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@ -56,7 +56,7 @@ Sei stets $f: D \subset X \to Y,X,Y$ metrische Räume, $D = \mathcal{D}(f)$.
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\begin{example}
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\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
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\item $x \in [0,2\pi] \to (x,\sin x) \in \mathbb{R}^2$ ist Kurve in $\mathbb{R}^2$
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\item $x \in [0,1] \to e^{î\pi x} \in \mathbb{C}$ oder $x \in [0,\pi]\to e^{i\pi} \in \mathbb{C}$ sind Kurven in $\mathbb{C}$
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\item $x \in [0,1] \to e^{i\pi x} \in \mathbb{C}$ oder $x \in [0,\pi]\to e^{i\pi} \in \mathbb{C}$ sind Kurven in $\mathbb{C}$
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\item Sei $Y$ normierter Raum, $a,b \in Y,f:[0,1] \to Y$ mit $f(t) = (1-t)\cdot a + t\cdot b$ ist Kurve (Strecke von $a$ nach $b$)
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\end{enumerate}
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\end{example}
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@ -178,10 +178,10 @@ Sei stets $f: D \subset X \to Y,X,Y$ metrische Räume, $D = \mathcal{D}(f)$.
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\begin{lemma}
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Sei $R: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ rationale Funktion, $z_0 \in \mathbb{C}$ Pol der Ordnung $k\geq 1 \Rightarrow \,\exists ! a_1,\dots,a_k \in \mathbb{C},a_k\neq 0$ und $\exists !$ Polynom $\tilde{p}$ mit
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\[
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R(z) = \sum_{i=1}^{k}
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\frac{a_i}{(z-z_0)^{î}} + \frac{\tilde{p}(z)}{\tilde{g}(z)} = H(z) +\frac{\tilde{p}(z)}{\tilde{g}(z)}
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\]
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\begin{align}
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R(z) = \sum_{i=1}^{k}
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\frac{a_i}{(z-z_0)^{i}} + \frac{\tilde{p}(z)}{\tilde{g}(z)} = H(z) +\frac{\tilde{p}(z)}{\tilde{g}(z)}
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\end{align}
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$H(z)$ heißt Hauptteil von $R \text{ in } z_0$. Beachte das $\frac{\tilde{p}}{\tilde{g}}$ keine Pole in $z_0$ hat.
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\end{lemma}
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@ -75,7 +75,7 @@ Betrachte Integrale auf $X\times Y$ mit $X=\mathbb{R}^p$, $Y=\mathbb{R}^q$, $(x,
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\vert M \vert = \int_Y \psi \D y
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\end{align}
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\item Falls $\vert M \vert = 0$, folgt $\psi(y) = 0$ \gls{fü} auf $Y$ \\ \begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
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\item Falls $\vert M \vert = 0$, folgt $\psi(y) = 0$ \gls{fue} auf $Y$ \\ \begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
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$\Rightarrow$ & \propref{fubini_folgerung_nullmenge} bewiesen.
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\end{tabularx}
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\end{itemize}
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@ -83,12 +83,12 @@ Betrachte Integrale auf $X\times Y$ mit $X=\mathbb{R}^p$, $Y=\mathbb{R}^q$, $(x,
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\rule{0.5\linewidth}{0.1pt}
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\begin{itemize}
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\item $\{ \chi_{R_k}\}$ monoton fallend mit $\psi_{R_k}\to\chi_M$ \gls{fü} auf $X\times Y$ und $\chi_{R_k}$ integrierbar auf $X\times Y$ \\
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||||
\item $\{ \chi_{R_k}\}$ monoton fallend mit $\psi_{R_k}\to\chi_M$ \gls{fue} auf $X\times Y$ und $\chi_{R_k}$ integrierbar auf $X\times Y$ \\
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\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
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||||
$\Rightarrow$ & $\{ \chi_{R_k}\}$ ist $L^1$-CF zu $\chi_M$ und \[\int_{X\times Y} \psi_{R_k} \D (x,y) \to \int_{X\times Y} \chi_M \D (x,y).\]
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\end{tabularx}
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||||
\item Nach \propref{fubini_folgerung_nullmenge} existiert Nullmenge $\tilde{N}\subset Y$ mit $\chi_{R_k}(\,\cdot\, , y)\to \chi_M(\,\cdot \, , y)$ \gls{fü} auf $X$ $\forall y\in Y\setminus\tilde{N}$ \\
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||||
\item Nach \propref{fubini_folgerung_nullmenge} existiert Nullmenge $\tilde{N}\subset Y$ mit $\chi_{R_k}(\,\cdot\, , y)\to \chi_M(\,\cdot \, , y)$ \gls{fue} auf $X$ $\forall y\in Y\setminus\tilde{N}$ \\
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\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
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$\xRightarrow{\eqref{fubini_fubini_beweis_3},\eqref{fubini_fubini_beweis_4}}$ & $\chi_{R_k} (\,\cdot\, , y)$ integrierbar auf $X$ $\forall k\in \mathbb{N}$, $y\in Y\setminus\tilde{N}$ \\
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$\xRightarrow[\text{Konvergenz}]{\text{majorisierte}}$ & $\chi_M(\,\cdot\, ,y)$ integrierbar auf $X$ $\forall y\in Y\setminus\tilde{N}$ mit
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@ -106,7 +106,7 @@ Betrachte Integrale auf $X\times Y$ mit $X=\mathbb{R}^p$, $Y=\mathbb{R}^q$, $(x,
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$\Rightarrow$ & $\displaystyle \int_{X\times Y} h_k(x,y) \D (x,y) \overset{\text{a)}}{=} \int_Y \left( \int_X h_k \D x\right) \D y$
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\end{tabularx}
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Analog zu \ref{fubini_fubini_beweis_teil_a} folgt: $h_k(\,\cdot\, , y)\to f(\,\cdot\,,y)$ \gls{fü} auf $X$ für \gls{fa} $y\in Y$ \\ \begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
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||||
Analog zu \ref{fubini_fubini_beweis_teil_a} folgt: $h_k(\,\cdot\, , y)\to f(\,\cdot\,,y)$ \gls{fue} auf $X$ für \gls{fa} $y\in Y$ \\ \begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
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$\xRightarrow[\text{Konvergenz}]{\text{Majorisierte}}$ & Behauptung für $f$.
