Eine \begriff{$\sigma$-Algebra} über einer beliebigen Grundmenge $E \neq\emptyset$ ist eine Familie von Mengen in $\mathscr{P}(E), \mathscr{A}\subset\mathscr{P}(E)$:
\item Spur-$\sigma$-Algebra: $E \subset X,\mathscr{A}$ ist $\sigma$-Algebra in $X \Rightarrow\mathscr{A}_E :=\{E \cap A \mid A \in\mathscr{A}\}$ ist eine $\sigma$-Algebra.
\item Urbild-$\sigma$-Algebra: $f: X \to Y$ eine Abbildung, $X,Y$ Mengen, $\mathscr{A}_Y$ sei $\sigma$-Algebra in $Y$$\Rightarrow\mathscr{A} :=\{f^{-1}(A_Y)\mid A_Y \in\mathscr{A}\}$ eine $\sigma$-Algebra.
Notation: $\mathscr{A}_i, i \in I$ beliebig viele beliebige Mengenfamilien in $\mathscr{P}(E)$
\begin{align}
\bigcap_{n\in I}\mathscr{A}_i := \{ A \mid\forall i \in I \colon A \in\mathscr{A}_i\}\notag
\end{align}
\end{hint}
\begin{proposition}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Der Schnitt $\mathscr{A}=\bigcap_{n\in I}\mathscr{A}_i, I$ beliebig, $\mathscr{A}_i$$\sigma$-Algebra ist $\sigma$-Algebra.
\item$\forall\mathscr{G}\subset\mathscr{P}(E)$ existiert eine minimale $\sigma$-Algebra mit der Eigenschaft $\mathscr{G}\subset\mathscr{A}$. Dieses $\mathscr{A}$ heißt von $\mathscr{G}$ erzeugte $\sigma$-Algebra.\\
Notation: $\mathscr{A}=\sigma(\mathscr{G})$.
$\mathscr{G}$ heißt \begriff{Erzeuger von $\mathscr{A}$}.
Dabei ist $\mathscr{G}\subset\mathscr{F}$, weil $\mathscr{F}=\mathscr{P}(E)$ Kandidat und dann \eqref{2_4_eq} wohldefiniert.
\begin{itemize}
\item Existenz: $\mathscr{A}$ reicht, weil $\mathscr{A}$ wohldefiniert und $\mathscr{G}\subset\mathscr{A}$ und $\mathscr{A}$ ist $\sigma$-Algebra.
\item Minimalität: Angenommen $\mathscr{A}^{'}$ ist $\sigma$-Algebra mit $\mathscr{G}\subset\mathscr{A}^{'}$. Dann folgt mit \eqref{2_4_eq}$\mathscr{A}^{'}$ tritt auf als $\mathscr{F}$ in \eqref{2_4_eq}. Das impliziert $\mathscr{A}\subset\mathscr{A}^{'}$, das heißt $\mathscr{A}$ ist kleiner, sogar minimal!
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{remark}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item$\mathscr{A}$ ist $\sigma$-Algebra $\Rightarrow\mathscr{A}=\sigma(\mathscr{A})$ (Gleichheit gilt, da $\mathscr{A}\subset\mathscr{A}$, Minimalität von $\sigma(\mathscr{A})$)
\item$A \subset E \Rightarrow\sigma(\{A\})=\{\emptyset, E, A, A^C\}$
\item$\mathscr{G}\subset\mathscr{H}\subset\mathscr{A}\Rightarrow\sigma(\mathscr{H})\subset\sigma(\mathscr{A})$. Denn
\begin{align}
\mathscr{G}\subset\mathscr{H}\text{ und }\mathscr{H}\subset\sigma(\mathscr{H}) &\Rightarrow\mathscr{G}\subset\sigma(\mathscr{H}) \text{$\sigma$-Algebra per Definition}\notag\\
Die von $\mathscr{O}=\mathscr{O}(\real^d)$ erzeugte $\sigma$-Algebra in $\real^d$ heißt \begriff{\person{Borel}(sche) $\sigma$-Algebra}.\\
Notation: $\mathscr{B}(\real^d)$\\
$B \in\mathscr{B}(\real^d)$ heißt Borel-Menge oder Borel-messbar.
