LAAG1/Lineare_Algebra.org

#+TITLE: Lineare Algebra (f"ur Physiker) I
#+INCLUDE: "latex_preamble.org"

* Mengenlehre
In der modernen Mathematik fasst man Strukturen (R"aume, Fl"achen,
Zahlensysteme) als /Mengen/ und /Abbildungen/ auf.

#+ATTR_LATEX: :options {Menge}{def-meng}
#+begin_definition
Eine Zusammenfassung von Objekten die *Elemente* der heissen. Eine Menge ist
also eindeutig dadurch bestimmt, welche Elemente sie enth"alt.
#+end_definition

#+ATTR_LATEX: :options \
#+begin_notation
 - $M=\{m_1,m_2,m_3,...\}$ - Aufzeahlung
   - $\{...\}$ - Mengenklammern
 - $M=\{x| P(x)\}$ - Eigenschaft
   - Alle $x$ mit der Eigenschaft $P(x)$
#+end_notation

#+ATTR_LATEX: :options \
#+begin_exa 
 - $n=\{\text{Nat"urliche Zahlen}\} =(add-hook 'La(add-hook 'LaTeX-mode-hook 'LaTeX-math-mode)TeX-mode-hook 'LaTeX-math-mode) \{0,1,2,...\}$
 - $E=\{x|\text{x hat die Eigenschaft } P(x)\}$
#+end_exa

** Wichtige Mengen
 - $\mathbb{N}=\{\text{nat"urliche Zahlen}\} = \{1,2,...\}$
 - $\mathbb{Z}=\{\text{ganze Zahlen}\} = \{...,-2,-1,0,1,2,...\}$
 - $Q=\{\text{Rationale
   Zahlen}\}=\left\{\left.\displaystyle\frac{p}{q}\;\right\vert\begin{array}{c}p \in \mathbb{Z} \\ q \in N \setminus \{0\}\end{array}\right\}$
 - $\mathbb{R}=\{\text{reelle Zahlen}\}$

** Beziehungen zwischen Mengen
#+ATTR_LATEX: :options {Mengenbeziehungen}{def-teilmenge}
#+begin_definition
Seien $A,B$ zwei Mengen. 
 1) $A$ heisst *Teilmenge* von B, wenn f"ur jedes Element $a\in A$ gilt: $a\in B$.
 2) Es sei die Menge $C = \{a|a\in A \text{ und } b\in B\}$, so heisst $C$ *Durchschnitt* von $A$ und $B$.
 3) Es sei die Menge $C = \{a|a\in A \text{ oder } b\in B\}$, so heisst $C$ *Vereinigung* von $A$ u(add-hook 'c++-mode-hook 'clang-format-bindings)nd $B$.
#+end_definition

#+ATTR_LATEX: :options \
#+begin_notation
 - $\in$ ``Element von'': $x\in X$ - ''x ist Element von X''
 - $\subseteq$ Teilmenge: $A\subseteq B$ - ''A ist eine Teilmenge von B''
 - $\cap$ Durchschnitt: $A\cap B = \{a|a\in A \text{ und } b\in B\}$
 - $\cup$ Vereinigung $A\cup B = \{a|a\in A \text{ oder } b\in B\}$
 - $\varnothing$ - Leere Menge
 - $A\setminus B$ - Mengendifferenz
 - $A\times B$ - Direktes Produkt
   - $(a,b)$ - geordentes Paar mit dem ersten Element $a$ und dem zweiten
     Element $b$.
#+end_notation

#+begin_exa 
$N\subseteq \mathbb{Z}$, aber $Q \not\subset \mathbb{Z}$: $\frac{1}{2} \not\in \mathbb{Z}$
#+end_exa

#+begin_exa 
F"ur $A = \{1,2,3,4,5\}$ und $B = \{2,3,10\}$:
 - $A\cap B = \{2,3\}$
 - $A\cup B = \{1,2,3,5,10\}$
#+end_exa

#+ATTR_LATEX: :options {Leere Menge}{}
#+begin_definition
Die leere Menge $\varnothing$ ist die (eindeutig bestimmte) Menge, die kein Element enth"alt.
#+end_definition

#+begin_exa 
$\{\pi\} \cap Q = \varnothing$
#+end_exa

#+ATTR_LATEX: :options {Differenz}{}
#+begin_definition
Die Differenz zweier Mengen $A, B$ wird definiert als $A\setminus B = \{a\in A | a\not\in
B\}$ (Elemente aus $A$, die nicht in $B$ liegen). 
#+end_definition

#+ATTR_LATEX: :options {Direktes/Kartesisches Produkt}{}
#+begin_definition
Wenn $A,B$ zwei Mengen sind dann ist die Menge der Paare $(a,b)$ und $a\in A,
b\in B$ das direkte (kartesische) Produkt von $A$ und $B$ ($A\times B$).
#+end_definition

Analog gilt: $A_1\times A_2\times ... \times A_n = \{(a_1,...,a_n)| a_1\in A_1,...,a_n\in A_n\}$

#+begin_exa 
$\mathbb{R}^n=\mathbb{R}\times ... \times \mathbb{R} =  \{(x_1,...,x_n)| x_1\in \mathbb{R},...,x_n\in \mathbb{R}\}$
#+end_exa

Geometrie $m$ der Ebene mit Koordinaten $=$ Untersuchung von Konstruktionen in
$\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\cdot\mathbb{R}$.

#+ATTR_LATEX: :options {Komplemen"armenge}
#+begin_definition
Seien $A,M$ Mengen und $A\subseteq B$ so ist $A^c = M\setminus A$ und heisst
*Komplement"armenge* zu $M$.
#+end_definition

Seien $A,B,M$ Mengen und $A\subseteq M$ und $B\subseteq M$, so gilt:
#+begin_relation 
 1) $(A\cup B)^c = A^c \cap B^c$
 2) $(A\cap B)^c = A^c \cup B^c$
 3) $(A^c)^c = A$
 4) $A\cup A^c = M$
#+end_relation

#+begin_notte
Es gelten auch alle Identit"aten f"ur Mengen.
#+end_notte


** Abbildungen zwischen Mengen
#+ATTR_LATEX: :options {Abbildung}{}
#+begin_definition
Seien $X,Y$ Mengen. Eine Abbildung $f$ von $X$ nach $Y$ (Bez: $f:X\rightarrow
Y$) ist eine Vorschrift, die jedem Element $x\in X$ ein Element von
$y\in Y$ Zuordnet.
#+end_definition


#+begin_notation
Man schreibt: $x\mapsto f(x)$ - ''x wird auf $f(x)$ abgebildet'' = ''dem $x\in
X$ wird ein $f(x)\in Y$ zugeordnet.''
#+end_notation

#+ATTR_LATEX: :options \
#+begin_exa 
 - $f(t)=t^2+1$ definiert eine Abbildung $f: \mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}, t\mapsto f(t)=t^2+1$
 - $g(t)= \frac{t^2+1}{t-1}$ definiert eine Abbildung $g: \mathbb{R}\setminus\{
   1\}\mapsto \mathbb{R}, t\mapsto  \frac{t^2+1}{t-1}$
 - $h: S=\{\text{Teilnehmer der Vorlesung}\}\mapsto N, s\mapsto Geburtsjahr(s)$
#+end_exa

*** Spezielle Abbildungen
#+begin_relation 
 1) F"ur jede Menge $X$ ist die *Indentit"atsabbildung* auf $X$ definiert durch $Id_x:X\mapsto X, x\mapsto x$.
 2) Gegeben seien Mengen $A,B$. Die Abbildung $\pi_A: A\times B \mapsto A, (a,b)
    \mapsto a$ heisst *Projektionsabbildung* von $A\times B$ auf $A$.
 3) Seien $X,Y$ Mengen, sei $y_0 \in Y$. Dann heisst die Abbildung $f: X\mapsto
    Y, x\mapsto y_0$ eine *konstante Abbildung* (mit dem wert $y_0$).
#+end_relation

#+ATTR_LATEX: :options \
#+begin_exa 
 - Identit"atsabbildung: $f(x)=x$
 - konstante Abbildung: $f(x)=1$
 - Projektionsabbildung: $f(x,y)=x$
#+end_exa

*** Bild und Urbild
#+ATTR_LATEX: :options {Bild und Urbild einer Funktion}{}
#+begin_definition
Sei $f: X\mapsto Y$ eine Abbildung.
 - Sei $A\subseteq X$. Dann heisst $f(A):=\{f(a)|a\in A\}$ das Bild von A.
 - Sei $B\subseteq Y$. Dann heisst $f^{-1}(B):=\{a\in A|f(a)\in B\}$ das Urbild von $B$.
#+end_definition

#+begin_notte
Das Bild und das Urbild f"ur eine /Menge/ einer Funktion ist wieder eine /Menge/.
#+end_notte


#+begin_notte
$f^{-1}$ ist keine Abbildung, sonder nur ein formales Symbol!
#+end_notte

*** Einige Eigenschaften von Funktionen
Seien $X,Y$ Mengen, $f: X\mapsto Y$ eine Abbildung. $f$ heist:
#+begin_relation 
 1) *Injektiv*, wenn f"ur $x\in X\not = x' \in X$ gilt: $f(x) \not = f(x')$
    * Keine Verklebung von Punkten!
 2) *Surjektiv*, wenn f"ur $y\in Y$ ein $x\in X$ existiert mit $f(x)=y$.
    * Keine Abbildung auf eine echte Teilmenge von $Y$!
 3) *Bijektiv*, wenn $f$ injektiv und surjektiv ist.
#+end_relation

