt die Behauptung aus \propref{2_3_12}.
\end{proof}
\begin{definition}[Dimension]
@ -162,7 +168,7 @@
\begin{remark}
\begin{itemize}
\item $V$ ist genau dann endlich erzeugt, wenn $\dim_K(V)< \infty$.
\item $\dim_K(V)=\min\{|B| \mid \Span_K(B)=V\}=\max\{|B| \mid B\text{ linear unabhängig}\}$
\item Mit \propref{2_3_5} $\dim_K(V)=\min\{|B| \mid \Span_K(B)=V\}=\max\{|B| \mid B\text{ linear unabhängig}\}$
\end{itemize}
\end{remark}

7
1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Definition_und_Beispiele.tex
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@ -96,7 +96,7 @@ In diesem Kapitel sei $K$ ein Körper.
ist $W$ ein Untervektorraum.
\item $\Leftarrow$: Nach (UV1) und (UV2) lassen sich $+$ und $\cdot$ einschränken zu Abbildungen $+_w$: $W \times W \to W$ und
$\cdot_w$: $K \times W \to W$. Nach (UV1) ist abgeschlossen und unter der Addition und für $x \in W$ ist auch $-x=
(-1)x \in W$ nach (UV2), $W$ ist somit Untergruppe von $(V,+)$. Insbesondere ist $(W,+)$ eine abelsche Gruppe, erfüllt
(-1)x \in W$ nach (UV2), $W$ ist somit Untergruppe von $(V,+)$. Insbesondere ist $(W,+)$ eine abelsche Gruppe (\propref{1_3_14}), erfüllt
also (V1). Die Verträglichkeit (V2) ist für $\lambda,\mu \in K$ und $x,y \in W$ gegeben, da sie auch für $x,y \in V$
erfüllt ist. Somit ist $(W,+_w,\cdot_w)$ ein $K$-Vektorraum.
\end{itemize}
@ -117,13 +117,14 @@ In diesem Kapitel sei $K$ ein Körper.
\end{itemize}
\item In der Analysis werden Sie verschiedene Untervektorraum des $\mathbb R$-Vektorraum $\Abb(\mathbb R,\mathbb R)$ kennenlernen, etwa
den Raum $\mathcal C(\mathbb R,\mathbb R)$ der stetigen Funktionen und den Raum $\mathcal C^{-1}(\mathbb R,\mathbb
R)$ der stetig differenzierbaren Funktionen. Die Menge der Polynomfunktionen $\{\tilde f\mid \tilde f\in \mathbb R[X]\}$ bildet
R)$ der stetig differenzierbaren Funktionen. Die Menge der Polynomfunktionen $\{\tilde f\mid \tilde f\in \mathbb R[X]\}$ (vgl. \propref{1_6_7}) bildet
einen Untervektorraum des $\mathbb R$-Vektorraum $\mathcal C^{-1}(\mathbb R,\mathbb R)$
\end{itemize}
\end{example}
\begin{lemma}
\proplbl{2_1_10}
Ist $V$ ein Vektorraum und $(W_i)_{i \in I}$ eine Familie von Untervektorraum von $V$, so ist auch $W=\bigcap W_i$
ein Untervektorraum von $V$.
\end{lemma}
@ -141,7 +142,7 @@ In diesem Kapitel sei $K$ ein Körper.
\end{proposition}
\begin{proof}
Sei $\mathcal V$ die Menge aller Untervektorraum von $X$, die $X$ enthalten. Sei $W=\bigcap \mathcal V$. Damit ist
$W$ ein Untervektorraum von $V$ der $X$ enthält.
$W$ ein Untervektorraum (\propref{2_1_10}) von $V$ der $X$ enthält.
\end{proof}
\begin{definition}[Erzeugendensystem]

13
1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Gruppen.tex
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@ -12,8 +12,8 @@
\begin{example}
\begin{itemize}
\item Für jede Menge $X$ ist $(\Abb(X,Y), \circ)$ eine Halbgruppe mit dem neutralen Element
$id_x$, also ein Monoid.
\item Für jede Menge $X$ ist $(\Abb(X,Y), \circ)$ eine Halbgruppe (\propref{1_2_10}) mit dem neutralen Element
$\id_x$, also ein Monoid.
\item $\mathbb N$ bildet mit der Addition eine Halbgruppe $(\mathbb N,+)$, aber kein Monoid,
da die 0 nicht in Fehm's Definition der natürlichen Zahlen gehörte
\item $\mathbb N_0$ bildet mit der Addition ein Monoid $(\mathbb N_0,+)$
@ -61,7 +61,7 @@ Ein $x'$ heißt \begriff{inverses Element} zu $x$. \\
\begin{itemize}
\item Eine triviale Gruppe besteht nur aus ihrem neutralen Element. Tatsächlich ist $G=\{e\}$ mit
$e*e=e$ eine Gruppe.
