LAAG VL 27.4.

2. Semester/LAAG/TeX_files/Das_Minimalpolynom.tex

@@ -88,6 +88,7 @@
 \end{proof}
 
 \begin{conclusion}
+	\proplbl{folgerung_5_10}
 	Es gilt $P_f\vert \chi_f$. Insbesondere ist $\deg(P_f)\le n$.
 \end{conclusion}
 \begin{proof}

2. Semester/LAAG/TeX_files/Diagonalisierbarkeit.tex

@@ -44,6 +44,7 @@
 \end{definition}
 
 \begin{lemma}
+	\proplbl{lemma_3_6}
 	Genau dann ist $\mu(P,\lambda)\ge 1$, wenn $\lambda$ eine Nullstelle von $P$ ist.
 \end{lemma}
 \begin{proof}
@@ -63,6 +64,7 @@
 \end{proof}
 
 \begin{lemma}
+	\proplbl{lemma_3_8}
 	Sind $P,Q,R\in K[t]$ mit $PQ=PR$, und ist $P\neq 0$, so ist $Q=R$.
 \end{lemma}
 \begin{proof}

2. Semester/LAAG/TeX_files/Nilpotente_Endomorphismen.tex

@@ -32,6 +32,7 @@ Da $\dim_K(V)=n<\infty$ gibt es ein $d$ mit $\Ker(f^d)=\Ker(f^{d+i})$ und $\Imag
 \end{proof}
 
 \begin{proposition}[Lemma von \person{Fitting}]
+	\proplbl{satz_6_4}
 	Seien $V_i=\Ker(f^i)$, $W_i=\Image(f^i)$, $d=\min\{i:V_i=V_{i+1}\}$. Dann sind 
 	\begin{align}
 		\{0\}&=V_0\subset V_1\subset ...\subset V_d=V_{d+1}=...\notag \\
@@ -49,14 +50,124 @@ Da $\dim_K(V)=n<\infty$ gibt es ein $d$ mit $\Ker(f^d)=\Ker(f^{d+i})$ und $\Imag
 \end{definition}
 
