mirror of
https://github.com/vale981/TUD_MATH_BA
synced 2025-03-04 17:21:38 -05:00
MINT Sigma-Algebra chapter finished.
#TODO proofread please @henrydatei when you have time, im sure there is lots of typos.
This commit is contained in:
Ameyah
parent
240c9199ba
commit
2e62a34e6c
2 changed files with 180 additions and 12 deletions
|
|
@ -2,19 +2,18 @@
|
|||
|
||||
\textbf{Ziel:} Charakterisierung der Definitionsgebiete von Maßen.
|
||||
|
||||
\begin{definition}[\sigmalg, messbar]
|
||||
%Hint i declare a new command to make it faster to write sigma-algebra, its \sigmaalg.
|
||||
Eine \begriff{\sigmalg} über einer beliebigen Grundmenge $X \neq \emptyset$ ist eine Familie von Mengen in $\mathscr{P}(X), \mathscr{A} \subset \mathscr{P}(X)$:
|
||||
\begin{definition}[$\sigma$-Algebra, messbar]
|
||||
Eine \begriff{$\sigma$-Algebra} über einer beliebigen Grundmenge $E \neq \emptyset$ ist eine Familie von Mengen in $\mathscr{P}(E), \mathscr{A} \subset \mathscr{P}(E)$:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item (S1): $X \in \mathscr{A}$
|
||||
\item (S2): $A \in \mathscr{A} \to A^C = X \setminus A \in \mathscr{A}$
|
||||
\item (S1): $E \in \mathscr{A}$
|
||||
\item (S2): $A \in \mathscr{A} \to A^C = E \setminus A \in \mathscr{A}$
|
||||
\item (S3): $(A_n)_{n\in \natur} \subset \mathscr{A} \Rightarrow \bigcup_{n\in \natur}A_n \in \mathscr{A}$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Eine Menge $A\in\mathscr{A}$ heißt \begriff{messbar}.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}[Eigenschaften einer \sigmalg]
|
||||
Sei $\mathscr{A}$ eine \sigmalg über $X$.
|
||||
\begin{proposition}[Eigenschaften einer $\sigma$-Algebra]
|
||||
Sei $\mathscr{A}$ eine $\sigma$-Algebra über $E$.
|
||||
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
|
||||
\item $\emptyset\in\mathscr{A}$
|
||||
\item $A,B\in\mathscr{A}\Rightarrow A\cup B\in\mathscr{A}$
|
||||
|
|
@ -33,7 +32,7 @@
|
|||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\textbf{Fazit:} Auf einer \sigmalg kann man alle üblichen Mengenoperationen abzählbar oft durchführen ohne $\mathscr{A}$ zu verlassen!
|
||||
\textbf{Fazit:} Auf einer $\sigma$-Algebra kann man alle üblichen Mengenoperationen abzählbar oft durchführen ohne $\mathscr{A}$ zu verlassen!
|
||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
$X\neq\emptyset$ Menge, $A,B\subset X$
|
||||
|
|
@ -43,11 +42,175 @@
|
|||
\item $\{\emptyset,A,A^C,X\}$ ist eine $\sigma$-Algebra
|
||||
\item $\{\emptyset,B,X\}$ ist eine $\sigma$-Algebra, wenn $B=\emptyset$ oder $B=X$
|
||||
\item $\mathscr{A}=\{A\subset X\mid \#A\le \#\natur\text{ oder } \#A^C\le \#\natur\}$ ist eine \sigmalg %TODO needs the proof still!
|
||||
\item Spur-\sigmalg: $E \subset X,\mathscr{A} \sigma$-Algebra in $X \Rightarrow \mathscr{A}_E := \{E \cap A \mid A \in \mathscr{A}\}$ ist eine \sigmalg.
