diff --git a/2. Semester/ANAG/TeX_files/Anwendungen.tex b/2. Semester/ANAG/TeX_files/Anwendungen.tex index f471148..756a112 100644 --- a/2. Semester/ANAG/TeX_files/Anwendungen.tex +++ b/2. Semester/ANAG/TeX_files/Anwendungen.tex @@ -56,7 +56,7 @@ Sei stets $f: D \subset X \to Y,X,Y$ metrische Räume, $D = \mathcal{D}(f)$. \begin{example} \begin{enumerate}[label={\arabic*)}] \item $x \in [0,2\pi] \to (x,\sin x) \in \mathbb{R}^2$ ist Kurve in $\mathbb{R}^2$ - \item $x \in [0,1] \to e^{î\pi x} \in \mathbb{C}$ oder $x \in [0,\pi]\to e^{i\pi} \in \mathbb{C}$ sind Kurven in $\mathbb{C}$ + \item $x \in [0,1] \to e^{i\pi x} \in \mathbb{C}$ oder $x \in [0,\pi]\to e^{i\pi} \in \mathbb{C}$ sind Kurven in $\mathbb{C}$ \item Sei $Y$ normierter Raum, $a,b \in Y,f:[0,1] \to Y$ mit $f(t) = (1-t)\cdot a + t\cdot b$ ist Kurve (Strecke von $a$ nach $b$) \end{enumerate} \end{example} @@ -178,10 +178,10 @@ Sei stets $f: D \subset X \to Y,X,Y$ metrische Räume, $D = \mathcal{D}(f)$. \begin{lemma} Sei $R: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ rationale Funktion, $z_0 \in \mathbb{C}$ Pol der Ordnung $k\geq 1 \Rightarrow \,\exists ! a_1,\dots,a_k \in \mathbb{C},a_k\neq 0$ und $\exists !$ Polynom $\tilde{p}$ mit - \[ - R(z) = \sum_{i=1}^{k} - \frac{a_i}{(z-z_0)^{î}} + \frac{\tilde{p}(z)}{\tilde{g}(z)} = H(z) +\frac{\tilde{p}(z)}{\tilde{g}(z)} - \] + \begin{align} + R(z) = \sum_{i=1}^{k} + \frac{a_i}{(z-z_0)^{i}} + \frac{\tilde{p}(z)}{\tilde{g}(z)} = H(z) +\frac{\tilde{p}(z)}{\tilde{g}(z)} + \end{align} $H(z)$ heißt Hauptteil von $R \text{ in } z_0$. Beachte das $\frac{\tilde{p}}{\tilde{g}}$ keine Pole in $z_0$ hat. \end{lemma} diff --git a/2. Semester/ANAG/TeX_files/Fubini.tex b/2. Semester/ANAG/TeX_files/Fubini.tex index a1407b9..8911bd9 100644 --- a/2. Semester/ANAG/TeX_files/Fubini.tex +++ b/2. Semester/ANAG/TeX_files/Fubini.tex @@ -75,7 +75,7 @@ Betrachte Integrale auf $X\times Y$ mit $X=\mathbb{R}^p$, $Y=\mathbb{R}^q$, $(x, \vert M \vert = \int_Y \psi \D y \end{align} - \item Falls $\vert M \vert = 0$, folgt $\psi(y) = 0$ \gls{fü} auf $Y$ \\ \begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X} + \item Falls $\vert M \vert = 0$, folgt $\psi(y) = 0$ \gls{fue} auf $Y$ \\ \begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X} $\Rightarrow$ & \propref{fubini_folgerung_nullmenge} bewiesen. \end{tabularx} \end{itemize} @@ -83,12 +83,12 @@ Betrachte Integrale auf $X\times Y$ mit $X=\mathbb{R}^p$, $Y=\mathbb{R}^q$, $(x, \rule{0.5\linewidth}{0.1pt} \begin{itemize} - \item $\{ \chi_{R_k}\}$ monoton fallend mit $\psi_{R_k}\to\chi_M$ \gls{fü} auf $X\times Y$ und $\chi_{R_k}$ integrierbar auf $X\times Y$ \\ + \item $\{ \chi_{R_k}\}$ monoton fallend mit $\psi_{R_k}\to\chi_M$ \gls{fue} auf $X\times Y$ und $\chi_{R_k}$ integrierbar auf $X\times Y$ \\ \begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X} $\Rightarrow$ & $\{ \chi_{R_k}\}$ ist $L^1$-CF zu $\chi_M$ und \[\int_{X\times Y} \psi_{R_k} \D (x,y) \to \int_{X\times Y} \chi_M \D (x,y).\] \end{tabularx} - \item Nach \propref{fubini_folgerung_nullmenge} existiert Nullmenge $\tilde{N}\subset Y$ mit $\chi_{R_k}(\,\cdot\, , y)\to \chi_M(\,\cdot \, , y)$ \gls{fü} auf $X$ $\forall y\in Y\setminus\tilde{N}$ \\ + \item Nach \propref{fubini_folgerung_nullmenge} existiert Nullmenge $\tilde{N}\subset Y$ mit $\chi_{R_k}(\,\cdot\, , y)\to \chi_M(\,\cdot \, , y)$ \gls{fue} auf $X$ $\forall y\in Y\setminus\tilde{N}$ \\ \begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X} $\xRightarrow{\eqref{fubini_fubini_beweis_3},\eqref{fubini_fubini_beweis_4}}$ & $\chi_{R_k} (\,\cdot\, , y)$ integrierbar auf $X$ $\forall k\in \mathbb{N}$, $y\in Y\setminus\tilde{N}$ \\ $\xRightarrow[\text{Konvergenz}]{\text{majorisierte}}$ & $\chi_M(\,\cdot\, ,y)$ integrierbar auf $X$ $\forall y\in Y\setminus\tilde{N}$ mit @@ -106,7 +106,7 @@ Betrachte Integrale auf $X\times Y$ mit $X=\mathbb{R}^p$, $Y=\mathbb{R}^q$, $(x, $\Rightarrow$ & $\displaystyle \int_{X\times Y} h_k(x,y) \D (x,y) \overset{\text{a)}}{=} \int_Y \left( \int_X h_k \D x\right) \D y$ \end{tabularx} - Analog zu \ref{fubini_fubini_beweis_teil_a} folgt: $h_k(\,\cdot\, , y)\to f(\,\cdot\,,y)$ \gls{fü} auf $X$ für \gls{fa} $y\in Y$ \\ \begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X} + Analog zu \ref{fubini_fubini_beweis_teil_a} folgt: $h_k(\,\cdot\, , y)\to f(\,\cdot\,,y)$ \gls{fue} auf $X$ für \gls{fa} $y\in Y$ \\ \begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X} $\xRightarrow[\text{Konvergenz}]{\text{Majorisierte}}$ & Behauptung für $f$. \end{tabularx} @@ -140,7 +140,7 @@ Betrachte Integrale auf $X\times Y$ mit $X=\mathbb{R}^p$, $Y=\mathbb{R}^q$, $(x, $\Rightarrow$ & $f$ ist integrierbar auf $X\times Y$ \end{tabularx} - Offenbar sind die $\{ f_k \}$ wachsend, $f_k\to \vert f \vert$ \gls{fü} auf $X\times Y$. Falls oberes Integral in \eqref{fubini_tonelli_eq} existiert, gilt \begin{align*} + Offenbar sind die $\{ f_k \}$ wachsend, $f_k\to \vert f \vert$ \gls{fue} auf $X\times Y$. Falls oberes Integral in \eqref{fubini_tonelli_eq} existiert, gilt \begin{align*} \int_{X\times Y} f(x,y) \D(x,y) \overset{\text{Fubini}}{=} \int_Y \left( \int_X f_k \D x\right) \D y \le \int_Y \left( \int_X \vert f \vert \D x \right)\D y < \infty \end{align*} \begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X} diff --git a/2. Semester/ANAG/TeX_files/Grundlegende_Ungleichungen.tex b/2. Semester/ANAG/TeX_files/Grundlegende_Ungleichungen.tex index 143d9d7..056f1a1 100644 --- a/2. Semester/ANAG/TeX_files/Grundlegende_Ungleichungen.tex +++ b/2. Semester/ANAG/TeX_files/Grundlegende_Ungleichungen.tex @@ -39,7 +39,7 @@ &\leq \frac{m(1+x)+(n-m)\cdot1}{n}&\\ &=\frac{n + mx}{n} = 1 + \frac{m}{n}x \text{, für } \alpha \in \ratio \beha& \shortintertext{Sei $\alpha \in \real$ angenommen $(1+x)^{\alpha} > 1 + \alpha x$ ($x\neq 0$ sonst klar!)} - & \overset{\text{\propref{k_archimedisch_angeordneter_körper}}}{\Rightarrow} \exists \in \ratio_{<1} + & \overset{\text{\propref{k_archimedisch_angeordneter_koerper}}}{\Rightarrow} \exists \in \ratio_{<1} \begin{cases*} x > 0&$\alpha1$ sei $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\Rightarrow q = \frac{p}{p-1}$, $z_i:=\vert x_i + y_i\vert^{p-1}\forall i$ + $p=1$ Beh. folgt aus $\Delta$-Ungleichung $\vert x_i + y_i\vert \overset{\text{\propref{k_angeordneter_koerper}}}{\leq} \vert x_i \vert + \vert y_i \vert \forall i$\\ $p>1$ sei $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\Rightarrow q = \frac{p}{p-1}$, $z_i:=\vert x_i + y_i\vert^{p-1}\forall i$ \begin{align*} \mathcal{S}^{p\cdot q} &= \sum_{i=1}^{n} \vert z_i \vert^q\\ & = \sum_{i=1}^{n} \vert x_i+y_i \vert\cdot\vert z_i \vert^q\\ diff --git a/2. Semester/ANAG/TeX_files/Integral.tex b/2. Semester/ANAG/TeX_files/Integral.tex index 9306865..8753bab 100644 --- a/2. Semester/ANAG/TeX_files/Integral.tex +++ b/2. Semester/ANAG/TeX_files/Integral.tex @@ -48,7 +48,7 @@ sinnvoll: \proplbl{integral_messbare_funktion_forderung} h_k\to f\text{ in geeigneter Weise }\;\; &\Rightarrow\;\;\int_M h_k \D x \to \int_m f \D x \end{align} -nach \propref{messbarkeit_funktion_approximation} sollte man in \eqref{integral_messbare_funktion_forderung} eine Folge von Treppenfunktionen $\{ h_k\}$ mit $h_k(x)\to f(x)$ \gls{fü} auf $M$ betrachten, \emph{aber} es gibt zu viele konvergente Folgen für einen konsistenten Integralbegriff. +nach \propref{messbarkeit_funktion_approximation} sollte man in \eqref{integral_messbare_funktion_forderung} eine Folge von Treppenfunktionen $\{ h_k\}$ mit $h_k(x)\to f(x)$ \gls{fue} auf $M$ betrachten, \emph{aber} es gibt zu viele konvergente Folgen für einen konsistenten Integralbegriff. \begin{example} \proplbl{integral_funktion_beispiel_striktere_konvergenz} @@ -57,7 +57,7 @@ nach \propref{messbarkeit_funktion_approximation} sollte man in \eqref{integral_ k\cdot \alpha_k&\text{auf }(0,\frac{1}{k}) \\ 0&\text{sonst} \end{cases} \end{align*} - Offenbar konvergiert $h_k$ gegen $0$ \gls{fü} auf $\mathbb{R}$ und man hat $h_k\to 0$ \gls{fü} auf $\mathbb{R}$ und $\int_{\mathbb{R}} h_k \D x = \alpha_k$ + Offenbar konvergiert $h_k$ gegen $0$ \gls{fue} auf $\mathbb{R}$ und man hat $h_k\to 0$ \gls{fue} auf $\mathbb{R}$ und $\int_{\mathbb{R}} h_k \D x = \alpha_k$ \begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X} $\Rightarrow$ & je nach Wahl der Folge $\alpha_n$ liegt ganz unterschiedliches Konvergenzverhalten der Folge $\int_{\mathbb{R}} h_k \D x$ vor \\ $\Rightarrow$ & kein eindeutiger Grenzwert in \eqref{integral_messbare_funktion_forderung} möglich \\ @@ -90,7 +90,7 @@ nach \propref{messbarkeit_funktion_approximation} sollte man in \eqref{integral_ \end{align*} \stepcounter{equation} - Messbare Funktion $f:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ heißt \begriff{integrierbar} auf $M\subset D$, falls Folge von Treppenfunktionen $\{ h_k\}$ in $T^1(M)$ existiert mit $\{ h_k\}$ ist $L1$-CF auf $M$ und $H_k\to f$ \gls{fü} auf $M$.