#+ATTR_LATEX: :options \
#+begin_exa 
 1. $f: \mathbb{R} \implies \mathbb{R}, t\mapsto t^2$ 
    - ist nicht injektiv: 
$-1\mapsto 1$
    - ist nicht surjektiv: f"ur $-1\in \mathbb{R}$ gibt es kein $t\in\mathbb{R}$
      mit $t^2=-1$
 2. $g: \mathbb{N}\mapsto\mathbb{Z}, n\mapsto-n$
    - ist injektiv: $m\ne n\implies g(m)=-m \ne -n = g(n)$
    - ist nicht surjektiv: f"ur $1\in \mathbb{Z}$ gibt es kein $n\in \mathbb{N}$
      mit $-n=1$
 3. $h: \mathbb{R}\mapsto\mathbb{R},t\mapsto t^3$ ist Bijektiv ("Ubung)
#+end_exa

*** Inverse Abbildung zu einer bijektiven Abbildung
#+ATTR_LATEX: :options {Inverse Abbildung}{}
#+begin_definition
Sei $f:X\mapsto Y$ bijektiv. Sei $y\in Y$. Definiere eine Abbildung $f^{-1}:
Y\mapsto X$ so: $f^{-1}(y)=x$ mit der Eigenschaft $f(x)=y$.
#+end_definition

Dies ist wohldefiniert (diese Vorschrift definiert tats"achlich eine Abbildung)
weil:

#+begin_relation 
 - Das x mit der gew"unschten Eigenschaft existiert f"ur jedes $y\in Y$, weil
   $f$ surjectiv ist.
 - F"ur jedes $y\in Y$ existiert h"ochstens ein $x\in X$ mit der gew"unschten
   Eigenschaft, weil $f$ injektiv ist.
#+end_relation

#+begin_notte
Wenn die Abbildung $f$ bijektiv ist, hat $f^{-1}(A)$ f"ur ein $A\subseteq Y$ a
priori zwei Bedeutungen:
 - Urbild von $A$ unter f
 - Bild von $A$ von $f^{-1}$

Wenn $f$ bijektiv ist, stimmen aber diese Mengen "uberein. (Bew. "Ubung)

*Aber*: Wenn $f$ nicht bijektiv ist, hat $f^{-1}$ nur einen Sinn: Urbild!
#+end_notte

*** Verkn"upfung von Abbildungen
#+ATTR_LATEX: :options {Verkn"upfung}{}
#+begin_definition
$f: X\mapsto Y, g: Y\mapsto Z$ ist die verkn"upfung $g\circ: X\mapsto Z$ definiert
als $g\circ f(x)=g(f(x))$. Diagramme Siehe V2_1.
#+end_definition


Die Verkn"upfung hat folgende Eigenschaften:
#+begin_relation 
 1) Sie ist Assoziativ: $h\circ (g\circ f) = (h \circ g) \circ f$ f"ur alle Abb. $f: X\mapsto Y, g:Y\mapsto Z$, $h:Z\mapsto V$
 2) F"ur jede abbildung $f: X\mapsto Y$ gilt: $f\circ id_X=id_Y\circ f = f$.
 3) Wenn $f:X\mapsto Y$ bijektiv ist, dann gilt: $f\circ f^{-1}=id_Y$:
    - $f^{-1}\circ f=id_X$ weil: $f(f^{-1}(y))=y$:
    - $f^{-1}(f(x))=x'$ mit $f(x')=f(x)\implies x=x'$ wenn /Bijektiv/
#+end_relation

*** Kommutative Diagramme
Siehe V2_2: 
 1) Dieses Diagramm heist kommutativ, wenn $h=g\circ f$.
 2) kommutativ wenn $g\circ f=h\circ k$

*** Eingeschr"ankte Abbildungen
#+ATTR_LATEX: :options {Einschr"ankung}{}
#+begin_definition
Sei $f: X\mapsto Y$ eine Abbildung.\\
Die Einschr"ankung von $f$ auf eine Teilmenge $A\subseteq X$ ist die  Abbildung:
$f|_A:\begin{matrix}A\mapsto Y\\ a\mapsto f(a)\end{matrix}$
#+end_definition

#+begin_exa 
$f: \mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}, t\mapsto t^{2}$ ist nicht injektiv, $f|_{[0,
\infty)}$ ist injektiv.
#+end_exa

*** Quantoren
#+ATTR_LATEX: :options {Quantoren}{}
#+begin_definition
 - f"ur alle $x$ in $X$ - $\forall x \in X$
 - es existiert $x \in X$ - $\exists x \in X$
#+end_definition

#+begin_exa 
$f:X\mapsto Y$ ist surjektiv, wenn $\forall y \in Y \exists x\in X$ mit $f(x)=y$.
#+end_exa

F"ur die Negation der Quantoren gilt:
#+begin_relation 
 - $\neg(\forall x\in X : A(x)) = \exists x\in X : \neq A(x)$
 - $\neg(\exists x\in X : A(x)) = \forallx\in X : \neq A(x)$
#+end_relation

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{} \
#+begin_exa 
$f: X\mapsto Y$ ist surjektiv $\iff \forall y\in Y \exists x\in X : f(x)=y$.\\
Also: $f: X\mapsto Y$ ist *nicht* surjektiv $\iff \exists y\in Y \forall x\in X : f(x)\not=y$.
#+end_exa

** Schlagworte
 - Venn Diagram - Kreise und Schnittmengen
 - Zeigen von "Aquivalenz zweier Zusammengeseten Mengen:
   - Wahrheitstafel
   - Zur"uckf"uhren auf Aussagenlogik
 - Zeigen das $p,q,r$ "aquivalent sind:
   - $p\implies q \implies r \implies q$
 - /Injektivit"at/ zeigen:
   - nicht I. wenn Gegenbeispiel existiert
   - Zeigen das Funktion streng monoton steigt.
 - /Surjektivit"at/ zeigen:
   - nicht S. wenn Gegenbeispiel existiert
   - Zeigen das Funktion streng monoton steigt und gegen $+-\infty$ strebt.
 - $A\setminus (A\setminus B) = A \cap B$
 - Beweise mit Abbildungen $M$ sei Menge, $f$ sei Abbildung:
   - $y \in f(M) \implies \exists x \in M : f(x)=y$

* Logik und Beweisf"uhrung
Mathematik operiert mit *Aussagen*.

#+ATTR_LATEX: :options {Aussage}{}
#+begin_definition
Eine Aussage ist eine Behauptung, die Wahr oder Falsch sein kann.
#+end_definition

#+ATTR_LATEX: :options [Wahrheitswerte] \label{}
#+ATTR_LATEX: :options \
#+begin_notation
  - 1 :: wahr
  - 0 :: falsche
#+end_notation

$A,B$ seien Aussagen, dann kann man folgende Aussagen betrachten:
#+begin_relation 
 - ''nicht $A$'': $\neg A$
| $A$      | 0 | 1 |
|----------+---+---|
| $\neg A$ | 1 | 0 |

 - Vernk"upfungen
| $A$ | $B$ | $\neg A$ | $A\wedge B$ | $A \vee B$ | $A\implies B$ |
|-----+-----+---------+-------------+------------+------------------|
|   0 |   0 |       1 |           0 |          0 |                1 |
|   0 |   1 |       1 |           0 |          1 |                1 |
|   1 |   0 |       0 |           0 |          1 |                0 |
|   1 |   1 |       0 |           1 |          1 |                1 |

 - ''A "aquivalent zu B'':  $A\iff B$
| $A$ | $B$ | $\iff A$ |
|-----+-----+----------|
|   0 |   0 |        1 |
|   0 |   1 |        0 |
|   1 |   0 |        0 |
|   1 |   1 |        1 |

#+end_relation

#+begin_exa 
F"ur ein Element $x\in X$ k"onnen wir Aussagen betrachten:
 1) $A(x)=x\in A$
 2) $B(x)=x\in B$
$A(x)\wedge B(x)=x\in (A\cap B)$
#+end_exa

** Identit"aten der Aussagenlogik
#+begin_relation 
 1) Direkter Beweis 
    - $(A\implies B) = (\neg A)\vee B$
    - Vorraussetzung $\rightarrow$ logische Aussage $\rightarrow$ Behauptung
 2) Beweis in Schritten
    - $((A\implies B)\wedge (B\implies C))\implies (A\implies C)$ \\
       \rightarrow{} Konstant $=1$ (/Tautologie/)
 3) Beweis durch Kontraposition
    - $(A\implies B) \iff (\neg B \implies \neg A)$ - /Tautologie/
#+end_relation

** Widerspruchsbeweis
Wenn wir die Konsequenz aus der Negation der zu beweisenden Aussage und die
Pr"amisse zu einem widerspruch f"uhren so ist die Aussage bewiesen, denn:
#+begin_relation 
\[(A\wedge \neg A)=0\]
#+end_relation


Wir wollen $A\implies B$ zeigen.
Nehmen an $\neg B$ und leiten her:\\
#+begin_relation 
$(\neg B \wedge A)\implies 0$, also $\neg B\wedge A = 0$, und daher $A\implies
B$.
#+end_relation

#+ATTR_LATEX: :options {Satz von Euklid}{}
#+begin_theo 
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
#+end_theo

#+ATTR_LATEX: :options \
#+begin_proof
 1) Nehmen wie an, es gibt nur endlich viele Primzahlen. $p_1, ..., p_n$.
 2) Betrachte $n=p_1\cdot p_2\cdot ... \cdot p_n + 1$. $n$ geteilt durch jede
    von den Primzahlen $p_1, ..., p_n$ gibt Rest $1$.
 3) Also ist $n$ eine Primzahl, aber $n\not=p_1 ... p_n$ weil gr"osser.
 4) Folglich enth"alt die Menge ${p_1,...,p_n}$ nicht alle Primzahlen. 
\indent\indent \rightarrow{} Das ist ein *Widerspruch*. ($(A\wedge \neg A) = 0$)
#+end_proof


#+begin_exa 
Wir werden die Aussage: wenn $q$ eine gerade Primzahl ist $\implies q=2$
beweisen.

