diff --git a/3. Semester/MINT/TeX_files/Sigma_Algebren.tex b/3. Semester/MINT/TeX_files/Sigma_Algebren.tex index 7d2c239..315c0b7 100644 --- a/3. Semester/MINT/TeX_files/Sigma_Algebren.tex +++ b/3. Semester/MINT/TeX_files/Sigma_Algebren.tex @@ -2,19 +2,18 @@ \textbf{Ziel:} Charakterisierung der Definitionsgebiete von Maßen. -\begin{definition}[\sigmalg, messbar] - %Hint i declare a new command to make it faster to write sigma-algebra, its \sigmaalg. - Eine \begriff{\sigmalg} über einer beliebigen Grundmenge $X \neq \emptyset$ ist eine Familie von Mengen in $\mathscr{P}(X), \mathscr{A} \subset \mathscr{P}(X)$: +\begin{definition}[$\sigma$-Algebra, messbar] + Eine \begriff{$\sigma$-Algebra} über einer beliebigen Grundmenge $E \neq \emptyset$ ist eine Familie von Mengen in $\mathscr{P}(E), \mathscr{A} \subset \mathscr{P}(E)$: \begin{itemize} - \item (S1): $X \in \mathscr{A}$ - \item (S2): $A \in \mathscr{A} \to A^C = X \setminus A \in \mathscr{A}$ + \item (S1): $E \in \mathscr{A}$ + \item (S2): $A \in \mathscr{A} \to A^C = E \setminus A \in \mathscr{A}$ \item (S3): $(A_n)_{n\in \natur} \subset \mathscr{A} \Rightarrow \bigcup_{n\in \natur}A_n \in \mathscr{A}$ \end{itemize} Eine Menge $A\in\mathscr{A}$ heißt \begriff{messbar}. \end{definition} -\begin{proposition}[Eigenschaften einer \sigmalg] - Sei $\mathscr{A}$ eine \sigmalg über $X$. +\begin{proposition}[Eigenschaften einer $\sigma$-Algebra] + Sei $\mathscr{A}$ eine $\sigma$-Algebra über $E$. \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item $\emptyset\in\mathscr{A}$ \item $A,B\in\mathscr{A}\Rightarrow A\cup B\in\mathscr{A}$ @@ -33,7 +32,7 @@ \end{enumerate} \end{proof} -\textbf{Fazit:} Auf einer \sigmalg kann man alle üblichen Mengenoperationen abzählbar oft durchführen ohne $\mathscr{A}$ zu verlassen! +\textbf{Fazit:} Auf einer $\sigma$-Algebra kann man alle üblichen Mengenoperationen abzählbar oft durchführen ohne $\mathscr{A}$ zu verlassen! \begin{example} $X\neq\emptyset$ Menge, $A,B\subset X$ @@ -43,11 +42,175 @@ \item $\{\emptyset,A,A^C,X\}$ ist eine $\sigma$-Algebra \item $\{\emptyset,B,X\}$ ist eine $\sigma$-Algebra, wenn $B=\emptyset$ oder $B=X$ \item $\mathscr{A}=\{A\subset X\mid \#A\le \#\natur\text{ oder } \#A^C\le \#\natur\}$ ist eine \sigmalg %TODO needs the proof still! - \item Spur-\sigmalg: $E \subset X,\mathscr{A} \sigma$-Algebra in $X \Rightarrow \mathscr{A}_E := \{E \cap A \mid A \in \mathscr{A}\}$ ist eine \sigmalg. - \item Urbild-\sigmalg: $f: X \to Y$ eine Abbildung, $X,Y$ Mengen, $\mathscr{A}_Y$ sei \sigmalg in $Y$ $\Rightarrow \mathscr{A} := \{f^{-1}(A_Y)\mid A_Y \in \mathscr{A}\}$ eine \sigmalg. + \item Spur-$\sigma$-Algebra: $E \subset X,\mathscr{A}$ ist $\sigma$-Algebra in $X \Rightarrow \mathscr{A}_E := \{E \cap A \mid A \in \mathscr{A}\}$ ist eine $\sigma$-Algebra. + \item Urbild-$\sigma$-Algebra: $f: X \to Y$ eine Abbildung, $X,Y$ Mengen, $\mathscr{A}_Y$ sei $\sigma$-Algebra in $Y$ $\Rightarrow \mathscr{A} := \{f^{-1}(A_Y)\mid A_Y \in \mathscr{A}\}$ eine $\sigma$-Algebra. \end{enumerate} \end{example} \begin{hint} - Test -\end{hint} \ No newline at end of file + Notation: $\mathscr{A}_i, i \in I$ beliebig viele beliebige Mengenfamilien in $\mathscr{P}(E)$ + \begin{align} + \bigcap_{n\in I} \mathscr{A}_i := \{ A \mid \forall i \in I \colon A \in \mathscr{A}_i\}\notag + \end{align} +\end{hint} + +\begin{proposition} + \begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item Der Schnitt $\mathscr{A} = \bigcap_{n\in I} \mathscr{A}_i, I$ beliebig, $\mathscr{A}_i$ $\sigma$-Algebra ist $\sigma$-Algebra. + \item $\forall \mathscr{G} \subset \mathscr{P}(E)$ existiert eine minimale $\sigma$-Algebra mit der Eigenschaft $\mathscr{G} \subset \mathscr{A}$. Dieses $\mathscr{A}$ heißt von $\mathscr{G}$ erzeugte $\sigma$-Algebra.