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\end{tabularx}
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@ -140,7 +140,7 @@ Betrachte Integrale auf $X\times Y$ mit $X=\mathbb{R}^p$, $Y=\mathbb{R}^q$, $(x,
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$\Rightarrow$ & $f$ ist integrierbar auf $X\times Y$
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\end{tabularx}
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||||
Offenbar sind die $\{ f_k \}$ wachsend, $f_k\to \vert f \vert$ \gls{fü} auf $X\times Y$. Falls oberes Integral in \eqref{fubini_tonelli_eq} existiert, gilt \begin{align*}
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||||
Offenbar sind die $\{ f_k \}$ wachsend, $f_k\to \vert f \vert$ \gls{fue} auf $X\times Y$. Falls oberes Integral in \eqref{fubini_tonelli_eq} existiert, gilt \begin{align*}
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\int_{X\times Y} f(x,y) \D(x,y) \overset{\text{Fubini}}{=} \int_Y \left( \int_X f_k \D x\right) \D y \le \int_Y \left( \int_X \vert f \vert \D x \right)\D y < \infty
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\end{align*}
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\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
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@ -39,7 +39,7 @@
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&\leq \frac{m(1+x)+(n-m)\cdot1}{n}&\\
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&=\frac{n + mx}{n} = 1 + \frac{m}{n}x \text{, für } \alpha \in \ratio \beha&
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||||
\shortintertext{Sei $\alpha \in \real$ angenommen $(1+x)^{\alpha} > 1 + \alpha x$ ($x\neq 0$ sonst klar!)}
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& \overset{\text{\propref{k_archimedisch_angeordneter_körper}}}{\Rightarrow} \exists \in \ratio_{<1}
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& \overset{\text{\propref{k_archimedisch_angeordneter_koerper}}}{\Rightarrow} \exists \in \ratio_{<1}
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\begin{cases*}
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x > 0&$\alpha<q< \frac{(1+x)^{\alpha}-1}{x}$\\
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x < 0&$\alpha < q$
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@ -102,7 +102,7 @@
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$\Rightarrow \big(\sum\limits_{i=1}^{n} \vert x_i + y_i \vert^p \big)^\frac{1}{p} \leq \big(\sum\limits_{i=1}^{n} \vert x_i \vert^p \big)^\frac{1}{p} + \big(\sum\limits_{i=1}^{n} \vert y_i \vert^p \big)^\frac{1}{p}\,\forall x,y\in \mathbb{R}$
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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$p=1$ Beh. folgt aus $\Delta$-Ungleichung $\vert x_i + y_i\vert \overset{\text{\propref{k_angeordneter_körper}}}{\leq} \vert x_i \vert + \vert y_i \vert \forall i$\\ $p>1$ sei $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\Rightarrow q = \frac{p}{p-1}$, $z_i:=\vert x_i + y_i\vert^{p-1}\forall i$
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$p=1$ Beh. folgt aus $\Delta$-Ungleichung $\vert x_i + y_i\vert \overset{\text{\propref{k_angeordneter_koerper}}}{\leq} \vert x_i \vert + \vert y_i \vert \forall i$\\ $p>1$ sei $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\Rightarrow q = \frac{p}{p-1}$, $z_i:=\vert x_i + y_i\vert^{p-1}\forall i$
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\begin{align*}
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\mathcal{S}^{p\cdot q} &= \sum_{i=1}^{n} \vert z_i \vert^q\\
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& = \sum_{i=1}^{n} \vert x_i+y_i \vert\cdot\vert z_i \vert^q\\
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@ -48,7 +48,7 @@ sinnvoll:
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\proplbl{integral_messbare_funktion_forderung}
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h_k\to f\text{ in geeigneter Weise }\;\; &\Rightarrow\;\;\int_M h_k \D x \to \int_m f \D x
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\end{align}
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nach \propref{messbarkeit_funktion_approximation} sollte man in \eqref{integral_messbare_funktion_forderung} eine Folge von Treppenfunktionen $\{ h_k\}$ mit $h_k(x)\to f(x)$ \gls{fü} auf $M$ betrachten, \emph{aber} es gibt zu viele konvergente Folgen für einen konsistenten Integralbegriff.
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||||
nach \propref{messbarkeit_funktion_approximation} sollte man in \eqref{integral_messbare_funktion_forderung} eine Folge von Treppenfunktionen $\{ h_k\}$ mit $h_k(x)\to f(x)$ \gls{fue} auf $M$ betrachten, \emph{aber} es gibt zu viele konvergente Folgen für einen konsistenten Integralbegriff.
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\begin{example}
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\proplbl{integral_funktion_beispiel_striktere_konvergenz}
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@ -57,7 +57,7 @@ nach \propref{messbarkeit_funktion_approximation} sollte man in \eqref{integral_
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k\cdot \alpha_k&\text{auf }(0,\frac{1}{k}) \\ 0&\text{sonst}
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\end{cases}
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\end{align*}
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Offenbar konvergiert $h_k$ gegen $0$ \gls{fü} auf $\mathbb{R}$ und man hat $h_k\to 0$ \gls{fü} auf $\mathbb{R}$ und $\int_{\mathbb{R}} h_k \D x = \alpha_k$
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Offenbar konvergiert $h_k$ gegen $0$ \gls{fue} auf $\mathbb{R}$ und man hat $h_k\to 0$ \gls{fue} auf $\mathbb{R}$ und $\int_{\mathbb{R}} h_k \D x = \alpha_k$
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\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
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$\Rightarrow$ & je nach Wahl der Folge $\alpha_n$ liegt ganz unterschiedliches Konvergenzverhalten der Folge $\int_{\mathbb{R}} h_k \D x$ vor \\
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$\Rightarrow$ & kein eindeutiger Grenzwert in \eqref{integral_messbare_funktion_forderung} möglich \\
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@ -90,7 +90,7 @@ nach \propref{messbarkeit_funktion_approximation} sollte man in \eqref{integral_
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\end{align*}
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\stepcounter{equation}
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Messbare Funktion $f:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ heißt \begriff{integrierbar} auf $M\subset D$, falls Folge von Treppenfunktionen $\{ h_k\}$ in $T^1(M)$ existiert mit $\{ h_k\}$ ist $L1$-CF auf $M$ und $H_k\to f$ \gls{fü} auf $M$.\marginnote{\leqnos\begin{align}\proplbl{integral_funktion_definition}\,\end{align}Formel (3) unbekannt}[-1.5\baselineskip]
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Messbare Funktion $f:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ heißt \begriff{integrierbar} auf $M\subset D$, falls Folge von Treppenfunktionen $\{ h_k\}$ in $T^1(M)$ existiert mit $\{ h_k\}$ ist $L1$-CF auf $M$ und $H_k\to f$ \gls{fue} auf $M$.\marginnote{\leqnos\begin{align}\proplbl{integral_funktion_definition}\,\end{align}Formel (3) unbekannt}[-1.5\baselineskip]
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Für integrierbare Funktion $f$ heißt eine solche Folge $\{h_k\}$ \begriff{zugehörige $L^1$-CF} auf $M$.