\end{definition}
\begin{*remark}
\propref{2_6} gilt ``mutatis umtanais'' auch in allgemeinen topologischen Räumen, d.h. in $(E, \mathscr{O})$ ist $\mathscr{B}(E) :=\sigma(\mathscr{O})$.
\end{*remark}
\begin{proposition}
$\mathscr{O}, \mathscr{C}, \mathscr{K}$ = offene, abgeschlossene und kompakte Mengen $\subset\real^d$. Dann $\mathscr{B}(\real^d)=\sigma(\mathscr{O})=\mathscr{C}=\mathscr{K}$.
\end{proposition}
\begin{proof}
Übungsaufgabe (vergleiche Beweis von \propref{2_8}).
\item$K \in\mathscr{K}\Leftrightarrow K \in\mathscr{K}$ und beschränkt ($\Leftrightarrow\exists r > 0\colon K \subset B_r(0)$) (\person{Heine}-\person{Borel})
\end{itemize}
\end{proof}
\subsection*{Weitere angenehme Erzeuger von $\mathscr{B}(\real^d)$}
Klar in \eqref{2_8_eq} ist $\bigcup_{\dots} I^{'}\subset U$. Für $U \subset\bigcup_{\dots} I^{'}$ bemerken wir, weil $U$ offen ist gilt:
\begin{align}
\forall x \in U \exists\epsilon = \epsilon_x > 0 \colon B_{\epsilon}(x) \subset U \quad\text{vergleiche Abb}\notag%TODO add figure here from erics notes
\end{align}
Eingeschriebenes (in $B_{\epsilon}(x)$) Rechteck $I \subset B_{\epsilon}(x), x \in I, I \in\mathscr{J^o}$.\\
$\Rightarrow U =\bigcup_{x \in U}\{x\}\subset\bigcup_{I^{'}\in\mathscr{J}_{rat}^o} I^{'}\Rightarrow\eqref{2_8_eq}$. Die Vereinigung in \eqref{2_8_eq} ist abzählbar, da $\#\mathscr{J}_{rat}^o =\#(\ratio^d\times\ratio^d)=\#\natur$. Also
\begin{align}
U\in\mathscr{O}&\xRightarrow{\eqref{2_8_eq}} U \in\sigma(\mathscr{J_{rat}^o})\notag\\
natürlich ist $[\alpha_1+\frac{1}{k}, \beta_1-\frac{1}{k}]\times\cdots\times[\alpha_d +\frac{1}{k}, \beta_d-\frac{1}{k}]\in\mathscr{J}_{rat}^o$ und die Vereinigung ist dann in $\sigma(\mathscr{J}_{rat}^o)$
\end{enumerate}
Dann folgt 1) $\mathscr{J}^o \subset\sigma(\mathscr{J})$ und 2) $\mathscr{J}\subset\sigma(\mathscr{J}^o)$.\\
Also gilt $\sigma(\mathscr{J}^o)=\sigma(\mathscr{J}^o_{rat})=\sigma(\mathscr{J}_{rat})\Rightarrow$ Behauptung
\end{proof}
\begin{hint}
Beweis gilt statt für abgeschlossene Rechtecke $\mathscr{J}$ bzw. $\mathscr{J}_{rat}$ auch für halboffene Rechtecke, also Mengen der Art: $[a_1,b_1)\times\cdots\times[a_d,b_d)$.
\end{hint}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item$\sigma(\real)$ wird auch durch jede dieser Familen erzeugt, wobei $D$ irgendeine dichte Teilmenge in $\real$ ist
\begin{itemize}
\item$\{(-\infty,a)\colon a \in D\}$
\item$\{(-\infty,b]\colon b \in D\}$
\item$\{(c,\infty)\colon c \in D\}$
\item$\{(f,+\infty)\colon f \in D\}$
\end{itemize}
\item Die Operation $\sigma(\cdot)$ ist im allgemeinen nicht explizit oder konstruktiv.
