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Lineare Algebra (f"ur Physiker) I
Mengenlehre
In der modernen Mathematik fasst man Strukturen (R"aume, Fl"achen, Zahlensysteme) als Mengen und Abbildungen auf.
Eine Zusammenfassung von Objekten die Elemente der heissen. Eine Menge ist also eindeutig dadurch bestimmt, welche Elemente sie enth"alt.
-
$M=\{m_1,m_2,m_3,...\}$ - Aufzeahlung
- $\{...\}$ - Mengenklammern
-
$M=\{x| P(x)\}$ - Eigenschaft
- Alle $x$ mit der Eigenschaft $P(x)$
- $n=\{\text{Nat"urliche Zahlen}\} =(add-hook 'La(add-hook 'LaTeX-mode-hook 'LaTeX-math-mode)TeX-mode-hook 'LaTeX-math-mode) \{0,1,2,...\}$
- $E=\{x|\text{x hat die Eigenschaft } P(x)\}$
Wichtige Mengen
- $\mathbb{N}=\{\text{nat"urliche Zahlen}\} = \{1,2,...\}$
- $\mathbb{Z}=\{\text{ganze Zahlen}\} = \{...,-2,-1,0,1,2,...\}$
- $Q=\{\text{Rationale Zahlen}\}=\left\{\left.\displaystyle\frac{p}{q}\;\right\vert\begin{array}{c}p \in \mathbb{Z} \\ q \in N \setminus \{0\}\end{array}\right\}$
- $\mathbb{R}=\{\text{reelle Zahlen}\}$
Beziehungen zwischen Mengen
Seien $A,B$ zwei Mengen.
- $A$ heisst Teilmenge von B, wenn f"ur jedes Element $a\in A$ gilt: $a\in B$.
- Es sei die Menge $C = \{a|a\in A \text{ und } b\in B\}$, so heisst $C$ Durchschnitt von $A$ und $B$.
- Es sei die Menge $C = \{a|a\in A \text{ oder } b\in B\}$, so heisst $C$ Vereinigung von $A$ u(add-hook 'c++-mode-hook 'clang-format-bindings)nd $B$.
- $\in$ ``Element von'': $x\in X$ - ''x ist Element von X''
- $\subseteq$ Teilmenge: $A\subseteq B$ - ''A ist eine Teilmenge von B''
- $\cap$ Durchschnitt: $A\cap B = \{a|a\in A \text{ und } b\in B\}$
- $\cup$ Vereinigung $A\cup B = \{a|a\in A \text{ oder } b\in B\}$
- $\varnothing$ - Leere Menge
- $A\setminus B$ - Mengendifferenz
-
$A\times B$ - Direktes Produkt
- $(a,b)$ - geordentes Paar mit dem ersten Element $a$ und dem zweiten Element $b$.
$N\subseteq \mathbb{Z}$, aber $Q \not\subset \mathbb{Z}$: $\frac{1}{2} \not\in \mathbb{Z}$
F"ur $A = \{1,2,3,4,5\}$ und $B = \{2,3,10\}$:
- $A\cap B = \{2,3\}$
- $A\cup B = \{1,2,3,5,10\}$
Die leere Menge $\varnothing$ ist die (eindeutig bestimmte) Menge, die kein Element enth"alt.
$\{\pi\} \cap Q = \varnothing$
Die Differenz zweier Mengen $A, B$ wird definiert als $A\setminus B = \{a\in A | a\not\in B\}$ (Elemente aus $A$, die nicht in $B$ liegen).
Wenn $A,B$ zwei Mengen sind dann ist die Menge der Paare $(a,b)$ und $a\in A, b\in B$ das direkte (kartesische) Produkt von $A$ und $B$ ($A\times B$).
Analog gilt: $A_1\times A_2\times ... \times A_n = \{(a_1,...,a_n)| a_1\in A_1,...,a_n\in A_n\}$
$\mathbb{R}^n=\mathbb{R}\times ... \times \mathbb{R} = \{(x_1,...,x_n)| x_1\in \mathbb{R},...,x_n\in \mathbb{R}\}$
Geometrie $m$ der Ebene mit Koordinaten $=$ Untersuchung von Konstruktionen in $\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\cdot\mathbb{R}$.
Seien $A,M$ Mengen und $A\subseteq B$ so ist $A^c = M\setminus A$ und heisst Komplement"armenge zu $M$.