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@ -122,7 +122,7 @@ Menge der auf $M$ integrierbaren Funktionen ist \mathsymbol*{L1}{$L^1$} \begin{a
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\begin{remark}\vspace*{0pt}
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\begin{enumerate}[label={\alph*)},topsep=\dimexpr -\baselineskip / 2\relax]
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\item Integral in \eqref{integral_lebesque_funktion_definition} kann als vorzeichenbehaftetes Volumen des Zylinders im $\mathbb{R}^{n+1}$ unter (über) dem Graphen von $f$ interpretiert werden.
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||||
\item Sei $0\le h_1 \le h_2 \le \dotsc$ monotone Folge von integrierbaren Treppenfunktionen mit $h_k\to f$ \gls{fü} auf $M$ und sei Folge $\{ \int_M h_k\D x\}$ in $\mathbb{R}$ beschränkt \\
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||||
\item Sei $0\le h_1 \le h_2 \le \dotsc$ monotone Folge von integrierbaren Treppenfunktionen mit $h_k\to f$ \gls{fue} auf $M$ und sei Folge $\{ \int_M h_k\D x\}$ in $\mathbb{R}$ beschränkt \\
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||||
$\Rightarrow$ \eqref{integral_lebesque_funktion_definition} gilt und monotone Folge $\{ \int_m h_k \D x \}$ konvergiert in $\mathbb{R}$ (d.h. $\{ h_k \}$ ist $L^1$-CF zu $f$)
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||||
\item $\{ h_k\}$ aus \propref{integral_funktion_beispiel_striktere_konvergenz} ist nur dann $L^1$-CF, falls $\alpha_k\to 0$.
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\end{enumerate}
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@ -162,7 +162,7 @@ $\xRightarrow[\eqref{integral_lebesque_funktion_definition}]{\propref{integral_f
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$\Rightarrow$ & $\{ h_k - \tilde{h}_k \}$ ist $L^1$-CF mit $(h_k - \tilde{h}_k)\to 0$ \gls{fü} auf $M$.
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\end{tabularx}
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Da $\{ \int_M h_k \D x\}$, $\{ \int_M \tilde{h}_k \D x \}$ in $\mathbb{R}$ konvergieren, bleibt zu zeigen: $\{ h_k\}$ ist $L^1$-CF in $T^1(M)$ mit $h_k\to 0$ \gls{fü} auf $M$
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||||
Da $\{ \int_M h_k \D x\}$, $\{ \int_M \tilde{h}_k \D x \}$ in $\mathbb{R}$ konvergieren, bleibt zu zeigen: $\{ h_k\}$ ist $L^1$-CF in $T^1(M)$ mit $h_k\to 0$ \gls{fue} auf $M$
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||||
\begin{flalign}
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||||
\Rightarrow &\int_M h_k \D x \xrightarrow{k\to\infty} 0&
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||||
\end{flalign}
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@ -275,11 +275,11 @@ Aussage \ref{integral_funktion_rechenregeln_d} bedeutet, dass eine Änderung der
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\item\proplbl{integral_funktion_eigenschaften_monotonie}
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(Monotonie)
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Seien $f$, $g$ integrierbar auf $M$. Dann \begin{center}
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||||
$f\le g$ \gls{fü} auf $M$ \ \ $\Rightarrow$ \ \ $\displaystyle\int_M f\D x \le \int_M g \D x$
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||||
$f\le g$ \gls{fue} auf $M$ \ \ $\Rightarrow$ \ \ $\displaystyle\int_M f\D x \le \int_M g \D x$
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||||
\end{center}
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||||
\item\proplbl{integral_funktion_eigenschaften_nullfunktion}
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||||
Sei $f$ integrierbar auf $M$, dann \begin{center}
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||||
$\displaystyle \int_M \vert f \vert \D x = 0$\ \ $\Leftrightarrow$ \ \ $f = 0$ \gls{fü}
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||||
$\displaystyle \int_M \vert f \vert \D x = 0$\ \ $\Leftrightarrow$ \ \ $f = 0$ \gls{fue}
|
||||
\end{center}
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||||
\end{enumerate}
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||||
In Analogie zur Treppenfunktion ist $\Vert f\Vert _1 := \int_M \vert f \vert \D x$ auf $L^1(M)$ eine Halbnorm, aber keine Norm ($\Vert f \Vert = 0$ $\cancel{\Leftrightarrow}$ $f = 0$). $\Vert f\Vert_1$ heißt \begriff{$L^1$-Halbnorm} von $f$.
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@ -293,7 +293,7 @@ Aussage \ref{integral_funktion_rechenregeln_d} bedeutet, dass eine Änderung der
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\NoEndMark
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\begin{enumerate}[label={zu \alph*)},topsep=\dimexpr -\baselineskip / 2\relax,leftmargin=\widthof{\texttt{zu b)\ }}]
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||||
\item Sei $f$ integrierbar auf $M$ und sei $\{ h_k \}$ $L^1$-CF zu $f$ \\
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||||
\ $\Rightarrow$ $\vert h_k \vert\to \vert f \vert$ \gls{fü} auf $M$.
|
||||
\ $\Rightarrow$ $\vert h_k \vert\to \vert f \vert$ \gls{fue} auf $M$.
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||||
|
||||
Wegen $\int_M \left\vert \vert h_k \vert - \vert h_l \vert\right\vert \D x$\marginnote{$\vert\vert \alpha\vert - \vert\beta\vert\vert \le \vert \alpha - \beta\vert$ $\forall \alpha,\beta\in\mathbb{R}$} $\overset{\cref{integral_treppenfunktion_grundlegende_folgerung}}{\le}$ $\int_M \vert h_k - h_l \vert \D x$ ist $\{ \vert h_k\vert \}$ $L^1$-CF zu $\vert f \vert$ \\
|
||||
\ $\Rightarrow$ $\vert f \vert$ ist integrierbar.
|
||||
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@ -305,14 +305,14 @@ Aussage \ref{integral_funktion_rechenregeln_d} bedeutet, dass eine Änderung der
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|||
\end{align*}
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||||
Da $\{ \vert h_k \vert \}$ $L^1$-CF zu $\vert f \vert$ ist, folgt die Behauptung durch Grenzübergang.