 \begin{lemma}
+	\proplbl{lemma_6_6}
 	Ist $f$ nilpotent, so gibt es eine Basis $B$ von $V$, für die $M_B(f)$ eine strikte obere Dreiecksmatrix ist.
 \end{lemma}
 \begin{proof}
 	Induktion nach $n=\dim_K(V)$. \\
 	\emph{$n=1$}: $f^k=0\Rightarrow f=0$ \\
-	\emph{$n>1$}: Sei $k$ die Nilpotenzklasse von $f$ und $U=\Ker(f^{k-1})$. Dann ist $U\subset V$. Da $f^k=f^{k-1}\circ f$ ist $f(V\subset U$, insbesondere $f\vert_U\in\End_K(U)$. Da $f\vert_U$ nilpotent ist, gibt es nach I.H. eine Basis $B_0$ von $U$, für die $M_B(f\vert_U)$ eine strikte obere Dreiecksmatrix ist. Ergänze $B_0$ zu einer Basis $B$ von $V$. Da $f(V)\subset U$ ist dann auch 
+	\emph{$n>1$}: Sei $k$ die Nilpotenzklasse von $f$ und $U=\Ker(f^{k-1})$. Dann ist $U\subset V$. Da $f^k=f^{k-1}\circ f$ ist $f(V)\subset U$, insbesondere $f\vert_U\in\End_K(U)$. Da $f\vert_U$ nilpotent ist, gibt es nach I.H. eine Basis $B_0$ von $U$, für die $M_B(f\vert_U)$ eine strikte obere Dreiecksmatrix ist. Ergänze $B_0$ zu einer Basis $B$ von $V$. Da $f(V)\subset U$ ist dann auch 
 	\begin{align}
-		M_B(f)=\begin{pmatrix}M_{B_0}(f\vert-U)&*\\0&0\end{pmatrix}\notag
+		M_B(f)=\begin{pmatrix}M_{B_0}(f\vert_U)&*\\0&0\end{pmatrix}\notag
 	\end{align}
 	eine strikte obere Dreiecksmatrix.
-\end{proof}
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}
+	\proplbl{satz_6_7}
+	Für $f\in\End_K(V)$ sind äquivalent:
+	\begin{itemize}
+		\item $f$ ist nilpotent
+		\item $f^n=0$
+		\item $P_f(t)=t^r$ für $r\ne n$
+		\item $\chi_f(t)=t^n$
+		\item Es gibt eine Basis $B$ von $V$, mit der $M_B(f)$ eine strrikte obere Dreiecksmatrix ist.
+	\end{itemize}
+\end{proposition}
+\begin{proof}
+	\hspace{0pt}
+	\begin{itemize}
+		\item $1\Rightarrow 5$: \propref{lemma_6_6}
+		\item $5\Rightarrow 4$: \propref{beispiel_2_8}
+		\item $4\Rightarrow 3$: Nach \propref{folgerung_5_10} ist $P_f\vert \chi_f=t^n$, also $t^n=P_f(t)Q(t)$ mit $Q\in K[t]$. Schreibe $P_f(t)=t^a\cdot P_1(t), Q(t)=t^b\cdot Q_1(t)$ mit $a,b\in\natur$, $P_1,Q_1\in K[t]$, $P_1(0)\neq 0$, $Q_1(0)\neq 0$ \\
+		$\overset{\propref{lemma_3_8}}{\Rightarrow} t^{n-(a+b)}=P_1(t)Q_1(t)$ und $(P_1Q_1)(0)\neq 0$ \\
+		$\Rightarrow n-(a+b)=0\Rightarrow P_1=1$, somit $P_f(t)=t^a$
+		\item $3\Rightarrow 2$: $f^r=0$, $r\le n\Rightarrow f^n=0$
+		\item $2\Rightarrow 1$: nach Definition
+	\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{conclusion}
+	Die Nilpotenzklasse eines nilpotenten Endomorphismus $f\in\End_K(V)$ ist höchstens $\dim_K(V)$.
+\end{conclusion}
+
+\begin{conclusion}
+	Ist $d=\min\{i\mid \Ker(f^i)=\Ker(f^{i+1})\}$, so ist $d\le \dim_K(\Ker(f))=\mu_a(f,0)$.
+\end{conclusion}
+\begin{proof}
+	Sei $V_d=\Ker(f^d)$, $W_d=\Image(f^d)$, $k=\dim_K(V_d)$. Da $V=V_d\oplus W_d$ ist $\chi_f=\chi_{f\vert_{V_d}}\cdot \chi_{f\vert_{W_d}}$. Da $f\vert_{V_d}$ nilpotent ist, ist $\chi_{f\vert_{V_d}}=t$ nach \propref{satz_6_7}. Da $f\vert_{W_d}$ injektiv ist, ist $\chi_{f\vert_{W_d}}(0)\neq 0$. Somit ist $\mu_a(f,0)= \mu(\chi_f,0) \overset{\propref{lemma_3_6}}{=}k$. Da $\dim_K(\Ker(f^d))>...>\dim_K(\Ker(f))>0$ ist $k=\dim_K(\Ker(f^d))\ge d$, falls $d>0$, sonst klar. 
+\end{proof}
+
+\begin{remark}
+	Die Bedeutung nilpotenter Endomorphismen beim Finden geeigneter Basen ergibt sich aus der folgenden Beobachtung: \\
+	Ist $A$ eine obere Dreiecksmatrix, so ist $A=D+N$, wobei $D$ eine Diagonalmatrix ist und $N$ eine strikte obere Dreiecksmatrix ist. Anders gesagt: Jeder trigonalisierbare Endomorphismus ist Summe aus einem diagonalisierbaren und einem nilpotenten Endomorphismus.
+\end{remark}
+
+\begin{definition}[\person{Jordan}-Matrix]
+	Für $k\in\natur$ definieren wir die \begriff{\person{Jordan}-Matrix}
+	\begin{align}
+		J_k=\begin{pmatrix}0&1&0&...&0 \\
+		\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\