|
||||
\item Urbild-\sigmalg: $f: X \to Y$ eine Abbildung, $X,Y$ Mengen, $\mathscr{A}_Y$ sei \sigmalg in $Y$ $\Rightarrow \mathscr{A} := \{f^{-1}(A_Y)\mid A_Y \in \mathscr{A}\}$ eine \sigmalg.
|
||||
\item Spur-$\sigma$-Algebra: $E \subset X,\mathscr{A}$ ist $\sigma$-Algebra in $X \Rightarrow \mathscr{A}_E := \{E \cap A \mid A \in \mathscr{A}\}$ ist eine $\sigma$-Algebra.
|
||||
\item Urbild-$\sigma$-Algebra: $f: X \to Y$ eine Abbildung, $X,Y$ Mengen, $\mathscr{A}_Y$ sei $\sigma$-Algebra in $Y$ $\Rightarrow \mathscr{A} := \{f^{-1}(A_Y)\mid A_Y \in \mathscr{A}\}$ eine $\sigma$-Algebra.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
\begin{hint}
|
||||
Test
|
||||
\end{hint}
|
||||
Notation: $\mathscr{A}_i, i \in I$ beliebig viele beliebige Mengenfamilien in $\mathscr{P}(E)$
|
||||
\begin{align}
|
||||
\bigcap_{n\in I} \mathscr{A}_i := \{ A \mid \forall i \in I \colon A \in \mathscr{A}_i\}\notag
|
||||
\end{align}
|
||||
\end{hint}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
|
||||
\item Der Schnitt $\mathscr{A} = \bigcap_{n\in I} \mathscr{A}_i, I$ beliebig, $\mathscr{A}_i$ $\sigma$-Algebra ist $\sigma$-Algebra.
|
||||
\item $\forall \mathscr{G} \subset \mathscr{P}(E)$ existiert eine minimale $\sigma$-Algebra mit der Eigenschaft $\mathscr{G} \subset \mathscr{A}$. Dieses $\mathscr{A}$ heißt von $\mathscr{G}$ erzeugte $\sigma$-Algebra.\\
|
||||
Notation: $\mathscr{A} = \sigma(\mathscr{G})$.
|
||||
$\mathscr{G}$ heißt \begriff{Erzeuger von $\mathscr{A}$}.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
|
||||
\item
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item (S1): $\forall x \in I\colon \emptyset \in \mathscr{A}_i \Rightarrow \emptyset \in \mathscr{A}$
|
||||
\item (S2):
|
||||
\begin{align}
|
||||
A \in \mathscr{A} &\Leftrightarrow \forall i \in I \colon A \in \mathscr{A}_i\notag \\
|
||||
&\xRightarrow[S2]{\text{für }A_i} \forall i \in I \colon A^C \in \mathscr{A}_i \notag \\
|
||||
&\Leftrightarrow A^C \in \mathscr{A} \notag
|
||||
\end{align}
|
||||
\item (S3):
|
||||
\begin{align}
|
||||
(A_k)_{k \in \natur} \subset \mathscr{A} &\Rightarrow \forall i \in I \colon (A_k)_{k \in \natur} \subset \mathscr{A}_i\notag \\
|
||||
&\xRightarrow[S3]{\text{für }A_i} \forall i \in I \colon A = \bigcup_{k\in \natur} A_k \in \mathscr{A}_i\notag \\
|
||||
&\Rightarrow A \in \mathscr{A}\notag
|
||||
\end{align}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item a) sagt:
|
||||
\begin{align}
|
||||
\mathscr{A} := \bigcap_{\substack{\mathscr{F} \sigma\text{-Algebra}\\ \mathscr{G} \subset \mathscr{F}}} \mathscr{F} \text{ ist } \sigma-\text{Algebra} \label{2_4_eq} \tag{\ast}
|
||||
\end{align}
|
||||
Dabei ist $\mathscr{G} \subset \mathscr{F}$, weil $\mathscr{F}=\mathscr{P}(E)$ Kandidat und dann \eqref{2_4_eq} wohldefiniert.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Existenz: $\mathscr{A}$ reicht, weil $\mathscr{A}$ wohldefiniert und $\mathscr{G} \subset \mathscr{A}$ und $\mathscr{A}$ ist $\sigma$-Algebra.