Seien $A,B,M$ Mengen und $A\subseteq M$ und $B\subseteq M$, so gilt:
- $(A\cup B)^c = A^c \cap B^c$
- $(A\cap B)^c = A^c \cup B^c$
- $(A^c)^c = A$
- $A\cup A^c = M$
Es gelten auch alle Identit"aten f"ur Mengen.
Abbildungen zwischen Mengen
Seien $X,Y$ Mengen. Eine Abbildung $f$ von $X$ nach $Y$ (Bez: $f:X\rightarrow Y$) ist eine Vorschrift, die jedem Element $x\in X$ ein Element von $y\in Y$ Zuordnet.
Man schreibt: $x\mapsto f(x)$ - ''x wird auf $f(x)$ abgebildet'' = ''dem $x\in X$ wird ein $f(x)\in Y$ zugeordnet.''
- $f(t)=t^2+1$ definiert eine Abbildung $f: \mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}, t\mapsto f(t)=t^2+1$
- $g(t)= \frac{t^2+1}{t-1}$ definiert eine Abbildung $g: \mathbb{R}\setminus\{ 1\}\mapsto \mathbb{R}, t\mapsto \frac{t^2+1}{t-1}$
- $h: S=\{\text{Teilnehmer der Vorlesung}\}\mapsto N, s\mapsto Geburtsjahr(s)$
Spezielle Abbildungen
- F"ur jede Menge $X$ ist die Indentit"atsabbildung auf $X$ definiert durch $Id_x:X\mapsto X, x\mapsto x$.
- Gegeben seien Mengen $A,B$. Die Abbildung $\pi_A: A\times B \mapsto A, (a,b) \mapsto a$ heisst Projektionsabbildung von $A\times B$ auf $A$.
- Seien $X,Y$ Mengen, sei $y_0 \in Y$. Dann heisst die Abbildung $f: X\mapsto Y, x\mapsto y_0$ eine konstante Abbildung (mit dem wert $y_0$).
- Identit"atsabbildung: $f(x)=x$
- konstante Abbildung: $f(x)=1$
- Projektionsabbildung: $f(x,y)=x$
Bild und Urbild
Sei $f: X\mapsto Y$ eine Abbildung.
- Sei $A\subseteq X$. Dann heisst $f(A):=\{f(a)|a\in A\}$ das Bild von A.
- Sei $B\subseteq Y$. Dann heisst $f^{-1}(B):=\{a\in A|f(a)\in B\}$ das Urbild von $B$.
Das Bild und das Urbild f"ur eine Menge einer Funktion ist wieder eine Menge.
$f^{-1}$ ist keine Abbildung, sonder nur ein formales Symbol!
Einige Eigenschaften von Funktionen
Seien $X,Y$ Mengen, $f: X\mapsto Y$ eine Abbildung. $f$ heist:
-
Injektiv, wenn f"ur $x\in X\not = x' \in X$ gilt: $f(x) \not = f(x')$
- Keine Verklebung von Punkten!
-
Surjektiv, wenn f"ur $y\in Y$ ein $x\in X$ existiert mit $f(x)=y$.
- Keine Abbildung auf eine echte Teilmenge von $Y$!
- Bijektiv, wenn $f$ injektiv und surjektiv ist.
-
$f: \mathbb{R} \implies \mathbb{R}, t\mapsto t^2$
- ist nicht injektiv:
$-1\mapsto 1$
- ist nicht surjektiv: f"ur $-1\in \mathbb{R}$ gibt es kein $t\in\mathbb{R}$ mit $t^2=-1$
-
$g: \mathbb{N}\mapsto\mathbb{Z}, n\mapsto-n$
- ist injektiv: $m\ne n\implies g(m)=-m \ne -n = g(n)$
- ist nicht surjektiv: f"ur $1\in \mathbb{Z}$ gibt es kein $n\in \mathbb{N}$ mit $-n=1$
- $h: \mathbb{R}\mapsto\mathbb{R},t\mapsto t^3$ ist Bijektiv ("Ubung)
Inverse Abbildung zu einer bijektiven Abbildung
Sei $f:X\mapsto Y$ bijektiv. Sei $y\in Y$. Definiere eine Abbildung $f^{-1}: Y\mapsto X$ so: $f^{-1}(y)=x$ mit der Eigenschaft $f(x)=y$.
Dies ist wohldefiniert (diese Vorschrift definiert tats"achlich eine Abbildung) weil:
- Das x mit der gew"unschten Eigenschaft existiert f"ur jedes $y\in Y$, weil $f$ surjectiv ist.