\item Sei $X$ eine Menge. Die Menge $Sym(X) := \{f \in \Abb(X,X) \mid f$ ist bijektiv$\}$ der
\item Sei $X$ eine Menge. Die Menge $\Sym(X) := \{f \in \Abb(X,X) \mid f$ ist bijektiv$\}$ der
Permutationen von $X$ bildet mit der Komposition eine Gruppe $(\Sym(X),\circ)$, die
\begriff[Gruppe!]{symmetrische Gruppe} auf $X$. Für $n \in \mathbb N$ schreibt man $S_n := \Sym(\{1,2,...,n\})$.
Für $n \ge 3$ ist $S_n$ nicht abelsch.
@ -96,6 +96,7 @@ In abelschen Gruppen notiert man Ausdrücke auch mit dem Summen- und Produktzeic
\end{proof}
\begin{proposition}
\proplbl{1_3_10}
Sei $(G,\cdot)$ eine Gruppe. Für $a,b \in G$ haben die Gleichungen $ax=b$ und
$ya=b$ eindeutige Lösungen in $G$, nämlich $x=a^{-1} \cdot b$ und $y=b \cdot a^{-1}$.
Insbesondere gelten die folgenden Kürzungsregeln: $ax=ay \Rightarrow x=y$ und $xa=ya
@ -162,6 +163,7 @@ In abelschen Gruppen notiert man Ausdrücke auch mit dem Summen- und Produktzeic
\end{definition}
\begin{proposition}
\proplbl{1_3_14}
Sei $(G,\cdot)$ eine Gruppe und $\emptyset \neq H \subset G$. Genau dann ist
$H$ eine Untergruppe von $G$, wenn sich die Verknüpfung $\cdot: G \times G \to G$ zu einer
Abbildung $\cdot_H: H \times H \to H$ einschränken lässt (d.h. $\cdot\vert_{H \times H}=
@ -187,6 +189,7 @@ In abelschen Gruppen notiert man Ausdrücke auch mit dem Summen- und Produktzeic
\end{remark}
\begin{example}
\proplbl{1_3_16}
\begin{itemize}
\item Jede Gruppe $G$ hat die triviale Untergruppe $H=\{e_G\}$ und $H=G$
\item Ist $H \le G$ und $K \le H$, so ist $K \le G$ (Transitivität)
@ -220,7 +223,7 @@ In abelschen Gruppen notiert man Ausdrücke auch mit dem Summen- und Produktzeic
eine weitere Untergruppe von $G$, die $X$ enthält, so ist $H \subset H'$.
\end{proposition}
\begin{proof}
Sei $\mathcal{H}$ die Menge aller Untergruppen von $G$, die $X$ enthalten. Nach \propref{1_3_17} %TODO: Verlinkung
Sei $\mathcal{H}$ die Menge aller Untergruppen von $G$, die $X$ enthalten. Nach \propref{1_3_17}
ist $H:=
\bigcap \mathcal{H} := \bigcap H$ eine Untergruppe von $G$. Da $X \subset H'$ für jedes $H' \in
\mathcal H$ ist auch $X \subset H$. Nach Definition ist $H$ in jedem $H' \le G$ mit $X \subset H'$
@ -240,7 +243,7 @@ In abelschen Gruppen notiert man Ausdrücke auch mit dem Summen- und Produktzeic
\item Die leere Menge $X=\emptyset \le G$ erzeugt stets die triviale Untergruppe $\langle \emptyset\rangle
=\{e\} \le G$
\item Jede endliche Gruppe $G$ ist endlich erzeugt $G=\langle G\rangle$
\item Für $n \in \mathbb{N}_0$ ist $n\mathbb{Z}=\langle n\rangle \le \mathbb{Z}$. Ist $H \le \mathbb{Z}$
\item Für $n \in \mathbb{N}_0$ ist $n\mathbb{Z}=\langle n\rangle \le \mathbb{Z}$. Nach \propref{1_3_16} ist $n\in n\whole\le\whole$. Ist $H \le \mathbb{Z}$
mit $n \in H$, so ist auch $kn=nk=n+n+...+n \in H$ und somit auch $n\mathbb{Z} \le H$.