#+ATTR_LATEX: :options [Direkter Beweis] \label{} \
#+begin_proof
 1) $q$ ist gerade $\implies q$ ist durch $2$ Teilbar f"ur $k\in\mathbb{N}$
 2) $q$ ist aber eine Primzahl $\implies$ einer der Faktoren in $2\cdot k$ ist
    gerade $1$, $2\not= 1$
 3) $\implies k=1, q=2$
#+end_proof

#+ATTR_LATEX: :options [Kontraposition] \label{} \
#+begin_proof
Wir m"ussen zeigen: $q\not= 2\implies$ ($q$ ungerade) $\vee$ ($q$ keine
Primzahl). Es reicht zu zeigen: ($q\not=2)\wedge(q$ ist eine Primzahl)
$\implies q$ ist ungerade!
 1) Wenn $q$ gerade ist, $q\cdot 2k$, also ist $k>1$
 2) also $q\not= 2$
#+end_proof

#+ATTR_LATEX: :options [Widerspruchsbeweis] \label{} \
#+begin_proof
Annahme: $q$ ist gerade, $q$ ist eine Primzahl, $q\not= 2$. Wir wollen einen
Widerspruch herleiten.

 1) da $q$ gerade ist, gilt $q=2\cdot k$ f"ur ein $k\in \mathbb{N}$
 2) da $q\not= 2$, gilt $k>1$
 3) aber $q$ ist prim, also kann $q$ kein Produkt von zwei Zahlen sein! $\lightning$
#+end_proof
#+end_exa

* Komplexe Zahlen
Idee: Man m"ochte Quadratische Gleichungen ohne reelle Nullstellen trotzdem
l"osen, also erweitert man die reellen Zahlen.

#+begin_relation 
Die pototypische Quadratische Gleichungen ohne reelle L"osungen ist: $x^2+1 =
-1$.\\
Man f"ugt K"unstlich die Zahl $i$ hinzu mit $i^2=-1$, m"oglichst unter
Beibehaltung der "ublichen Rechenregeln: man braucht also die Zahlen $b\cdot i :
b\in \mathbb{R}$ und $a+b\cdot i :  a,b\in \mathbb{R}$.
#+end_relation

Was passiert, wenn man solche Zahlen miteinander multipliziert ''als ob'' sie
normale Zahlen w"aren: 
#+begin_relation 
$(a+bi)\cdot(c+di)=ac+bc\cdot i+ad\cdot i+(-bd)=(ac-bd)+(bc+ad)\cdot i$ f"ur $a,b,c,d\in \mathbb{R}$
#+end_relation

Addieren kann man solche Ausdr"ucke auch:
#+begin_relation 
$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)\cdot i$
#+end_relation

#+ATTR_LATEX: :options {Komplexe Zahlen}{}
#+begin_definition
Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ sind die Menge der Paare $(a,b)\in
\mathbb{R}^2$ versehen mit der Addition $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ und der
Multiplikation $(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd, bc+ad)$.
#+end_definition

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{} \
#+begin_notation
 - Statt $(a,b)$ schreibt man auch $(a+bi)\in \mathbb{C}$.
 - $i:=(0,1)=0+1\cdot i$:
   - nach Multiplikation erf"ullt $i^2=-1$
#+end_notation

Man "uberpr"uft, dass die "ublichen Rechenregeln aus $\mathbb{R}$ weiterhin
gelten (/K"orperaxiome/): F"ur $z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C}$ gilt, z.B.:
#+begin_relation 
 - $z_1\cdot (z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3$
 - $z_1\cdot (z_2\cdot z_3)=(z_1\cdot z_2)\cdot z_3$
 - $z_1 + (z_2 + z_3)=(z_1 + z_2) + z_3$
#+end_relation

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_notte
$(\mathbb{R},+,\cdot)\subsetneq (\mathbb{C},+,\cdot)$ auf nat"urliche Weise als
der der Form $a+0\cdot i = (a,0)$, $a\in \mathbb{R}$.
#+end_notte

#+ATTR_LATEX: :options {Real- und Imagin"aranteil}{}
#+begin_definition
F"ur $z=a+b\cdot i\in \mathbb{C}$ heisst:
 - $a:=:Re(z)$ Realanteil von $z$
 - $b:=:Im(z)$ Imagin"aranteil von $z$

Also ist $z=Re(z)+ Im(z)\cdot i$.
#+end_definition

#+ATTR_LATEX: :options {Rein Imagin"are Zahlen}{}
#+begin_definition
Die Zahlen der Form $b\cdot i : b\in \mathbb{R}$ heissen *rein Imagin"ar*.
#+end_definition

F"ur reele Zahlen wissen wir: $\forall a\in \mathbb{R}$ mit $a\not= 0 \exists
a^{-1}\in \mathbb{R} mit $a*a^{-1}=1$. Gilt das auch in $\mathbb{C}$ ?

#+ATTR_LATEX: :options {Komplexe Konjugation}{}
#+begin_definition
F"ur $z\in \mathbb{C}$ heisst die Zahl $\overline{z}:=a-bi$ die komplex
konjugierte Zahl zu $a+bi$.
#+end_definition

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_exa 
$\overline{1+i}=1-i$
#+end_exa

#+begin_relation 
$z*\overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2\geq -$ mit Gleichheit genau dann, wenn $z=0$.
#+end_relation

#+ATTR_LATEX: :options {Betrag der Komplexen Zahl}{}
#+begin_definition
$|z|:=\sqrt{x\cdot \overline{z}}=\sqrt{a^2+b^2}$ mit $z=a+bi$.
#+end_definition

** Inverses zu einer komplexen Zahl
Das Inverse zu $z\not= 0$:
#+begin_relation 
$z\cdot \frac{\overline{z}}{|z|^2}=1$ \\
Also: $\forall z\not= 0 \exists z^{-1} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}$ mit $z \cdot z^{-1}}=1$
#+end_relation

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{} \
#+begin_exa 
$(1+i)^{-1}=\frac{1-i}{2}$
#+end_exa

Mnemonische Rechenregel, Multipliziere mit dem Inversen: 
#+begin_relation 
$\frac{1}{1+i}=\frac{1-i}{(1+i)(1-i)}=\frac{1-i}{2}$
#+end_relation

** Geometrische Interpretation von $\mathbb{C}$
Siehe Zeichung $C_1$.

#+begin_relation 
 - Addition: als Addition von Vektoren
 - Betrag: L"ange des Vektors
 - $\varphi$ - Winkel zwischen der reellen Achse und dem Vektor der $z$ entspricht,
   gez"ahlt gegen den Urzeigersinn.
#+end_relation

Es folgt:
#+begin_relation 
$a=|z|\cdot \cos(\varphi)$ und $b=|z|\cdot \sin(\varphi)$
#+end_relation

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_notte
$\varphi$ ist nicht eindeutig bestimmt, sondern bis auf Addition von eines
vielfachen von $2\pi$.
#+end_notte

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_exa 
$\varphi=\frac{\pi}{4}$ und $\varphi=-\frac{7\pi}{4}$ sind im geometrischen Bild von
$\mathbb{C}$ "aquivalent.
#+end_exa

#+ATTR_LATEX: :options {}{}
#+begin_definition
Der wert von $\varphi$, welcher in $[0, 2\pi)$ liegt, heisst Hauptargument von $z$,
$arg(z)=\varphi$.\\
Das Argument von $z$ ist die Menge von allen $\varphi \in R$,4
$z=|z|(\cos(\varphi)+i\cdot \sin(\varphi))$, $Arg\, z = {\varphi \in R : |z|(\cos(\varphi)+i\cdot \sin(\varphi))}$.
#+end_definition

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_notte
$Arg\, z= {arg(z)+2\pi\cdot k : k\in \mathbb{Z}}$
#+end_notte

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{} \
#+begin_exa 
Seien $z_1=|z_1|\cdot \cos(\varphi_1)+i\cdot \sin(\varphi_1)$, $z_2=|z_2|\cdot
\cos(\varphi_2)+i\cdot \sin(\varphi_2)$ zwei komplexe Zahlen.\\

So gilt: $z_1\cdot z_2 = |z_1|\cdot |z_2|(\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\cdot \sin(\varphi_1 +
\varphi_2))$
#+end_exa

#+begin_relation 
Bei der Multiplikation von komplexen Zahlen multiplizieren sich die Betr"age,
und die Argumente addieren sich.
#+end_relation

F"ur geometrische Interpretation: Siehe $C_2$.