|
||||
\item Minimalität: Angenommen $\mathscr{A}^{'}$ ist $\sigma$-Algebra mit $\mathscr{G} \subset \mathscr{A}^{'}$. Dann folgt mit \eqref{2_4_eq} $\mathscr{A}^{'}$ tritt auf als $\mathscr{F}$ in \eqref{2_4_eq}. Das impliziert $\mathscr{A} \subset \mathscr{A}^{'}$, das heißt $\mathscr{A}$ ist kleiner, sogar minimal!
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
|
||||
\item $\mathscr{A}$ ist $\sigma$-Algebra $\Rightarrow \mathscr{A} = \sigma(\mathscr{A})$ (Gleichheit gilt, da $\mathscr{A} \subset \mathscr{A}$, Minimalität von $\sigma(\mathscr{A})$)
|
||||
\item $A \subset E \Rightarrow \sigma(\{A\}) = \{\emptyset, E, A, A^C\}$
|
||||
\item $\mathscr{G} \subset \mathscr{H} \subset \mathscr{A} \Rightarrow \sigma(\mathscr{H}) \subset \sigma(\mathscr{A})$. Denn
|
||||
\begin{align}
|
||||
\mathscr{G} \subset \mathscr{H} \text{ und } \mathscr{H} \subset \sigma(\mathscr{H}) &\Rightarrow \mathscr{G} \subset \sigma(\mathscr{H}) \text{ $\sigma$-Algebra per Definition}\notag \\
|
||||
&\Rightarrow \sigma(\mathscr{G})\sigma(\mathscr{H}) \notag
|
||||
\end{align}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\begin{repetition}[offen, Topologie]
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $U \subset \real^{d}$ offen $\Leftrightarrow \forall x \in U \quad \exists \epsilon > 0 \colon B_{\epsilon}(x) \subset U$
|
||||
\item Familie der offenen Mengen in $\real^d$: $\mathscr{O} = \mathscr{O}(\real^p) = \{ U \subset \real^p \mid U \text{ offen}\}$
|
||||
\item Allgemeine \begriff{Topologie} in $E$ hat folgende Eigenschaften:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item ($O1$) $\emptyset, E \in \mathscr{O}$
|
||||
\item ($O2$) $U,V \in \mathscr{O} \Rightarrow U \cap V \in \mathscr{O}$
|
||||
\item ($O3$) $U_i \in \mathscr{O}, i \in I$ beliebig $\Rightarrow \bigcup_{n\in I} U_i \in \mathscr{O}$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{repetition}
|
||||
|
||||
\begin{hint}
|
||||
$U_n \in \mathscr{O}, n \in \natur$, dann muss $\bigcap_{n\in \natur} U_n \not \in \mathscr{O}$ sein.
|
||||
\end{hint}
|
||||
|
||||
\begin{definition}[\person{Borel}(sche) $\sigma$-Algebra]
|
||||
\proplbl{2_6}
|
||||
Die von $\mathscr{O} = \mathscr{O}(\real^d)$ erzeugte $\sigma$-Algebra in $\real^d$ heißt \begriff{\person{Borel}(sche) $\sigma$-Algebra}.\\
|
||||
Notation: $\mathscr{B}(\real^d)$\\
|
||||
$B \in \mathscr{B}(\real^d)$ heißt Borel-Menge oder Borel-messbar.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{*remark}
|
||||
\propref{2_6} gilt ``mutatis umtanais'' auch in allgemeinen topologischen Räumen, d.h. in $(E, \mathscr{O})$ ist $\mathscr{B}(E) := \sigma(\mathscr{O})$.
|
||||
\end{*remark}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
$\mathscr{O}, \mathscr{C}, \mathscr{K}$ = offene, abgeschlossene und kompakte Mengen $\subset \real^d$. Dann $\mathscr{B}(\real^d) = \sigma(\mathscr{O}) = \mathscr{C} = \mathscr{K}$.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Übungsaufgabe (vergleiche Beweis von \propref{2_8}).