\end{itemize}
\end{example}

17
1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Koerper.tex
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@ -6,7 +6,7 @@
\end{definition}
\begin{remark}
Ein Körper ist stets nullteilerfrei und $(K\backslash\{0\}, \cdot)$ ist eine abelsche
Nach \propref{1_4_13} ist ein Körper ist stets nullteilerfrei und $(K\backslash\{0\}, \cdot)$ ist eine abelsche
Gruppe. Ein Körper ist also ein Tripel $(K,+,\cdot)$ bestehend aus einer Menge $K$ und 2 Verknüpfungen
$+: K \times K \to K$ und $\cdot: K \times K \to K$, für die gelten: \\
(K1): $(K,+)$ ist eine abelsche Gruppe \\
@ -49,21 +49,22 @@
\begin{lemma}
\proplbl{1_5_7}
Sei $a \in \mathbb Z$ und sei $p$ eine Primzahl, die $a$ nicht teilt. Dann gibt es $b,k \in
\mathbb Z$ mit $ab+kp=1$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Sei $n \in \mathbb N$ die kleinste natürliche Zahl der Form $n=ab+kp$. Angenommen, $n \ge 2$. Schreibe
$a=qp+r$ mit $q,r \in \mathbb Z$ und $0 \le r < p$. Aus der Nichtteilbarkeit von $a$ folgt $r \neq 0$, also
$a=qp+r$ mit $q,r \in \mathbb Z$ und $0 \le r < p$ (\propref{1_4_6}). Aus der Nichtteilbarkeit von $a$ folgt $r \neq 0$, also
$r \in \mathbb N$. Wegen $r=a\cdot 1-qp$ ist $n\le r$. Da $p$ Primzahl ist und $2\le n\le r < p$, gilt $n$ teilt
nicht $p$. Schreibe $p=c\cdot n+m$ mit $c,m \in \mathbb Z$ und $0 \le m<n$. Aus $n$ teilt nicht $p$ folgt
nicht $p$. Schreibe $p=c\cdot n+m$ mit $c,m \in \mathbb Z$ und $0 \le m<n$ (\propref{1_4_6}). Aus $n$ teilt nicht $p$ folgt
$m \neq 0$, also $m \in \mathbb N$. Da $m=p-cn=-abc+(1-kc)p$, ist $m<n$ ein Widerspruch zur Minimalität
von $n$. Die Annahme $n \ge 2$ war somit falsch. Es gilt $n=1$.
\end{proof}
\begin{example}[Endliche Primkörper]
Für jede Primzahl $p$ ist $\mathbb Z /p \mathbb Z$ ein Körper. Ist $\overline{a}\neq \overline{0}$, so gilt
$p$ teilt nicht $a$ und somit gibt es $b,k \in \mathbb Z$ mit \\
$p$ teilt nicht $a$ und somit gibt es nach \propref{1_5_7} $b,k \in \mathbb Z$ mit \\
\begin{align}
ab+kp &= 1 \notag \\
\overline{(ab+kp)} &= \overline{1} = \overline{(ab)} = \overline{a} \cdot \overline{b} \notag
@ -84,3 +85,11 @@
\end{itemize}
Insbesondere ist $\mathbb Z /p \mathbb Z$ nullteilerfrei, d.h. aus $p\vert ab$ folgt $p\vert a$ oder $p\vert b$.
\end{proof}
\begin{remark}
Ist $K$ ein Körper und $a,b\in K$, $b\neq 0$, so schreiben wir $\frac{a}{b}$ für $ab^{-1}=b^{-1}a$. Es gelten die bekannten Rechenregeln für Brüche (vgl. \propref{1_3_10}):
\begin{align}
\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}&=\frac{a_1b_2+a_2b_1}{b_1b_2}\notag \\
\frac{a_1}{b_1}\cdot\frac{a_2}{b_2}&=\frac{a_1a_2}{b_1b_2}\notag
\end{align}
\end{remark}

2
1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Linearkombinationen.tex
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@ -99,6 +99,7 @@ Sei $V$ ein $K$-Vektorraum.
\end{remark}
\begin{proposition}
\proplbl{2_2_9}
Genau dann ist $(x_i)$ linear abhängig, wenn es $i_0 \in I$ gibt mit $x_{i_0} \in \Span_K((x_i)_{i\in
I\backslash\{i_0\}})$. In diesem Fall ist $\Span_K((x_i)_{i\in I})=\Span_K((x_i)_{i\in I\backslash\{i_0\}})$.
\end{proposition}
@ -121,6 +122,7 @@ Sei $V$ ein $K$-Vektorraum.
\end{proof}
\begin{proposition}
\proplbl{2_2_10}
Genau dann ist $(x_i)$ linear unabhängig, wenn sich jedes $x\in \Span_K((x_i))$ in eindeutiger Weise
als Linearkombination der $(x_i)$ schreiben lässt, d.h. $x=\sum_{i\in I} \lambda_i\cdot x_i=\sum_{i
\in I} \lambda'_i\cdot x_i$, so ist $\lambda_i=\lambda'_i$

172
1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Logik_und_Mengen.tex
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@ -1,98 +1,101 @@
\section{Logik und Mengen}
Wir werden die Grundlagen der Logik und der Mengenlehre kurz ansprechen.