Besonders n"utzlich ist dies f"ur die Multiplikation einer komplexen Zahl vom
Betrag $1$:
\begin{align*}
|z|=1\iff z=\cos(\varphi)+i\cdot \sin(\varphi)$ f"ur ein $\varphi \in \mathbb{R}
\end{align*}

#+begin_relation 
Es liegen $\{z\in \mathbb{C} : |z|=1\}$ auf dem Einheitskreis.
Die Multiplikation mit von komplexen Zahlen Zahlen mit dem Betrag 1 entspricht
also der Rotation gegen den Urzeigersinn um $\varphi$.
#+end_relation

** Exponentialform der komplexen Zahlen
#+ATTR_LATEX: :options [] \label{} \
#+begin_notation
 - Exponentialform: $\cos(\varphi)+i\cdot \sin(\varphi):=e^{i\cdot \varphi}$
 - es gilt $e^{i(\varphi_k)}, k\in\mathbb{R}$ sind die Zahlen auf dem Einheitskreis
#+end_notation

#+ATTR_LATEX: :options {Exponentialform der komplexen Zahlen}{}
#+begin_definition
Die Exponentialform f"ur jede komplexe Zahl $z\in\mathbb{C}$ lautet $z=|z|e^{i\cdot arg\,z}$.
#+end_definition

Mit dieser Notation folgt:
#+begin_relation 
 $(e^{i\varphi})^n=(\cos(\varphi)+i\cdot\sin(\varphi))^2=e^{n\cdot i\cdot
 \varphi}=\cos(n\varphi)+i\cdot\sin(n\varphi)$ f"ur alle $n\in\mathbb{N}$
#+end_relation

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}\
#+begin_exa 
\begin{align*}
\begin{split}
(\cos(\varphi)+i\pcdot \sin(\varphi))^2 & =\cos^2(\varphi)-\sin^2(\varphi)+2\cdot\sin(\varphi)\cdot\cos(\varphi) \\
 & = \cos(2\varphi) + 2\sin(2\varphi) \\
&  \implies 
\begin{cases}
\cos(2\varphi)=\cos^2(\varphi)-\sin^2(\varphi) \\
\sin(2\varphi)=2\cdot\sin(\varphi)\cdot\cos(\varphi)
\end{cases}
\end{split}
\end{align*}
#+end_exa

** Einscheitswurzeln
Sei die gleichung $x^n=a$ "uber $\mathbb{R}$ gegeben. Je nach Vorzeichen von
$a$ und Parit"at von $n$, gibt es Varianten f"ur die Anzahl der L"osungen.
#+begin_relation 
In $\mathbb{C}$ hat aber die Gleichung $z^n=a$ f"ur ein $a\in
\mathbb{C}\setminus \{0\}$ immer genau $n$ L"osungen.
#+end_relation

Sei $w\in \mathbb{C}$ mit $w^n=a$. Dann gilt $(\frac{z}{w})^n=1$ f"ur jedes
$z\in \mathbb{C}$ mit $z^n=a$. *Also* l"osen wir erst mal die Gleichung $z^n=1$,
und dann reduzieren wir den allgemeinen Fall darauf.

#+ATTR_LATEX: :options {Einheitswurzel}{}
#+begin_definition
Eine Zahl $z\in \mathbb{C}$ heisst $n\text{-te}$ Einheitswurzel, wenn $z^n=1$.
#+end_definition

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_proposition
F"ur jedes $n\geq, n\in\mathbb{N}$ existieren genau $n$
Einheitswurzeln in $\mathbb{C}$. Sie sind durch die Formel
$z_k=e^{\frac{2\pi\cdot k\cdot i}{n}},\quad k=0,1,...,n-1$ gegeben.
#+end_proposition

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{} \
#+begin_proof
$z_k$ sind $n\text{-te}$ Einheitswurzeln denn:
\begin{align*}
z_k^n & = (e^{\frac{2\cdot\pi\cdot k}{n}})^n \\ 
& = e^{2\pi\cdot k} \\
& = 1
\end{align*}


Wir m"ussen noch zeigen, dass jede $n\text{-te}$ Einheitswurzel von dieser Form
ist. \\

Sei $z\in\mathbb{C}$ mit $z^n=1$. Es gilt:

\begin{align*}
|z|^n & =|z^n|=1 \\
& \implies |z|=1  \\
& \implies z=e^{i\cdot\varphi} \tag*{f"ur ein $\varphi\in[0, 2\pi)$}  \\ 
& \implies 1 = z^n \\
& = (e^{i\varphi})^n=e^{i\varphi\cdot n} \\
& =\cos(n\varphi)+i\cdot \sin(n\varphi)
\end{align*}

Also folgt:
\begin{gather*}
\cos(n\varphi)=1,\;\sin(n\varphi)=0 \\
\implies  n\cdot\varphi = 2\pi\cdot k \tag*{f"ur ein $k\in \mathbb{Z}$} \\ 
 \implies \varphi = \frac{2\pi\cdot k}{n} \tag*{f"ur ein $k\in \mathbb{Z}$}
\end{gather*}


Da $\varphi$ in $[0,2\pi)\implies 0\leq k < n$.
#+end_proof

Wenn wir jetzt also eine Gleichung $z^n=a$ l"osen wollen, reicht es, eine
L"osung $w$ zu finden, die anderen L"osungen bekommt man als $w\cdot z_k,\;
k=0,...,n-1$ mit $z_k$, der $n\text{-ten}$ Einheitswurzeln: $z^n=a\iff
(\frac{z}{w})^n=1$.\\

Eine L"osung $w$ kann man folgendermassen finden:
#+begin_relation 

\begin{align*} 
\text{Schreiben wir a}\; & =|a|\cdot e^{i\cdot \psi}\; \text{f"ur ein $\psi\in \mathbb{R}$} \\
\text{Dann gilt: }
w & =\sqrt[n]{|a|}\cdot e^{\frac{i\cdot\psi}{n}} \text{ l"ost $w^n=a$} \\
& \\
\left(\sqrt[n]{|a|}\cdot e^{\frac{i\cdot\psi}{n}}\right)^n & = \sqrt[n]{|a|}\cdot e^{\frac{i\cdot\psi}{n}\cdot n} \\
& = |a|\cdot e^{i\cdot \psi} \\ 
& = a
\end{align*}
#+end_relation

Gemetrische Interpretation: regul"ares $n\text{-Eck}$.

\newpage

* Lineare Gleichungsysteme
Wir werden die Bezeichung $K$ f"ur $\mathbb{R}$ oder $\mathbb{C}$ verwenden.

#+ATTR_LATEX: :options {Lineare Gleichung}{}
#+begin_definition
Eine Lineare Gleichung "uber $K$ ist eine Gleichung der Form
$a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=b$.\\
Hierbei sind $x_1,...,x_n$ die Variablen und $a_1,...,a_n,b \in K$, die Koeffizienten.
#+end_definition

#+ATTR_LATEX: :options {Lineares Gleichunssystem}{}
#+begin_definition
Ein Lineares Gleichungsystem ist eine endliche Menge von Gleichungen:
\[{\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}\,+&\cdots
&+\,a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}\,+&\cdots
&+\,a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\&&&\vdots &\\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}\,+&\cdots
&+\,a_{mn}x_{n}&=&b_{m}\\\end{matrix}}}\]
#+end_definition

Ein L"osung von diesem Gleichungssystem ist ein \[n\text{-Tupel }
\left( \begin{matrix} x_{1}\\ \vdots\\ x_{n}\end{matrix} \right) \in K^{n} \]
dass jede Gleichung erf"ullt. Ein lineares Gleichungssystem (LGS) zu l"osen,
heisst, alle L"osungen zu finden.

#+begin_relation 
*Idee*: Man formt das LGS durch Operationen um, die die Menge der L"osungen nicht
ver"andern. Solche Operationen heissen "Aquivalenzumformungen. Diese sind unter
anderem: 
 1) Multiplikation einer Gleichung mit einer zahl $\alpha\in K\setminus \{0\}$
 2) Addierung von einer Gleichung zu der anderen (z.B. Ersetzen der zweiten
    Gleichung durch die Summe der ersten und zweiten.)
 3) Vertauschen von zwei Gleichungen; dies kann man auf Operationen von Typ eins
    und Zwei zur"ukf"uhren
#+end_relation

Wir werden ein LGS umformen, um es auf eine Form zu bringen, wo die L"osung
offensichtlich ist.