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||||
|
||||
\item Nach den Rechenregeln ist $g - f$ integrierbar, wegen $\vert g - f\vert = g - f$ \gls{fü} auf $M$ folgt \begin{align*}
|
||||
\item Nach den Rechenregeln ist $g - f$ integrierbar, wegen $\vert g - f\vert = g - f$ \gls{fue} auf $M$ folgt \begin{align*}
|
||||
0 \le \left\vert \int_M g - f\D x\right\vert\overset{\ref{integral_funktion_eigenschaften_beschraenktheit}}{\le} \int_M \vert g - f\vert \D x \overset{ \cref{integral_funktion_rechenregeln}\;\ref{integral_funktion_rechenregeln_a}}{=} \int_M g \D x - \int_M f \D x
|
||||
\end{align*}
|
||||
$\Rightarrow$ Behauptung
|
||||
|
||||
\item[zu a)] für "`$\Leftarrow$"' wähle $f^\pm$ ($ f = f^+ - f^-$) jeweils eine monotone Folge von \gls{tf} $\{ h_k^\pm \}$ gemäß \propref{messbarkeit_funktion_existenz_monotone_treppenfunktionen}. Folglich liefert $H_k = h_k^+ - h_k^-$ eine Folge von \gls{tf} mit $h_k\to f$ \gls{fü} auf $M$.
|
||||
\item[zu a)] für "`$\Leftarrow$"' wähle $f^\pm$ ($ f = f^+ - f^-$) jeweils eine monotone Folge von \gls{tf} $\{ h_k^\pm \}$ gemäß \propref{messbarkeit_funktion_existenz_monotone_treppenfunktionen}. Folglich liefert $H_k = h_k^+ - h_k^-$ eine Folge von \gls{tf} mit $h_k\to f$ \gls{fue} auf $M$.
|
||||
|
||||
Wegen $\vert h_k \vert \le \vert f \vert$ \gls{fü} auf $M$ ist $\int_M \vert h_k\vert \D x \le \int_M \vert f \vert \D x$.
|
||||
Wegen $\vert h_k \vert \le \vert f \vert$ \gls{fue} auf $M$ ist $\int_M \vert h_k\vert \D x \le \int_M \vert f \vert \D x$.
|
||||
|
||||
Folglich ist die monotone Folge $\int_M \vert h_k\vert \D x$ in $\mathbb{R}$ beschränkt \\
|
||||
$\Rightarrow$ konvergent.
|
||||
|
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@ -325,7 +325,7 @@ Aussage \ref{integral_funktion_rechenregeln_d} bedeutet, dass eine Änderung der
|
|||
\end{align*}
|
||||
Als konvergente Folge ist $\{ \int_M \vert h_k \vert \D x \}$ \person{Cauchy}-Folge in $\mathbb{R}$ und folglich ist $\{ h_k \}$ $L^1$-CF und sogar $L^1$-CF zu $f$ \\
|
||||
$\Rightarrow$ $f$ integrierbar
|
||||
\item Für $f=0$ \gls{fü} auf $M$ ist offenbar $\int_M \vert f\vert \D x = 0$.
|
||||
\item Für $f=0$ \gls{fue} auf $M$ ist offenbar $\int_M \vert f\vert \D x = 0$.
|
||||
|
||||
Sei nun $\int_M \vert f \vert \D x = 0$, mit $M_k := \{ x\in M \mid \vert f \vert \ge \frac{1}{k} \}$ $\forall k\in\mathbb{N}$ ist \begin{align*}
|
||||
0 = \int_{M\setminus M_k} \vert f \vert \D x + \int_{M_k} \vert f \vert \D x \ge \int_{M\setminus M_k}0 \D x + \int_{M_k}\frac{1}{k}\D x \ge \frac{1}{k}\vert M_k\vert \ge 0
|
||||
|
|
@ -342,10 +342,10 @@ Aussage \ref{integral_funktion_rechenregeln_d} bedeutet, dass eine Änderung der
|
|||
\proplbl{integral_funktion_lemma_weitere_eigenschaften}
|
||||
Sei $f$ auf $M$ integrierbar\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
|
||||
\item Für $\alpha_1$, $\alpha_2\in\mathbb{R}$ gilt:\begin{center}
|
||||
$\alpha_1\le f \le \alpha_2$ \gls{fü} auf $M$ \ \ $\Rightarrow$ \ \ $\displaystyle \alpha_1 \vert M \vert \le \int_M f \D x \le \alpha_2 \vert M \vert$
|
||||
$\alpha_1\le f \le \alpha_2$ \gls{fue} auf $M$ \ \ $\Rightarrow$ \ \ $\displaystyle \alpha_1 \vert M \vert \le \int_M f \D x \le \alpha_2 \vert M \vert$
|
||||
\end{center}
|
||||
\item Es gilt $f\ge 0$ \gls{fü} auf $M$ \ \ $\Rightarrow$ \ \ $\int_M f \D x\ge 0$
|
||||
\item Es gilt: $\tilde{M}\subset M$ messbar, $f\ge 0$ \gls{fü} auf $M$ \\
|
||||
\item Es gilt $f\ge 0$ \gls{fue} auf $M$ \ \ $\Rightarrow$ \ \ $\int_M f \D x\ge 0$
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||||
\item Es gilt: $\tilde{M}\subset M$ messbar, $f\ge 0$ \gls{fue} auf $M$ \\
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||||
\ $\Rightarrow$ \ \ $\displaystyle \int_{\tilde{M}} f \D x \le \int_M f \D x$
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||||
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||||
(linkes Integral nach \propref{integral_funktion_rechenregeln} \ref{integral_funktion_rechenregeln_b})
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@ -358,7 +358,7 @@ Aussage \ref{integral_funktion_rechenregeln_d} bedeutet, dass eine Änderung der
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|||
\item
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Wegen $\int_M \alpha_j \D x = \alpha_j \vert M \vert $ für $\vert M \vert$ endlich folgt a) direkt aus der Monotonie des Integrals.
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||||
\item folgt mit $\alpha_1=0$ aus a)
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||||
\item folgt, da $\chi_{\tilde{M}}\cdot f \le f$ \gls{fü} auf $M$ und aus der Monotonie\hfill\csname\InTheoType Symbol\endcsname
|
||||
\item folgt, da $\chi_{\tilde{M}}\cdot f \le f$ \gls{fue} auf $M$ und aus der Monotonie\hfill\csname\InTheoType Symbol\endcsname
|
||||
\end{enumerate}
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||||
\end{proof}
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@ -369,7 +369,7 @@ In der Vorüberlegung zum Integral wurde eine gewisse Stetigkeit der Integralabb
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& \lim\limits_{k\to\infty} \int_M \vert f_k - f\vert \D x = 0 \quad(\Vert f_k - f\Vert\to0)\\
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||||
\Rightarrow\;\;&\lim\limits_{k\to\infty} \int_M f_k \D x = \int_M f\D x
|
||||
\end{align*}
|
||||
Weiterhin gibt es eine Teilfolge $\{ f_{k'}\}$ mit $f_{k'}\to f$ \gls{fü} auf $M$.
|
||||
Weiterhin gibt es eine Teilfolge $\{ f_{k'}\}$ mit $f_{k'}\to f$ \gls{fue} auf $M$.
