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Vadim Alekseev
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9f2350db88
1 changed files with 43 additions and 44 deletions
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@ -411,7 +411,7 @@ F"ur die Negation der Quantoren gilt:
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\begin{relation}
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\begin{itemize}
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\item \(\neg(\forall x\in X : A(x)) = \exists x\in X : \neq A(x)\)
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\item \(\neg(\exists x\in X : A(x)) = \forallx\in X : \neq A(x)\)
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||||
\item \(\neg(\exists x\in X : A(x)) = \forall x\in X : \neq A(x)\)
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\end{itemize}
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\end{relation}
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@ -674,7 +674,7 @@ Die Zahlen der Form \(b\cdot i : b\in \mathbb{R}\) heissen \textbf{rein Imagin"a
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\end{definition}
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F"ur reele Zahlen wissen wir: \(\forall a\in \mathbb{R}\) mit \$a\textlnot{}= 0 \(\exists\)
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a\(^{\text{-1}} \in\) \mathbb{R} mit \(a*a^{-1}=1\). Gilt das auch in \(\mathbb{C}\) ?
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\(a^{-1} \in \mathbb{R}\) mit \(a*a^{-1}=1\). Gilt das auch in \(\mathbb{C}\) ?
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\begin{definition}{Komplexe Konjugation}{}
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F"ur \(z\in \mathbb{C}\) heisst die Zahl \(\overline{z}:=a-bi\) die komplex
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@ -698,7 +698,7 @@ konjugierte Zahl zu \(a+bi\).
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Das Inverse zu \(z\not= 0\):
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\begin{relation}
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\(z\cdot \frac{\overline{z}}{|z|^2}=1\) \\
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Also: \(\forall z\not= 0 \exists z^{-1} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}\) mit \(z \cdot z^{-1}}=1\)
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Also: \(\forall z\not= 0 \exists z^{-1} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}\) mit \(z \cdot z^{-1}=1\)
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\end{relation}
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\begin{exa}[] \label{} \
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@ -767,7 +767,7 @@ F"ur geometrische Interpretation: Siehe \(C_2\).
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Besonders n"utzlich ist dies f"ur die Multiplikation einer komplexen Zahl vom
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Betrag \(1\):
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\begin{align*}
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|z|=1\iff z=\cos(\varphi)+i\cdot \sin(\varphi)$ f"ur ein $\varphi \in \mathbb{R}
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|z|=1\iff z=\cos(\varphi)+i\cdot \sin(\varphi) \text{f"ur ein} \varphi \in \mathbb{R}
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||||
\end{align*}
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\begin{relation}
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@ -796,17 +796,17 @@ Mit dieser Notation folgt:
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\end{relation}
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\begin{exa}[] \label{}\
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\begin{align*}
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\begin{split}
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(\cos(\varphi)+i\pcdot \sin(\varphi))^2 & =\cos^2(\varphi)-\sin^2(\varphi)+2\cdot\sin(\varphi)\cdot\cos(\varphi) \\
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||||
& = \cos(2\varphi) + 2\sin(2\varphi) \\
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||||
& \implies
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\begin{equation*}
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%\begin{split}
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||||
(\cos(\varphi)+i\cdot \sin(\varphi))^2 =\cos^2(\varphi)-\sin^2(\varphi)+2\cdot\sin(\varphi)\cdot\cos(\varphi)
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||||
= \cos(2\varphi) + 2\sin(2\varphi)
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||||
\implies
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||||
\begin{cases}
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||||
\cos(2\varphi)=\cos^2(\varphi)-\sin^2(\varphi) \\
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||||
\sin(2\varphi)=2\cdot\sin(\varphi)\cdot\cos(\varphi)
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||||
\end{cases}
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||||
\end{split}
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||||
\end{align*}
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||||
%\end{split}
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||||
\end{equation*}
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||||
\end{exa}
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\subsection{Einscheitswurzeln}
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@ -1004,11 +1004,11 @@ Folge.
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\begin{exa}[] \label{} \
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\[
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\begin{ppnmatrix}
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0 & $a_{12}$ & $a_{13}$ \\
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||||
0 & 0 & $a_{23}$ \\
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||||
\begin{pmatrix}
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||||
0 & a_{12} & a_{13} \\
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||||
0 & 0 & a_{23} \\
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||||
0 & 0 & 0 \\
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||||
\end{ppnmatrix}
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||||
\end{pmatrix}
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||||
\]
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||||
\end{exa}
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@ -1022,7 +1022,7 @@ Sei \(A=\begin{matrix}a_{11}&...&a_{nn}\end{matrix}\). \\
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Wenn \(A=0\) - Bewiesen. \\
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Wenn \(A\not=0\), dann gibt es eine Spalte \(\not= 0\). Sei
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\(j_1\) die Nummer dieser Spalte. Durch vertausche von Zeilen erreichen wir
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zun"achst \(a_{1j_1}}\not= 0\). Multiplaktion der ersten Zeule mit
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zun"achst \(a_{1j_1}\not= 0\). Multiplaktion der ersten Zeule mit
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\(\frac{1}{j_1}\). Jetzt Subtrahiere von jeder Zeile ab der Zweiten die erste
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Zeile multipliziert mit \(a_{kj_1}\) (\(k=\) Nummer der Zeile). \\
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@ -1125,7 +1125,7 @@ Zahl multipliziert).
