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Valentin Boettcher
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483ca2ecf3
commit
78d7c6a84d
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@ -1,6 +1,6 @@
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% Created 2017-11-19 Sun 20:51
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% Intended LaTeX compiler: pdflatex
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\documentclass[11pt]{article}
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\documentclass[11.5pt]{article}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage{beton}
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\usepackage{euler}
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@ -62,7 +62,6 @@
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{
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colframe = blue!25,
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colback = blue!10,
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halign = center,
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#1,
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}
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\usepackage{etoolbox}
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@ -77,13 +76,14 @@ halign = center,
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\newtheorem{folgerung}{Folgerung}
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\newtheorem*{notte}{Beachte}
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\theoremstyle{definition}
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\newtheorem{prof}{Beweis}
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\newtheorem*{notation}{Notation}
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\newtheorem*{proposition}{Proposition}
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\newtheorem*{lemma}{Lemma}
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\theoremstyle{remark}
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\newtheorem*{korollar}{Korollar}
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\newtheorem*{bem}{Bemerkung}
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\newtheorem*{prof}{Beweis}
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\AfterEndEnvironment{prof}{\qed}
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\author{Nebnola, Julius Quasebarth, Valentin Boettcher}
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\date{\today}
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\title{Lineare Algebra (f"ur Physiker) I}
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@ -330,11 +330,7 @@ Seien \(X,Y\) Mengen, \(f: X\to Y\) eine Abbildung. \(f\) heist:
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\begin{enumerate}
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\item \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, t\mapsto t^2\)
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\begin{itemize}
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\item ist nicht injektiv:
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\end{itemize}
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\end{enumerate}
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\(-1\mapsto 1\)
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\begin{itemize}
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||||
\item ist nicht injektiv: \(-1\mapsto 1\)
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\item ist nicht surjektiv: f"ur \(-1\in \mathbb{R}\) gibt es kein \(t\in\mathbb{R}\)
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mit \(t^2=-1\)
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\end{itemize}
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@ -402,14 +398,6 @@ Die Verkn"upfung hat folgende Eigenschaften:
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\end{enumerate}
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\end{relation}
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\subsubsection{Kommutative Diagramme}
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\label{sec:org429b8d6}
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Siehe V2\(_{\text{2}}\):
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\begin{enumerate}
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\item Dieses Diagramm heist kommutativ, wenn \(h=g\circ f\).
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\item kommutativ wenn \(g\circ f=h\circ k\)
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\end{enumerate}
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\subsubsection{Eingeschr"ankte Abbildungen}
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\label{sec:org60b2559}
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\begin{definition}{Einschr"ankung}{}
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@ -487,30 +475,22 @@ Mathematik operiert mit \textbf{Aussagen}.
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Eine Aussage ist eine Behauptung, die Wahr oder Falsch sein kann.
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\end{definition}
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\begin{notation}\
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\begin{description}
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\item[{1}] wahr
|
||||
\item[{0}] falsche
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\end{description}
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||||
\begin{notation}
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||||
\textbf{0} = wahr,
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||||
\textbf{1} = falsch
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||||
\end{notation}
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\(A,B\) seien Aussagen, dann kann man folgende Aussagen betrachten:
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\begin{relation}
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\begin{itemize}
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\item ''nicht \(A\)'': \(\neg A\)
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\end{itemize}
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\begin{center}
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||||
\item ''nicht \(A\)'': \(\neg A\)\\
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\begin{tabular}{lrr}
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\(A\) & 0 & 1\\
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\hline
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||||
\(\neg A\) & 1 & 0\\
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||||
\end{tabular}
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\end{center}
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\begin{itemize}
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||||
\item Vernk"upfungen
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||||
\end{itemize}
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||||
\begin{center}
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||||
\item Vernk"upfungen\\
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\begin{tabular}{rrrrrr}
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\(A\) & \(B\) & \(\neg A\) & \(A\wedge B\) & \(A \vee B\) & \(A\implies B\)\\
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\hline
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@ -519,21 +499,17 @@ Eine Aussage ist eine Behauptung, die Wahr oder Falsch sein kann.