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $U \in \mathscr{O} \Leftrightarrow U^C \in \mathscr{C}$
|
||||
\item $K \in \mathscr{K} \Leftrightarrow K \in \mathscr{K}$ und beschränkt ($\Leftrightarrow \exists r > 0 \colon K \subset B_r(0)$) (\person{Heine}-\person{Borel})
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\subsection*{Weitere angenehme Erzeuger von $\mathscr{B}(\real^d)$}
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $\mathscr{J}_{[rat]}^o = \{ (a_1,b_1) \times \cdots \times (a_d,b_d) \mid a_n, b_n \in \real [\ratio]\}$ offene [rationale] Erzeuger
|
||||
\item $\mathscr{J}_{[rat]} = \{ (a_1,b_1) \times \cdots \times (a_d,b_d) \mid a_n, b_n \in \real [\ratio]\}$ abgeschlossene [rationale] Erzeuger
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\begin{hint}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $a \ge b \rightsquigarrow (a,b) = \emptyset$
|
||||
\item $A \times \cdots \times \emptyset \times \cdots \times \Omega = \emptyset$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{hint}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
\proplbl{2_8}
|
||||
In $\real^d$ gilt:
|
||||
\begin{align}
|
||||
\sigma(\mathscr{O}) = \sigma(\mathscr{J}) = \sigma(\mathscr{J}^o) = \sigma(\mathscr{J}_{rat}^o) = \sigma(\mathscr{J}_{rat})\notag
|
||||
\end{align}
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
|
||||
\item Jedes $I \in \mathscr{J}^o$ ist eine offene Menge (DIY) $\Rightarrow \mathscr{J}_{rat}^o \subset \mathscr{J}^o \subset \mathscr{O}$
|
||||
\item Sei $U \in \mathscr{O}$. Dann gilt:
|
||||
\begin{align}
|
||||
U = \bigcup_{\substack{I^{'} \in \mathscr{J}_{rat}^o\\ I^{'} \subset U}} I^{'} \label{2_8_eq}\tag{\ast\ast}
|
||||
\end{align}
|
||||
Klar in \eqref{2_8_eq} ist $\bigcup_{\dots} I^{'} \subset U$. Für $U \subset \bigcup_{\dots} I^{'}$ bemerken wir, weil $U$ offen ist gilt:
|
||||
\begin{align}
|
||||
\forall x \in U \exists \epsilon = \epsilon_x > 0 \colon B_{\epsilon}(x) \subset U \quad \text{vergleiche Abb} \notag %TODO add figure here from erics notes
|
||||
\end{align}
|
||||
Eingeschriebenes (in $B_{\epsilon}(x)$) Rechteck $I \subset B_{\epsilon}(x), x \in I, I \in \mathscr{J^o}$.\\
|
||||
WLOG (Without lose of generality): $I = I^{'} \subset \mathscr{J}_{rat}^o$ sonst zusammendrücken ($\ratio^d \subset \real^d$ dicht)\\
|
||||
$\Rightarrow U = \bigcup_{x \in U} \{x\} \subset \bigcup_{I^{'} \in \mathscr{J}_{rat}^o} I^{'} \Rightarrow \eqref{2_8_eq}$. Die Vereinigung in \eqref{2_8_eq} ist abzählbar, da $\# \mathscr{J}_{rat}^o = \#(\ratio^d\times \ratio^d) = \#\natur$. Also
|
||||
\begin{align}
|
||||
U\in \mathscr{O} &\xRightarrow{\eqref{2_8_eq}} U \in \sigma(\mathscr{J_{rat}^o})\notag \\
|
||||
&\Rightarrow \mathscr{O} \subset \sigma(\mathscr{J_{rat}^o})\notag \\
|
||||
&\Rightarrow \sigma(\mathscr{O}) \subset \sigma(\mathscr{J_{rat}^o}) \subset \sigma(\mathscr{J^o}) \subset \sigma(\mathscr{O})\notag
|
||||
\end{align}
|
||||
(Letzte zwei Inklusionen gelten, da $\mathscr{J}_{rat}^o \subset \mathscr{J}^o$) und (1).)
