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Lineare_Algebra.tex

@@ -2131,6 +2131,125 @@ $\mathbb{R}^2$ bzw. $\mathbb{R}^3$?
   Es ueberleben nur Terme, wo $b_{j1},...,b_{ji}$ in anderer Reihenfolge sind
   $\implies$ dann ist ... $\implies$ ... Summe von Termen der Form
 \end{prof}
+\begin{proposition}
+  Sei ... eine Volumenform auf V. Dann gilt:
+  \begin{enumerate}
+  \item $\omega(v_1,...,v_n)$ ...
+  \item Sind ... linear unabh"angig, so gilt
+  \end{enumerate}
+\end{proposition}
+
+\begin{prof}
+  \begin{enumerate}
+  \item Linearit"at: 
+  \item Sind ... linear abh"angig, dann ist ein $V_J=\sum$
+  \end{enumerate}
+\end{prof}
+
+Wir wollen die Abh"angigkeit aus dem lemma explizit aufschreiben
+
+\subsubsection{Permutationen}
+\label{sec:perm}
+
+\begin{definition}[Permutation]
+  Sei $X$ eine Menge. Eine bijektion $\sigma: X \mapsto X$ heisst Permutation
+  von X.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+  F"ur  ... heisst die Permutation die symetrische Gruppe aus $n$ elementen,
+  bezeichnet als.
+\end{definition}
+
+\begin{exa}
+  Ein Elelement ... schreibt man h"aufig als Tabelle:
+\end{exa}
+
+\begin{notte}
+  $\tau\circ\sigma \not= \sigma\circ\tau$
+\end{notte}
+
+\begin{folgerung}
+  \begin{itemize}
+  \item   Da Verkn"upfungen von Bijektionen bijektiv sind, definiert ....
+  \item Ist auch assoziativ.
+  \item  Permutationen sind kommutativ.
+  \end{itemize}
+\end{folgerung}
+
+\begin{definition}
+  Sei $P=\{\}$. Ein halbsystem in $P$ ist eine Halbmenge mit folgender
+  Eigenschaft: von den Paaren $(i,j), (j,i)\in P$ ist in $H$ jeweils genau eine enthalten.
+\end{definition}
+
+\begin{exa}
+  $n=3$
+\end{exa}
+
+\begin{definition}
+  Sei $\sigma\in S_n$. $\exists$... heisst Vorzeichen von $\sigma$
+  \begin{enumerate}
+  \item $\es$ ist unabh"angig von der Wahl von $H$: Wenn $H'$ ein anderes
+    halbsystem ist, dann mann jeden Faktor ggf. $(j,i)$ statt $(i,j)$ nehmen,
+    aner ... 
+  \item $\epsiln(\sigma) \in \{0, 1\}$
+  \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{notte}[Interpretation f"ur $\epsilon (\sigma)$]
+  $d$ .. Anzahl der ''Reihenfolgeverst"osse'' in $\sigma$
+\end{notte}
+\begin{prof}
+  ...
+\end{prof}
+
+\begin{definition}
+  Die Permutationen ... heissen gerade ... ungerade.
+  Sei $i\not=j$ ... Die Transposition von ... ist die Permutation: ..
+  (Vertauscht $i$ und $j$, alle andere bleibt gleicht)
+\end{definition}
+
+
+\begin{proposition}[das Vorzeichen ist multiplikativ]
+  $\epsilon(\sigma\circ \tau)= \epsilon (\sigma) \cdot \epsilon (\tau)$
+\end{proposition}
+
+
+\begin{relation}
+  Sei $\tau_{ij}$ eine Transposition: $\epsilon(\tau_{ij})=-1$.
+\end{relation}
+
+\begin{proposition}
+  Wenn ... ein Produkt von $n$ Transpositionen, dann gilt: ...
+\end{proposition}
+
+\begin{notte}
+  Jede Permutation ist als Produkt von Transpositionen darstellbar ("Ubung)
+\end{notte}
+
+\begin{trivlist}
+\item Sei $v$ ein Vektorraum $b_1, ..., b_n$ eine Basis und $v_1, ..., v_n \in
+  V$ mit darstellungen $v_i = \sum_{i=1}^n{\lambda_{ij}\cdot b_j}$.
+  
+\item
+  \begin{align*}
+    \omega(v_1,...,v_n) = \omega (...) &  ... \\
+    = ... & = ... 
+   \end{align*}
+ \end{trivlist}
+
+ Wenn $V=K^n, (b...$ die Standartbasis in $K^n$, und die Volumenform $\omega:
+ V^n\mapsto K$ so gew"ahlt istm dass $\omega(e_1,...,e_n)$, dann bekommt man
+ folgende Definition f"ur eine Matrix $A$:
+
+ \begin{definition}
+   Wenn ... eine Matrix mit eintr"agen $a_{ij}$. Wenn man die Zeilen als
+   Vektoren in $K^n$ auffast, dann gilt:...
+ \end{definition}
+
+ \begin{relation}
+   Geometrische Bedeutung: 
+ \end{relation}
 
 \subsection{Schlagworte:}
 \label{sec:orgcf8c685}