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\begin{definition}{Produkt}{}
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Wenn die Breite von \(A\) mit der H"ohe von \(B\) "ubereinstimmt, kann man das
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Produkt \(A\cdot B\) definieren: \\
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\(A\cdot B:=(A\cdot b_1\; ... \4; A\cdot b_n)\) mit \(B=(b_1\; ...\; b_n)\) (Spalten)
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\(A\cdot B:=(A\cdot b_1\; \cdots \; A\cdot b_n)\) mit \(B=(b_1\; \cdots\; b_n)\) (Spalten)
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mit \(A\cdot B \in K^{p\times n}\)
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\end{definition}
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@ -1228,7 +1228,7 @@ Dann sehen die L"osungen so aus:
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\end{relation}
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Proposition: Sei \(A\in k^{m\times n}\). Das homogene LGS der Form \(L=\{\phi
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t\sep \}\) fuer ein \(r\geq 0, \phi\)
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t \}\) fuer ein \(r\geq 0, \phi\)
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\(\rightarrow\) es gibt \(n-r\) freie Parameter, die die Loesungsmenge beschreiben.
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@ -1253,13 +1253,13 @@ durch \(K[t]_n\) berechnet.
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Ein \(k\) - Vektorraum \(V\) ist eine Menge zusammen mit den Operationen und mit
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folgenden Eigenschaften:
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\begin{itemize}
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\item "Addition" \(+:\, V\times V \mapsto V, (v_1,v_2)\mapsto v_1+v_2\)
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||||
\item Addition \(+:\, V\times V \mapsto V, (v_1,v_2)\mapsto v_1+v_2\)
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\begin{enumerate}
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\item kommutativ
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\item assoziativ
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\item \(\exists 0 \in V\) mit \(0+v=v+0=v\) \(v \in V\)
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\end{enumerate}
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||||
\item "Skalarmultiplikation" \(+:\, V\times V \mapsto V, (v_1,v_2)\mapsto v_1+v_2\)
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||||
\item Skalarmultiplikation \(+:\, V\times V \mapsto V, (v_1,v_2)\mapsto v_1+v_2\)
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item assoziativ
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||||
\item distributiv bez. addition
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@ -1316,7 +1316,7 @@ Eine Linearkombination heist trivial wenn \(\lambda_1 = \lambda_2 = ... =
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\begin{definition}{}{}
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Die Menge der Vektoren heist linear Unabh"angig wenn: \$\$ (Nur die Triviale
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linearkombination ergibt 0). Andernfalls heist die Menge linear abh"angig."
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||||
linearkombination ergibt 0). Andernfalls heist die Menge linear abh"angig.
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\end{definition}
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\begin{exa}[] \label{}
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@ -1381,7 +1381,7 @@ Seien \(v_1, v_2\) nicht proportional.
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In drei Dimensionen:
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\begin{relation}
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\begin{itemize}
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\item wenn \(v_3\) in \(\Epsilon\) liegt, dann ist \(v_3\) eine Linearkombination \(v_1, v_2\)
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||||
\item wenn \(v_3\) in \(E\) liegt, dann ist \(v_3\) eine Linearkombination \(v_1, v_2\)
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||||
\item wenn nicht, dann linear Unabhaenig (sonst in Ebene.)
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\end{itemize}
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\end{relation}
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@ -1395,16 +1395,15 @@ In drei Dimensionen:
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\begin{proof}[] \label{}
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Seien
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\begin{align*}
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$w_1= a_{11} v_1 + a_{12} v_2 + ... + a_{nn} v_n$ \\
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$w_1= a_{21} v_1 + a_{22} v_2 + ... + a_{nn} v_n$ \\
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||||
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||||
w_1= a_{11} v_1 + a_{12} v_2 + ... + a_{nn} v_n \\
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||||
w_1= a_{21} v_1 + a_{22} v_2 + ... + a_{nn} v_n \\
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||||
\end{align*}
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Wir suchen \(\lambda\) (*). Das ist "aquivalent zu:
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Dies ist nach linearer Unabhaenig von \ldots{} "Aquivalent zu:
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Das heist (*) ist "aquivalent zu einem homogenen LGS aus \(n\) Gleichungen mit \(m\)
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||||
Variablen. \(n<m\), also gibt es eine L"osung \ldots{}, die ungleich \(0\) ist. \$\implies
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||||
Variablen. \(n<m\), also gibt es eine L"osung $\ldots{}$, die ungleich \(0\) ist. \(\implies\)
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sind linear unabh"angig.