- F"ur jedes $y\in Y$ existiert h"ochstens ein $x\in X$ mit der gew"unschten Eigenschaft, weil $f$ injektiv ist.
Wenn die Abbildung $f$ bijektiv ist, hat $f^{-1}(A)$ f"ur ein $A\subseteq Y$ a priori zwei Bedeutungen:
- Urbild von $A$ unter f
- Bild von $A$ von $f^{-1}$
Wenn $f$ bijektiv ist, stimmen aber diese Mengen "uberein. (Bew. "Ubung)
Aber: Wenn $f$ nicht bijektiv ist, hat $f^{-1}$ nur einen Sinn: Urbild!
Verkn"upfung von Abbildungen
$f: X\mapsto Y, g: Y\mapsto Z$ ist die verkn"upfung $g\circ: X\mapsto Z$ definiert als $g\circ f(x)=g(f(x))$. Diagramme Siehe V2_1.
Die Verkn"upfung hat folgende Eigenschaften:
- Sie ist Assoziativ: $h\circ (g\circ f) = (h \circ g) \circ f$ f"ur alle Abb. $f: X\mapsto Y, g:Y\mapsto Z$, $h:Z\mapsto V$
- F"ur jede abbildung $f: X\mapsto Y$ gilt: $f\circ id_X=id_Y\circ f = f$.
-
Wenn $f:X\mapsto Y$ bijektiv ist, dann gilt: $f\circ f^{-1}=id_Y$:
- $f^{-1}\circ f=id_X$ weil: $f(f^{-1}(y))=y$:
- $f^{-1}(f(x))=x'$ mit $f(x')=f(x)\implies x=x'$ wenn Bijektiv
Kommutative Diagramme
Siehe V2_2:
- Dieses Diagramm heist kommutativ, wenn $h=g\circ f$.
- kommutativ wenn $g\circ f=h\circ k$
Eingeschr"ankte Abbildungen
Sei $f: X\mapsto Y$ eine Abbildung.
Die Einschr"ankung von $f$ auf eine Teilmenge $A\subseteq X$ ist die Abbildung:
$f|_A:\begin{matrix}A\mapsto Y\\ a\mapsto f(a)\end{matrix}$
$f: \mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}, t\mapsto t^{2}$ ist nicht injektiv, $f|_{[0, \infty)}$ ist injektiv.
Quantoren
- f"ur alle $x$ in $X$ - $\forall x \in X$
- es existiert $x \in X$ - $\exists x \in X$
$f:X\mapsto Y$ ist surjektiv, wenn $\forall y \in Y \exists x\in X$ mit $f(x)=y$.
F"ur die Negation der Quantoren gilt:
- $\neg(\forall x\in X : A(x)) = \exists x\in X : \neq A(x)$
- $\neg(\exists x\in X : A(x)) = \forallx\in X : \neq A(x)$
$f: X\mapsto Y$ ist surjektiv $\iff \forall y\in Y \exists x\in X : f(x)=y$.
Also: $f: X\mapsto Y$ ist nicht surjektiv $\iff \exists y\in Y \forall x\in X : f(x)\not=y$.
Schlagworte
- Venn Diagram - Kreise und Schnittmengen
-
Zeigen von "Aquivalenz zweier Zusammengeseten Mengen:
- Wahrheitstafel
- Zur"uckf"uhren auf Aussagenlogik
-
Zeigen das $p,q,r$ "aquivalent sind:
- $p\implies q \implies r \implies q$
-
Injektivit"at zeigen:
- nicht I. wenn Gegenbeispiel existiert
- Zeigen das Funktion streng monoton steigt.
-
Surjektivit"at zeigen:
- nicht S. wenn Gegenbeispiel existiert
- Zeigen das Funktion streng monoton steigt und gegen $+-\infty$ strebt.
- $A\setminus (A\setminus B) = A \cap B$
-
Beweise mit Abbildungen $M$ sei Menge, $f$ sei Abbildung:
- $y \in f(M) \implies \exists x \in M : f(x)=y$
Logik und Beweisf"uhrung
Mathematik operiert mit Aussagen.
Eine Aussage ist eine Behauptung, die Wahr oder Falsch sein kann.