Wir beobachten:
#+begin_relation 
Es ist "uberflu"ssig, die Variablen mitzuschleppen. Man k"onnte statdessen die
''Tabellen'' von Koeffizienten umformen.
#+end_relation

#+ATTR_LATEX: :options {}{}
#+begin_definition
Eine $M\times N$ Matrix $A$ ist eine Tabelle der Gr"osse $m\times n$, gef"ullt
mit Elementen aus $K$.  
\[A=(a_{ij})_{\substack{i=1,\cdots,m \\ j=1,\cdots,n}}\]
#+end_definition

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_exa 
\[
  A=\left( \begin{matrix} 1& 1\\ 2& -3\end{matrix} \right)
\]

Wobei $a_{11} = 1$, $a_{21} = 2$, $a_{12}=1$ und $a_{22}=-3$.
#+end_exa

#+begin_relation 
Gegeben ein LGS ($*$), k"onnen wir eine Matrix \[ A=\left( \begin{matrix}
a_{11}& \cdots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1}& \ldots &
a_{nn}\end{matrix} \right) \] aufstellen. Sie heisst Koeffizientenmatrix des
LGS. Auch stellen wir \[b=\left( \begin{matrix} b_{1}\\ \vdots
\\ b_{n}\end{matrix} \right)\]
eine $m\times 1$ Matrix (Spalte) auf. (Sie
heisst rechter Teil des LGS). Die Matrix $A'=(A\mid b)$ heisst erweiterte
Koeffizientenmatrix des LGS ($*$).
#+end_relation


#+ATTR_LATEX: :options {Elementare Zeilenumforumungen}{}
#+begin_definition
Die "Aquivalenzumformungen des LGS, die wir vorhin betrachtet haben, entsprechen
dann folgenden Umformungen von der erweiterten Koeffizientenmatrix: 
\begin{itemize}
 \item[1'.] Multiplikation einer Zeile mit $\alpha \in K^\times$
 \item[2'.] Addieren von einer Zeile zu der anderen.
\end{itemize}
Wir werden dann versuchen, die (erweiterten koeffzienten-) Matrizen durch diese
Umformungen auf eine Form zu bringen, in der man die L"osung leicht ablesen
kann.

$1'$ und $2'$ heissen elementare Zeilenumforumungen.
#+end_definition

Weitere Zeilenumformungen, die man aus diesen erhalten kann:
#+begin_relation 
 - Vertauschen Zweier Zeilen
 - Addieren einer Zeile, Multipliziert mit $\alpha \not= 0$
#+end_relation

Ziel ist eine gegebe erweiterte Koeffizientenmatrix $(A\mid b)$, durch
Zeilenumformungen zu einer Matrix umzuformen, aus der man die L"osung leicht
ablesen kann.

#+ATTR_LATEX: :options {Pivotelement}{}
#+begin_definition
Gegeben einer Zeile $Z=(a_1,...,a_n)\in K^n$, nennen wir das erste Element
$a\not= 0$ das Pivotelement.
Wenn $Z=(0,...,0)$ ist dann gibt es kein Pivotelement.
#+end_definition

#+ATTR_LATEX: :options {Zeilenstufenform}{}
#+begin_definition
Eine Matrix $A$ hat Zeilenstufenform, wenn folgendes gilt:
 1) Die Nummern von Pivotlementen der Zeilen von $A$ bilden eine aufsteigende
    Folge.
 2) Die Nullzeilen, falls existent, stehen am Ende.
#+end_definition

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{} \
#+begin_exa 
#+attr_latex: :mode math :environment ppnmatrix
| 0 | $a_{12}$ | $a_{13}$ |
| 0 |        0 | $a_{23}$ |
| 0 |        0 | 0        |

#+end_exa

#+ATTR_LATEX: :options {Gauss}{}
#+begin_theo 
Jede Matrix kann durch elementare Zeilenumformungen auf die Stufenform gebracht
werden.
#+end_theo

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_proof
Sei $A=\begin{matrix}a_{11}&...&a_{nn}\end{matrix}$. \\
Wenn $A=0$ - Bewiesen. \\ 
Wenn $A\not=0$, dann gibt es eine Spalte $\not= 0$. Sei
$j_1$ die Nummer dieser Spalte. Durch vertausche von Zeilen erreichen wir
zun"achst $a_{1j_1}}\not= 0$. Multiplaktion der ersten Zeule mit
$\frac{1}{j_1}$. Jetzt Subtrahiere von jeder Zeile ab der Zweiten die erste
Zeile multipliziert mit $a_{kj_1}$ ($k=$ Nummer der Zeile). \\

Wir erhalten dann Restmatrix $A_1<A$ und wir wenden das selbe Verfahren auf
$A_1$ an. Da $A_1$ weniger Zeilen hat, stoppt der ganze Prozess.

#+begin_notte
Nach diesem Verfahren gilt sogar: Pivotelemente sind alle $=1$1
#+end_notte
#+end_proof


#+begin_exa 
\begin{align*}
  & \begin{gmatrix}[p]
      1 & 2 \\
      3 & 4
      \rowops
      \add[-3]{0}{1}
    \end{gmatrix} \\
  \Rightarrow & \begin{gmatrix}[p]
      1 & 2 \\
      0 & -6
      \rowops
      \mult{1}{\scriptstyle\cdot-\frac{1}{6}}
    \end{gmatrix} \\
  \Rightarrow & \begin{gmatrix}[p]
      1 & 2 \\
      0 & 1
      \rowops
      \add[-2]{1}{0}
    \end{gmatrix} \\
  \Rightarrow & \begin{gmatrix}[p]
      1 & 0 \\
      0 & 1
    \end{gmatrix}
\end{align*}
#+end_exa

#+ATTR_LATEX: :options {Reduzierte Zeilenstufenform}{}
#+begin_definition
Nachdem wir die Zeilenstufenform mit Pivotelementen $=1$ erreicht haben, k"onnen
wir durch weitere Zeilenumformungen die eintr"age zu Null f"uhren, die oberhalb
von Pivotelementen stehen; Die Finalform heisst dann *reduzierte
Zeilenstufenform*.
#+end_definition

Das entsprechende Verfahren zum L"osen von LGS sieht so aus:
#+begin_relation 
 1) Bringe die erweiterte Koeffizientenmatrix auf die reduzierte
    Zeilenstufenform: \\
    Die Spalten mit den Pivotelementen in dieser reduzierten Zeilenstufenform
    nennen wir Basispalten.
 2) Zwei F"alle:
    1. Letzte Spalte des ist eine Basispalte - in diesem Fall hat das LGS keine
       L"osungen, da eine Gleichung $0=1$ entsteht.
    2. Die letzte Spalte ist keine Basisspalte: \\
       Das LGS in der reduzierten Zeilenstufenform dr"uckt die Variablen, die zu
       Basisspalten geh"oren , durch die restlichen (freien) Variablen und den
       rechten Teil des LGS aus. Alle L"osungen werden dadurch erhalten, dass
       man f"ur die freien Variablen beliebige Werte in $K$ ausw"ahlt. Die
       Basisvariablen werden dann durch Freie Variablen ausgedr"uckt.
#+end_relation

In unserem Beispiel l"asst sich die L"osung so aufschreiben: 
\\

Errinnerung: ein LGS hatte die erweiterte Koeffizientenmatrix $(A|b)$. Das LGS4
l"asst sich dann auch so aufschreiben:\\ $:=A\cdot x$, wobei $x=$


** Matrizenrechnung
#+ATTR_LATEX: :options {Matrix-Spaltenvektor Produkt}{}
#+begin_definition
Das Produkt von einer $m\times n$ Matrix $A$ und einer Spalte (in dieser
Reihenfolge) wird definiert durch $A\cdot x =$. In dieser Spalte wird das LGS
$A\cdot b$.
#+end_definition

Die Menge von Matrizen der Gr"osse $m\times n$ mit Eintr"agen in $K$ wird durch
$M(m\times n, k)$ oder $K^{m\times n}$ bezeichnet. Matrizen der Gr"osse $1\times
n$ heissen Spalten der L"ange $n$. Matrizen der Gr"osse $n\times 1$ heissen
Zeilen der L"ange $n$.

#+ATTR_LATEX: :options {Addition}{}
#+begin_definition
Matrizen gleicher Gr"osse kann man eintragsweise Addieren: $A,B \in K^{m\times
n} \rightarrow (A+B)_{ij}:=$A_{ij}+B_{ij}$$
#+end_definition

#+ATTR_LATEX: :options {Multiplikation}{}
#+begin_definition
Matrizen kann man mit Zahlen multiplizieren (indem man jeden eintrag mit dieser
Zahl multipliziert).

$(\lambda \cdot A)_{ij}:=\lambda \cdot A_{ij}$.
#+end_definition

#+ATTR_LATEX: :options {Produkt}{}
#+begin_definition
Wenn die Breite von $A$ mit der H"ohe von $B$ "ubereinstimmt, kann man das
Produkt $A\cdot B$ definieren: \\
$A\cdot B:=(A\cdot b_1\; ... \4; A\cdot b_n)$ mit $B=(b_1\; ...\; b_n)$ (Spalten)
mit $A\cdot B \in K^{p\times n}$
#+end_definition

** Eigenschaften der Matrix-Multiplikation
#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_notation
 - wenn $\alpha_1,...,\alpha_n\in K$ dann notieren wir $\alpha_1+...+\alpha_n :=
   \sum_{i=1}^{n}{\alpha_i}$
 - analog $\alpha_1\cdot ...\cdot\alpha_n := \Pi_{i=1}^{n}{\alpha_i}$
#+end_notation

#+begin_relation 
Es gilt dann mit $A=(a_{ij})_{\substack{i=1,p}}$ : $(A\cdot
x))_i=\sum_{j=1}^{m}{a_{ij}\cdot x_j,\, i=1,p}$ \\

Insbesondere gilt: $(A\cdot b_k)_i$ Aber $(A\cdot b_k)_i = (A\cdot B)_{ik}$ und $(b_k)_j=b_jk$
#+end_relation