\subsubsection{Überblick über die Aussagenlogik}
Jede mathematisch sinnvolle Aussage ist entweder wahr oder falsch, aber nie beides!
\begin{itemize}
\item "'$1+1=2$"' $\to$ wahr
\item "'$1+1=3$"' $\to$ falsch
\item "'Es gibt unendlich viele Primzahlen"' $\to$ wahr
\end{itemize}
Man ordnet jeder mathematischen Aussage $A$ einen Wahrheitswert "'wahr"' oder "'falsch"' zu. Aussagen
lassen sich mit logischen Verknüpfungen zu neuen Aussagen zusammensetzen.
\begin{itemize}
\item $\lor \to$ oder
\item $\land \to$ und
\item $\lnot \to$ nicht
\item $\Rightarrow \to$ impliziert
\item $\iff \to$ äquivalent
\end{itemize}
Sind also $A$ und $B$ zwei Aussagen, so ist auch $A \lor B$, $A \land B$, $\lnot A$,
$A \Rightarrow B$ und $A \iff B$ Aussagen. Der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage ist
eindeutig bestimmt durch die Wahrheitswerte ihrer Einzelaussagen.
\begin{itemize}
\item $\lnot (1+1=3) \to$ wahr
\item "'2 ist ungerade"' $\Rightarrow$ "'3 ist gerade"' $\to$ wahr
\item "'2 ist gerade"' $\Rightarrow$ "'Es gibt unendlich viele Primzahlen"' $\to$ wahr
\end{itemize}
$\newline$
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$A$ & $B$ & $A \lor B$ & $A \land B$ & $\lnot A$ & $A \Rightarrow B$ & $A \iff B$\\
\hline
w & w & w & w & f & w & w\\
\hline
w & f & w & f & f & f & f\\
\hline
f & w & w & f & w & w & f\\
\hline
f & f & f & f & w & w & w\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{overview}[Aussagenlogik]
Jede mathematisch sinnvolle Aussage ist entweder wahr oder falsch, aber nie beides!
\begin{itemize}
\item "'$1+1=2$"' $\to$ wahr
\item "'$1+1=3$"' $\to$ falsch
\item "'Es gibt unendlich viele Primzahlen"' $\to$ wahr
\end{itemize}
Man ordnet jeder mathematischen Aussage $A$ einen Wahrheitswert "'wahr"' oder "'falsch"' zu. Aussagen
lassen sich mit logischen Verknüpfungen zu neuen Aussagen zusammensetzen.
\begin{itemize}
\item $\lor \to$ oder
\item $\land \to$ und
\item $\lnot \to$ nicht
\item $\Rightarrow \to$ impliziert
\item $\iff \to$ äquivalent
\end{itemize}
Sind also $A$ und $B$ zwei Aussagen, so ist auch $A \lor B$, $A \land B$, $\lnot A$,
$A \Rightarrow B$ und $A \iff B$ Aussagen. Der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage ist
eindeutig bestimmt durch die Wahrheitswerte ihrer Einzelaussagen.
\begin{itemize}
\item $\lnot (1+1=3) \to$ wahr
\item "'2 ist ungerade"' $\Rightarrow$ "'3 ist gerade"' $\to$ wahr
\item "'2 ist gerade"' $\Rightarrow$ "'Es gibt unendlich viele Primzahlen"' $\to$ wahr
\end{itemize}
$\newline$
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$A$ & $B$ & $A \lor B$ & $A \land B$ & $\lnot A$ & $A \Rightarrow B$ & $A \iff B$\\
\hline
w & w & w & w & f & w & w\\
\hline
w & f & w & f & f & f & f\\
\hline
f & w & w & f & w & w & f\\
\hline
f & f & f & f & w & w & w\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{overview}
\subsubsection{Überblick über die Prädikatenlogik}
Wir werden die Quantoren
\begin{itemize}
\item $\forall$ (Allquantor, "'für alle"') und
\item $\exists$ (Existenzquantor, "'es gibt"') verwenden.