- 1
- wahr
- 0
- falsche
$A,B$ seien Aussagen, dann kann man folgende Aussagen betrachten:
- ''nicht $A$'': $\neg A$
| $A$ | 0 | 1 |
|---|---|---|
| $\neg A$ | 1 | 0 |
- Vernk"upfungen
| $A$ | $B$ | $\neg A$ | $A\wedge B$ | $A \vee B$ | $A\implies B$ |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
- ''A "aquivalent zu B'': $A\iff B$
| $A$ | $B$ | $\iff A$ |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
F"ur ein Element $x\in X$ k"onnen wir Aussagen betrachten:
- $A(x)=x\in A$
- $B(x)=x\in B$
$A(x)\wedge B(x)=x\in (A\cap B)$
Identit"aten der Aussagenlogik
-
Direkter Beweis
- $(A\implies B) = (\neg A)\vee B$
- Vorraussetzung $\rightarrow$ logische Aussage $\rightarrow$ Behauptung
-
Beweis in Schritten
- $((A\implies B)\wedge (B\implies C))\implies (A\implies C)$
→ Konstant $=1$ (Tautologie)
- $((A\implies B)\wedge (B\implies C))\implies (A\implies C)$
-
Beweis durch Kontraposition
- $(A\implies B) \iff (\neg B \implies \neg A)$ - Tautologie
Widerspruchsbeweis
Wenn wir die Konsequenz aus der Negation der zu beweisenden Aussage und die Pr"amisse zu einem widerspruch f"uhren so ist die Aussage bewiesen, denn:
\[(A\wedge \neg A)=0\]
Wir wollen $A\implies B$ zeigen. Nehmen an $\neg B$ und leiten her:\\
$(\neg B \wedge A)\implies 0$, also $\neg B\wedge A = 0$, und daher $A\implies B$.
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
- Nehmen wie an, es gibt nur endlich viele Primzahlen. $p_1, ..., p_n$.
- Betrachte $n=p_1\cdot p_2\cdot ... \cdot p_n + 1$. $n$ geteilt durch jede von den Primzahlen $p_1, ..., p_n$ gibt Rest $1$.
- Also ist $n$ eine Primzahl, aber $n\not=p_1 ... p_n$ weil gr"osser.
- Folglich enth"alt die Menge ${p_1,...,p_n}$ nicht alle Primzahlen.
∈dent∈dent → Das ist ein Widerspruch. ($(A\wedge \neg A) = 0$)
Wir werden die Aussage: wenn $q$ eine gerade Primzahl ist $\implies q=2$ beweisen.
- $q$ ist gerade $\implies q$ ist durch $2$ Teilbar f"ur $k\in\mathbb{N}$
- $q$ ist aber eine Primzahl $\implies$ einer der Faktoren in $2\cdot k$ ist gerade $1$, $2\not= 1$
- $\implies k=1, q=2$
Wir m"ussen zeigen: $q\not= 2\implies$ ($q$ ungerade) $\vee$ ($q$ keine Primzahl). Es reicht zu zeigen: ($q\not=2)\wedge(q$ ist eine Primzahl) $\implies q$ ist ungerade!
- Wenn $q$ gerade ist, $q\cdot 2k$, also ist $k>1$
- also $q\not= 2$
Annahme: $q$ ist gerade, $q$ ist eine Primzahl, $q\not= 2$. Wir wollen einen Widerspruch herleiten.
- da $q$ gerade ist, gilt $q=2\cdot k$ f"ur ein $k\in \mathbb{N}$
- da $q\not= 2$, gilt $k>1$
- aber $q$ ist prim, also kann $q$ kein Produkt von zwei Zahlen sein! $\lightning$
Komplexe Zahlen
Idee: Man m"ochte Quadratische Gleichungen ohne reelle Nullstellen trotzdem l"osen, also erweitert man die reellen Zahlen.
Die pototypische Quadratische Gleichungen ohne reelle L"osungen ist: $x^2+1 =
-1$.
Man f"ugt K"unstlich die Zahl $i$ hinzu mit $i^2=-1$, m"oglichst unter
Beibehaltung der "ublichen Rechenregeln: man braucht also die Zahlen $b\cdot i :
b\in \mathbb{R}$ und $a+b\cdot i : a,b\in \mathbb{R}$.
Was passiert, wenn man solche Zahlen miteinander multipliziert ''als ob'' sie normale Zahlen w"aren:
$(a+bi)\cdot(c+di)=ac+bc\cdot i+ad\cdot i+(-bd)=(ac-bd)+(bc+ad)\cdot i$ f"ur $a,b,c,d\in \mathbb{R}$
Addieren kann man solche Ausdr"ucke auch:
$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)\cdot i$
Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ sind die Menge der Paare $(a,b)\in \mathbb{R}^2$ versehen mit der Addition $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ und der Multiplikation $(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd, bc+ad)$.