\marginnote{\leqnos\begin{align}\proplbl{integral_funktion_definition}\,\end{align}Formel (3) unbekannt}[-1.5\baselineskip] + Messbare Funktion $f:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ heißt \begriff{integrierbar} auf $M\subset D$, falls Folge von Treppenfunktionen $\{ h_k\}$ in $T^1(M)$ existiert mit $\{ h_k\}$ ist $L1$-CF auf $M$ und $H_k\to f$ \gls{fue} auf $M$.\marginnote{\leqnos\begin{align}\proplbl{integral_funktion_definition}\,\end{align}Formel (3) unbekannt}[-1.5\baselineskip] Für integrierbare Funktion $f$ heißt eine solche Folge $\{h_k\}$ \begriff{zugehörige $L^1$-CF} auf $M$. @@ -122,7 +122,7 @@ Menge der auf $M$ integrierbaren Funktionen ist \mathsymbol*{L1}{$L^1$} \begin{a \begin{remark}\vspace*{0pt} \begin{enumerate}[label={\alph*)},topsep=\dimexpr -\baselineskip / 2\relax] \item Integral in \eqref{integral_lebesque_funktion_definition} kann als vorzeichenbehaftetes Volumen des Zylinders im $\mathbb{R}^{n+1}$ unter (über) dem Graphen von $f$ interpretiert werden. - \item Sei $0\le h_1 \le h_2 \le \dotsc$ monotone Folge von integrierbaren Treppenfunktionen mit $h_k\to f$ \gls{fü} auf $M$ und sei Folge $\{ \int_M h_k\D x\}$ in $\mathbb{R}$ beschränkt \\ + \item Sei $0\le h_1 \le h_2 \le \dotsc$ monotone Folge von integrierbaren Treppenfunktionen mit $h_k\to f$ \gls{fue} auf $M$ und sei Folge $\{ \int_M h_k\D x\}$ in $\mathbb{R}$ beschränkt \\ $\Rightarrow$ \eqref{integral_lebesque_funktion_definition} gilt und monotone Folge $\{ \int_m h_k \D x \}$ konvergiert in $\mathbb{R}$ (d.h. $\{ h_k \}$ ist $L^1$-CF zu $f$) \item $\{ h_k\}$ aus \propref{integral_funktion_beispiel_striktere_konvergenz} ist nur dann $L^1$-CF, falls $\alpha_k\to 0$. \end{enumerate} @@ -162,7 +162,7 @@ $\xRightarrow[\eqref{integral_lebesque_funktion_definition}]{\propref{integral_f $\Rightarrow$ & $\{ h_k - \tilde{h}_k \}$ ist $L^1$-CF mit $(h_k - \tilde{h}_k)\to 0$ \gls{fü} auf $M$. \end{tabularx} - Da $\{ \int_M h_k \D x\}$, $\{ \int_M \tilde{h}_k \D x \}$ in $\mathbb{R}$ konvergieren, bleibt zu zeigen: $\{ h_k\}$ ist $L^1$-CF in $T^1(M)$ mit $h_k\to 0$ \gls{fü} auf $M$ + Da $\{ \int_M h_k \D x\}$, $\{ \int_M \tilde{h}_k \D x \}$ in $\mathbb{R}$ konvergieren, bleibt zu zeigen: $\{ h_k\}$ ist $L^1$-CF in $T^1(M)$ mit $h_k\to 0$ \gls{fue} auf $M$ \begin{flalign} \Rightarrow &\int_M h_k \D x \xrightarrow{k\to\infty} 0& \end{flalign} @@ -275,11 +275,11 @@ Aussage \ref{integral_funktion_rechenregeln_d} bedeutet, dass eine Änderung der \item\proplbl{integral_funktion_eigenschaften_monotonie} (Monotonie) Seien $f$, $g$ integrierbar auf $M$. Dann \begin{center} - $f\le g$ \gls{fü} auf $M$ \ \ $\Rightarrow$ \ \ $\displaystyle\int_M f\D x \le \int_M g \D x$ + $f\le g$ \gls{fue} auf $M$ \ \ $\Rightarrow$ \ \ $\displaystyle\int_M f\D x \le \int_M g \D x$ \end{center} \item\proplbl{integral_funktion_eigenschaften_nullfunktion} Sei $f$ integrierbar auf $M$, dann \begin{center} - $\displaystyle \int_M \vert f \vert \D x = 0$\ \ $\Leftrightarrow$ \ \ $f = 0$ \gls{fü} + $\displaystyle \int_M \vert f \vert \D x = 0$\ \ $\Leftrightarrow$ \ \ $f = 0$ \gls{fue} \end{center} \end{enumerate} In Analogie zur Treppenfunktion ist $\Vert f\Vert _1 := \int_M \vert f \vert \D x$ auf $L^1(M)$ eine Halbnorm, aber keine Norm ($\Vert f \Vert = 0$ $\cancel{\Leftrightarrow}$ $f = 0$). $\Vert f\Vert_1$ heißt \begriff{$L^1$-Halbnorm} von $f$. @@ -293,7 +293,7 @@ Aussage \ref{integral_funktion_rechenregeln_d} bedeutet, dass eine Änderung der \NoEndMark \begin{enumerate}[label={zu \alph*)},topsep=\dimexpr -\baselineskip / 2\relax,leftmargin=\widthof{\texttt{zu b)\ }}] \item Sei $f$ integrierbar auf $M$ und sei $\{ h_k \}$ $L^1$-CF zu $f$ \\ - \ $\Rightarrow$ $\vert h_k \vert\to \vert f \vert$ \gls{fü} auf $M$. + \ $\Rightarrow$ $\vert h_k \vert\to \vert f \vert$ \gls{fue} auf $M$. Wegen $\int_M \left\vert \vert h_k \vert - \vert h_l \vert\right\vert \D x$\marginnote{$\vert\vert \alpha\vert - \vert\beta\vert\vert \le \vert \alpha - \beta\vert$ $\forall \alpha,\beta\in\mathbb{R}$} $\overset{\cref{integral_treppenfunktion_grundlegende_folgerung}}{\le}$ $\int_M \vert h_k - h_l \vert \D x$ ist $\{ \vert h_k\vert \}$ $L^1$-CF zu $\vert f \vert$ \\ \ $\Rightarrow$ $\vert f \vert$ ist integrierbar. @@ -305,14 +305,14 @@ Aussage \ref{integral_funktion_rechenregeln_d} bedeutet, dass eine Änderung der \end{align*} Da $\{ \vert h_k \vert \}$ $L^1$-CF zu $\vert f \vert$ ist, folgt die Behauptung durch Grenzübergang. - \item Nach den Rechenregeln ist $g - f$ integrierbar, wegen $\vert g - f\vert = g - f$ \gls{fü} auf $M$ folgt \begin{align*} + \item Nach den Rechenregeln ist $g - f$ integrierbar, wegen $\vert g - f\vert = g - f$ \gls{fue} auf $M$ folgt \begin{align*} 0 \le \left\vert \int_M g - f\D x\right\vert\overset{\ref{integral_funktion_eigenschaften_beschraenktheit}}{\le} \int_M \vert g - f\vert \D x \overset{ \cref{integral_funktion_rechenregeln}\;\ref{integral_funktion_rechenregeln_a}}{=} \int_M g \D x - \int_M f \D x \end{align*} $\Rightarrow$ Behauptung - \item[zu a)] für "`$\Leftarrow$"' wähle $f^\pm$ ($ f = f^+ - f^-$) jeweils eine monotone Folge von \gls{tf} $\{ h_k^\pm \}$ gemäß \propref{messbarkeit_funktion_existenz_monotone_treppenfunktionen}. Folglich liefert $H_k = h_k^+ - h_k^-$ eine Folge von \gls{tf} mit $h_k\to f$ \gls{fü} auf $M$. + \item[zu a)] für "`$\Leftarrow$"' wähle $f^\pm$ ($ f = f^+ - f^-$) jeweils eine monotone Folge von \gls{tf} $\{ h_k^\pm \}$ gemäß \propref{messbarkeit_funktion_existenz_monotone_treppenfunktionen}. Folglich liefert $H_k = h_k^+ - h_k^-$ eine Folge von \gls{tf} mit $h_k\to f$ \gls{fue} auf $M$. - Wegen $\vert h_k \vert \le \vert f \vert$ \gls{fü} auf $M$ ist $\int_M \vert h_k\vert \D x \le \int_M \vert f \vert \D x$. + Wegen $\vert h_k \vert \le \vert f \vert$ \gls{fue} auf $M$ ist $\int_M \vert h_k\vert \D x \le \int_M \vert f \vert \D x$. Folglich ist die monotone Folge $\int_M \vert h_k\vert \D x$ in $\mathbb{R}$ beschränkt \\ $\Rightarrow$ konvergent. @@ -325,7 +325,7 @@ Aussage \ref{integral_funktion_rechenregeln_d} bedeutet, dass eine Änderung der \end{align*} Als konvergente Folge ist $\{ \int_M \vert h_k \vert \D x \}$ \person{Cauchy}-Folge in $\mathbb{R}$ und folglich ist $\{ h_k \}$ $L^1$-CF und sogar $L^1$-CF zu $f$ \\ $\Rightarrow$ $f$ integrierbar - \item Für $f=0$ \gls{fü} auf $M$ ist offenbar $\int_M \vert f\vert \D x = 0$. + \item Für $f=0$ \gls{fue} auf $M$ ist offenbar $\int_M \vert f\vert \D x = 0$. Sei nun $\int_M \vert f \vert \D x = 0$, mit $M_k := \{ x\in M \mid \vert f \vert \ge \frac{1}{k} \}$ $\forall k\in\mathbb{N}$ ist \begin{align*} 0 = \int_{M\setminus M_k} \vert f \vert \D x + \int_{M_k} \vert f \vert \D x \ge \int_{M\setminus M_k}0 \D x + \int_{M_k}\frac{1}{k}\D x \ge \frac{1}{k}\vert M_k\vert \ge 0 @@ -342,10 +342,10 @@ Aussage \ref{integral_funktion_rechenregeln_d} bedeutet, dass eine Änderung der \proplbl{integral_funktion_lemma_weitere_eigenschaften} Sei $f$ auf $M$ integrierbar\begin{enumerate}[label={\alph*)}] \item Für $\alpha_1$, $\alpha_2\in\mathbb{R}$ gilt:\begin{center} - $\alpha_1\le f \le \alpha_2$ \gls{fü} auf $M$ \ \ $\Rightarrow$ \ \ $\displaystyle \alpha_1 \vert M \vert \le \int_M f \D x \le \alpha_2 \vert M \vert$ + $\alpha_1\le f \le \alpha_2$ \gls{fue} auf $M$ \ \ $\Rightarrow$ \ \ $\displaystyle \alpha_1 \vert M \vert \le \int_M f \D x \le \alpha_2 \vert M \vert$ \end{center} - \item Es gilt $f\ge 0$ \gls{fü} auf $M$ \ \ $\Rightarrow$ \ \ $\int_M f \D x\ge 0$ - \item Es gilt: $\tilde{M}\subset M$ messbar, $f\ge 0$ \gls{fü} auf $M$ \\ + \item Es gilt $f\ge 0$ \gls{fue} auf $M$ \ \ $\Rightarrow$ \ \ $\int_M f \D x\ge 0$ + \item Es gilt: $\tilde{M}\subset M$ messbar, $f\ge 0$ \gls{fue} auf $M$ \\ \ $\Rightarrow$ \ \ $\displaystyle \int_{\tilde{M}} f \D x \le \int_M f \D x$ (linkes Integral nach \propref{integral_funktion_rechenregeln} \ref{integral_funktion_rechenregeln_b}) @@ -358,7 +358,7 @@ Aussage \ref{integral_funktion_rechenregeln_d} bedeutet, dass eine Änderung der \item Wegen $\int_M \alpha_j \D x = \alpha_j \vert M \vert $ für $\vert M \vert$ endlich folgt a) direkt aus der Monotonie des Integrals. \item folgt mit $\alpha_1=0$ aus a) - \item folgt, da $\chi_{\tilde{M}}\cdot f \le f$ \gls{fü} auf $M$ und aus der Monotonie\hfill\csname\InTheoType Symbol\endcsname + \item folgt, da $\chi_{\tilde{M}}\cdot f \le f$ \gls{fue} auf $M$ und aus der Monotonie\hfill\csname\InTheoType Symbol\endcsname \end{enumerate} \end{proof} @@ -369,7 +369,7 @@ In der Vorüberlegung zum Integral wurde eine gewisse Stetigkeit der Integralabb & \lim\limits_{k\to\infty} \int_M \vert f_k - f\vert \D x = 0 \quad(\Vert f_k - f\Vert\to0)\\ \Rightarrow\;\;&\lim\limits_{k\to\infty} \int_M f_k \D x = \int_M f\D x \end{align*} - Weiterhin gibt es eine Teilfolge $\{ f_{k'}\}$ mit $f_{k'}\to f$ \gls{fü} auf $M$. + Weiterhin gibt es eine Teilfolge $\{ f_{k'}\}$ mit $f_{k'}\to f$ \gls{fue} auf $M$. \end{proposition} \begin{proof} @@ -386,13 +386,13 @@ In der Vorüberlegung zum Integral wurde eine gewisse