#+begin_relation 
Matrixmultiplikation ist /linear/: $A\cdot (\lambda B_1 + \lambda_2 A B_2)$
Analog:
#+end_relation

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_proof
Sei $C=A\cdot (\lambda_1 B_1 + \lambda_2 B_2)$
#+end_proof

#+begin_relation 
Die Matrixmultiplikation ist assoziativ: $A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C$
#+end_relation

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_proof

#+end_proof

#+ATTR_LATEX: :options {Einheitsmatrix}{}
#+begin_definition
Die Einheitsmatrix der gr"osse $r$ ist die Matrix, die auf der Hauptdiagonale
(links-oben nach rechts unten) Einsen und sonnst Nullen hat. Beizeichnung $E_r$
oder $1_r$.
#+end_definition

#+ATTR_LATEX: :options {Kronecker-Symbol}{}
#+begin_definition
Das Kronecker-Symbol ist definiert als: 

Also gilt: $(Er)_{ij}=\delta_{ij}$.
#+end_definition

# Muss lemma werden!!!
#+ATTR_LATEX: :options {}{} \ 
#+begin_theo 
F"ir alle $A\in K^{p\times m}$ gilt:
 - $E_p\cdot A=A$
 - $A\cdot E_m =A$
#+end_theo

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_proof

#+end_proof


#+ATTR_LATEX: :options [] \label{Vorsicht!}
#+begin_notation
Die Matrix Multiplikation ist nicht Konjunktiv: $A\cdot B\not= B\cdot A$ im
Allgemeinen, selbst wenn beide Produkte definiert sind und die gleiche Gr"osse
haben.
#+end_notation

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_exa 

#+end_exa

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_notation
Die $i\text{te}$ Spalten der Einheitsmatrix wird durch $e_i=()$ bezeichnet.
#+end_notation

#+ATTR_LATEX: :options {Transposition}{}
#+begin_definition
Sei $A\in K^{m\times n}$. Die transponierte Matrix $A^{T}\in K^{n\times n}$ ist
definiert durch $(A^T)_{ij}:=A_{ji}$. Also ist die i-te Zeile der Einheitsmatrix $(e_i)^T$
#+end_definition

Wie l"ost man nun das LGS $A\cdot x=b$? Man bringt die erweiterte
Koeffizientenmatrix in die reduzierten Zeilenstufenform.

#+begin_relation 
Die Basisspalten in der reduzierten Zeilenstufenform sind von der Form, wo $e_i$
die i-te Spalte der Einheitsmatrix $1_r$ ist. $r <= m$.
#+end_relation

Wenn die ersten $r$ Spalten Basisspalten sind, dann sieht die reduzierte
Zeilenstufenform so aus:


Dann sehen die L"osungen so aus:
#+begin_relation 
 1) Es gibt keine $\iff$ $b''\not= 0$
 2) Wenn $b''=0$, dann sehen die L"osungen so aus: \[x=+\]
#+end_relation

# TODO: Block
Proposition: Sei $A\in k^{m\times n}$. Das homogene LGS der Form $L=\{\phi
t\sep \}$ fuer ein $r\geq 0, \phi$

\rightarrow es gibt $n-r$ freie Parameter, die die Loesungsmenge beschreiben.

*Anmerkung* Ein homogenes LGS $A\cdot x=0$ mit  hat immer eine L"osung $x\not=
0$ (es gibt mindestens eine freie Variable).


#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_exa 
Finde ein reelles Polynom von Grad 2.

Die Frage ist aequivalent zu dem LGS:
#+end_exa

#+ATTR_LATEX: :options {}{}
#+begin_definition
Die Menge der Polynome vom Grad h"ochstens $n$ mit Koeffizienten in $K$ ist
durch $K[t]_n$ berechnet.
#+end_definition

* Vektorra"ume
#+ATTR_LATEX: :options {Vektorraum}{}
#+begin_definition
Ein $k$ - Vektorraum $V$ ist eine Menge zusammen mit den Operationen und mit
folgenden Eigenschaften:
 - "Addition" $+:\, V\times V \mapsto V, (v_1,v_2)\mapsto v_1+v_2$
   1) kommutativ
   2) assoziativ
   3) $\exists 0 \in V$ mit $0+v=v+0=v$ $v \in V$
 - "Skalarmultiplikation" $+:\, V\times V \mapsto V, (v_1,v_2)\mapsto v_1+v_2$
   1) assoziativ
   2) distributiv bez. addition
   3) $1\cdot v = v$, $v\in V$
#+end_definition

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_exa 
 1) $K$ ist selbst ein Vektorraum mit $+$ und $\cdot$
 2) $K^{n}:=K^{n\times 1}$ ist ein K-Vektorraum mit:
    1) Addition
    2) Skalarmultiplikation
 3) $K^{m \times n}$, eine Matrix der Gr"osse $m\times n$ mit Eintr"agen in K,
    ist ein K-Vektorraum mit Addition und Skalarmultiplikation von Matrizen:
 4) $K[t]_n$ ist ein K-Vektorraum:
 5) $K[t]:=\{a_n\cdot \}$ - alle Polynome mit Koeffizienten in $K$ bilden einen
    K-Vektorraum mit gleichen Operatoren.
 6) Sei $X$ X eine Menge (z.B. $X=\mathbb{R}$) $Fun(X,K)=\{\}$ ist ein K-Vektorraum:
    1) Addition $(f_1 + f_2)(x):= f_1(x)+ f_2(x)$, $x\in X$
    2) Miltiplikation
 7) Sei $A\in K^{m\times n}$. Die L"osungen von dem homogenen LGS bilden einen
    Vektorraum:
    - Wenn $x_1,x_2$ L"osungen sind, dann gilt: Also ist die Menge der
      L"osungen auch ein Vekorraum bzgl. der Operatoren aus $K^n$
#+end_exa

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_notte
Bei der Entwicklung der Vektorraumtheorie ist es oft n"utzlich, an das Beispiel
$V=K^n$ zu denken.
#+end_notte

** Vektorraumtheorie
Sei $V$ ein K-Vektorraum.

#+ATTR_LATEX: :options {Linearkombination}{}
#+begin_definition
Seien $v_1, v_2$. Die Linearkombination mit Koeffizienten ist der Vektor.
#+end_definition

#+ATTR_LATEX: :options {Triviale Linearkombination}{}
#+begin_definition
Eine Linearkombination heist trivial wenn $\lambda_1 = \lambda_2 = ... =
\lambda_n = 0$. (/Nichttrivial/ wenn mindestens ein $\lambda_i\not= 0$).
#+end_definition


#+ATTR_LATEX: :options {}{}
#+begin_definition
Die Menge der Vektoren heist linear Unabh"angig wenn: $$ (Nur die Triviale
linearkombination ergibt 0). Andernfalls heist die Menge linear abh"angig."
#+end_definition

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_exa 
$\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$
#+end_exa

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_exa 
$\{v_1,v_2\}$ sind linear abhaengig wenn sie Proportional sind.

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_proof

#+end_proof

#+end_exa

# TODO Black
*Lemma* Die Menge ist linear abh"angig. $v_i$ ist eine Linearkombination von $$

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_proof
Wenn $v_i=\lambda_1 v_1$, dann $0=$ Denn $-1$ ist ein nicht-trivialer
Linearfaktor.

$(\implies)$ Nach Definition gibt es eine nichttriviale Linearkombination: als
$\exists i : \lambda_i \not= 0$ Also gilt  folglich 
#+end_proof

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_notte
Eine L"osung des LGS $Ax=b$ ist eine Spalte $$ mit 
Deis heisst, das LGS $Ax=b$ zu l"osen ist genau linearkombinationen von spalten
zu finden, welche $b$ ergeben.
#+end_notte

*Lemma* Seien die Vektoren linear unabh"angig. Ein Vektor $v$ ist genau dann
eine Linearkombination von $v_1,...,v_n$ wenn linear abh"angig ist.

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_proof
($\implies$) Sei Dann gilt , also ist linear ab"angig.
Sei .. linear abh"angig  Dann 

Es gilt: $\lambda \not= 0$ (wenn  .. linearunabh"angig.) Also gilt $v=-\lambda_1$
#+end_proof

*Lemma* Sei $v=\lambda$ eine Linearkombination von $v_1,...,v_n$. Diese
Darstellung ist eindeutig ganau dann, wenn linear unabh"angig sind.

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_proof
$(\implies)$ Sei die Darstellung eindeutig $v=..$ Wenn jetzt $$, dan gilt $v=$
Eindeutigkeit der Darstellung ergibt:

Seien $v_1,..,v_n$ linear unabh"angig, sei 
Dann gilt: $\rightarrow$ lineare Unabhaengigkeit von erzwingt Korrolar: Wenn die
Spalten von $A$ linear unabhaenig sind, hat das LGS $Ax=b$ h"ochstens eine
L"osung, folglich hat $Ax=0$ genau eine L"osung x=0.
#+end_proof

** Geometrische Deutung der linearen Abh"angigket
#+ATTR_LATEX: :options [zu geometrischer Interpretation] \label{}
#+begin_notte
Wichitige Beispiele von Vektorr"aumen sind: $V=\mathbb{R}^2$ (Ebene),
$V=\mathbb{R}^3$ (3D-Raum).
#+end_notte

Seien $v_1, v_2$ nicht proportional.
In drei Dimensionen:
#+begin_relation 
 - wenn $v_3$ in $\Epsilon$ liegt, dann ist $v_3$ eine Linearkombination $v_1, v_2$
 - wenn nicht, dann linear Unabhaenig (sonst in Ebene.)
#+end_relation

** Lineare unabhangigkeit in R"aumenx
*Proposition* Seien $v_1,...,v_n \in \mathbb{V}$ linear unabhaenig, seien $W_1,
..., W_n \in \mathbb{V}$ so dass jedes $w_i$ eine Linearkombination von
$v_1,...,v_n$ ist. Wenn $m>n$, dann sind $w_1,...,w_n$ linear abhaengig.