\\ + Notation: $\mathscr{A} = \sigma(\mathscr{G})$. + $\mathscr{G}$ heißt \begriff{Erzeuger von $\mathscr{A}$}. + \end{enumerate} +\end{proposition} + +\begin{proof} + \begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item + \begin{itemize} + \item (S1): $\forall x \in I\colon \emptyset \in \mathscr{A}_i \Rightarrow \emptyset \in \mathscr{A}$ + \item (S2): + \begin{align} + A \in \mathscr{A} &\Leftrightarrow \forall i \in I \colon A \in \mathscr{A}_i\notag \\ + &\xRightarrow[S2]{\text{für }A_i} \forall i \in I \colon A^C \in \mathscr{A}_i \notag \\ + &\Leftrightarrow A^C \in \mathscr{A} \notag + \end{align} + \item (S3): + \begin{align} + (A_k)_{k \in \natur} \subset \mathscr{A} &\Rightarrow \forall i \in I \colon (A_k)_{k \in \natur} \subset \mathscr{A}_i\notag \\ + &\xRightarrow[S3]{\text{für }A_i} \forall i \in I \colon A = \bigcup_{k\in \natur} A_k \in \mathscr{A}_i\notag \\ + &\Rightarrow A \in \mathscr{A}\notag + \end{align} + \end{itemize} + \item a) sagt: + \begin{align} + \mathscr{A} := \bigcap_{\substack{\mathscr{F} \sigma\text{-Algebra}\\ \mathscr{G} \subset \mathscr{F}}} \mathscr{F} \text{ ist } \sigma-\text{Algebra} \label{2_4_eq} \tag{\ast} + \end{align} + Dabei ist $\mathscr{G} \subset \mathscr{F}$, weil $\mathscr{F}=\mathscr{P}(E)$ Kandidat und dann \eqref{2_4_eq} wohldefiniert. + \begin{itemize} + \item Existenz: $\mathscr{A}$ reicht, weil $\mathscr{A}$ wohldefiniert und $\mathscr{G} \subset \mathscr{A}$ und $\mathscr{A}$ ist $\sigma$-Algebra. + \item Minimalität: Angenommen $\mathscr{A}^{'}$ ist $\sigma$-Algebra mit $\mathscr{G} \subset \mathscr{A}^{'}$. Dann folgt mit \eqref{2_4_eq} $\mathscr{A}^{'}$ tritt auf als $\mathscr{F}$ in \eqref{2_4_eq}. Das impliziert $\mathscr{A} \subset \mathscr{A}^{'}$, das heißt $\mathscr{A}$ ist kleiner, sogar minimal! + \end{itemize} + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{remark} + \begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item $\mathscr{A}$ ist $\sigma$-Algebra $\Rightarrow \mathscr{A} = \sigma(\mathscr{A})$ (Gleichheit gilt, da $\mathscr{A} \subset \mathscr{A}$, Minimalität von $\sigma(\mathscr{A})$) + \item $A \subset E \Rightarrow \sigma(\{A\}) = \{\emptyset, E, A, A^C\}$ + \item $\mathscr{G} \subset \mathscr{H} \subset \mathscr{A} \Rightarrow \sigma(\mathscr{H}) \subset \sigma(\mathscr{A})$. Denn + \begin{align} + \mathscr{G} \subset \mathscr{H} \text{ und } \mathscr{H} \subset \sigma(\mathscr{H}) &\Rightarrow \mathscr{G} \subset \sigma(\mathscr{H}) \text{ $\sigma$-Algebra per Definition}\notag \\ + &\Rightarrow \sigma(\mathscr{G})\sigma(\mathscr{H}) \notag + \end{align} + \end{enumerate} +\end{remark} + +\begin{repetition}[offen, Topologie] + \begin{itemize} + \item $U \subset \real^{d}$ offen $\Leftrightarrow \forall x \in U \quad \exists \epsilon > 0 \colon B_{\epsilon}(x) \subset U$ + \item