\end{itemize}
Ist $P(x)$ eine Aussage, deren Wahrheitswert von einem unbestimmten $x$ abhängt, so ist \\
$\forall x: P(x)$ genau dann wahr, wenn $P(x)$ für alle $x$ wahr ist, \\
$\exists x: P(x)$ genau dann wahr, wenn $P(x)$ für mindestens ein $x$ wahr ist. \\
$\newline$
Insbesondere ist $\lnot \forall x: P(x)$ genau dann wahr, wenn $\exists x: \lnot P(x)$ wahr ist. \\
Analog ist $\lnot \exists x: P(x)$ genau dann wahr, wenn $\forall x: \lnot P(x)$ wahr ist.
\begin{overview}[Prädikatenlogik]
Wir werden die Quantoren
\begin{itemize}
\item $\forall$ (Allquantor, "'für alle"') und
\item $\exists$ (Existenzquantor, "'es gibt"') verwenden.
\end{itemize}
Ist $P(x)$ eine Aussage, deren Wahrheitswert von einem unbestimmten $x$ abhängt, so ist \\
$\forall x: P(x)$ genau dann wahr, wenn $P(x)$ für alle $x$ wahr ist, \\
$\exists x: P(x)$ genau dann wahr, wenn $P(x)$ für mindestens ein $x$ wahr ist. \\
$\newline$
Insbesondere ist $\lnot \forall x: P(x)$ genau dann wahr, wenn $\exists x: \lnot P(x)$ wahr ist. \\
Analog ist $\lnot \exists x: P(x)$ genau dann wahr, wenn $\forall x: \lnot P(x)$ wahr ist.
\end{overview}
\subsubsection{Überblick über die Beweise}
Unter einem Beweis verstehen wir die lückenlose Herleitung einer mathematischen Aussage aus einer
Menge von Axiomen, Voraussetzungen und schon früher bewiesenen Aussagen. \\
Einige Beweismethoden:
\begin{itemize}
\item \textbf{Widerspruchsbeweis} \\
Man nimmt an, dass eine zu beweisende Aussage $A$ falsch sei und leitet daraus ab, dass eine
andere Aussage sowohl falsch als auch wahr ist. Formal nutzt man die Gültigkeit der Aussage
$\lnot A \Rightarrow (B \land \lnot B) \Rightarrow A$.
\item \textbf{Kontraposition} \\
Ist eine Aussage $A \Rightarrow B$ zu beweisen, kann man stattdessen die Implikation
$\lnot B \Rightarrow \lnot A$ beweisen.
\item \textbf{vollständige Induktion} \\
Will man eine Aussage $P(n)$ für alle natürlichen Zahlen zeigen, so genügt es, zu zeigen,
dass $P(1)$ gilt und dass unter der Induktionsbehauptung $P(n)$ stets auch $P(n+1)$ gilt
(Induktionschritt). Dann gilt $P(n)$ für alle $n$. \\
Es gilt also das Induktionsschema: $P(1) \land \forall n: (P(n) \Rightarrow P(n+1)) \Rightarrow
\forall n: P(n)$.
\end{itemize}
\begin{overview}[Beweise]
Unter einem Beweis verstehen wir die lückenlose Herleitung einer mathematischen Aussage aus einer
Menge von Axiomen, Voraussetzungen und schon früher bewiesenen Aussagen. \\
Einige Beweismethoden:
\begin{itemize}
\item \textbf{Widerspruchsbeweis} \\
Man nimmt an, dass eine zu beweisende Aussage $A$ falsch sei und leitet daraus ab, dass eine
andere Aussage sowohl falsch als auch wahr ist. Formal nutzt man die Gültigkeit der Aussage
$\lnot A \Rightarrow (B \land \lnot B) \Rightarrow A$.
\item \textbf{Kontraposition} \\
Ist eine Aussage $A \Rightarrow B$ zu beweisen, kann man stattdessen die Implikation
$\lnot B \Rightarrow \lnot A$ beweisen.
\item \textbf{vollständige Induktion} \\
Will man eine Aussage $P(n)$ für alle natürlichen Zahlen zeigen, so genügt es, zu zeigen,
dass $P(1)$ gilt und dass unter der Induktionsbehauptung $P(n)$ stets auch $P(n+1)$ gilt
(Induktionschritt). Dann gilt $P(n)$ für alle $n$. \\
Es gilt also das Induktionsschema: $P(1) \land \forall n: (P(n) \Rightarrow P(n+1)) \Rightarrow
\forall n: P(n)$.
