diff --git a/Lineare_Algebra.tex b/Lineare_Algebra.tex index 5f3d936..a886e81 100644 --- a/Lineare_Algebra.tex +++ b/Lineare_Algebra.tex @@ -411,7 +411,7 @@ F"ur die Negation der Quantoren gilt: \begin{relation} \begin{itemize} \item \(\neg(\forall x\in X : A(x)) = \exists x\in X : \neq A(x)\) -\item \(\neg(\exists x\in X : A(x)) = \forallx\in X : \neq A(x)\) +\item \(\neg(\exists x\in X : A(x)) = \forall x\in X : \neq A(x)\) \end{itemize} \end{relation} @@ -674,7 +674,7 @@ Die Zahlen der Form \(b\cdot i : b\in \mathbb{R}\) heissen \textbf{rein Imagin"a \end{definition} F"ur reele Zahlen wissen wir: \(\forall a\in \mathbb{R}\) mit \$a\textlnot{}= 0 \(\exists\) -a\(^{\text{-1}} \in\) \mathbb{R} mit \(a*a^{-1}=1\). Gilt das auch in \(\mathbb{C}\) ? +\(a^{-1} \in \mathbb{R}\) mit \(a*a^{-1}=1\). Gilt das auch in \(\mathbb{C}\) ? \begin{definition}{Komplexe Konjugation}{} F"ur \(z\in \mathbb{C}\) heisst die Zahl \(\overline{z}:=a-bi\) die komplex @@ -698,7 +698,7 @@ konjugierte Zahl zu \(a+bi\). Das Inverse zu \(z\not= 0\): \begin{relation} \(z\cdot \frac{\overline{z}}{|z|^2}=1\) \\ -Also: \(\forall z\not= 0 \exists z^{-1} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}\) mit \(z \cdot z^{-1}}=1\) +Also: \(\forall z\not= 0 \exists z^{-1} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}\) mit \(z \cdot z^{-1}=1\) \end{relation} \begin{exa}[] \label{} \ @@ -767,7 +767,7 @@ F"ur geometrische Interpretation: Siehe \(C_2\). Besonders n"utzlich ist dies f"ur die Multiplikation einer komplexen Zahl vom Betrag \(1\): \begin{align*} -|z|=1\iff z=\cos(\varphi)+i\cdot \sin(\varphi)$ f"ur ein $\varphi \in \mathbb{R} +|z|=1\iff z=\cos(\varphi)+i\cdot \sin(\varphi) \text{f"ur ein} \varphi \in \mathbb{R} \end{align*} \begin{relation} @@ -796,17 +796,17 @@ Mit dieser Notation folgt: \end{relation} \begin{exa}[] \label{}\ -\begin{align*} -\begin{split} -(\cos(\varphi)+i\pcdot \sin(\varphi))^2 & =\cos^2(\varphi)-\sin^2(\varphi)+2\cdot\sin(\varphi)\cdot\cos(\varphi) \\ - & = \cos(2\varphi) + 2\sin(2\varphi) \\ -& \implies +\begin{equation*} +%\begin{split} +(\cos(\varphi)+i\cdot \sin(\varphi))^2 =\cos^2(\varphi)-\sin^2(\varphi)+2\cdot\sin(\varphi)\cdot\cos(\varphi) + = \cos(2\varphi) + 2\sin(2\varphi) + \implies \begin{cases} \cos(2\varphi)=\cos^2(\varphi)-\sin^2(\varphi) \\ \sin(2\varphi)=2\cdot\sin(\varphi)\cdot\cos(\varphi) \end{cases} -\end{split} -\end{align*} +%\end{split} +\end{equation*} \end{exa} \subsection{Einscheitswurzeln} @@ -1004,11 +1004,11 @@ Folge. \begin{exa}[] \label{} \ \[ -\begin{ppnmatrix} - 0 & $a_{12}$ & $a_{13}$ \\ - 0 & 0 & $a_{23}$ \\ +\begin{pmatrix} + 0 & a_{12} & a_{13} \\ + 0 & 0 & a_{23} \\ 0 & 0 & 0 \\ -\end{ppnmatrix} +\end{pmatrix} \] \end{exa} @@ -1022,7 +1022,7 @@ Sei \(A=\begin{matrix}a_{11}&...