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||||
\end{proposition}
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\begin{proof}
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@ -386,13 +386,13 @@ In der Vorüberlegung zum Integral wurde eine gewisse Stetigkeit der Integralabb
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$\Rightarrow$ & $\displaystyle M_\epsilon \subset\bigcup_{l=j}^\infty \{ \vert f_{k_l} - f \vert > \epsilon \}$ $\forall j\in\mathbb{N}$ \\
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||||
$\Rightarrow$ & $\displaystyle M_\epsilon \le \sum_{l=j}^\infty \left\vert \left\{ f_{k_l} - f\vert > \epsilon \right\} \right\vert \le \frac{1}{\epsilon} \sum_{l=j}^\infty \int _M \vert f_{k_l} - f\vert \D x \le \frac{1}{\epsilon} \sum_{l=j}^\infty \frac{1}{2^{l+1}} = \frac{1}{2^j \epsilon}\quad\forall j\in\mathbb{N}$\\
|
||||
$\Rightarrow$ & $M_\epsilon = 0$ $\forall\epsilon > 0$ \\
|
||||
$\Rightarrow$ & $f_{k_l} \xrightarrow{l\to\infty} f$ \gls{fü} auf $M$ \hfill\csname\InTheoType Symbol\endcsname
|
||||
$\Rightarrow$ & $f_{k_l} \xrightarrow{l\to\infty} f$ \gls{fue} auf $M$ \hfill\csname\InTheoType Symbol\endcsname
|
||||
\end{tabularx}
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||||
\end{proof}
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\begin{proposition}[Majorantenkriterium]
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||||
\proplbl{integral_funktion_majorantenkriterium}
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||||
Seien $f$, $g:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ messbar, $M$ messbar, $\vert f \vert \le g$ \gls{fü} auf $M$, $g$ integrierbar auf $M$ \\
|
||||
Seien $f$, $g:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ messbar, $M$ messbar, $\vert f \vert \le g$ \gls{fue} auf $M$, $g$ integrierbar auf $M$ \\
|
||||
$\;\Rightarrow$ $f$ integrierbar auf $M$
|
||||
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||||
Man nennt $g$ auch \begriff{integrierbare Majorante} von $f$.
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@ -404,7 +404,7 @@ In der Vorüberlegung zum Integral wurde eine gewisse Stetigkeit der Integralabb
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|||
\proplbl{integral_funktion_lemma_majorante_eq}
|
||||
0 \le h_1 \le h_2 \le \dotsc \le f\quad \text{ und }\quad \int_M h_k \D x\text{ beschränkt}
|
||||
\end{align}
|
||||
$\Rightarrow$ $\{ h_k\}$ ist $L^1$-CF zu $f$ und falls $\{ h_k\}\to f$ \gls{fü} auf $M$ ist $f$ integrierbar (vgl \propref{messbarkeit_funktion_existenz_monotone_treppenfunktionen})
|
||||
$\Rightarrow$ $\{ h_k\}$ ist $L^1$-CF zu $f$ und falls $\{ h_k\}\to f$ \gls{fue} auf $M$ ist $f$ integrierbar (vgl \propref{messbarkeit_funktion_existenz_monotone_treppenfunktionen})
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||||
\end{lemma}
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||||
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||||
\begin{proof}
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@ -414,7 +414,7 @@ In der Vorüberlegung zum Integral wurde eine gewisse Stetigkeit der Integralabb
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|||
Da $\{ \int_M h_k \D x \}$ konvergent ist in $\mathbb{R}$ als monoton beschränkte Folge ist diese CF in $\mathbb{R}$ \\
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||||
$\Rightarrow$ $\{ h_k\}$ ist $L^1$-CF
|
||||
|
||||
Falls noch $h_k\to f$ \gls{fü} $\Rightarrow$ $\{h_k\}$ ist $L^1$-CF zu $f$ $\Rightarrow$ $f$ ist integrierbar
|
||||
Falls noch $h_k\to f$ \gls{fue} $\Rightarrow$ $\{h_k\}$ ist $L^1$-CF zu $f$ $\Rightarrow$ $f$ ist integrierbar
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{proof}[\propref{integral_funktion_majorantenkriterium}]
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||||
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@ -424,7 +424,7 @@ In der Vorüberlegung zum Integral wurde eine gewisse Stetigkeit der Integralabb
|
|||
Es existiert eine Folge $\{ h_k \}$ von Treppenfunktionen mit \begin{align*}
|
||||
0 \le h_1 \le h_2 \le \dotsc \le \vert f \vert \le g
|
||||
\end{align*}
|
||||
auf $M$ und $\{ h_k\}\to\vert f \vert$ \gls{fü} auf $M$.
|
||||
auf $M$ und $\{ h_k\}\to\vert f \vert$ \gls{fue} auf $M$.
|
||||
|
||||
Da $\{ \int_M h_k \D x \}$ beschränkt ist in $\mathbb{R}$ da $g$ integrierbar ist \\
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||||
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
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|
@ -480,7 +480,7 @@ Keine Gleichheit hat man z.B. für $\{ h_k\}$ aus \propref{integral_funktion_bei
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||||
Alle $g_k$ sind messbar nach \propref{messbarkeit_funktionen_komposition}, \propref{integral_funktion_majorantenkriterium}
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||||
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||||
Für jedes $k\in\mathbb{N}$ wählen wir gemäß \propref{messbarkeit_funktion_existenz_monotone_treppenfunktionen} eine Folge $\{ h_{k_l} \}_l$ von Treppenfunktionen mit $0\le h_{k_1} \le h_{k_2} \le \dotsc \le g_k$, $h_{k_l}\xrightarrow{l\to\infty} g_k$ \gls{fü} auf $M$.
|
||||
Für jedes $k\in\mathbb{N}$ wählen wir gemäß \propref{messbarkeit_funktion_existenz_monotone_treppenfunktionen} eine Folge $\{ h_{k_l} \}_l$ von Treppenfunktionen mit $0\le h_{k_1} \le h_{k_2} \le \dotsc \le g_k$, $h_{k_l}\xrightarrow{l\to\infty} g_k$ \gls{fue} auf $M$.
|
||||
|
||||
Nach \propref{integral_funktion_lemma_majorante} ist $\{ h_{k_l}\}_l$ $L^1$-CF zu $g_k$.