\end{itemize}
\end{overview}
\subsubsection{Überblick über die Mengenlehre}
Jede Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterscheidbarer Objekte zu einem Ganzen. Eine
Menge enthält also solche Objekte, die Elemente der Menge. Die Menge ist durch ihre Elemente
vollständig bestimmt. Diese Objekte können für uns verschiedene mathematische Objekte, wie
Zahlen, Funktionen oder andere Mengen sein. Man schreibt $x \in M$ bzw. $x \notin M$, wenn x ein
bzw. kein Element der Menge ist. \\
$\newline$
Ist $P(x)$ ein Prädikat, so bezeichnet man eine Menge mit $X := \{x \mid P(x)\}$. Hierbei muss
man vorsichtig sein, denn nicht immer lassen sich alle $x$ für die $P(x)$ gilt, widerspruchsfrei
zu einer Menge zusammenfassen. \\
$\newline$
\begin{overview}[Mengenlehre]
Jede Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterscheidbarer Objekte zu einem Ganzen. Eine
Menge enthält also solche Objekte, die Elemente der Menge. Die Menge ist durch ihre Elemente
vollständig bestimmt. Diese Objekte können für uns verschiedene mathematische Objekte, wie
Zahlen, Funktionen oder andere Mengen sein. Man schreibt $x \in M$ bzw. $x \notin M$, wenn x ein
bzw. kein Element der Menge ist.
Ist $P(x)$ ein Prädikat, so bezeichnet man eine Menge mit $X := \{x \mid P(x)\}$. Hierbei muss
man vorsichtig sein, denn nicht immer lassen sich alle $x$ für die $P(x)$ gilt, widerspruchsfrei
zu einer Menge zusammenfassen.
\end{overview}
\begin{example}[endliche Mengen]
Eine Menge heißt endlich, wenn sie nur endlich viele Elemente enthält. Endliche Mengen
notiert man oft in aufzählender Form: $M = \{1;2;3;4;5;6\}$. Hierbei ist die Reihenfolge
der Elemente nicht relevant, auch nicht die Häufigkeit eines Elements. \\
Sind die Elemente paarweise verschieden, dann ist die Anzahl der Elemente die Mächtigkeit
(oder Kardinalität) der Menge, die wir mit $|M|$ bezeichnen. \\
(oder Kardinalität) der Menge, die wir mit $|M|$ bezeichnen.
\end{example}
\begin{example}[unendliche Mengen]
@ -104,7 +107,7 @@ $\newline$
\neq 0\}$
\item Menge der reellen Zahlen: $\mathbb R := \{x \mid x$ ist eine reelle Zahl$\}$
\end{itemize}
Ist $M$ eine Menge, so gilt $|M|=\infty$ \\
Ist $M$ eine Menge, so gilt $|M|=\infty$
\end{example}
\begin{example}[leere Menge]
@ -113,6 +116,7 @@ $\newline$
\begin{definition}[Teilmenge]
\proplbl{1_1_8}
Sind $X$ und $Y$ zwei Mengen, so heißt $X$ eine \begriff{Teilmenge} von
$Y$, wenn jedes Element von $X$ auch Element von $Y$ ist, dass heißt wenn für alle
$x$ $(x \in X \Rightarrow x \in Y)$ gilt.

42
1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Polynome.tex
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@ -6,17 +6,17 @@ In diesem Abschnitt sei $R$ ein kommutativer Ring mit Einselement. \\
Unter einem \begriff{Polynom} in der "'Unbekannte"' $x$ versteht man einen Ausdruck der Form
$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n = \sum_{k=0}^{n} a_kx^k$ mit $a_0,...,a_n \in R$. Fasst man $x$
als ein beliebiges Element von $R$ auf, gelten einige offensichtliche Rechenregeln: \\
Ist $f(x)=\sum \limits_{k=0}^{n} a_kx^k$ und $g(x)=\sum \limits_{k=0}^{n} b_kx^k$ so ist
Ist $f(x)=\sum _{k=0}^{n} a_kx^k$ und $g(x)=\sum _{k=0}^{n} b_kx^k$ so ist
\begin{itemize}
\item $f(x)+g(x)=\sum \limits_{k=0}^{n} (a_k+b_k)x^k$
\item $f(x)\cdot g(x)=\sum \limits_{k=0}^{2n} c_kx^k$ mit $c_k=\sum \limits_{j=0}^{k} a_jb_{k-j}$
\item $f(x)+g(x)=\sum _{k=0}^{n} (a_k+b_k)x^k$
\item $f(x)\cdot g(x)=\sum _{k=0}^{2n} c_kx^k$ mit $c_k=\sum _{j=0}^{k} a_jb_{k-j}$
\end{itemize}
Dies motiviert die folgende präzise Definition für den Ring der Polynome über $R$ in einer "'Unbestimmten"'
$x$.