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_proof
Seien 
\begin{align*}
$w_1= a_{11} v_1 + a_{12} v_2 + ... + a_{nn} v_n$ \\
$w_1= a_{21} v_1 + a_{22} v_2 + ... + a_{nn} v_n$ \\

\end{align*}
Wir suchen $\lambda$ (*). Das ist "aquivalent zu:

Dies ist nach linearer Unabhaenig von ... "Aquivalent zu:

Das heist (*) ist "aquivalent zu einem homogenen LGS aus $n$ Gleichungen mit $m$
Variablen. $n<m$, also gibt es eine L"osung ..., die ungleich $0$ ist. $\implies
sind linear unabh"angig.
#+end_proof

*Korrolar* Je drei Vektoren in $\mathbb{R}^2$ sind linear unabh"angig, je $n+1$
Vektoren in $$ sind linear unabh"angig.

#+ATTR_LATEX: :options [von Korrolar] \label{}
#+begin_proof
Seien $e_i$ die Spalten der Einheitsmatrix sind linear unabh"angig. 

Dies zeigt auch, dass jeder Vektor in $R$ eine Linearkombination von $e_i$ ist. 
#+end_proof

#+ATTR_LATEX: :options {}{}
#+begin_definition
Sei V ein $K-$ Vektorraum, $U\subseteq V$ eine Teilmenge von V. $U$ heist
untervektorraum wenn:
 1) $V\not= \varnothing$
 2) 
 3) 

In anderen Worten: Eine Teilmenge von $V$ die selbst ein Vektorraum ist bzgl.
der von $V$ vererbten Operationen.
#+end_definition

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_notte
(1) und (3) \implies $0\in U$
#+end_notte

#+ATTR_LATEX: :options {}{}
#+begin_definition
Sei $S \in V$ eine Teilmenge. Der von $S$ erzeugte Vektorraum (lineare H"ulle
von $S$) $<S>:=\{\}$ (Menge aller Linearkombinationen von Vektoren in $S$).

Alternative Notation: $<s>=\text{span S}$.
#+end_definition

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_notte
$<s>$ ist der kleinste Untervektorraum in $V$, der $S$ enth"alt. 
$<\varnothing >:=\{0\}$
#+end_notte

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_exa 
Seien $v_1, v_2 \in \mathbb{R}^3$.
$<v1,v2>$ ist eine Gerade wenn $v_1,v_2$ linear abh. Ist Ebene wenn $v_1,v_2$
linear unbh.
#+end_exa

#+ATTR_LATEX: :options {}{}
#+begin_definition
$S\in V$ heisst Erzeugendensystem wenn $<S>=V$. (S spannt den Vektorraum auf.)

ist ein Erzeugendensystem: jeder Vektor in $V$ ist eine Linearkombination von:

$\lambda_i$ sind nicht unbedingt eindeutig bestimmt, weil nicht linear unabh.
vorrausgesetzt waren.
#+end_definition

#+ATTR_LATEX: :options {}{}
#+begin_definition
Ein Erzeugendensystem $B\in V$ heisst basis, wenn es linear unabh. ist. Nach dem
Lemma ueber Eindeutigkeit der koeffzienten der Linearkombination gilt: $B=\{v_1,
..., v_n\}$ ist eine Basis genau dann, wenn f"ur jeden Vektor $v \in V$ gibt es
 eindeutig bestimmte Zahlen.
#+end_definition

#+ATTR_LATEX: :options {}{}
#+begin_definition
Ein Vektorraum $V$ heisst endlich dimensional, wenn er ein endliches
erzeugendensystem besitzt. (= wird von endlich vielen Vektoren aufgespannt).
#+end_definition

#+ATTR_LATEX: :options {}{}
#+begin_theo 
Jeder endlichedimensionale Vektorraum $V$  hat eine Basis, Je zwei Basen von $V$
haben gleich viele Elemente.
#+end_theo

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_proof
Sei $S$ ein endliches Erzeugendensyste von $V$, Wenn $S$ lin. unabh. ist, ist es
eine Basis und wir haben gewonnen. Wenn $S$ linear abh"angig ist \implies
(lemma) einer von den Vektoren in $S$ ist eine Linearkombination von den
anderen. Das entfernen dieses Vektors "andert die Tatsache nicht, das $S$ den
Vektorraum aufspannt. Jetzt haben wir eine kleinere Menge und fangen von vorne
an. Da $S$ endlich ist und durch entfernen Vektoren kleiner wird haben wir am
Ende eine Basis.
\rightarrow Wir haben eine Basis.

Seien $S, S'$ zwei Basen. Da $S$ eine Basis ist, ist jedes element von $S'$ eine
linearkombination in $S$. Die elemente von $S$ sind linear unabh. (weil Basis).
Wenn also $m>n$, dann folgt aus der Proposition, dass $S'$ linear abh. ist, was
unm"oglich ist, da $S'$ eine Basis ist. Also $m \seq n$ und $n \seq m$.
#+end_proof

#+ATTR_LATEX: :options {}{}
#+begin_definition
Sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum. Die Anzahl der Vektoren in einer
(folglich in jeder) Basis von $V$ heist Dimension von V. /Bezeichung/: $\dim V$.n
#+end_definition

#+ATTR_LATEX: :options [s] \label{}
#+begin_exa 
$\dim K^{n}=n$ weil ... eine Basis bilden. 
#+end_exa

*Frage*: kannn man eine lineare unabh"angige Menge $S\in V$ zu eine Basis
erweitern?.

*Proposition* Jede linear unabh"angige Teilmenge $S\in V$ eines
endlichdimensionalen Vektorraumes $V$ ist in einer maximalen linear
unabh"angigen Teilmenge enthalten. Eine maximal linear unabh. Teilmenge von $V$
st eine Basis von $V$.

#+ATTR_LATEX: :options {Maximal linear unabh"angige Teilmengen}{}
#+begin_definition
Eine Teilmenge $S'\in V$ ist maximal linear unabh., wenn aus $S$
linear unabh. folgt.
#+end_definition

#+ATTR_LATEX: :options [1] \label{}
#+begin_proof
Sei linear unabh.
Zwei F"alle: entweder ist $S$ schon maximal (dann sind wir fertig) oder man kann
S erweitern. Wenn wir $S$ erweitern k"onnen, f"ugen wir neue Vektoren hinzu, bis
wir es nicht mehr tun koennen, ohne lineare unabh. zu verletzen.

Dieser Prozess endet, weil eine linear unabh. Teilmenge h"ochstens von $V$
hoechstens $\dim V$ viele Vektoren enthalten kann. (Prop. "uber lineare unabh.
von vektoren aus linearkombinartionen der Basis.)
#+end_proof

#+ATTR_LATEX: :options [2] \label{}
#+begin_proof
Sei $S\in V$ maximal linear unabh"angig. Wir habe zu zeigen: $<S>=V$ (Def. einer
Basis). Wenn ... d.h. aber, aber $S\cup {v}$ ist linear unabh. (lemma) \implies
$S$ dann nicht maximal.
#+end_proof

*Korrolar* Man kann jeder lienar unabh. Teilmenge $S\in V$ zu einer Basis
erweitern.

#+begin_notte
Wenn $V=K^n, S\in V$ linear unabh. \rightarrow man kann zur erweiterung passende
Spalten der Einheitsmatrix.
#+end_notte

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_notte
Man kann bei der obrigen Proposition das Wort "endlichdimensional" fallen
lassen, aber es braucht ein bisschen mehr Mengenlehre (Auswahlaxiom).x
#+end_notte


#+ATTR_LATEX: :options {}{}
#+begin_theo 
Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum und $U\in V$ ein Untervektorraum. Dann
gillt: $\dim U \seq \dim V$.  $\dim U = \dim V \iff U=V$
#+end_theo

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_proof
Sei eine maximale linear unabh. Teilmenge in U. (so eine Teilmenge existiert
weil V endlich ist.)
Nach Proposition (2) ist ... eine Basis in $U$, also gilt $\dim U = k$ Erweitere
... zu einer Basis in V .... 

(2) ... trivial ... Sei ... eine Basis in U. Erweitere sie zu einer Basis in
$V$. Diese Basis in V muss aber wegen ... gleich viele Vektoren haben. .... ist
eine Basis in $V$ ...
#+end_proof


#+ATTR_LATEX: :options {}{}
#+begin_definition
Sei $V$ ein Vektorraum $$ eine Basis in V. Die Zahlen $(\lambda_1,...\lambda_n)$
heissen Koordinaten bzgl. des Vektors. Die Spalte ... heisst Koordinatenspalte
dieses Vektors bzgl. $B$.
Die Definition einer Basis garantiert, dass hierdurch eine Bijektion ... entsteht.
#+end_definition

*Warnung* Diese Korrespondenz kommt auf die Wahl der Basis an.