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@ -497,14 +497,14 @@ Keine Gleichheit hat man z.B. für $\{ h_k\}$ aus \propref{integral_funktion_bei
|
|||
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||||
Mit $\tilde{A}_l := \bigcup_{k=l}^\infty A_k$ folgt $\vert \tilde{A}_l\vert \le \frac{1}{2^{l-1}}$ und $\vert \tilde{h}_k - f \vert \le \frac{2}{k}$ auf $(B_k(0)\cap M)\setminus \tilde{A}_l$ $\forall k>l$.
|
||||
|
||||
Folglich $\tilde{h}_l\to f$ \gls{fü} auf $M$ und wegen der Monotonie ist $\{ \tilde{h}_k\}$ $L^1$-CF zu $f$ \\
|
||||
Folglich $\tilde{h}_l\to f$ \gls{fue} auf $M$ und wegen der Monotonie ist $\{ \tilde{h}_k\}$ $L^1$-CF zu $f$ \\
|
||||
$\Rightarrow$ $\int_M f \D x \overset{\text{Def}}{=} \lim\limits_{k\to\infty} \int_M \tilde{h}_k \D x \overset{\text{Monotonie}}{\le}\liminf\limits_{k\to\infty} \int_M f_k \D x$\\
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||||
$\Rightarrow$ Behauptung
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||||
\end{proof}
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||||
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||||
\begin{theorem}[Monotone Konvergenz]
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||||
\proplbl{integral_grenzwertsatz_monotone_konvergenz}
|
||||
Seien $f_k:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ integrierbar auf $M\subset D$ $\forall k\in\mathbb{N}$ mit $f_1 \le f_2 \le \dotsc $ \gls{fü} auf $M$ \\
|
||||
Seien $f_k:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ integrierbar auf $M\subset D$ $\forall k\in\mathbb{N}$ mit $f_1 \le f_2 \le \dotsc $ \gls{fue} auf $M$ \\
|
||||
\ $\Rightarrow$ $f$ ist integrierbar auf $M$ und \begin{align*}
|
||||
\left( \int_M f \D x = \right) \int_M \lim\limits_{k\to\infty} f_k(x) \D x &= \lim\limits_{k\to\infty} \int_M f_k \D x
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
|
@ -512,7 +512,7 @@ Keine Gleichheit hat man z.B. für $\{ h_k\}$ aus \propref{integral_funktion_bei
|
|||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
\propref{integral_grenzwertsatz_monotone_konvergenz} bleibt richtig, falls man $f_1 \ge f_2 \ge \dotsc$ \gls{fü} auf $M$ hat.
|
||||
\propref{integral_grenzwertsatz_monotone_konvergenz} bleibt richtig, falls man $f_1 \ge f_2 \ge \dotsc$ \gls{fue} auf $M$ hat.
|
||||
|
||||
Ferner ist wegen der Monotonie die Beschränktheit der Folge $\{ \int_M f_k \D x \}$ für die Existenz des Grenzwertes ausreichend.
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
|
@ -529,7 +529,7 @@ Keine Gleichheit hat man z.B. für $\{ h_k\}$ aus \propref{integral_funktion_bei
|
|||
|
||||
\begin{theorem}[Majorisierte Konvergenz]
|
||||
\proplbl{integral_grenzwertsatz_majorisierte_konvergenz}
|
||||
Seien $f_k$, $g:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ messbar für $k\in\mathbb{N}$ und sei $g$ integrierbar auf $M\subset D$ mit $\vert f_k\vert \le g$ \gls{fü} auf $M$ $\forall k\in\mathbb{N}$ und $f_k\to:f$ \gls{fü} auf $M$
|
||||
Seien $f_k$, $g:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ messbar für $k\in\mathbb{N}$ und sei $g$ integrierbar auf $M\subset D$ mit $\vert f_k\vert \le g$ \gls{fue} auf $M$ $\forall k\in\mathbb{N}$ und $f_k\to:f$ \gls{fue} auf $M$
|
||||
\begin{align}
|
||||
\proplbl{integral_grenzwertsatz_majorisierte_konvergenz_eq}
|
||||
\Rightarrow\;\;\lim\limits_{k\to\infty} \int_M \vert f_k - f\vert \D x = 0
|
||||
|
|
@ -541,7 +541,7 @@ Keine Gleichheit hat man z.B. für $\{ h_k\}$ aus \propref{integral_funktion_bei
|
|||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
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||||
Nach dem Majorantenkriterium sind alle $f_k$ \gls{fü} integrierbar auf $M$.
|
||||
Nach dem Majorantenkriterium sind alle $f_k$ \gls{fue} integrierbar auf $M$.
|
||||
|
||||
Nach \propref{integral_grenzwertsatz_fatou} gilt:\begin{align*}
|
||||
\int_M 2g \D x = \int_M \liminf\limits_{k\to\infty} \vert 2g - \vert f_k - f\vert \vert \D x \le \liminf\limits_{k\to\infty} \int_M 2g - \vert f_k - f \vert \D x
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -276,7 +276,7 @@ Nach \propref{messbarkeit_satz_grundlegende_messbare_mengen} \ref{messbarkeit_sa
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|||
0 & \text{auf $(a, \alpha_k)$}
|
||||
\end{cases}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Offenbar ist $\vert f_k\vert \le \vert f\vert$, $f_k\to f$, $\vert f_k\vert \to \vert f \vert$ \gls{fü} auf $(a,b)$.
|
||||
Offenbar ist $\vert f_k\vert \le \vert f\vert$, $f_k\to f$, $\vert f_k\vert \to \vert f \vert$ \gls{fue} auf $(a,b)$.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item["`$\Rightarrow$"'] $f$ integrierbar auf $(a,b)$. Mit \propref{integral_grenzwertsatz_majorisierte_konvergenz} (Majorisierte Konvergenz) folgt \begin{align*}
|
||||
\lim\limits_{k\to\infty} \int_{\alpha_k}^b \vert f \vert \D x &= \lim\limits_{k\to\infty} \int_a^b \vert f_k\vert \D x = \int_a^b \vert f \vert \D x
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -120,7 +120,7 @@ Nach \eqref{messbarkeit_satz_teilmenge_kleineres_mass_eq} und \eqref{messbarkeit
|
|||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{*definition}
|
||||
Eine Eigenschaft gilt \gls{fü} auf $M\subset\mathbb{R}^n$, falls eine Nullmenge existiert, sodass die Eigenschaft $\forall x\in M\setminus N$ gilt. Man sagt auch, dass die Eigenschaft für \gls{fa} $x\in M$ gilt.
|
||||
Eine Eigenschaft gilt \gls{fue} auf $M\subset\mathbb{R}^n$, falls eine Nullmenge existiert, sodass die Eigenschaft $\forall x\in M\setminus N$ gilt. Man sagt auch, dass die Eigenschaft für \gls{fa} $x\in M$ gilt.
|
||||
\end{*definition}
|
||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
|
|
@ -130,7 +130,7 @@ Nach \eqref{messbarkeit_satz_teilmenge_kleineres_mass_eq} und \eqref{messbarkeit
|
|||
1, &x\in\mathbb{Q} \\ 0,&x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}
|
||||
\end{cases}
|
||||
\end{align*}
|
||||
ist $f=0$ \gls{fü} auf $\mathbb{R}$.
|
||||
ist $f=0$ \gls{fue} auf $\mathbb{R}$.