\end{remark}
\begin{definition}[Polynom]
Sei $R[X]$ die Menge der Folgen in $R$, die fast überall 0 sind, also
Sei $R[X]$ die Menge der Folgen in $R$ (siehe \propref{1_2_13}), die fast überall 0 sind, also
\begin{align}
R[X]:=\{(a_k)_{k \in \mathbb N_0} \mid \forall k(a_k \in R) \land \exists n_0: \forall k>n_0(a_k=0)\} \notag
\end{align}
@ -26,7 +26,7 @@ Wir definieren Addition und Multiplikation auf $R[X]$:
\begin{itemize}
\item $(a_k)_{k \in \mathbb N_0}+(b_k)_{k \in \mathbb N_0}=(a_k+b_k)_{k \in \mathbb N_0}$
\item $(a_k)_{k \in \mathbb N_0}\cdot (b_k)_{k \in \mathbb N_0}=(c_k)_{k \in \mathbb N_0}$ mit
$c_k = \sum \limits_{j=0}^{k} a_jb_{k-j}$
$c_k = \sum _{j=0}^{k} a_jb_{k-j}$
\end{itemize}
$\newline$
@ -75,13 +75,14 @@ man $f$ \begriff[Polynom!]{konstant}, \begriff[Polynom!]{linear} bzw. \begriff[P
\end{proof}
\begin{theorem}[Polynomdivision]
\proplbl{1_6_5}
Sei $K$ ein Körper und sei $0 \neq g \in K[X]$. Für jedes Polynom
$f \in K[X]$ gibt es eindeutig bestimmte $g,h,r \in K[X]$ mit $f=gh+r$ und $\deg(r)<\deg(g)$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Existenz und Eindeutigkeit
\begin{itemize}
\item Existenz: Sei $n=\deg(f)$, $m=\deg(g)$, $f=\sum \limits_{k=0}^{n} a_kX^k$, $g=\sum \limits_{k=0}^{m} b_kX^k$ \\
\item Existenz: Sei $n=\deg(f)$, $m=\deg(g)$, $f=\sum _{k=0}^{n} a_kX^k$, $g=\sum _{k=0}^{m} b_kX^k$ \\
Induktion nach $n$ bei festem $g$. \\
IA: Ist $n<m$, so wählt man $h=0$ und $r=f$.\\
IB: Wir nehmen an, dass die Aussage für alle Polynome vom Grad kleiner als $n$ gilt.\\
@ -99,11 +100,12 @@ man $f$ \begriff[Polynom!]{konstant}, \begriff[Polynom!]{linear} bzw. \begriff[P
Polynomdivision durchzuführen.
\end{remark}
\begin{example}
\begin{*example}
in $\mathbb Q[X]$: $(x^3+x^2+1):(x^2+1)=x+1$ Rest $-x$
\end{example}
\end{*example}
\begin{definition}[Nullstelle]
\propref{1_6_7}
Sei $f(X)=\sum_{k \ge 0} a_kX^k \in \mathbb R[X]$. Für $\lambda \in
\mathbb R$ definiert man die Auswertung von $f$ in $\lambda$ $f(\lambda)=\sum_{k \ge 0} a_k\lambda^k
\in \mathbb R$. Das Polynom $f$ liefert auf diese Weise eine Abbildung $\tilde f: \mathbb R \to \mathbb R$ und
@ -112,6 +114,7 @@ man $f$ \begriff[Polynom!]{konstant}, \begriff[Polynom!]{linear} bzw. \begriff[P
\end{definition}
\begin{lemma}
\proplbl{1_6_8}
Für $f,g \in \mathbb R[X]$ und $\lambda \in \mathbb R$i ist
\begin{align}
(f+g)(\lambda)&=f(\lambda)+g(\lambda)\notag\\
@ -119,28 +122,29 @@ man $f$ \begriff[Polynom!]{konstant}, \begriff[Polynom!]{linear} bzw. \begriff[P
\end{align}
\end{lemma}
\begin{proof}
Ist $f=\sum \limits_{k \ge 0} a_kX^k$ und $g=\sum \limits_{k\ge 0} b_kX^k$, so ist \\
Ist $f=\sum _{k \ge 0} a_kX^k$ und $g=\sum _{k\ge 0} b_kX^k$, so ist \\
\begin{align}
f(\lambda)+g(\lambda)&=\sum \limits_{k \ge 0} a_k\lambda^k + \sum \limits_{k\ge 0} b_k\lambda^k \notag \\
&= \sum \limits_{k\ge 0} (a_k+b_k)\lambda^k\notag \\
f(\lambda)+g(\lambda)&=\sum _{k \ge 0} a_k\lambda^k + \sum _{k\ge 0} b_k\lambda^k \notag \\
&= \sum _{k\ge 0} (a_k+b_k)\lambda^k\notag \\
&=(f+g)(\lambda)\notag
\end{align}
und
\begin{align}
f(\lambda)\cdot g(\lambda)&= \sum \limits_{k\ge 0} a_k\lambda^k \cdot \sum \limits_{k\ge 0} b_k\lambda^k\notag \\
&= \sum \limits_{k \ge 0} \sum \limits_{i+j=k} (a_i+b_j)\lambda^k \notag \\
f(\lambda)\cdot g(\lambda)&= \sum _{k\ge 0} a_k\lambda^k \cdot \sum _{k\ge 0} b_k\lambda^k\notag \\
&= \sum _{k \ge 0} \sum _{i+j=k} (a_i+b_j)\lambda^k \notag \\
&= (fg)(\lambda) \notag
\end{align}
\end{proof}
\begin{proposition}
\proplbl{1_6_9}
Ist $K$ ein Körper und $\lambda \in K$ eine Nullstelle von $f \in K[X]$ so gibt es ein
eindeutig bestimmtes $h \in K[X]$ mit $f(X)=(X-\lambda)\cdot h(x)$.
