Da $A$ hermitesch ist, ist $f_A\in\End_K(K^n)$ selbstadjungiert, es gibt also nach \propref{2_6_5} also eine Orthonormalbasis $B=(x_1,...,x_n)$ aus Eigenvektoren von $f_A$. Die Transformationsmatrix $S=T^B_{\mathcal{E}}$ hat $x_1,...,x_n$ als Spalten und ist somit nach \propref{2_5_8} unitär. Nach \propref{2_6_3} sind die Eigenvektoren $\lambda_1,...,\lambda_n$ reell.
\end{proof}
\begin{conclusion}
Sei $A\in\Mat_n(K)$ hermitesch. Genau dann ist $A$ positiv definit, wenn alle Eigenwerte positiv sind.
\end{conclusion}
\begin{proof}
Nach \propref{2_7_1} existiert $S\in\Uni_n(K)$ mit
Die Eigenwerte von $A$ sind die Eigenwerte von $S^{-1}AS$ (LAAG 1.5.1.11) %TODO: Verlinkung
, also $\lambda_1,...,\lambda_n$. Sei $T=\overline{S}$. Genau dann ist $A$ positiv definit, wenn $T^tA\overline{T}=S^*AS=D$ positiv definit ist (\propref{2_2_8}), also wenn $\lambda_i>0$.
\end{proof}
\begin{theorem}[Hauptachsentransformation]
Zu jeder hermiteschen Sesquilinearform $s$ auf $V$ gibt es eine Orthonormalbasis $B$ von $V$, für die
Sei $B_0=(x_1,...,x_n)$ eine Orthonormalbasis von $V$ und $A=M_{B_0}(s)$. Da $s$ hermitesch ist, ist auch $A$ hermitesch (\propref{2_2_13}). Nach \propref{2_7_1} gibt es deshalb $S\in\Uni_n(K)$ mit $S^*AS=D$ eine reelle Diagonalmatrix. Ist nun $f\in\End_K(V)$ mit $M_{B_0}(f)=\overline{S}$, so ist auch $B=(f(x_1),...,f(x_n))$ eine Basis von $V$ mit $T^B_{B_0}=\overline{S}$ unitär. Da $M_{B_0}(f)$ unitär ist, ist auch $f$ unitär. Nach \propref{2_5_2} ist $f(B_0)=B$ somit auch eine Orthonormalbasis. Nach \propref{2_2_8} ist
Sei $x_i'=\mu_i\cdot x_i$ und $B'=(x'_1,...,x'_n)$. Dann ist $M_B(s)=S^tA\overline{S}$ mit $S=T^{B'}_{B_0}=\diag(\mu_1,...,\mu_n)$ also $M_{B'}(s)=\diag(\lambda'_1,...,\lambda'_n)$ mit $\lambda'_i=\mu_i\cdot\lambda_i\cdot\overline{\mu_i}=\mu_i^2\lambda_i\in\{0,1,-1\}$. Durch Permutation der Elemente von $B'$ erhält man die gewünschte Basis $B$.
Seien $V_+$ und $V_-$ Untervektorräume von $V$ mit $V=V_+\oplus V_-\oplus V_0$ und $s$ positiv definit auf $V_+$, $-s$ positiv definit auf $V_-$. Dann ist
$\ge$: Ist $W\le V$ Untervektorraum mit $s(x,x)>0\quad\forall x\in W\backslash\{0\}$, so ist $W\cap(V_-\oplus V_+)=\{0\}$. Ist $x=y+z$ mit $y\in V_-$, $z\in V_0$, so ist $s(x,x)=s(y+z,y+z)=\underbrace{s(y,y)}_{\le0}+\underbrace{s(y,z)+s(z,y)+s(z,z)}_{=0}\le0\Rightarrow\dim_K(W)\le\dim_K(V)-\dim_K(V_-)-\dim_K(V_0)=\dim_K(V_+)$.
\end{proof}
\begin{theorem}[Trägheitssatz von \person{Sylvester}]
Für eine hermitesche Sesquilinearform $s$ auf $V$ sind die Zahlen $r_+(s)$, $r_-(s)$ aus \propref{2_7_5} eindeutig bestimmt.
\end{theorem}
\begin{proof}
Sei $B$ eine Basis von $V$ wie in \propref{2_7_5}, $B=(x_1,...,x_n)$. Definiere
$\supseteq$: Ist $x=\sum_{i=1}^{n}\lambda_ix_i\in V_0$, so ist $0=s(x,x_i)=\lambda_i\cdot s(x_i,x_i)$ für $i=1,...,n$ also $\lambda_i=0$ für $i=1,...,r_+(s)+r_-(s)$, d.h. $x\in V'_0$. Nach \propref{2_7_8} ist $r_+(s)=\dim_K(V_+)$ nur von $s$ abhängig, analog für $r_-(s)$.
Die Anzahl der positiven bzw. negativen Eigenwerte von $M_B(s)$ ist $r_+(s)$ bzw. $r_-(s)$.
\end{conclusion}
\begin{proof}
$A=M_B(s)$, $\exists S\in\Uni_n(K)$ und $S^*AS=D$ reelle Diagonalmatrix \propref{2_7_1}. Das heißt $\exists B'$ Basis mit $M_{B'}(s)=D$. Skalieren ergibt $B''$ mit $M_{B''}=D''$ wie in \propref{2_7_5}. Da $S\in\Uni_n(K)$ folgt $S^*=S^{-1}$, also sind $A$ und $D$ ähnlich zueinander und haben die gleichen Eigenwerte. Die Vorzeichen ändern sich nicht unter der Skalierung.