|
||||
\item Jetzt drücke ich $\mathscr{J}_{rat}^o$ mit $\mathscr{J}_{rat}$ aus:
|
||||
\begin{align}
|
||||
(a_1,b_1) \times \cdots \times (a_d,b_d) &= \bigcup_{n\in \natur} [a_1 +\frac{1}{n}, b_1-\frac{1}{n}] \times \cdots \times [a_d +\frac{1}{n}, b_d-\frac{1}{n}] \notag \\
|
||||
(\alpha_1,\beta_1) \times \cdots \times (\alpha_d,\beta_d) &= \bigcap_{k\in \natur} [\alpha_1 +\frac{1}{k}, \beta_1-\frac{1}{k}] \times \cdots \times [\alpha_d +\frac{1}{k}, \beta_d-\frac{1}{k}] \notag
|
||||
\end{align}
|
||||
natürlich ist $[\alpha_1 +\frac{1}{k}, \beta_1-\frac{1}{k}] \times \cdots \times [\alpha_d +\frac{1}{k}, \beta_d-\frac{1}{k}] \in \mathscr{J}_{rat}^o$ und die Vereinigung ist dann in $\sigma(\mathscr{J}_{rat}^o)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Dann folgt 1) $\mathscr{J}^o \subset \sigma(\mathscr{J})$ und 2) $\mathscr{J} \subset \sigma(\mathscr{J}^o)$.\\
|
||||
Also gilt $\sigma(\mathscr{J}^o) = \sigma(\mathscr{J}^o_{rat}) = \sigma(\mathscr{J}_{rat}) \Rightarrow$ Behauptung
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{hint}
|
||||
Beweis gilt statt für abgeschlossene Rechtecke $\mathscr{J}$ bzw. $\mathscr{J}_{rat}$ auch für halboffene Rechtecke, also Mengen der Art: $[a_1,b_1) \times \cdots \times [a_d,b_d)$.
|
||||
\end{hint}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\sigma(\real)$ wird auch durch jede dieser Familen erzeugt, wobei $D$ irgendeine dichte Teilmenge in $\real$ ist
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $\{(-\infty,a) \colon a \in D\}$
|
||||
\item $\{(-\infty,b] \colon b \in D\}$
|
||||
\item $\{(c,\infty) \colon c \in D\}$
|
||||
\item $\{(f,+\infty) \colon f \in D\}$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item Die Operation $\sigma(\cdot)$ ist im allgemeinen nicht explizit oder konstruktiv.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
|
@ -102,6 +102,11 @@
|
|||
\newcommand{\BIGboxplus}{\mathop{\mathchoice{\raise-0.35em\hbox{\huge $\boxplus$}}{\raise-0.15em\hbox{\Large $\boxplus$}}{\hbox{\large $\boxplus$}}{\boxplus}}}
|
||||
\newcommand{\eps}{\textit{eps }}
|
||||
|
||||
%%%% Alternative emptyset symbol %%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||
|
||||
\let\oldemptyset\emptyset
|
||||
\let\emptyset\varnothing
|
||||
|
||||
\newcommand{\skalar}[2]{\left\langle #1,#2\right\rangle}
|
||||
\newcommand{\qraum}[2]{\sfrac{#1}{#2}}
|
||||
\newcommand{\lnkset}[2]{%Menge der Linksnebenklassen
|
||||
|
|
|
|||
Loading…
Add table
Reference in a new issue