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_exa 

#+end_exa

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_exa 
Sei $Ax=0$ ein h. LGS
#+end_exa

*Aus Uebungen* ...

*Lemma* Die Spalten von $\Phi$ bilden eine Basis in L.
#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_proof
Die Spalten von $\Phi$ sind linear unabhaenig. (sonst abb. nicht injektiv)

Ferner spannen sie das ganze L auf (Surjektiv). 
#+end_proof

*Frage* Gegeben Basen ... in $V$, und einem Vektor $v\in V$. Wie rechnet man die
Koordinaten bezgl. B in Koordinaten bzgl. B' um.

Sprachweise ist: B ist alte Basis und B' ist neue Basis.
So gilt:
#+begin_relation 
... Dr"ucken wir Vektoren von B' bzgl. Vektoren von B aus: $V$ ...
wir erhalten $C$ 
(Die Spalten von C sind Koordinaten der "neuen" Basis bzgl der alten Basis. )

Also gilt: ...
$\lambda = G\cdot \lambda'$
#+end_relation

*Frage* Ist $D$ in diesem Fall immer invertierbar? (Ja, aber wir brauchen mehr Theorie.)

** Lineare Abbildungen zwischen Vektorr"aumen
#+ATTR_LATEX: :options {Lineare Abbildung}{}
#+begin_definition
Seien $V, W$ zwei K-Vektorr"aume. Eine Abbildung. $f$ heist linear wenn:


(Strukturell kopatiebel.)
#+end_definition

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_exa 
$W=K^n,\; W=K^n$

Es gilt tats"achlich $A(x_1+x_2) = A\cdot x_1 + A\cdot x_2$...
#+end_exa

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_exa 
$V=\mathbb{R}[x]_5,\;W=\mathbb{R}[x]_4$ Ableitung ist lineare abbildung.
#+end_exa

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_exa 
Relle Funktionen
#+end_exa

#+ATTR_LATEX: :options {}{}
#+begin_definition
Sei eine Lineare Abbildung. Der Kern von $f$ wird definiert als:
#+end_definition

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_exa 

#+end_exa

*Beobachtung* Kern von $f$ ist ein Untervektorraum von $V$: ...

Errinerung: f"ur djede Abbildung $f$ existiert ein Bild:

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_exa 
Wenn, dann definiert A eine Lineare Abbildung

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_proof
Definitionsgem"ass ist $f: V\mapsto W$ surjektiv genau dann, wenn $lm(f)=W$.
#+end_proof
#+end_exa


*Proposition* Sei $f:$ linear Es gilt: $f$ injektiv \iff $Ker(f)=\{0\}$

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_proof
$f$ injektiv \iff f"ur $v_1\not= v_2 \in V$ gilt $f(v_1)\not= f(v_2)$
#+end_proof

#+ATTR_LATEX: :options {}{}
#+begin_definition
Eine Bijektive Lineare Abbilfung $f:V\mapsto W$ heisst Vektorraum Isomorphismus
zwischen $V$ und $V$. $V$ und $W$ heissen isomorph, wenn es einen
Vektorraumisomorphismus $f: V\mapsto W$ gibt.
#+end_definition

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_exa 
Sei $V$ ein Vektorraum, $S\subseteq V = \{v_1, v_2, ..., v_n\}$. Die
Aufspannabbildung ... wird definiert als ...
#+end_exa

*Korrolar* $S={v_1, ..., v_n} eine Basis \implies ... ein Isomorphismus

*Korrolar* $\dim V = n \iff V$ ismorph $K^n$. (... isomorphe Vektorraume haben
die gleiche Dimension)

*Beobachung* Wenn ... Isomorphismus \implies ... ist auch ein Isomorphismus.

*** Dimensionsformel
#+ATTR_LATEX: :options {}{}
#+begin_theo 
Sei $f$ eine Lineare Abbildung, sei $V$ endlich dimensional. Dann gilt: 
#+end_theo

*lemma* sei $f$ wie oben. Sei $U \subseteq \Ker(f)$  Dann ist ... ein Isomorphismus

#+ATTR_LATEX: :options [des Lemmas] \label{}
#+begin_proof
... ist surjektiv nach Konstruktion. Inkektiv \iff ... Sei ... . Dann gilt .... 
#+end_proof

#+ATTR_LATEX: :options [der Dimensionsformel] \label{}
#+begin_proof
W"ahle eine Basis ${e_1, ..., e_k}$ in ... und erg"anze sie zu einer Basis
${e_1, ..., e_n}$ in $V$.

Betrachte jetzt $U:=<e_{k+1}, ..., e_n> \subseteq V$ Untervektorraum. Es gilt
Lemma. es gilt: ... weil .. eine Basis im Kern ist. und ... weil $u\in U$ also
...

Das Lemma sagt jetzt ... ist ein Isomorphismus. Ausserdem gilt f"ur ... \implies
$f(V)=f(V)$ also ... \implies ... 

Nun gilt nach Konstruktion von $U$ ... 
#+end_proof

*** Summe von Untervektorr"aumen
#+ATTR_LATEX: :options {}{}
#+begin_definition
Sei ... ein Vektorraum.... 
#+end_definition
#+ATTR_LATEX: :options {}{}
#+begin_definition
Die Summe von ... heisst direkt wenn ... 
#+end_definition

*Bemerkung* ...

In dieser Bezeichnung haben wir im Beseris der Dimensionsformel haben wir den
Ausgangsraum als eine direkte Summe dargestellt. 

*Bemerkung*: Dimensionsformel ist auch Rangformel.

#+ATTR_LATEX: :options {Rang}{}
#+begin_definition
Sei ... linear. Der Rang von $f$ ist $rk...$
#+end_definition

*Proposition* Sei ... linear, endlichdimensional.
Dann gilt:
 - f injekt. ...

Insbesondere gilt: *Korrolar* Ist ..., so ist f injektiv \iff f surjektiv.

*Proposition* Dimensionformel' $\dim (U_1+U_2)=\di..$
#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_proof
ist stehts ein Untervektorraum, wenn Untervektorra"me sind. 

Betrachte die Abbildung .. Hierbei ist ... der Verktorraum der Paare mit
elementweisen operationen. (auch ''A"ussere Summe'', die Kollision der
Bezeichnunge ... fuer die direkte Summe zweier Unterr"aume/a"ussere Summe ist harmlos.)

Nun gilt ... 

Weiterhin gilt eine Basis in eine Basis in ... eine Basis in ...
Ferner gilt: ... 

$Ker(f)$ ... (Unterraum)
#+end_proof

Was hat diese ganze Theorie mit Matrizen zu tun? Intuitiv: Abbildungen sind
"geometisch" und Matrizen sind Koordinatenform dieser "geometrischen""
Abbildungen.

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_exa 
Strecken in richtung von $l_2$ mit Faktor 2. Wie beschreibt man $f$ in
Koordinaten?4
#+end_exa

*** Abbildunngsmatrix
#+ATTR_LATEX: :options {}{}
#+begin_definition
Seien $V,W$ zwei Vektorraume.
$\Hom_k(v,w)$  ist selbst ein Vektorraum.
#+end_definition

Seien $V, W$ endlichdimensional, ... Sei  Die Abbildungsmatrix ist definiert als
Matrix, deren Spalten die Koordinatenspalten von ... bzgl. der Basis $C$ sind. 

*Vorsicht* H"angt von der Wahl der Basen B und C ab ($f$ nicht!)

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_exa 
Rotation um $\frac{\pi}{4}$ gegen Urzeigersinn.
#+end_exa

*Proposition* Seien $V,W,B,C$ wie oben. Dann entsprechen die Abbildungsmatrizen
 ...den Abbildungen.  gennauer. Die Abbildung. Ist ein Isomorphismus von
 Vektorra"umen.

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_proof
Aus Definition der $M_C^B$ folgt sofort: ... also ist ... eine lineare
Abbildung:

Ist injektiv: wenn $f$ dann gilt \rightarrow Kern ist injektiv.

Ist auch surjektiv: sei gegeben: Definiere eine Abbildung... folgendermassen:

Ist linear und es gilt: ...
#+end_proof

Im Beweis haben wir unter anderem festgestellt:
#+begin_relation 
...

Das heisst: wenn $v$
#+end_relation

#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_exa 
Wenn $V=K^n, W=K^M$ dann hat $V$ eine Basis ... Sei $A\in K^{m\times n }$ 
#+end_exa

Seien $V, W, Z$ drei Vektorraume ... Dann gilt ... . Seien $B,C,D$ Basen in
$V,W,Z$

*Proposition* ...
#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}
#+begin_proof
Sei 
#+end_proof

*Bemerkung* Wenn $V$ ein Vektorraum ist, $B,B'$ zwei Basen, dann Haben wir die
 Basiswechselmatrix. Bezueglich der alten Basis. Es folgt sofort aus den
= Definitionen: $S+$
** Schlagworte:
 - $A\cdot B$ Zeilen von $A$ mal Spalten von $B$
 - LGS L"osungen als Vektor!
   - Keine nicht offensichtlich Schritte ueberspringen!
   - Paramatervektor und sine Elemente genau definieren! 
 - k-te Spalte $(A)_k$