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1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
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1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1\\
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||||
\end{tabular}
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||||
\end{center}
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\begin{itemize}
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||||
\item ''A "aquivalent zu B'': \(A\iff B\)
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||||
\end{itemize}
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\begin{center}
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||||
\item ''A "aquivalent zu B'': \(A\iff B\) \\
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||||
\begin{tabular}{rrr}
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||||
\(A\) & \(B\) & \(\iff A\)\\
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||||
\(A\) & \(B\) & \(A \iff B\)\\
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||||
\hline
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||||
0 & 0 & 1\\
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||||
0 & 1 & 0\\
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||||
1 & 0 & 0\\
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||||
1 & 1 & 1\\
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||||
\end{tabular}
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||||
\end{center}
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||||
\end{itemize}
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||||
\end{relation}
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\begin{exa}
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@ -542,7 +518,7 @@ F"ur ein Element \(x\in X\) k"onnen wir Aussagen betrachten:
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\item \(A(x)=x\in A\)
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\item \(B(x)=x\in B\)
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\end{enumerate}
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\(A(x)\wedge B(x)=x\in (A\cap B)\)
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$\longrightarrow \(A(x)\wedge B(x)=x\in (A\cap B)\)$
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\end{exa}
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\subsection{Identit"aten der Aussagenlogik}
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@ -566,7 +542,7 @@ F"ur ein Element \(x\in X\) k"onnen wir Aussagen betrachten:
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\end{enumerate}
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\end{relation}
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\subsection{Widerspruchsbeweis}
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\subsubsection{Widerspruchsbeweis}
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\label{sec:org54c9d02}
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Wenn wir die Konsequenz aus der Negation der zu beweisenden Aussage und die
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Pr"amisse zu einem widerspruch f"uhren so ist die Aussage bewiesen, denn:
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@ -639,7 +615,7 @@ Idee: Man m"ochte Quadratische Gleichungen ohne reelle Nullstellen trotzdem
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l"osen, also erweitert man die reellen Zahlen.
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\begin{relation}
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Die pototypische Quadratische Gleichungen ohne reelle L"osungen ist: \(x^2+1 =
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Die prototypische Quadratische Gleichungen ohne reelle L"osungen ist: \(x^2+1 =
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-1\).\\
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Man f"ugt K"unstlich die Zahl \(i\) hinzu mit \(i^2=-1\), m"oglichst unter
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Beibehaltung der "ublichen Rechenregeln: man braucht also die Zahlen \(b\cdot i :
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@ -677,7 +653,7 @@ Man "uberpr"uft, dass die "ublichen Rechenregeln aus \(\mathbb{R}\) weiterhin
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gelten (\emph{K"orperaxiome}): F"ur \(z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C}\) gilt, z.B.:
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\begin{relation}
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\begin{itemize}
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\item \(z_1\cdot (z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3\)
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\item \(z_1\cdot (z_2+z_3)=z_1\cdot z_2+z_1\cdot z_3\)
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\item \(z_1\cdot (z_2\cdot z_3)=(z_1\cdot z_2)\cdot z_3\)
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\item \(z_1 + (z_2 + z_3)=(z_1 + z_2) + z_3\)
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\end{itemize}
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@ -691,8 +667,8 @@ der der Form \(a+0\cdot i = (a,0)\), \(a\in \mathbb{R}\).
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\begin{definition}{Real- und Imagin"aranteil}{}
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F"ur \(z=a+b\cdot i\in \mathbb{C}\) heisst:
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\begin{itemize}
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\item \(a:=:Re(z)\) Realanteil von \(z\)
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\item \(b:=:Im(z)\) Imagin"aranteil von \(z\)
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\item \(a:=Re(z)\) Realanteil von \(z\)
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\item \(b:=Im(z)\) Imagin"aranteil von \(z\)
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\end{itemize}
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Also ist \(z=Re(z)+ Im(z)\cdot i\).
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@ -702,8 +678,9 @@ Also ist \(z=Re(z)+ Im(z)\cdot i\).
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Die Zahlen der Form \(b\cdot i : b\in \mathbb{R}\) heissen \textbf{rein Imagin"ar}.
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\end{definition}
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F"ur reele Zahlen wissen wir: \(\forall a\in \mathbb{R}\) mit \$a\textlnot{}= 0 \(\exists\)
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\(a^{-1} \in \mathbb{R}\) mit \(a*a^{-1}=1\). Gilt das auch in \(\mathbb{C}\) ?
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\subsection{Inverses zu einer komplexen Zahl}
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F"ur reele Zahlen wissen wir: \(\forall a\in \mathbb{R}\) mit \(a\not= 0\;\exists\)
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\(a^{-1} \in \mathbb{R}\) mit \(a\cdot a^{-1}=1\). Gilt das auch in \(\mathbb{C}\) ?
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\begin{definition}{Komplexe Konjugation}{}
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F"ur \(z\in \mathbb{C}\) heisst die Zahl \(\overline{z}:=a-bi\) die komplex
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@ -722,12 +699,9 @@ konjugierte Zahl zu \(a+bi\).
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\(|z|:=\sqrt{x\cdot \overline{z}}=\sqrt{a^2+b^2}\) mit \(z=a+bi\).
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\end{definition}
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\subsection{Inverses zu einer komplexen Zahl}
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\label{sec:org0018acd}
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Das Inverse zu \(z\not= 0\):
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\begin{relation}
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\(z\cdot \frac{\overline{z}}{|z|^2}=1\) \\
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Also: \(\forall z\not= 0 \exists z^{-1} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}\) mit \(z \cdot z^{-1}=1\)
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\begin{definition}{Inverses einer Komplexen Zahl}{ci}
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Das Inverse einer Komplexen Zahl ist gegeben durch: \(\forall z\not= 0\; \exists z^{-1} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}\) mit \(z \cdot z^{-1}=1\)
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\end{relation}
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\begin{exa}[] \label{} \
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