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\end{proof}
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@ -1432,7 +1431,7 @@ der von \(V\) vererbten Operationen.
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\end{definition}
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\begin{notte}[] \label{}
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(1) und (3) \implies \(0\in U\)
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(1) und (3) \(\implies\) \(0\in U\)
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\end{notte}
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\begin{definition}{}{}
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@ -1481,7 +1480,7 @@ haben gleich viele Elemente.
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\begin{proof}[] \label{}
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Sei \(S\) ein endliches Erzeugendensyste von \(V\), Wenn \(S\) lin. unabh. ist, ist es
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eine Basis und wir haben gewonnen. Wenn \(S\) linear abh"angig ist \implies
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eine Basis und wir haben gewonnen. Wenn \(S\) linear abh"angig ist $\implies$
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(lemma) einer von den Vektoren in \(S\) ist eine Linearkombination von den
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anderen. Das entfernen dieses Vektors "andert die Tatsache nicht, das \(S\) den
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Vektorraum aufspannt. Jetzt haben wir eine kleinere Menge und fangen von vorne
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@ -1492,7 +1491,7 @@ Ende eine Basis.
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Seien \(S, S'\) zwei Basen. Da \(S\) eine Basis ist, ist jedes element von \(S'\) eine
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linearkombination in \(S\). Die elemente von \(S\) sind linear unabh. (weil Basis).
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Wenn also \(m>n\), dann folgt aus der Proposition, dass \(S'\) linear abh. ist, was
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unm"oglich ist, da \(S'\) eine Basis ist. Also \(m \seq n\) und \(n \seq m\).
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unm"oglich ist, da \(S'\) eine Basis ist. Also \(m \leq n\) und aus Symmetriegr"unden folgt auch \(n \leq m\).
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\end{proof}
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\begin{definition}{}{}
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@ -1530,7 +1529,7 @@ von vektoren aus linearkombinartionen der Basis.)
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\begin{proof}[2] \label{}
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Sei \(S\in V\) maximal linear unabh"angig. Wir habe zu zeigen: \(<S>=V\) (Def. einer
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Basis). Wenn \ldots{} d.h. aber, aber \(S\cup {v}\) ist linear unabh. (lemma) \implies
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Basis). Wenn $\ldots{}$ d.h. aber, aber \(S\cup {v}\) ist linear unabh. (lemma) $\implies$
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\(S\) dann nicht maximal.
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\end{proof}
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@ -1550,7 +1549,7 @@ lassen, aber es braucht ein bisschen mehr Mengenlehre (Auswahlaxiom).x
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\begin{theo}{}{}
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Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum und \(U\in V\) ein Untervektorraum. Dann
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gillt: \(\dim U \seq \dim V\). \(\dim U = \dim V \iff U=V\)
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gillt: \(\dim U \leq \dim V\). \(\dim U = \dim V \iff U=V\)
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\end{theo}
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\begin{proof}[] \label{}
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@ -1651,10 +1650,10 @@ Definitionsgem"ass ist \(f: V\mapsto W\) surjektiv genau dann, wenn \(lm(f)=W\).
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\end{exa}
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\textbf{Proposition} Sei \(f:\) linear Es gilt: \(f\) injektiv \iff \(Ker(f)=\{0\}\)
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\textbf{Proposition} Sei \(f:\) linear Es gilt: \(f\) injektiv $\iff$ \(Ker(f)=\{0\}\)
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\begin{proof}[] \label{}
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||||
\(f\) injektiv \iff f"ur \(v_1\not= v_2 \in V\) gilt \(f(v_1)\not= f(v_2)\)
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||||
\(f\) injektiv $\iff$ f"ur \(v_1\not= v_2 \in V\) gilt \(f(v_1)\not= f(v_2)\)
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\end{proof}
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\begin{definition}{}{}
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@ -1668,12 +1667,12 @@ Sei \(V\) ein Vektorraum, \(S\subseteq V = \{v_1, v_2, ..., v_n\}\). Die
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Aufspannabbildung \ldots{} wird definiert als \ldots{}
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\end{exa}
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\textbf{Korrolar} \$S=\{v\(_{\text{1}}\), \ldots{}, v\(_{\text{n}}\)\} eine Basis \implies \ldots{} ein Isomorphismus
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||||
\textbf{Korrolar} \$S=\{v\(_{\text{1}}\), \ldots{}, v\(_{\text{n}}\)\} eine Basis $\implies \ldots{}$ ein Isomorphismus
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||||
\textbf{Korrolar} \(\dim V = n \iff V\) ismorph \(K^n\). (\ldots{} isomorphe Vektorraume haben
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die gleiche Dimension)
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||||
\textbf{Beobachung} Wenn \ldots{} Isomorphismus \implies \ldots{} ist auch ein Isomorphismus.