- Statt $(a,b)$ schreibt man auch $(a+bi)\in \mathbb{C}$.
-
$i:=(0,1)=0+1\cdot i$:
- nach Multiplikation erf"ullt $i^2=-1$
Man "uberpr"uft, dass die "ublichen Rechenregeln aus $\mathbb{R}$ weiterhin gelten (K"orperaxiome): F"ur $z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C}$ gilt, z.B.:
- $z_1\cdot (z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3$
- $z_1\cdot (z_2\cdot z_3)=(z_1\cdot z_2)\cdot z_3$
- $z_1 + (z_2 + z_3)=(z_1 + z_2) + z_3$
$(\mathbb{R},+,\cdot)\subsetneq (\mathbb{C},+,\cdot)$ auf nat"urliche Weise als der der Form $a+0\cdot i = (a,0)$, $a\in \mathbb{R}$.
F"ur $z=a+b\cdot i\in \mathbb{C}$ heisst:
- $a:=:Re(z)$ Realanteil von $z$
- $b:=:Im(z)$ Imagin"aranteil von $z$
Also ist $z=Re(z)+ Im(z)\cdot i$.
Die Zahlen der Form $b\cdot i : b\in \mathbb{R}$ heissen rein Imagin"ar.
F"ur reele Zahlen wissen wir: $\forall a\in \mathbb{R}$ mit $a\not= 0 \exists a^{-1}\in \mathbb{R} mit $a*a-1=1$. Gilt das auch in $\mathbb{C}$ ?
F"ur $z\in \mathbb{C}$ heisst die Zahl $\overline{z}:=a-bi$ die komplex konjugierte Zahl zu $a+bi$.
$\overline{1+i}=1-i$
$z*\overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2\geq -$ mit Gleichheit genau dann, wenn $z=0$.
$|z|:=\sqrt{x\cdot \overline{z}}=\sqrt{a^2+b^2}$ mit $z=a+bi$.
Inverses zu einer komplexen Zahl
Das Inverse zu $z\not= 0$:
$z\cdot \frac{\overline{z}}{|z|^2}=1$
Also: $\forall z\not= 0 \exists z^{-1} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}$ mit $z \cdot z^{-1}}=1$
$(1+i)^{-1}=\frac{1-i}{2}$
Mnemonische Rechenregel, Multipliziere mit dem Inversen:
$\frac{1}{1+i}=\frac{1-i}{(1+i)(1-i)}=\frac{1-i}{2}$
Geometrische Interpretation von $\mathbb{C}$
Siehe Zeichung $C_1$.
- Addition: als Addition von Vektoren
- Betrag: L"ange des Vektors
- $\varphi$ - Winkel zwischen der reellen Achse und dem Vektor der $z$ entspricht, gez"ahlt gegen den Urzeigersinn.
Es folgt:
$a=|z|\cdot \cos(\varphi)$ und $b=|z|\cdot \sin(\varphi)$
$\varphi$ ist nicht eindeutig bestimmt, sondern bis auf Addition von eines vielfachen von $2\pi$.
$\varphi=\frac{\pi}{4}$ und $\varphi=-\frac{7\pi}{4}$ sind im geometrischen Bild von $\mathbb{C}$ "aquivalent.
Der wert von $\varphi$, welcher in $[0, 2\pi)$ liegt, heisst Hauptargument von $z$,
$arg(z)=\varphi$.
Das Argument von $z$ ist die Menge von allen $\varphi \in R$,4
$z=|z|(\cos(\varphi)+i\cdot \sin(\varphi))$, $Arg\, z = {\varphi \in R : |z|(\cos(\varphi)+i\cdot \sin(\varphi))}$.
$Arg\, z= {arg(z)+2\pi\cdot k : k\in \mathbb{Z}}$
Seien $z_1=|z_1|\cdot \cos(\varphi_1)+i\cdot \sin(\varphi_1)$, $z_2=|z_2|\cdot \cos(\varphi_2)+i\cdot \sin(\varphi_2)$ zwei komplexe Zahlen.\\
So gilt: $z_1\cdot z_2 = |z_1|\cdot |z_2|(\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\cdot \sin(\varphi_1 + \varphi_2))$
Bei der Multiplikation von komplexen Zahlen multiplizieren sich die Betr"age, und die Argumente addieren sich.