Stetigkeit der Integralabb $\Rightarrow$ & $\displaystyle M_\epsilon \subset\bigcup_{l=j}^\infty \{ \vert f_{k_l} - f \vert > \epsilon \}$ $\forall j\in\mathbb{N}$ \\ $\Rightarrow$ & $\displaystyle M_\epsilon \le \sum_{l=j}^\infty \left\vert \left\{ f_{k_l} - f\vert > \epsilon \right\} \right\vert \le \frac{1}{\epsilon} \sum_{l=j}^\infty \int _M \vert f_{k_l} - f\vert \D x \le \frac{1}{\epsilon} \sum_{l=j}^\infty \frac{1}{2^{l+1}} = \frac{1}{2^j \epsilon}\quad\forall j\in\mathbb{N}$\\ $\Rightarrow$ & $M_\epsilon = 0$ $\forall\epsilon > 0$ \\ - $\Rightarrow$ & $f_{k_l} \xrightarrow{l\to\infty} f$ \gls{fü} auf $M$ \hfill\csname\InTheoType Symbol\endcsname + $\Rightarrow$ & $f_{k_l} \xrightarrow{l\to\infty} f$ \gls{fue} auf $M$ \hfill\csname\InTheoType Symbol\endcsname \end{tabularx} \end{proof} \begin{proposition}[Majorantenkriterium] \proplbl{integral_funktion_majorantenkriterium} - Seien $f$, $g:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ messbar, $M$ messbar, $\vert f \vert \le g$ \gls{fü} auf $M$, $g$ integrierbar auf $M$ \\ + Seien $f$, $g:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ messbar, $M$ messbar, $\vert f \vert \le g$ \gls{fue} auf $M$, $g$ integrierbar auf $M$ \\ $\;\Rightarrow$ $f$ integrierbar auf $M$ Man nennt $g$ auch \begriff{integrierbare Majorante} von $f$. @@ -404,7 +404,7 @@ In der Vorüberlegung zum Integral wurde eine gewisse Stetigkeit der Integralabb \proplbl{integral_funktion_lemma_majorante_eq} 0 \le h_1 \le h_2 \le \dotsc \le f\quad \text{ und }\quad \int_M h_k \D x\text{ beschränkt} \end{align} - $\Rightarrow$ $\{ h_k\}$ ist $L^1$-CF zu $f$ und falls $\{ h_k\}\to f$ \gls{fü} auf $M$ ist $f$ integrierbar (vgl \propref{messbarkeit_funktion_existenz_monotone_treppenfunktionen}) + $\Rightarrow$ $\{ h_k\}$ ist $L^1$-CF zu $f$ und falls $\{ h_k\}\to f$ \gls{fue} auf $M$ ist $f$ integrierbar (vgl \propref{messbarkeit_funktion_existenz_monotone_treppenfunktionen}) \end{lemma} \begin{proof} @@ -414,7 +414,7 @@ In der Vorüberlegung zum Integral wurde eine gewisse Stetigkeit der Integralabb Da $\{ \int_M h_k \D x \}$ konvergent ist in $\mathbb{R}$ als monoton beschränkte Folge ist diese CF in $\mathbb{R}$ \\ $\Rightarrow$ $\{ h_k\}$ ist $L^1$-CF - Falls noch $h_k\to f$ \gls{fü} $\Rightarrow$ $\{h_k\}$ ist $L^1$-CF zu $f$ $\Rightarrow$ $f$ ist integrierbar + Falls noch $h_k\to f$ \gls{fue} $\Rightarrow$ $\{h_k\}$ ist $L^1$-CF zu $f$ $\Rightarrow$ $f$ ist integrierbar \end{proof} \begin{proof}[\propref{integral_funktion_majorantenkriterium}] @@ -424,7 +424,7 @@ In der Vorüberlegung zum Integral wurde eine gewisse Stetigkeit der Integralabb Es existiert eine Folge $\{ h_k \}$ von Treppenfunktionen mit \begin{align*} 0 \le h_1 \le h_2 \le \dotsc \le \vert f \vert \le g \end{align*} - auf $M$ und $\{ h_k\}\to\vert f \vert$ \gls{fü} auf $M$. + auf $M$ und $\{ h_k\}\to\vert f \vert$ \gls{fue} auf $M$. Da $\{ \int_M h_k \D x \}$ beschränkt ist in $\mathbb{R}$ da $g$ integrierbar ist \\ {\renewcommand{\arraystretch}{1.3}\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X} @@ -480,7 +480,7 @@ Keine Gleichheit hat man z.B. für $\{ h_k\}$ aus \propref{integral_funktion_bei Alle $g_k$ sind messbar nach \propref{messbarkeit_funktionen_komposition}, \propref{integral_funktion_majorantenkriterium} - Für jedes $k\in\mathbb{N}$ wählen wir gemäß \propref{messbarkeit_funktion_existenz_monotone_treppenfunktionen} eine Folge $\{ h_{k_l} \}_l$ von Treppenfunktionen mit $0\le h_{k_1} \le h_{k_2} \le \dotsc \le g_k$, $h_{k_l}\xrightarrow{l\to\infty} g_k$ \gls{fü} auf $M$. + Für jedes $k\in\mathbb{N}$ wählen wir gemäß \propref{messbarkeit_funktion_existenz_monotone_treppenfunktionen} eine Folge $\{ h_{k_l} \}_l$ von Treppenfunktionen mit $0\le h_{k_1} \le h_{k_2} \le \dotsc \le g_k$, $h_{k_l}\xrightarrow{l\to\infty} g_k$ \gls{fue} auf $M$. Nach \propref{integral_funktion_lemma_majorante} ist $\{ h_{k_l}\}_l$ $L^1$-CF zu $g_k$. @@ -497,14 +497,14 @@ Keine Gleichheit hat man z.B. für $\{ h_k\}$ aus \propref{integral_funktion_bei Mit $\tilde{A}_l := \bigcup_{k=l}^\infty A_k$ folgt $\vert \tilde{A}_l\vert \le \frac{1}{2^{l-1}}$ und $\vert \tilde{h}_k - f \vert \le \frac{2}{k}$ auf $(B_k(0)\cap M)\setminus \tilde{A}_l$ $\forall k>l$. - Folglich $\tilde{h}_l\to f$ \gls{fü} auf $M$ und wegen der Monotonie ist $\{ \tilde{h}_k\}$ $L^1$-CF zu $f$ \\ + Folglich $\tilde{h}_l\to f$ \gls{fue} auf $M$ und wegen der Monotonie ist $\{ \tilde{h}_k\}$ $L^1$-CF zu $f$ \\ $\Rightarrow$ $\int_M f \D x \overset{\text{Def}}{=} \lim\limits_{k\to\infty} \int_M \tilde{h}_k \D x \overset{\text{Monotonie}}{\le}\liminf\limits_{k\to\infty} \int_M f_k \D x$\\ $\Rightarrow$ Behauptung \end{proof} \begin{theorem}[Monotone Konvergenz] \proplbl{integral_grenzwertsatz_monotone_konvergenz} - Seien $f_k:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ integrierbar auf $M\subset D$ $\forall k\in\mathbb{N}$ mit $f_1 \le f_2 \le \dotsc $ \gls{fü} auf $M$ \\ + Seien $f_k:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ integrierbar auf $M\subset D$ $\forall k\in\mathbb{N}$ mit $f_1 \le f_2 \le \dotsc $ \gls{fue} auf $M$ \\ \ $\Rightarrow$ $f$ ist integrierbar auf $M$ und \begin{align*} \left( \int_M f \D x = \right) \int_M \lim\limits_{k\to\infty} f_k(x) \D x &= \lim\limits_{k\to\infty} \int_M f_k \D x \end{align*} @@ -512,7 +512,7 @@ Keine Gleichheit hat man z.B. für $\{ h_k\}$ aus \propref{integral_funktion_bei \end{theorem} \begin{remark} - \propref{integral_grenzwertsatz_monotone_konvergenz} bleibt richtig, falls man $f_1 \ge f_2 \ge \dotsc$ \gls{fü} auf $M$ hat. + \propref{integral_grenzwertsatz_monotone_konvergenz} bleibt richtig, falls man $f_1 \ge f_2 \ge \dotsc$ \gls{fue} auf $M$ hat. Ferner ist wegen der Monotonie die Beschränktheit der Folge $\{ \int_M f_k \D x \}$ für die Existenz des Grenzwertes ausreichend. \end{remark} @@ -529,7 +529,7 @@ Keine Gleichheit hat man z.B. für $\{ h_k\}$ aus \propref{integral_funktion_bei \begin{theorem}[Majorisierte Konvergenz] \proplbl{integral_grenzwertsatz_majorisierte_konvergenz} - Seien $f_k$, $g:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ messbar für $k\in\mathbb{N}$ und sei $g$ integrierbar auf $M\subset D$ mit $\vert f_k\vert \le g$ \gls{fü} auf $M$ $\forall k\in\mathbb{N}$ und $f_k\to:f$ \gls{fü} auf $M$ + Seien $f_k$, $g:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ messbar für $k\in\mathbb{N}$ und sei $g$ integrierbar auf $M\subset D$ mit $\vert f_k\vert \le g$ \gls{fue} auf $M$ $\forall k\in\mathbb{N}$ und $f_k\to:f$ \gls{fue} auf $M$ \begin{align} \proplbl{integral_grenzwertsatz_majorisierte_konvergenz_eq} \Rightarrow\;\;\lim\limits_{k\to\infty} \int_M \vert f_k - f\vert \D x = 0 @@ -541,7 +541,7 @@ Keine Gleichheit hat man z.B. für $\{ h_k\}$ aus \propref{integral_funktion_bei \end{theorem} \begin{proof} - Nach dem Majorantenkriterium sind alle $f_k$ \gls{fü} integrierbar auf $M$. + Nach dem Majorantenkriterium sind alle $f_k$ \gls{fue} integrierbar auf $M$. Nach \propref{integral_grenzwertsatz_fatou} gilt:\begin{align*} \int_M 2g \D x = \int_M \liminf\limits_{k\to\infty} \vert 2g - \vert f_k - f\vert \vert \D x \le \liminf\limits_{k\to\infty} \int_M 2g - \vert f_k - f \vert \D x diff --git a/2. Semester/ANAG/TeX_files/Integral_R.tex b/2. Semester/ANAG/TeX_files/Integral_R.tex index 7794992..649b4e6 100644 --- a/2. Semester/ANAG/TeX_files/Integral_R.tex +++ b/2. Semester/ANAG/TeX_files/Integral_R.tex @@ -276,7 +276,7 @@ Nach \propref{messbarkeit_satz_grundlegende_messbare_mengen} \ref{messbarkeit_sa 0 & \text{auf $(a, \alpha_k)$} \end{cases} \end{align*} - Offenbar ist $\vert f_k\vert \le \vert f\vert$, $f_k\to f$, $\vert f_k\vert \to \vert f \vert$ \gls{fü} auf $(a,b)$. + Offenbar ist $\vert f_k\vert \le \vert f\vert$, $f_k\to f$, $\vert f_k\vert \to \vert f \vert$ \gls{fue} auf $(a,b)$. \begin{itemize} \item["`$\Rightarrow$"'] $f$ integrierbar auf $(a,b)$. Mit \propref{integral_grenzwertsatz_majorisierte_konvergenz} (Majorisierte Konvergenz) folgt \begin{align*} \lim\limits_{k\to\infty} \int_{\alpha_k}^b \vert f \vert \D x &= \lim\limits_{k\to\infty} \int_a^b \vert f_k\vert \D x = \int_a^b \vert f \vert \D x diff --git a/2. Semester/ANAG/TeX_files/Messbarkeit.tex b/2. Semester/ANAG/TeX_files/Messbarkeit.tex index a07e15a..e11d250 100644 --- a/2. Semester/ANAG/TeX_files/Messbarkeit.tex +++ b/2. Semester/ANAG/TeX_files/Messbarkeit.tex @@ -120,7 +120,7 @@ Nach \eqref{messbarkeit_satz_teilmenge_kleineres_mass_eq} und \eqref{messbarkeit \end{proof} \begin{*definition} - Eine Eigenschaft gilt \gls{fü} auf $M\subset\mathbb{R}^n$, falls eine Nullmenge existiert, sodass die Eigenschaft $\forall x\in M\setminus N$ gilt. Man sagt auch, dass die Eigenschaft für \gls{fa} $x\in M$ gilt. + Eine Eigenschaft gilt \gls{fue} auf $M\subset\mathbb{R}^n$, falls eine Nullmenge existiert, sodass die Eigenschaft $\forall x\in M\setminus N$ gilt. Man sagt auch, dass die Eigenschaft für \gls{fa} $x\in M$ gilt. \end{*definition} \begin{example} @@ -130,7 +130,7 @@ Nach \eqref{messbarkeit_satz_teilmenge_kleineres_mass_eq} und \eqref{messbarkeit 1, &x\in\mathbb{Q} \\ 0,&x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \end{cases} \end{align*} - ist $f=0$ \gls{fü} auf $\mathbb{R}$. + ist $f=0$ \gls{fue} auf $\mathbb{R}$. \end{example} \subsection{Messbare Mengen} @@ -387,14 +387,14 @@ Man sieht leicht Es gilt:\begin{enumerate}[label={\alph*)}] \item Sei $f:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ messbar. Dann ist auch die Nullfortsetzung $\overline{f}:\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ messbar \item Sei $f:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ messbar und $D'\subset D$ messbar. Dann ist $f$ auf $D'$ messbar, d.h. insbesondere $\left. f\right|_{D'}$ ist messbar. - \item Seien $f,g:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$. Sei $f$ messbar und $f=g$ \gls{fü} auf $D$. Dann ist $g$ messbar. + \item Seien $f,g:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$. Sei $f$ messbar und $f=g$ \gls{fue} auf $D$. Dann ist $g$ messbar. \end{enumerate} \end{proposition} \begin{example} Die \person{Dirichlet}-Funktion ist auf $\mathbb{R}$ messbar. - $h=0$ ist messbare Treppenfunktion auf $\mathbb{R}$ und stimmt mit der \person{Dirichlet}-Funktion \gls{fü} überein. + $h=0$ ist messbare Treppenfunktion auf $\mathbb{R}$ und stimmt mit der \person{Dirichlet}-Funktion \gls{fue} überein. \end{example} \begin{proof}\hspace*{0pt} @@ -423,7 +423,7 @@ f:=\max(f_1, f_2):\mathbb{R}^n\to\mathbb{R},\;\;f(x) = \max \{ f_1(x), f_2(x) \} \end{align*} und analog: $\min(f_1, f_2)$, $\sup\limits_{k\in\mathbb{N}} f_k$, $\inf\limits_{k\in\mathbb{N}} f_k$, $\limsup\limits_{k\to\infty} f_k$, $\liminf\limits_{k\in\mathbb{N}} f_k$ -Bei punktweiser Konvergenz $f_k(x)\to f(x)$ für \gls{fa} $x\in D$ schreibt man auch $f_k\to f$ \gls{fü} auf $D$. +Bei punktweiser Konvergenz $f_k(x)\to f(x)$ für \gls{fa} $x\in D$ schreibt man auch $f_k\to f$ \gls{fue} auf $D$. \end{*definition} \begin{proposition}[zusammengesetzte messbare Funktionen] @@ -494,7 +494,7 @@ Bei punktweiser Konvergenz $f_k(x)\to f(x)$ für \gls{fa} $x\in D$ schreibt man Sei $f:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$, $D$ messbar. Dann \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }c@{\ \ }X} - \hspace*{0.19\linewidth} $f$ messbar & $\Leftrightarrow$ & $\exists$ Folge $\{ h_k\}$ von Treppenfunktionen mit $h_k\to f$ \gls{fü} auf $D$ + \hspace*{0.19\linewidth} $f$ messbar & $\Leftrightarrow$ & $\exists$ Folge $\{ h_k\}$ von Treppenfunktionen mit $h_k\to f$ \gls{fue} auf $D$ \end{tabularx} \end{center} \end{proposition} @@ -521,10 +521,10 @@ Bei punktweiser Konvergenz $f_k(x)\to f(x)$ für \gls{fa} $x\in D$ schreibt man \end{itemize} \item["`$\Leftarrow$"'] - Sei $\tilde{f}(x) := \limsup\limits_{k\to\infty} h_k(x)$ $\forall x\in D$ $\Rightarrow$ $f(x) = \tilde{f}(x)$ \gls{fü} auf $D$ \\ + Sei $\tilde{f}(x) := \limsup\limits_{k\to\infty} h_k(x)$ $\forall x\in D$ $\Rightarrow$ $f(x) = \tilde{f}(x)$ \gls{fue} auf $D$ \\ Nach \propref{messbarkeit_funktionen_komposition}: $h_k$ messbar $\Rightarrow$ $\tilde{f}$ messbar - Da $f=\tilde{f}$ \gls{fü} folgt $f$ messbar. + Da $f=\tilde{f}$ \gls{fue} folgt $f$ messbar. \end{itemize} \end{proof} @@ -532,7 +532,7 @@ Bei punktweiser Konvergenz $f_k(x)\to f(x)$ für \gls{fa} $x\in D$ schreibt man \proplbl{messbarkeit_funktion_existenz_monotone_treppenfunktionen} Sei $f:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ messbar mit $f\ge 0$ - $\Rightarrow$ $\exists$ Folge $\{h_k\}$ von Treppenfunktionen mit $0 \le h_1 \le h_2 \le \dotsc \le f$ auf $D$ und $h_k\to f$ \gls{fü} auf $D$. + $\Rightarrow$ $\exists$ Folge $\{h_k\}$ von Treppenfunktionen mit $0 \le h_1 \le h_2 \le \dotsc \le f$ auf $D$ und $h_k\to f$ \gls{fue} auf $D$. \end{conclusion} \begin{proposition} @@ -557,7 +557,7 @@ Bei punktweiser Konvergenz $f_k(x)\to f(x)$ für \gls{fa} $x\in D$ schreibt man Folgende Funktionen sind messbar \begin{itemize} \item Stetige Funktionen auf offenen und abgeschlossenen Mengen (wähle $N=\emptyset$ im obigen Satz), insbesondere konstante Funktionen sind messbar - \item Funktionen auf offenen und abgeschlossenen Mengen, die \gls{fü} mit einer stetigen Funktion übereinstimmen + \item Funktionen auf offenen und abgeschlossenen Mengen, die \gls{fue} mit einer stetigen Funktion übereinstimmen \item $\tan$, $\cot$ auf $\mathbb{R}$ (setzte z.b. $\tan\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right) = \cot(k\pi) = 