Familie der offenen Mengen in $\real^d$: $\mathscr{O} = \mathscr{O}(\real^p) = \{ U \subset \real^p \mid U \text{ offen}\}$ + \item Allgemeine \begriff{Topologie} in $E$ hat folgende Eigenschaften: + \begin{itemize} + \item ($O1$) $\emptyset, E \in \mathscr{O}$ + \item ($O2$) $U,V \in \mathscr{O} \Rightarrow U \cap V \in \mathscr{O}$ + \item ($O3$) $U_i \in \mathscr{O}, i \in I$ beliebig $\Rightarrow \bigcup_{n\in I} U_i \in \mathscr{O}$ + \end{itemize} + \end{itemize} +\end{repetition} + +\begin{hint} + $U_n \in \mathscr{O}, n \in \natur$, dann muss $\bigcap_{n\in \natur} U_n \not \in \mathscr{O}$ sein. +\end{hint} + +\begin{definition}[\person{Borel}(sche) $\sigma$-Algebra] + \proplbl{2_6} + Die von $\mathscr{O} = \mathscr{O}(\real^d)$ erzeugte $\sigma$-Algebra in $\real^d$ heißt \begriff{\person{Borel}(sche) $\sigma$-Algebra}.\\ + Notation: $\mathscr{B}(\real^d)$\\ + $B \in \mathscr{B}(\real^d)$ heißt Borel-Menge oder Borel-messbar. +\end{definition} + +\begin{*remark} + \propref{2_6} gilt ``mutatis umtanais'' auch in allgemeinen topologischen Räumen, d.h. in $(E, \mathscr{O})$ ist $\mathscr{B}(E) := \sigma(\mathscr{O})$. +\end{*remark} + +\begin{proposition} + $\mathscr{O}, \mathscr{C}, \mathscr{K}$ = offene, abgeschlossene und kompakte Mengen $\subset \real^d$. Dann $\mathscr{B}(\real^d) = \sigma(\mathscr{O}) = \mathscr{C} = \mathscr{K}$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Übungsaufgabe (vergleiche Beweis von \propref{2_8}). + \begin{itemize} + \item $U \in \mathscr{O} \Leftrightarrow U^C \in \mathscr{C}$ + \item $K \in \mathscr{K} \Leftrightarrow K \in \mathscr{K}$ und beschränkt ($\Leftrightarrow \exists r > 0 \colon K \subset B_r(0)$) (\person{Heine}-\person{Borel}) + \end{itemize} +\end{proof} + +\subsection*{Weitere angenehme Erzeuger von $\mathscr{B}(\real^d)$} + +\begin{itemize} + \item $\mathscr{J}_{[rat]}^o = \{ (a_1,b_1) \times \cdots \times (a_d,b_d) \mid a_n, b_n \in \real [\ratio]\}$ offene [rationale] Erzeuger + \item $\mathscr{J}_{[rat]} = \{ (a_1,b_1) \times \cdots \times (a_d,b_d) \mid a_n, b_n \in \real [\ratio]\}$ abgeschlossene [rationale] Erzeuger +\end{itemize} + +\begin{hint} + \begin{itemize} + \item $a \ge b \rightsquigarrow (a,b) = \emptyset$ + \item $A \times \cdots \times \emptyset \times \cdots \times \Omega = \emptyset$ + \end{itemize} +\end{hint} + +\begin{proposition} + \proplbl{2_8} + In $\real^d$ gilt: + \begin{align} + \sigma(\mathscr{O}) = \sigma(\mathscr{J}) = \sigma(\mathscr{J}^o) = \sigma(\mathscr{J}_{rat}^o) = \sigma(\mathscr{J}_{rat})\notag + \end{align} +\end{proposition} + +\begin{proof} + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item Jedes $I \in \mathscr{J}^o$ ist eine offene Menge (DIY) $\Rightarrow \mathscr{J}_{rat}^o \subset \mathscr{J}^o \subset \mathscr{O}$ + \item Sei $U \in \mathscr{O}$. Dann gilt: + \begin{align} + U = \bigcup_{\substack{I^{'} \in \mathscr{J}_{rat}^o\\ I^{'} \subset U}} I^{'} \label{2_8_eq}\tag{\ast\ast} + \end{align} + Klar in \eqref{2_8_eq} ist $\bigcup_{\dots} I^{'} \subset U$. Für $U \subset \bigcup_{\dots} I^{'}$ bemerken wir, weil $U$ offen ist gilt: + \begin{align} + \forall x \in U \exists \epsilon = \epsilon_x > 0 \colon B_{\epsilon}(x) \subset U \quad \text{vergleiche Abb} \notag %TODO add figure here from erics notes + \end{align} + Eingeschriebenes (in $B_{\epsilon}(x)$) Rechteck $I \subset B_{\epsilon}(x), x \in I, I \in \mathscr{J^o}$.