F"ur geometrische Interpretation: Siehe $C_2$.
Besonders n"utzlich ist dies f"ur die Multiplikation einer komplexen Zahl vom Betrag $1$:
\begin{align*} |z|=1\iff z=\cos(\varphi)+i\cdot \sin(\varphi)$ f"ur ein $\varphi \in \mathbb{R} \end{align*}Es liegen $\{z\in \mathbb{C} : |z|=1\}$ auf dem Einheitskreis. Die Multiplikation mit von komplexen Zahlen Zahlen mit dem Betrag 1 entspricht also der Rotation gegen den Urzeigersinn um $\varphi$.
Exponentialform der komplexen Zahlen
- Exponentialform: $\cos(\varphi)+i\cdot \sin(\varphi):=e^{i\cdot \varphi}$
- es gilt $e^{i(\varphi_k)}, k\in\mathbb{R}$ sind die Zahlen auf dem Einheitskreis
Die Exponentialform f"ur jede komplexe Zahl $z\in\mathbb{C}$ lautet $z=|z|e^{i\cdot arg\,z}$.
Mit dieser Notation folgt:
$(e^{i\varphi})^n=(\cos(\varphi)+i\cdot\sin(\varphi))^2=e^{n\cdot i\cdot \varphi}=\cos(n\varphi)+i\cdot\sin(n\varphi)$ f"ur alle $n\in\mathbb{N}$
Einscheitswurzeln
Sei die gleichung $x^n=a$ "uber $\mathbb{R}$ gegeben. Je nach Vorzeichen von $a$ und Parit"at von $n$, gibt es Varianten f"ur die Anzahl der L"osungen.
In $\mathbb{C}$ hat aber die Gleichung $z^n=a$ f"ur ein $a\in \mathbb{C}\setminus \{0\}$ immer genau $n$ L"osungen.
Sei $w\in \mathbb{C}$ mit $w^n=a$. Dann gilt $(\frac{z}{w})^n=1$ f"ur jedes $z\in \mathbb{C}$ mit $z^n=a$. Also l"osen wir erst mal die Gleichung $z^n=1$, und dann reduzieren wir den allgemeinen Fall darauf.
Eine Zahl $z\in \mathbb{C}$ heisst $n\text{-te}$ Einheitswurzel, wenn $z^n=1$.
F"ur jedes $n\geq, n\in\mathbb{N}$ existieren genau $n$ Einheitswurzeln in $\mathbb{C}$. Sie sind durch die Formel $z_k=e^{\frac{2\pi\cdot k\cdot i}{n}},\quad k=0,1,...,n-1$ gegeben.
$z_k$ sind $n\text{-te}$ Einheitswurzeln denn:
\begin{align*} z_k^n & = (e^{\frac{2\cdot\pi\cdot k}{n}})^n \\ & = e^{2\pi\cdot k} \\ & = 1 \end{align*}Wir m"ussen noch zeigen, dass jede $n\text{-te}$ Einheitswurzel von dieser Form ist. \\
Sei $z\in\mathbb{C}$ mit $z^n=1$. Es gilt:
\begin{align*} |z|^n & =|z^n|=1 \\ & \implies |z|=1 \\ & \implies z=e^{i\cdot\varphi} \tag*{f"ur ein $\varphi\in[0, 2\pi)$} \\ & \implies 1 = z^n \\ & = (e^{i\varphi})^n=e^{i\varphi\cdot n} \\ & =\cos(n\varphi)+i\cdot \sin(n\varphi) \end{align*}Also folgt:
\begin{gather*} \cos(n\varphi)=1,\;\sin(n\varphi)=0 \\ \implies n\cdot\varphi = 2\pi\cdot k \tag*{f"ur ein $k\in \mathbb{Z}$} \\ \implies \varphi = \frac{2\pi\cdot k}{n} \tag*{f"ur ein $k\in \mathbb{Z}$} \end{gather*}Da $\varphi$ in $[0,2\pi)\implies 0\leq k < n$.
Wenn wir jetzt also eine Gleichung $z^n=a$ l"osen wollen, reicht es, eine L"osung $w$ zu finden, die anderen L"osungen bekommt man als $w\cdot z_k,\; k=0,...,n-1$ mit $z_k$, der $n\text{-ten}$ Einheitswurzeln: $z^n=a\iff (\frac{z}{w})^n=1$.\\
Eine L"osung $w$ kann man folgendermassen finden:
Gemetrische Interpretation: regul"ares $n\text{-Eck}$.