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||||
\textbf{Beobachung} Wenn ... Isomorphismus $\implies \ldots{}$ ist auch ein Isomorphismus.
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\subsubsection{Dimensionsformel}
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\label{sec:org9a58004}
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@ -1681,10 +1680,10 @@ die gleiche Dimension)
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Sei \(f\) eine Lineare Abbildung, sei \(V\) endlich dimensional. Dann gilt:
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\end{theo}
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\textbf{lemma} sei \(f\) wie oben. Sei \(U \subseteq \Ker(f)\) Dann ist \ldots{} ein Isomorphismus
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||||
\textbf{lemma} sei \(f\) wie oben. Sei \(U \subseteq Ker(f)\) Dann ist $ \ldots{}$ ein Isomorphismus
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\begin{proof}[des Lemmas] \label{}
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\ldots{} ist surjektiv nach Konstruktion. Inkektiv \iff \ldots{} Sei \ldots{} . Dann gilt \ldots{}.
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$\ldots{}$ ist surjektiv nach Konstruktion. Inkektiv $\iff \ldots{}$ Sei $\ldots{}$ . Dann gilt $\ldots{}$.
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\end{proof}
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\begin{proof}[der Dimensionsformel] \label{}
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@ -1695,10 +1694,10 @@ Betrachte jetzt \(U:=<e_{k+1}, ..., e_n> \subseteq V\) Untervektorraum. Es gilt
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Lemma. es gilt: \ldots{} weil .. eine Basis im Kern ist. und \ldots{} weil \(u\in U\) also
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\ldots{}
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Das Lemma sagt jetzt \ldots{} ist ein Isomorphismus. Ausserdem gilt f"ur \ldots{} \implies
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||||
\(f(V)=f(V)\) also \ldots{} \implies \ldots{}
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||||
Das Lemma sagt jetzt $\ldots{} $ist ein Isomorphismus. Ausserdem gilt f"ur $\ldots{} \implies$
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||||
\(f(V)=f(V)\) also $\ldots{} \implies \ldots{} $
|
||||
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||||
Nun gilt nach Konstruktion von \(U\) \ldots{}
|
||||
Nun gilt nach Konstruktion von \(U\) $ \ldots{} $
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\end{proof}
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\subsubsection{Summe von Untervektorr"aumen}
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@ -1727,9 +1726,9 @@ Dann gilt:
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\item f injekt. \ldots{}
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\end{itemize}
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Insbesondere gilt: \textbf{Korrolar} Ist \ldots{}, so ist f injektiv \iff f surjektiv.
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||||
Insbesondere gilt: \textbf{Korrolar} Ist $\ldots{}$, so ist f injektiv $\iff $f surjektiv.
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||||
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||||
\textbf{Proposition} Dimensionformel' \$\(\dim\) (U\(_{\text{1}}\)+U\(_{\text{2}}\))=\di..\$
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||||
\textbf{Proposition} Dimensionformel' \(\dim U_1 +U_2 =\dim..\)
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||||
\begin{proof}[] \label{}
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||||
ist stehts ein Untervektorraum, wenn Untervektorra"me sind.
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||||
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@ -1746,7 +1745,7 @@ Ferner gilt: \ldots{}
|
|||
\end{proof}
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Was hat diese ganze Theorie mit Matrizen zu tun? Intuitiv: Abbildungen sind
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"geometisch" und Matrizen sind Koordinatenform dieser "geometrischen""
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\``geometrisch\'' und Matrizen sind Koordinatenform dieser geometrischen
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Abbildungen.
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\begin{exa}[] \label{}
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||||
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@ -1758,7 +1757,7 @@ Koordinaten?4
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\label{sec:org00a1823}
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||||
\begin{definition}{}{}
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||||
Seien \(V,W\) zwei Vektorraume.
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||||
\(\Hom_k(v,w)\) ist selbst ein Vektorraum.
|
||||
\(Hom_k(v,w)\) ist selbst ein Vektorraum.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
Seien \(V, W\) endlichdimensional, \ldots{} Sei Die Abbildungsmatrix ist definiert als
|
||||
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