+		\vdots&\;&\ddots&\ddots&0\\
+		\vdots&\;&\;&\ddots&1\\
+		0&...&...&...&0\end{pmatrix}\notag
+	\end{align}
+	weiter setzen wir für $\lambda\in K$ $J_k(\lambda):=\lambda\mathbbm{1}+J_k$.
+\end{definition}
+
+\begin{lemma}
+	Die \person{Jordan}-Matrix $J_k$ ist nilpotent von Nilpotenzklasse $k$.
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+	Es ist $(J_k)^r=(\delta_{i+r,j})_{i,j}$ für $r\ge 1$.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}
+	Ist $f$ nilpotent von Nilpotenzklasse $k$, so gibt es eindeutig bestimmte $r_1,..,r_k\in\natur_{>0}$ mit $\sum\limits_{d=1}^k dr_d-n$ und eine Basis $B$ von $V$ mit 
+	\begin{align}
+		M_B(f)=\diag(\underbrace{J_k,...,J_k}_{r_k\text{ viele}},...,\underbrace{J_1,...,J_1}_{r_1\text{ viele}})\notag
+	\end{align}
+\end{proposition}
+\begin{proof}
+	Sei $U_i=\Ker(f^i)$. Nach \propref{satz_6_4} haben wir eine Folge $\{0\}=U_0\subset U_1\subset ...\subset U_k=V$ mit $f(U_i)\subseteq U_{i-1}$ für alle $i>0$. \\
+	Wir konstruieren eine Zerlegung $V=\bigoplus\limits_{d=1}^k W_d$ mit $U_i=U_{i-1}\oplus W_i$, $f(W_i)\subseteq W_{i-1}$, $f\vert_{W_d}$ injektiv für $i>1$.
+	\begin{align}
+		V&= U_k\notag \\
+		V&= U_{k-1}\oplus W_k \notag \\
+		V&= U_{k-2}\oplus W_{k-1}\oplus W_k \notag \\
+		\vdots \notag \\
+		V&= U_0 \oplus W_1\oplus ... \oplus W_k\notag
+	\end{align}
+	Wähle $W_k$ mit $V=U_k=U_{k-1}\oplus W_k$. Ist $k>1$, so ist $W_k\cap \Ker(f)\subseteq W_k\cap U_{k-1}=\{0\}$, also $f\vert_{W_k}$ ist injektiv. Des weiteren ist $f(W_k)\subseteq U_{k-1}$ und aus $W_k\cap U_{k-1}=\{0\}$ folgt $f(W_k)\cap U_{k-2}=\{0\}$. Wir können deshalb $W_{k-1}$ mit $U_{k-1}=U_{k-2}\oplus W_{k-1}$ und $f(W_k)\subseteq W_{k-1}$ wählen. Somit ist $V=U_{k-1}\oplus W_k=U_{k-2}\oplus W_{k-1}\oplus W_k$. Wir setzen dies fort und erhalten $V= U_0 \oplus W_1\oplus ... \oplus W_k$ mit $f(W_i)\subseteq W_{i-1}$ und $f\vert_{W_i}$ injektiv für $i>1$, wobei $U_0=\{0\}$ und $W_1=\Ker(f)$. \\
+	Sie $r_d=\dim_K(W_d)-\dim_K(W_{d+1})$, wobei wir $W_{k+1}=\{0\}$. Wähle nun eine Basis $(x_{k,1},...,x_{k,r_k})$ von $W_k$. Ist $k>1$, so ist $f\vert_{W_k}$ injektiv und wir können $(f(x_{k,1}),...,f(x_{k,r_k}))$ durch Elemente $x_{k-1,1},...,x_{k-1,r_{k-1}}$ zu einer Basis von $W_{k-1}$ ergänzen, und so weiter.\\
+	Da $V=\bigoplus\limits_{d=1}^k W_d$ ist
+	\begin{align}
+		B=\{f^i(x_{d,j})\mid d=1,...,k,j=1,...,r_d,i=0,...,d-1\}\notag
+	\end{align}
+	eine Basis von $V$, die bei geeigneter Anordnung das Gewünschte leistet. \\
+	Es bleibt zu zeigen, dass $r_1,...,r_k$ eindeutig bestimmt sind. Ist $B_0$ eine Basis, für die $M_{B_0}(f)$ in der gewünschten Form ist, so ist 
+	\begin{align}
+		\dim_K(U_1) &= \sum\limits_{d=1}^k r_d \notag \\
+		\dim_K(U_2) &= \sum\limits_{d=2}^k r_d + \sum\limits_{d=1}^k r_d \notag \\
+		\vdots \notag \\
+		\dim_K(U_k) &= \sum\limits_{d=k}^k r_d + ... + \sum\limits_{d=1}^k r_d\notag 
+	\end{align}
+	woraus man sieht, dass $r_1,...,r_k$ durch $U_1,...,U_k$, also durch $f$ eindeutig bestimmt.
+\end{proof}
+
+\begin{example}
+	Sei $f=f_A$ mit $A=\begin{pmatrix}0&1&3\\\;&0&2\\\;&\;&0\end{pmatrix}\in\Mat_3(\real)$
+	\begin{align}
+		A^2=\begin{pmatrix}0&0&0\\\;&0&0\\\;&\;&0\end{pmatrix}, A^3=0\notag
+	\end{align}
+	$\Rightarrow k=3, U_0=\{0\}, U_1=\real e_1, U_2=\real e_1+\real e_2, U_3=V$. \\
+	Wähle $W_3$ mit $V=U_3=U_2\oplus W_3$, z.B. $W_3=\real e_3$. \\
+	Wähle $W_2$ mit $U_2=U_1\oplus W_2$ und $f(W_3)\subseteq W_2$, also 
+	\begin{align}
+		W_2=\real\begin{pmatrix}3//2//0\end{pmatrix}\notag
+	\end{align}
+	Setze $W_1=U_1=\Ker(f)=\real e_1\Rightarrow$ Basis $B=(f^2(e_3),f(e_3),e_3)$
+	\begin{align}
+		M_B(f)=\begin{pmatrix}0&1&\; \\ \;&0&1\\ \;&\;&0\end{pmatrix}\notag
+	\end{align}
+\end{example}