≠wpage
Lineare Gleichungsysteme
Wir werden die Bezeichung $K$ f"ur $\mathbb{R}$ oder $\mathbb{C}$ verwenden.
Eine Lineare Gleichung "uber $K$ ist eine Gleichung der Form
$a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=b$.
Hierbei sind $x_1,...,x_n$ die Variablen und $a_1,...,a_n,b \in K$, die Koeffizienten.
Ein Lineares Gleichungsystem ist eine endliche Menge von Gleichungen: \[{\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}\,+&\cdots &+\,a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}\,+&\cdots &+\,a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\&&&\vdots &\\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}\,+&\cdots &+\,a_{mn}x_{n}&=&b_{m}\\\end{matrix}}}\]
Ein L"osung von diesem Gleichungssystem ist ein \[n\text{-Tupel } \left( \begin{matrix} x_{1}\\ \vdots\\ x_{n}\end{matrix} \right) \in K^{n} \] dass jede Gleichung erf"ullt. Ein lineares Gleichungssystem (LGS) zu l"osen, heisst, alle L"osungen zu finden.
Idee: Man formt das LGS durch Operationen um, die die Menge der L"osungen nicht ver"andern. Solche Operationen heissen "Aquivalenzumformungen. Diese sind unter anderem:
- Multiplikation einer Gleichung mit einer zahl $\alpha\in K\setminus \{0\}$
- Addierung von einer Gleichung zu der anderen (z.B. Ersetzen der zweiten Gleichung durch die Summe der ersten und zweiten.)
- Vertauschen von zwei Gleichungen; dies kann man auf Operationen von Typ eins und Zwei zur"ukf"uhren
Wir werden ein LGS umformen, um es auf eine Form zu bringen, wo die L"osung offensichtlich ist.
Wir beobachten:
Es ist "uberflu"ssig, die Variablen mitzuschleppen. Man k"onnte statdessen die ''Tabellen'' von Koeffizienten umformen.
Eine $M\times N$ Matrix $A$ ist eine Tabelle der Gr"osse $m\times n$, gef"ullt mit Elementen aus $K$. \[A=(a_{ij})_{\substack{i=1,\cdots,m \\ j=1,\cdots,n}}\]
\[ A=\left( \begin{matrix} 1& 1\\ 2& -3\end{matrix} \right) \]
Wobei $a_{11} = 1$, $a_{21} = 2$, $a_{12}=1$ und $a_{22}=-3$.
Gegeben ein LGS ($*$), k"onnen wir eine Matrix \[ A=\left( \begin{matrix} a_{11}& \cdots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1}& \ldots & a_{nn}\end{matrix} \right) \] aufstellen. Sie heisst Koeffizientenmatrix des LGS. Auch stellen wir \[b=\left( \begin{matrix} b_{1}\\ \vdots \\ b_{n}\end{matrix} \right)\] eine $m\times 1$ Matrix (Spalte) auf. (Sie heisst rechter Teil des LGS). Die Matrix $A'=(A\mid b)$ heisst erweiterte Koeffizientenmatrix des LGS ($*$).
Die "Aquivalenzumformungen des LGS, die wir vorhin betrachtet haben, entsprechen dann folgenden Umformungen von der erweiterten Koeffizientenmatrix:
\begin{itemize} \item[1'.] Multiplikation einer Zeile mit $\alpha \in K^\times$ \item[2'.] Addieren von einer Zeile zu der anderen. \end{itemize}Wir werden dann versuchen, die (erweiterten koeffzienten-) Matrizen durch diese Umformungen auf eine Form zu bringen, in der man die L"osung leicht ablesen kann.
$1'$ und $2'$ heissen elementare Zeilenumforumungen.
Weitere Zeilenumformungen, die man aus diesen erhalten kann:
- Vertauschen Zweier Zeilen
- Addieren einer Zeile, Multipliziert mit $\alpha \not= 0$
Ziel ist eine gegebe erweiterte Koeffizientenmatrix $(A\mid b)$, durch Zeilenumformungen zu einer Matrix umzuformen, aus der man die L"osung leicht ablesen kann.
Gegeben einer Zeile $Z=(a_1,...,a_n)\in K^n$, nennen wir das erste Element $a\not= 0$ das Pivotelement. Wenn $Z=(0,...,0)$ ist dann gibt es kein Pivotelement.