\\ + WLOG (Without lose of generality): $I = I^{'} \subset \mathscr{J}_{rat}^o$ sonst zusammendrücken ($\ratio^d \subset \real^d$ dicht)\\ + $\Rightarrow U = \bigcup_{x \in U} \{x\} \subset \bigcup_{I^{'} \in \mathscr{J}_{rat}^o} I^{'} \Rightarrow \eqref{2_8_eq}$. Die Vereinigung in \eqref{2_8_eq} ist abzählbar, da $\# \mathscr{J}_{rat}^o = \#(\ratio^d\times \ratio^d) = \#\natur$. Also + \begin{align} + U\in \mathscr{O} &\xRightarrow{\eqref{2_8_eq}} U \in \sigma(\mathscr{J_{rat}^o})\notag \\ + &\Rightarrow \mathscr{O} \subset \sigma(\mathscr{J_{rat}^o})\notag \\ + &\Rightarrow \sigma(\mathscr{O}) \subset \sigma(\mathscr{J_{rat}^o}) \subset \sigma(\mathscr{J^o}) \subset \sigma(\mathscr{O})\notag + \end{align} + (Letzte zwei Inklusionen gelten, da $\mathscr{J}_{rat}^o \subset \mathscr{J}^o$) und (1).) + \item Jetzt drücke ich $\mathscr{J}_{rat}^o$ mit $\mathscr{J}_{rat}$ aus: + \begin{align} + (a_1,b_1) \times \cdots \times (a_d,b_d) &= \bigcup_{n\in \natur} [a_1 +\frac{1}{n}, b_1-\frac{1}{n}] \times \cdots \times [a_d +\frac{1}{n}, b_d-\frac{1}{n}] \notag \\ + (\alpha_1,\beta_1) \times \cdots \times (\alpha_d,\beta_d) &= \bigcap_{k\in \natur} [\alpha_1 +\frac{1}{k}, \beta_1-\frac{1}{k}] \times \cdots \times [\alpha_d +\frac{1}{k}, \beta_d-\frac{1}{k}] \notag + \end{align} + natürlich ist $[\alpha_1 +\frac{1}{k}, \beta_1-\frac{1}{k}] \times \cdots \times [\alpha_d +\frac{1}{k}, \beta_d-\frac{1}{k}] \in \mathscr{J}_{rat}^o$ und die Vereinigung ist dann in $\sigma(\mathscr{J}_{rat}^o)$ + \end{enumerate} + Dann folgt 1) $\mathscr{J}^o \subset \sigma(\mathscr{J})$ und 2) $\mathscr{J} \subset \sigma(\mathscr{J}^o)$.\\ + Also gilt $\sigma(\mathscr{J}^o) = \sigma(\mathscr{J}^o_{rat}) = \sigma(\mathscr{J}_{rat}) \Rightarrow$ Behauptung +\end{proof} + +\begin{hint} + Beweis gilt statt für abgeschlossene Rechtecke $\mathscr{J}$ bzw. $\mathscr{J}_{rat}$ auch für halboffene Rechtecke, also Mengen der Art: $[a_1,b_1) \times \cdots \times [a_d,b_d)$. +\end{hint} + +\begin{remark} + \begin{enumerate} + \item $\sigma(\real)$ wird auch durch jede dieser Familen erzeugt, wobei $D$ irgendeine dichte Teilmenge in $\real$ ist + \begin{itemize} + \item $\{(-\infty,a) \colon a \in D\}$ + \item $\{(-\infty,b] \colon b \in D\}$ + \item $\{(c,\infty) \colon c \in D\}$ + \item $\{(f,+\infty) \colon f \in D\}$ + \end{itemize} + \item Die Operation $\sigma(\cdot)$ ist im allgemeinen nicht explizit oder konstruktiv. + \end{enumerate} +\end{remark} \ No newline at end of file diff --git a/texmf/tex/latex/mathoperators/mathoperators.sty b/texmf/tex/latex/mathoperators/mathoperators.sty index 1e4b8a9..8c401ea 100644 --- a/texmf/tex/latex/mathoperators/mathoperators.sty +++ b/texmf/tex/latex/mathoperators/mathoperators.sty @@ -102,6 +102,11 @@ \newcommand{\BIGboxplus}{\mathop{\mathchoice{\raise-0.35em\hbox{\huge $\boxplus$}}{\raise-0.15em\hbox{\Large $\boxplus$}}{\hbox{\large $\boxplus$}}{\boxplus}}} \newcommand{\eps}{\textit{eps }} +%%%% Alternative emptyset symbol %%%%%%%%%%%%%%%%% + +\let\oldemptyset\emptyset +\let\emptyset\varnothing + \newcommand{\skalar}[2]{\left\langle #1,#2\right\rangle} \newcommand{\qraum}[2]{\sfrac{#1}{#2}} \newcommand{\lnkset}[2]{%Menge der Linksnebenklassen