&a_{nn}\end{matrix}\). \\ Wenn \(A=0\) - Bewiesen. \\ Wenn \(A\not=0\), dann gibt es eine Spalte \(\not= 0\). Sei \(j_1\) die Nummer dieser Spalte. Durch vertausche von Zeilen erreichen wir -zun"achst \(a_{1j_1}}\not= 0\). Multiplaktion der ersten Zeule mit +zun"achst \(a_{1j_1}\not= 0\). Multiplaktion der ersten Zeule mit \(\frac{1}{j_1}\). Jetzt Subtrahiere von jeder Zeile ab der Zweiten die erste Zeile multipliziert mit \(a_{kj_1}\) (\(k=\) Nummer der Zeile). \\ @@ -1125,7 +1125,7 @@ Zahl multipliziert). \begin{definition}{Produkt}{} Wenn die Breite von \(A\) mit der H"ohe von \(B\) "ubereinstimmt, kann man das Produkt \(A\cdot B\) definieren: \\ -\(A\cdot B:=(A\cdot b_1\; ... \4; A\cdot b_n)\) mit \(B=(b_1\; ...\; b_n)\) (Spalten) +\(A\cdot B:=(A\cdot b_1\; \cdots \; A\cdot b_n)\) mit \(B=(b_1\; \cdots\; b_n)\) (Spalten) mit \(A\cdot B \in K^{p\times n}\) \end{definition} @@ -1228,7 +1228,7 @@ Dann sehen die L"osungen so aus: \end{relation} Proposition: Sei \(A\in k^{m\times n}\). Das homogene LGS der Form \(L=\{\phi -t\sep \}\) fuer ein \(r\geq 0, \phi\) +t \}\) fuer ein \(r\geq 0, \phi\) \(\rightarrow\) es gibt \(n-r\) freie Parameter, die die Loesungsmenge beschreiben. @@ -1253,13 +1253,13 @@ durch \(K[t]_n\) berechnet. Ein \(k\) - Vektorraum \(V\) ist eine Menge zusammen mit den Operationen und mit folgenden Eigenschaften: \begin{itemize} -\item "Addition" \(+:\, V\times V \mapsto V, (v_1,v_2)\mapsto v_1+v_2\) +\item Addition \(+:\, V\times V \mapsto V, (v_1,v_2)\mapsto v_1+v_2\) \begin{enumerate} \item kommutativ \item assoziativ \item \(\exists 0 \in V\) mit \(0+v=v+0=v\) \(v \in V\) \end{enumerate} -\item "Skalarmultiplikation" \(+:\, V\times V \mapsto V, (v_1,v_2)\mapsto v_1+v_2\) +\item Skalarmultiplikation \(+:\, V\times V \mapsto V, (v_1,v_2)\mapsto v_1+v_2\) \begin{enumerate} \item assoziativ \item distributiv bez. addition @@ -1316,7 +1316,7 @@ Eine Linearkombination heist trivial wenn \(\lambda_1 = \lambda_2 = ... = \begin{definition}{}{} Die Menge der Vektoren heist linear Unabh"angig wenn: \$\$ (Nur die Triviale -linearkombination ergibt 0). Andernfalls heist die Menge linear abh"angig." +linearkombination ergibt 0). Andernfalls heist die Menge linear abh"angig. \end{definition} \begin{exa}[] \label{} @@ -1381,7 +1381,7 @@ Seien \(v_1, v_2\) nicht proportional. In drei Dimensionen: \begin{relation} \begin{itemize} -\item wenn \(v_3\) in \(\Epsilon\) liegt, dann ist \(v_3\) eine Linearkombination \(v_1, v_2\) +\item wenn \(v_3\) in \(E\) liegt, dann ist \(v_3\) eine Linearkombination \(v_1, v_2\) \item wenn nicht, dann linear Unabhaenig (sonst in Ebene.) \end{itemize} \end{relation} @@ -1395,16 +1395,15 @@ In drei Dimensionen: \begin{proof}[] \label{} Seien \begin{align*} -$w_1= a_{11} v_1 + a_{12} v_2 + ... + a_{nn} v_n$ \\ -$w_1= a_{21} v_1 + a_{22} v_2 + ... + a_{nn} v_n$ \\ - +w_1= a_{11} v_1 + a_{12} v_2 + ... + a_{nn} v_n \\ +w_1= a_{21} v_1 + a_{22} v_2 + ... + a_{nn} v_n \\ \end{align*} Wir suchen \(\lambda\) (*). Das ist "aquivalent zu: Dies ist nach linearer Unabhaenig von \ldots{} "Aquivalent zu: Das heist (*) ist "aquivalent zu einem homogenen LGS aus \(n\) Gleichungen mit \(m\) -Variablen. \(nn\), dann folgt aus der Proposition, dass \(S'\) linear abh. ist, was -unm"oglich ist, da \(S'\) eine Basis ist. Also \(m \seq n\) und \(n \seq m\). +unm"oglich ist, da \(S'\) eine Basis ist. Also \(m \leq n\) und aus Symmetriegr"unden folgt auch \(n \leq m\). \end{proof} \begin{definition}{}{} @@ -1530,7 +1529,7 @@ von vektoren aus linearkombinartionen der Basis.) \begin{proof}[2] \label{} Sei \(S\in V\) maximal linear unabh"angig. Wir habe zu zeigen: \(=V\) (Def. einer -Basis). Wenn \ldots{} d.h. aber, aber \(S\cup {v}\) ist linear unabh. (lemma) \implies +Basis). Wenn $\ldots{}$ d.h. aber, aber \(S\cup {v}\) ist linear unabh. (lemma) $\implies$ \(S\) dann nicht maximal. \end{proof} @@ -1550,7 +1549,7 @@ lassen, aber es braucht ein bisschen mehr Mengenlehre (Auswahlaxiom).x \begin{theo}{}{} Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum und \(U\in V\) ein Untervektorraum. Dann -gillt: \(\dim U \seq \dim V\). \(\dim U = \dim V \iff U=V\) +gillt: \(\dim U \leq \dim V\). \(\dim U = \dim V \iff U=V\) \end{theo} \begin{proof}[] \label{} @@ -1651,10 +1650,10 @@ Definitionsgem"ass ist \(f: V\mapsto W\) surjektiv genau dann, wenn \(lm(f)=W\). \end{exa} -\textbf{Proposition} Sei \(f:\) linear Es gilt: \(f\) injektiv \iff \(Ker(f)=\{0\}\) +\textbf{Proposition} Sei \(f:\) linear Es gilt: \(f\) injektiv $\iff$ \(Ker(f)=\{0\}\) \begin{proof}[] \label{} -\(f\) injektiv \iff f"ur \(v_1\not= v_2 \in V\) gilt \(f(v_1)\not= f(v_2)\) +\(f\) injektiv $\iff$ f"ur \(v_1\not= v_2 \in V\) gilt \(f(v_1)\not= f(v_2)\) \end{proof} \begin{definition}{}{} @@ -1668,12 +1667,12 @@ Sei \(V\) ein Vektorraum, \(S\subseteq V = \{v_1, v_2, ..., v_n\}\). Die Aufspannabbildung \ldots{} wird definiert als \ldots{} \end{exa} -\textbf{Korrolar} \$S=\{v\(_{\text{1}}\), \ldots{}, v\(_{\text{n}}\)\} eine Basis \implies \ldots{} ein Isomorphismus +\textbf{Korrolar} \$S=\{v\(_{\text{1}}\), \ldots{}, v\(_{\text{n}}\)\} eine Basis $\implies \ldots{}$ ein Isomorphismus \textbf{Korrolar} \(\dim V = n \iff V\) ismorph \(K^n\). (\ldots{} isomorphe