Für ein Polynom $P(t)=\sum_{i=0}^n c_it^i\in K[t]$ definieren wir $P(f)=\sum_{i=0}^m c_if^i\in\End_K(V)$, wobei $f^0=\id_V$, $f^1=f$, $f^2=f\circ f$, ...
Für ein Polynom $P(t)=\sum_{i=0}^n c_it^i\in K[t]$ definieren wir $P(f)=\sum_{i=0}^m c_if^i\in\End_K(V)$, wobei $f^0=\id_V$, $f^1=f$, $f^2=f\circ f$, ...
Es gibt ein eindeutig bestimmtes normiertes Polynom $0\neq P\in K[t]$ kleinsten Grades mit $P(f)=0$. Dieses teilt jedes $Q\in K[t]$ mit $Q(f)=0$.
\end{proposition}
\begin{proof}
Nach \propref{lemma_5_3} gibt es $0\neq P\in K[t]$ mit $P(f)=0$ von minimalem Grad $d$. Indem wir durch den Leitkoeffizienten von $P$ teilen, können wir annehmen, dass $P$ normiert ist. \\
Sei $Q\in\mathcal{I}_f$. Polynomdivision liefert $R,H\in K[t]$ mit $Q=P\cdot H+R$ und $\deg(R)<\deg(P)=d$. Es folgt $R(f)=\underbrace{Q(f)}_{=0}-\underbrace{P(f)}_{=0}\cdot H(f)=0$. Aus der Minimalität von $d$ folgt $R=0$ und somit $P\vert Q$. \\
Ist $Q$ zudem normiert vom Grad $d$, so ist $H=1$, also $Q=P$, was die Eindeutigkeit zeigt.
\end{proof}
\begin{definition}[Minimalpolynom]
Das eindeutig bestimmte normierte Polynom $0\neq P\in K[t]$ kleinsten Grades mit $P(f)=0$ nennt man das \begriff{Minimalpolynom}$P_f$ von $f$.
Analog definiert man das Minimalpolynom $P_A\in K[t]$ einer Matrix $A\in\Mat_n(K)$.
\item Ist $A=\diag(a_1,...,a_n)$ mit paarweise verschiedenen Eigenwerten $\lambda_1,...,\lambda_r$, so ist $\chi_A(t)=\prod_{i=1}^n (t-a_i)=\prod_{i=1}^n (t-\lambda_i)^{\mu_a(f_A,\lambda_i)}$, $P_A(t)=\prod_{i=1}^r (t-\lambda_i)$ und es folgt $\deg(P_A)\ge\vert\{a_1,...,a_n\}\vert=r$.
Sei $x\in V$ und $x_i=f(x)$. Es gibt ein kleinstes $k$ mit $x_k\in\Span_K(x_0,x_1,...,x_{k-1})$, und $W=\Span_K(x_0,...,x_{k-1})$ ein $f$-zyklischer UVR von $V$ mit Basis $B=(x_0,...,x_{k-1})$ und $M_B(f\vert_W)=M_{\chi_{f\vert_W}}$.
Da $\dim_K(V)=n$ ist $(x_0,...,x_n)$ linear abhängig, es gibt also ein kleinstes $k$ mit $(x_0,...,x_{k-1})$ linear unabhängig, aber $(x_0,...,x_k)$ linear abhängig, folglich $x_k\in\Span_K(x_0,...,x_{k-1})$. Mit $x_k=f(x_{k-1})=\sum_{i=0}^{k-1}-c_ix_i$ ist dann
Da $\dim_K(V)=n$ ist $(x_0,...,x_n)$ linear abhängig, es gibt also ein kleinstes $k$ mit $(x_0,...,x_{k-1})$ linear unabhängig, aber $(x_0,...,x_k)$ linear abhängig, folglich $x_k\in\Span_K(x_0,...,x_{k-1})$. Mit $x_k=f(x_{k-1})=\sum_{i=0}^{k-1}-c_ix_i$ ist dann
Sei $x\in V$. Definiere $x_i=f^i(x)$ und $W=\Span_K(x_0,...,x_{k-1})$ wie in \propref{lemma_5_8}. Sei $\chi_{f\vert_W}=t^k+\sum_{i=0}^{k-1} c_it^i$, also $f(x_{k-1})=\sum_{i=0}^{k-1}-c_ix_i$. Wenden wir $\chi_{f\vert_W}(f)\in\End_K(V)$ auf $x$ an, so erhalten wir
Sei $x\in V$. Definiere $x_i=f^i(x)$ und $W=\Span_K(x_0,...,x_{k-1})$ wie in \propref{lemma_5_8}. Sei $\chi_{f\vert_W}=t^k+\sum_{i=0}^{k-1} c_it^i$, also $f(x_{k-1})=\sum_{i=0}^{k-1}-c_ix_i$. Wenden wir $\chi_{f\vert_W}(f)\in\End_K(V)$ auf $x$ an, so erhalten wir
Aus $\chi_{f\vert_W}\vert\chi_f$ (\propref{beispiel_4_6}) folgt somit $\chi_f(f)(x)=0$, denn ist $\chi_f=Q\cdot\chi_{f\vert_W}$ mit $Q\in K[t]$, so ist $\chi_f(f)=Q(f)\circ\chi_{f\vert_W}(f)$, also $\chi_f(f)(x)=Q(f)(\underbrace{\chi_{f\vert_W}(f)(x)})_{=0}=0$. Da $x\in V$ beliebig war, folgt $\chi_f(f)=0\in\End_K(V)$.
Es gilt $P_f\vert\chi_f$. Insbesondere ist $\deg(P_f)\le n$.
\end{conclusion}
\begin{proof}
\propref{theorem_5_9} + \propref{satz_5_4}
\end{proof}
\begin{remark}
Ist $B$ eine Basis von $V$ und $A=M_B(f)$, so ist $P_A=P_f$. Insbesondere ist $P_A=P_B$ für $A\sim B$. Als Spezialfall von \propref{theorem_5_9} erhält man $\chi_A(A)=0$ und $P_A\vert\chi_A$.
\end{remark}
\begin{remark}
Der naheliegende "'Beweis"' $\underbrace{\chi_A}_{\in\Mat_n(K)}=\det(t\mathbbm{1}_n-A)(A)=\det(A\mathbbm{1}_n-A)=\det(0)=\underbrace{0}_{\in K}$ ist falsch!