\end{proposition}
\begin{proof}
Es gibt $h,r \in K[X]$ mit $f(X)=(X-\lambda)\cdot h(x)+r(x)$ und $\deg(r)<\deg(X-\lambda)=1$, also $r \in
Nach \propref{1_6_5} gibt es gibt $h,r \in K[X]$ mit $f(X)=(X-\lambda)\cdot h(x)+r(x)$ und $\deg(r)<\deg(X-\lambda)=1$, also $r \in
K$. Da $\lambda$ Nullstelle von $f$ ist, gilt $0=f(\lambda)=(\lambda-\lambda)\cdot h(\lambda)+r(\lambda)=
r(\lambda)$. Hieraus folgt $r=0$. Eindeutigkeit folgt aus Eindeutigkeit der Polynomdivision.
r(\lambda)$ nach \propref{1_6_8}. Hieraus folgt $r=0$. Eindeutigkeit folgt aus Eindeutigkeit in \propref{1_6_5}.
\end{proof}
\begin{conclusion}
@ -183,7 +187,7 @@ man $f$ \begriff[Polynom!]{konstant}, \begriff[Polynom!]{linear} bzw. \begriff[P
Für einen Körper $K$ sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item Jedes Polynom $f \in K[X]$ mit $\deg(f)>0$ hat eine Nullstelle in $K$.
\item Jedes Polynom $f \in K[X]$ zerfällt in Linearfaktoren, also $f(X)=a\cdot \prod \limits_{i=1}^n
\item Jedes Polynom $f \in K[X]$ zerfällt in Linearfaktoren, also $f(X)=a\cdot \prod _{i=1}^n
(X-\lambda_i)$ mit $n=\deg(f), a, \lambda_i \in K$.
\end{itemize}
\end{proposition}
@ -192,9 +196,9 @@ man $f$ \begriff[Polynom!]{konstant}, \begriff[Polynom!]{linear} bzw. \begriff[P
\item $1 \Rightarrow 2:$ Induktion nach $n=\deg(f)$ \\
Ist $n\le0$, so ist nichts zu zeigen. \\
Ist $n>0$, so hat $f$ eine Nullstelle $\lambda_n \in K$, somit $f(X)=(X-\lambda_n)\cdot g(X)$ mit $g(X) \in K[X]$
und $\deg(g)=n-1$, Nach IV ist $g(X)=a\cdot \prod \limits_{i=1}^n (X-\lambda_i)$. Somit ist $f(X)=a\cdot \prod
\limits_{i=1}^n (X-\lambda_i)$.
\item $2 \Rightarrow 1:$ Sei $f \in K[X]$ mit $n=\deg(f)>0$. Damit gilt $f(X)=a\cdot \prod \limits_{i=1}^n (X-\lambda_i)$.
und $\deg(g)=n-1$, Nach IV ist $g(X)=a\cdot \prod _{i=1}^n (X-\lambda_i)$. Nach \propref{1_6_9} ist $f(X)=a\cdot \prod
_{i=1}^n (X-\lambda_i)$.
\item $2 \Rightarrow 1:$ Sei $f \in K[X]$ mit $n=\deg(f)>0$. Damit gilt $f(X)=a\cdot \prod _{i=1}^n (X-\lambda_i)$.
Da $n>0$, hat $f$ z.B. die Nullstelle $\lambda_1$.
\end{itemize}
\end{proof}

BIN
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19
1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/Vorlesung LAAG.tex
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@ -199,7 +199,20 @@
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]{*example}{\hspace*{-10pt}\rule{5pt}{5pt}\hspace*{5pt}Beispiel}
\newtheorem{overview}[theorem]{Überblick}
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]{overview}[theorem]{Überblick}
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\title{\textbf{Lineare Algebra WS2017/18}}
\author{Dozent: Prof. Dr. Arno Fehm}