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
\subsection{Messbare Mengen}
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||||
|
|
@ -387,14 +387,14 @@ Man sieht leicht
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|||
Es gilt:\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
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||||
\item Sei $f:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ messbar. Dann ist auch die Nullfortsetzung $\overline{f}:\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ messbar
|
||||
\item Sei $f:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ messbar und $D'\subset D$ messbar. Dann ist $f$ auf $D'$ messbar, d.h. insbesondere $\left. f\right|_{D'}$ ist messbar.
|
||||
\item Seien $f,g:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$. Sei $f$ messbar und $f=g$ \gls{fü} auf $D$. Dann ist $g$ messbar.
|
||||
\item Seien $f,g:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$. Sei $f$ messbar und $f=g$ \gls{fue} auf $D$. Dann ist $g$ messbar.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
Die \person{Dirichlet}-Funktion ist auf $\mathbb{R}$ messbar.
|
||||
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||||
$h=0$ ist messbare Treppenfunktion auf $\mathbb{R}$ und stimmt mit der \person{Dirichlet}-Funktion \gls{fü} überein.
|
||||
$h=0$ ist messbare Treppenfunktion auf $\mathbb{R}$ und stimmt mit der \person{Dirichlet}-Funktion \gls{fue} überein.
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
\begin{proof}\hspace*{0pt}
|
||||
|
|
@ -423,7 +423,7 @@ f:=\max(f_1, f_2):\mathbb{R}^n\to\mathbb{R},\;\;f(x) = \max \{ f_1(x), f_2(x) \}
|
|||
\end{align*}
|
||||
und analog: $\min(f_1, f_2)$, $\sup\limits_{k\in\mathbb{N}} f_k$, $\inf\limits_{k\in\mathbb{N}} f_k$, $\limsup\limits_{k\to\infty} f_k$, $\liminf\limits_{k\in\mathbb{N}} f_k$
|
||||
|
||||
Bei punktweiser Konvergenz $f_k(x)\to f(x)$ für \gls{fa} $x\in D$ schreibt man auch $f_k\to f$ \gls{fü} auf $D$.
|
||||
Bei punktweiser Konvergenz $f_k(x)\to f(x)$ für \gls{fa} $x\in D$ schreibt man auch $f_k\to f$ \gls{fue} auf $D$.
|
||||
\end{*definition}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}[zusammengesetzte messbare Funktionen]
|
||||
|
|
@ -494,7 +494,7 @@ Bei punktweiser Konvergenz $f_k(x)\to f(x)$ für \gls{fa} $x\in D$ schreibt man
|
|||
Sei $f:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$, $D$ messbar. Dann
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }c@{\ \ }X}
|
||||
\hspace*{0.19\linewidth} $f$ messbar & $\Leftrightarrow$ & $\exists$ Folge $\{ h_k\}$ von Treppenfunktionen mit $h_k\to f$ \gls{fü} auf $D$
|
||||
\hspace*{0.19\linewidth} $f$ messbar & $\Leftrightarrow$ & $\exists$ Folge $\{ h_k\}$ von Treppenfunktionen mit $h_k\to f$ \gls{fue} auf $D$
|
||||
\end{tabularx}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
|
@ -521,10 +521,10 @@ Bei punktweiser Konvergenz $f_k(x)\to f(x)$ für \gls{fa} $x\in D$ schreibt man
|
|||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\item["`$\Leftarrow$"']
|
||||
Sei $\tilde{f}(x) := \limsup\limits_{k\to\infty} h_k(x)$ $\forall x\in D$ $\Rightarrow$ $f(x) = \tilde{f}(x)$ \gls{fü} auf $D$ \\
|
||||
Sei $\tilde{f}(x) := \limsup\limits_{k\to\infty} h_k(x)$ $\forall x\in D$ $\Rightarrow$ $f(x) = \tilde{f}(x)$ \gls{fue} auf $D$ \\
|
||||
Nach \propref{messbarkeit_funktionen_komposition}: $h_k$ messbar $\Rightarrow$ $\tilde{f}$ messbar
|
||||
|
||||
Da $f=\tilde{f}$ \gls{fü} folgt $f$ messbar.
|
||||
Da $f=\tilde{f}$ \gls{fue} folgt $f$ messbar.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
|
|
@ -532,7 +532,7 @@ Bei punktweiser Konvergenz $f_k(x)\to f(x)$ für \gls{fa} $x\in D$ schreibt man
|
|||
\proplbl{messbarkeit_funktion_existenz_monotone_treppenfunktionen}
|
||||
Sei $f:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ messbar mit $f\ge 0$
|
||||
|
||||
$\Rightarrow$ $\exists$ Folge $\{h_k\}$ von Treppenfunktionen mit $0 \le h_1 \le h_2 \le \dotsc \le f$ auf $D$ und $h_k\to f$ \gls{fü} auf $D$.
|
||||
$\Rightarrow$ $\exists$ Folge $\{h_k\}$ von Treppenfunktionen mit $0 \le h_1 \le h_2 \le \dotsc \le f$ auf $D$ und $h_k\to f$ \gls{fue} auf $D$.