0$ $\forall k$) \item $x\to \sin\frac{1}{x}$ auf $[-1,1]$ (setzte beliebigen Wert in $x=0$) \item $\chi_M:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ist für $\vert\partial M\vert = 0$ messbar auf $\mathbb{R}$ (dann ist $\chi$ auf $\inn M$, $\ext M$ stetig) @@ -565,7 +565,7 @@ Bei punktweiser Konvergenz $f_k(x)\to f(x)$ für \gls{fa} $x\in D$ schreibt man \end{example} \begin{underlinedenvironment}[Hinweis] - Die \person{Dirichlet}-Funktion ist stetig auf $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ und somit nach \propref{messbarkeit_funktion_funktion_messbar} messbar. Man beachte aber, das dies nicht bedeutet, dass die \person{Dirichlet}-Funktion auf $\mathbb{R}$ \gls{fü} stetig ist! (sie ist nirgends stetig auf $\mathbb{R}$) + Die \person{Dirichlet}-Funktion ist stetig auf $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ und somit nach \propref{messbarkeit_funktion_funktion_messbar} messbar. Man beachte aber, das dies nicht bedeutet, dass die \person{Dirichlet}-Funktion auf $\mathbb{R}$ \gls{fue} stetig ist! (sie ist nirgends stetig auf $\mathbb{R}$) \end{underlinedenvironment} \begin{lemma}[Egorov] diff --git a/2. Semester/ANAG/TeX_files/Reelle_Zahlen.tex b/2. Semester/ANAG/TeX_files/Reelle_Zahlen.tex index 2186301..da54d71 100644 --- a/2. Semester/ANAG/TeX_files/Reelle_Zahlen.tex +++ b/2. Semester/ANAG/TeX_files/Reelle_Zahlen.tex @@ -115,7 +115,7 @@ \item[3)] Fallunterscheidung SeSt \item[4)] Fallunterscheidung SeSt \item[5)] $a = \frac{a}{b}\cdot a \overset{\text{4)}}{\Rightarrow} \vert a \vert = \vert \vert \frac{a}{b} \vert \cdot \vert b \vert \vert \overset{\cdot \vert b \vert^{-1}}{\Rightarrow} \frac{\vert a \vert}{\vert b \vert} = \vert \frac{a}{b} \vert$ - \item[6)] nach 1) $a \leq \vert a \vert, b \leq \vert b \vert \xRightarrow{\text{\propref{k_angeordneter_körper}}} a+b \leq \vert a \vert + \vert b \vert$ analog $-a-b \leq \vert a + \vert b\vert \Rightarrow$ Behauptung + \item[6)] nach 1) $a \leq \vert a \vert, b \leq \vert b \vert \xRightarrow{\text{\propref{k_angeordneter_koerper}}} a+b \leq \vert a \vert + \vert b \vert$ analog $-a-b \leq \vert a + \vert b\vert \Rightarrow$ Behauptung \item[7)] $\vert a \vert = \vert a+b-b \vert \overset{\text{6)}}{\leq} \vert a+ b \vert + \vert b \vert \Rightarrow \vert a \vert - \vert b \vert \leq \vert a + b \vert $ analog $\vert b \vert - \vert a \vert \leq \vert a + b \vert \Rightarrow$ Behauptung \item[8)] für $n = 0,1$, $a = 0$ klar\\ Zeige: $(1+a)^n > 1 + na \forall n \leq 2, a \neq 0$ durch voll. Induktion ÜA @@ -137,8 +137,8 @@ \begin{proof} \begin{itemize} - \item[a)] $0_K \overset{\text{\propref{k_angeordneter_körper}}}{<} 1 \overset{\text{voll. Ind.}}{\Rightarrow} 0_k < n 1_k \forall n \in \mathbb{N} - \xRightarrow[\text{Vielfache}]{\text{\propref{k_angeordneter_körper}}}(-n)1_K = -(n1_k) < 0_K \Rightarrow n 1_K \neq 0_K \forall n \in \mathbb{Z}_{\neq 0} \Rightarrow f$ auf $\mathbb{Q}$ definiert + \item[a)] $0_K \overset{\text{\propref{k_angeordneter_koerper}}}{<} 1 \overset{\text{voll. Ind.}}{\Rightarrow} 0_k < n 1_k \forall n \in \mathbb{N} + \xRightarrow[\text{Vielfache}]{\text{\propref{k_angeordneter_koerper}}}(-n)1_K = -(n1_k) < 0_K \Rightarrow n 1_K \neq 0_K \forall n \in \mathbb{Z}_{\neq 0} \Rightarrow f$ auf $\mathbb{Q}$ definiert \item[b)] Sei $f(\frac{m}{m^{'}}) = f(\frac{n}{n^{'}}) \Rightarrow \frac{m1_K}{m^{'}1_K} = \frac{n 1_K}{n^{'}1_K} \Rightarrow (m1_K)(n^{'}1_K) = (n 1_K)(m^{'}1_K)$\\ $\Rightarrow (mn^{'})1_K = (nm^{'})1_K \Rightarrow (mn^{'}-m^{'}n)1_K = 0_K \xRightarrow{\text{a)}} mn^{'} = m^{'}n =_{\mathbb{Z}} 0 \Rightarrow \frac{m}{m^{'}} =_{\mathbb{Q}} \frac{n}{n^{'}} \Rightarrow f$ injektiv \item[c)] $f(\frac{m}{m^{'}}+\frac{n}{n^{'}}) = f(\frac{mn^{'} + m^{'}n}{m{'}n^{'}}) = \frac{mn^{'} + m^{'}n}{m{'}n^{'}}\frac{1_K}{1_K} \overset{\text{b)}}{=} \frac{m1_K}{m^{'}1_K} + \frac{n1_K}{n^{'}1_K} \overset{f\text{ inj}}{=} f(\frac{m}{m^{'}}) + f(\frac{n}{n^{'}})$\\ diff --git a/2. Semester/ANAG/Vorlesung ANAG.tex b/2. Semester/ANAG/Vorlesung ANAG.tex index 2f812c4..51464fc 100644 --- a/2. Semester/ANAG/Vorlesung ANAG.tex +++ b/2. Semester/ANAG/Vorlesung ANAG.tex @@ -17,7 +17,7 @@ \newacronym{vr}{VR}{Vektorraum} \newacronym{diffbar}{diffbar}{differenzierbar} \newacronym{mws}{MWS}{Mittelwertsatz} -\newacronym{fü}{f.ü.}{fast überall} +%\newacronym{fü}{f.ü.}{fast überall} \title{\textbf{Analysis (WS2017/18 + SS2018)}} \author{Dozent: Prof. Dr. Friedemann Schuricht\\