Eine Matrix $A$ hat Zeilenstufenform, wenn folgendes gilt:
- Die Nummern von Pivotlementen der Zeilen von $A$ bilden eine aufsteigende Folge.
- Die Nullzeilen, falls existent, stehen am Ende.
| 0 | $a_{12}$ | $a_{13}$ |
| 0 | 0 | $a_{23}$ |
| 0 | 0 | 0 |
Jede Matrix kann durch elementare Zeilenumformungen auf die Stufenform gebracht werden.
Sei $A=\begin{matrix}a_{11}&...&a_{nn}\end{matrix}$.
Wenn $A=0$ - Bewiesen.
Wenn $A\not=0$, dann gibt es eine Spalte $\not= 0$. Sei
$j_1$ die Nummer dieser Spalte. Durch vertausche von Zeilen erreichen wir
zun"achst $a_{1j_1}}\not= 0$. Multiplaktion der ersten Zeule mit
$\frac{1}{j_1}$. Jetzt Subtrahiere von jeder Zeile ab der Zweiten die erste
Zeile multipliziert mit $a_{kj_1}$ ($k=$ Nummer der Zeile). \\
Wir erhalten dann Restmatrix $A_1<A$ und wir wenden das selbe Verfahren auf $A_1$ an. Da $A_1$ weniger Zeilen hat, stoppt der ganze Prozess.
Nach diesem Verfahren gilt sogar: Pivotelemente sind alle $=1$1
Nachdem wir die Zeilenstufenform mit Pivotelementen $=1$ erreicht haben, k"onnen wir durch weitere Zeilenumformungen die eintr"age zu Null f"uhren, die oberhalb von Pivotelementen stehen; Die Finalform heisst dann reduzierte Zeilenstufenform.
Das entsprechende Verfahren zum L"osen von LGS sieht so aus:
- Bringe die erweiterte Koeffizientenmatrix auf die reduzierte
Zeilenstufenform:
Die Spalten mit den Pivotelementen in dieser reduzierten Zeilenstufenform nennen wir Basispalten. -
Zwei F"alle:
- Letzte Spalte des ist eine Basispalte - in diesem Fall hat das LGS keine L"osungen, da eine Gleichung $0=1$ entsteht.
- Die letzte Spalte ist keine Basisspalte:
Das LGS in der reduzierten Zeilenstufenform dr"uckt die Variablen, die zu Basisspalten geh"oren , durch die restlichen (freien) Variablen und den rechten Teil des LGS aus. Alle L"osungen werden dadurch erhalten, dass man f"ur die freien Variablen beliebige Werte in $K$ ausw"ahlt. Die Basisvariablen werden dann durch Freie Variablen ausgedr"uckt.
In unserem Beispiel l"asst sich die L"osung so aufschreiben: \\
Errinnerung: ein LGS hatte die erweiterte Koeffizientenmatrix $(A|b)$. Das LGS4 l"asst sich dann auch so aufschreiben:\\ $:=A\cdot x$, wobei $x=$
Matrizenrechnung
Das Produkt von einer $m\times n$ Matrix $A$ und einer Spalte (in dieser Reihenfolge) wird definiert durch $A\cdot x =$. In dieser Spalte wird das LGS $A\cdot b$.
Die Menge von Matrizen der Gr"osse $m\times n$ mit Eintr"agen in $K$ wird durch $M(m\times n, k)$ oder $K^{m\times n}$ bezeichnet. Matrizen der Gr"osse $1\times n$ heissen Spalten der L"ange $n$. Matrizen der Gr"osse $n\times 1$ heissen Zeilen der L"ange $n$.
Matrizen gleicher Gr"osse kann man eintragsweise Addieren: $A,B \in K^{m\times n} \rightarrow (A+B)_{ij}:=$Aij+Bij$$
Matrizen kann man mit Zahlen multiplizieren (indem man jeden eintrag mit dieser Zahl multipliziert).
$(\lambda \cdot A)_{ij}:=\lambda \cdot A_{ij}$.
Wenn die Breite von $A$ mit der H"ohe von $B$ "ubereinstimmt, kann man das
Produkt $A\cdot B$ definieren:
$A\cdot B:=(A\cdot b_1\; ... \4; A\cdot b_n)$ mit $B=(b_1\; ...\; b_n)$ (Spalten)
mit $A\cdot B \in K^{p\times n}$