Vektorraume haben die gleiche Dimension) -\textbf{Beobachung} Wenn \ldots{} Isomorphismus \implies \ldots{} ist auch ein Isomorphismus. +\textbf{Beobachung} Wenn ... Isomorphismus $\implies \ldots{}$ ist auch ein Isomorphismus. \subsubsection{Dimensionsformel} \label{sec:org9a58004} @@ -1681,10 +1680,10 @@ die gleiche Dimension) Sei \(f\) eine Lineare Abbildung, sei \(V\) endlich dimensional. Dann gilt: \end{theo} -\textbf{lemma} sei \(f\) wie oben. Sei \(U \subseteq \Ker(f)\) Dann ist \ldots{} ein Isomorphismus +\textbf{lemma} sei \(f\) wie oben. Sei \(U \subseteq Ker(f)\) Dann ist $ \ldots{}$ ein Isomorphismus \begin{proof}[des Lemmas] \label{} -\ldots{} ist surjektiv nach Konstruktion. Inkektiv \iff \ldots{} Sei \ldots{} . Dann gilt \ldots{}. +$\ldots{}$ ist surjektiv nach Konstruktion. Inkektiv $\iff \ldots{}$ Sei $\ldots{}$ . Dann gilt $\ldots{}$. \end{proof} \begin{proof}[der Dimensionsformel] \label{} @@ -1695,10 +1694,10 @@ Betrachte jetzt \(U:= \subseteq V\) Untervektorraum. Es gilt Lemma. es gilt: \ldots{} weil .. eine Basis im Kern ist. und \ldots{} weil \(u\in U\) also \ldots{} -Das Lemma sagt jetzt \ldots{} ist ein Isomorphismus. Ausserdem gilt f"ur \ldots{} \implies -\(f(V)=f(V)\) also \ldots{} \implies \ldots{} +Das Lemma sagt jetzt $\ldots{} $ist ein Isomorphismus. Ausserdem gilt f"ur $\ldots{} \implies$ +\(f(V)=f(V)\) also $\ldots{} \implies \ldots{} $ -Nun gilt nach Konstruktion von \(U\) \ldots{} +Nun gilt nach Konstruktion von \(U\) $ \ldots{} $ \end{proof} \subsubsection{Summe von Untervektorr"aumen} @@ -1727,9 +1726,9 @@ Dann gilt: \item f injekt. \ldots{} \end{itemize} -Insbesondere gilt: \textbf{Korrolar} Ist \ldots{}, so ist f injektiv \iff f surjektiv. +Insbesondere gilt: \textbf{Korrolar} Ist $\ldots{}$, so ist f injektiv $\iff $f surjektiv. -\textbf{Proposition} Dimensionformel' \$\(\dim\) (U\(_{\text{1}}\)+U\(_{\text{2}}\))=\di..\$ +\textbf{Proposition} Dimensionformel' \(\dim U_1 +U_2 =\dim..\) \begin{proof}[] \label{} ist stehts ein Untervektorraum, wenn Untervektorra"me sind. @@ -1746,7 +1745,7 @@ Ferner gilt: \ldots{} \end{proof} Was hat diese ganze Theorie mit Matrizen zu tun? Intuitiv: Abbildungen sind -"geometisch" und Matrizen sind Koordinatenform dieser "geometrischen"" +\``geometrisch\'' und Matrizen sind Koordinatenform dieser geometrischen Abbildungen. \begin{exa}[] \label{} @@ -1758,7 +1757,7 @@ Koordinaten?4 \label{sec:org00a1823} \begin{definition}{}{} Seien \(V,W\) zwei Vektorraume. -\(\Hom_k(v,w)\) ist selbst ein Vektorraum. +\(Hom_k(v,w)\) ist selbst ein Vektorraum. \end{definition} Seien \(V, W\) endlichdimensional, \ldots{} Sei Die Abbildungsmatrix ist definiert als