|
||||
\end{conclusion}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
|
|
@ -557,7 +557,7 @@ Bei punktweiser Konvergenz $f_k(x)\to f(x)$ für \gls{fa} $x\in D$ schreibt man
|
|||
Folgende Funktionen sind messbar
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Stetige Funktionen auf offenen und abgeschlossenen Mengen (wähle $N=\emptyset$ im obigen Satz), insbesondere konstante Funktionen sind messbar
|
||||
\item Funktionen auf offenen und abgeschlossenen Mengen, die \gls{fü} mit einer stetigen Funktion übereinstimmen
|
||||
\item Funktionen auf offenen und abgeschlossenen Mengen, die \gls{fue} mit einer stetigen Funktion übereinstimmen
|
||||
\item $\tan$, $\cot$ auf $\mathbb{R}$ (setzte z.b. $\tan\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right) = \cot(k\pi) = 0$ $\forall k$)
|
||||
\item $x\to \sin\frac{1}{x}$ auf $[-1,1]$ (setzte beliebigen Wert in $x=0$)
|
||||
\item $\chi_M:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ist für $\vert\partial M\vert = 0$ messbar auf $\mathbb{R}$ (dann ist $\chi$ auf $\inn M$, $\ext M$ stetig)
|
||||
|
|
@ -565,7 +565,7 @@ Bei punktweiser Konvergenz $f_k(x)\to f(x)$ für \gls{fa} $x\in D$ schreibt man
|
|||
\end{example}
|
||||
|
||||
\begin{underlinedenvironment}[Hinweis]
|
||||
Die \person{Dirichlet}-Funktion ist stetig auf $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ und somit nach \propref{messbarkeit_funktion_funktion_messbar} messbar. Man beachte aber, das dies nicht bedeutet, dass die \person{Dirichlet}-Funktion auf $\mathbb{R}$ \gls{fü} stetig ist! (sie ist nirgends stetig auf $\mathbb{R}$)
|
||||
Die \person{Dirichlet}-Funktion ist stetig auf $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ und somit nach \propref{messbarkeit_funktion_funktion_messbar} messbar. Man beachte aber, das dies nicht bedeutet, dass die \person{Dirichlet}-Funktion auf $\mathbb{R}$ \gls{fue} stetig ist! (sie ist nirgends stetig auf $\mathbb{R}$)
|
||||
\end{underlinedenvironment}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}[Egorov]
|
||||
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|
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|||
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@ -115,7 +115,7 @@
|
|||
\item[3)] Fallunterscheidung SeSt
|
||||
\item[4)] Fallunterscheidung SeSt
|
||||
\item[5)] $a = \frac{a}{b}\cdot a \overset{\text{4)}}{\Rightarrow} \vert a \vert = \vert \vert \frac{a}{b} \vert \cdot \vert b \vert \vert \overset{\cdot \vert b \vert^{-1}}{\Rightarrow} \frac{\vert a \vert}{\vert b \vert} = \vert \frac{a}{b} \vert$
|
||||
\item[6)] nach 1) $a \leq \vert a \vert, b \leq \vert b \vert \xRightarrow{\text{\propref{k_angeordneter_körper}}} a+b \leq \vert a \vert + \vert b \vert$ analog $-a-b \leq \vert a + \vert b\vert \Rightarrow$ Behauptung
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\item[6)] nach 1) $a \leq \vert a \vert, b \leq \vert b \vert \xRightarrow{\text{\propref{k_angeordneter_koerper}}} a+b \leq \vert a \vert + \vert b \vert$ analog $-a-b \leq \vert a + \vert b\vert \Rightarrow$ Behauptung
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\item[7)] $\vert a \vert = \vert a+b-b \vert \overset{\text{6)}}{\leq} \vert a+ b \vert + \vert b \vert \Rightarrow \vert a \vert - \vert b \vert \leq \vert a + b \vert $ analog $\vert b \vert - \vert a \vert \leq \vert a + b \vert \Rightarrow$ Behauptung
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\item[8)] für $n = 0,1$, $a = 0$ klar\\
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Zeige: $(1+a)^n > 1 + na \forall n \leq 2, a \neq 0$ durch voll. Induktion ÜA
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@ -137,8 +137,8 @@
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\begin{proof}
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\begin{itemize}
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\item[a)] $0_K \overset{\text{\propref{k_angeordneter_körper}}}{<} 1 \overset{\text{voll. Ind.}}{\Rightarrow} 0_k < n 1_k \forall n \in \mathbb{N}
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\xRightarrow[\text{Vielfache}]{\text{\propref{k_angeordneter_körper}}}(-n)1_K = -(n1_k) < 0_K \Rightarrow n 1_K \neq 0_K \forall n \in \mathbb{Z}_{\neq 0} \Rightarrow f$ auf $\mathbb{Q}$ definiert
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\item[a)] $0_K \overset{\text{\propref{k_angeordneter_koerper}}}{<} 1 \overset{\text{voll. Ind.}}{\Rightarrow} 0_k < n 1_k \forall n \in \mathbb{N}
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\xRightarrow[\text{Vielfache}]{\text{\propref{k_angeordneter_koerper}}}(-n)1_K = -(n1_k) < 0_K \Rightarrow n 1_K \neq 0_K \forall n \in \mathbb{Z}_{\neq 0} \Rightarrow f$ auf $\mathbb{Q}$ definiert
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\item[b)] Sei $f(\frac{m}{m^{'}}) = f(\frac{n}{n^{'}}) \Rightarrow \frac{m1_K}{m^{'}1_K} = \frac{n 1_K}{n^{'}1_K} \Rightarrow (m1_K)(n^{'}1_K) = (n 1_K)(m^{'}1_K)$\\
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$\Rightarrow (mn^{'})1_K = (nm^{'})1_K \Rightarrow (mn^{'}-m^{'}n)1_K = 0_K \xRightarrow{\text{a)}} mn^{'} = m^{'}n =_{\mathbb{Z}} 0 \Rightarrow \frac{m}{m^{'}} =_{\mathbb{Q}} \frac{n}{n^{'}} \Rightarrow f$ injektiv
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\item[c)] $f(\frac{m}{m^{'}}+\frac{n}{n^{'}}) = f(\frac{mn^{'} + m^{'}n}{m{'}n^{'}}) = \frac{mn^{'} + m^{'}n}{m{'}n^{'}}\frac{1_K}{1_K} \overset{\text{b)}}{=} \frac{m1_K}{m^{'}1_K} + \frac{n1_K}{n^{'}1_K} \overset{f\text{ inj}}{=} f(\frac{m}{m^{'}}) + f(\frac{n}{n^{'}})$\\
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@ -17,7 +17,7 @@
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\newacronym{vr}{VR}{Vektorraum}
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\newacronym{diffbar}{diffbar}{differenzierbar}
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\newacronym{mws}{MWS}{Mittelwertsatz}
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\newacronym{fü}{f.ü.}{fast überall}
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%\newacronym{fü}{f.ü.}{fast überall}
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\title{\textbf{Analysis (WS2017/18 + SS2018)}}
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\author{Dozent: Prof. Dr. Friedemann Schuricht\\
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