From 78d7c6a84d6b0ed005bae3d08c4df7a819ac6a71 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Valentin Boettcher Date: Thu, 21 Dec 2017 10:28:53 +0100 Subject: [PATCH] Tweaking some layout problems, fixing qed szmbol --- Lineare_Algebra.tex | 72 +++++++++++++++------------------------------ 1 file changed, 23 insertions(+), 49 deletions(-) diff --git a/Lineare_Algebra.tex b/Lineare_Algebra.tex index a62ded7..8130738 100644 --- a/Lineare_Algebra.tex +++ b/Lineare_Algebra.tex @@ -1,6 +1,6 @@ % Created 2017-11-19 Sun 20:51 % Intended LaTeX compiler: pdflatex -\documentclass[11pt]{article} +\documentclass[11.5pt]{article} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{beton} \usepackage{euler} @@ -62,7 +62,6 @@ { colframe = blue!25, colback = blue!10, -halign = center, #1, } \usepackage{etoolbox} @@ -77,13 +76,14 @@ halign = center, \newtheorem{folgerung}{Folgerung} \newtheorem*{notte}{Beachte} \theoremstyle{definition} -\newtheorem{prof}{Beweis} \newtheorem*{notation}{Notation} \newtheorem*{proposition}{Proposition} \newtheorem*{lemma}{Lemma} \theoremstyle{remark} \newtheorem*{korollar}{Korollar} \newtheorem*{bem}{Bemerkung} +\newtheorem*{prof}{Beweis} +\AfterEndEnvironment{prof}{\qed} \author{Nebnola, Julius Quasebarth, Valentin Boettcher} \date{\today} \title{Lineare Algebra (f"ur Physiker) I} @@ -330,11 +330,7 @@ Seien \(X,Y\) Mengen, \(f: X\to Y\) eine Abbildung. \(f\) heist: \begin{enumerate} \item \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, t\mapsto t^2\) \begin{itemize} -\item ist nicht injektiv: -\end{itemize} -\end{enumerate} -\(-1\mapsto 1\) -\begin{itemize} +\item ist nicht injektiv: \(-1\mapsto 1\) \item ist nicht surjektiv: f"ur \(-1\in \mathbb{R}\) gibt es kein \(t\in\mathbb{R}\) mit \(t^2=-1\) \end{itemize} @@ -402,14 +398,6 @@ Die Verkn"upfung hat folgende Eigenschaften: \end{enumerate} \end{relation} -\subsubsection{Kommutative Diagramme} -\label{sec:org429b8d6} -Siehe V2\(_{\text{2}}\): -\begin{enumerate} -\item Dieses Diagramm heist kommutativ, wenn \(h=g\circ f\). -\item kommutativ wenn \(g\circ f=h\circ k\) -\end{enumerate} - \subsubsection{Eingeschr"ankte Abbildungen} \label{sec:org60b2559} \begin{definition}{Einschr"ankung}{} @@ -487,30 +475,22 @@ Mathematik operiert mit \textbf{Aussagen}. Eine Aussage ist eine Behauptung, die Wahr oder Falsch sein kann. \end{definition} -\begin{notation}\ -\begin{description} -\item[{1}] wahr -\item[{0}] falsche -\end{description} +\begin{notation} +\textbf{0} = wahr, +\textbf{1} = falsch \end{notation} \(A,B\) seien Aussagen, dann kann man folgende Aussagen betrachten: \begin{relation} \begin{itemize} -\item ''nicht \(A\)'': \(\neg A\) -\end{itemize} -\begin{center} +\item ''nicht \(A\)'': \(\neg A\)\\ \begin{tabular}{lrr} \(A\) & 0 & 1\\ \hline \(\neg A\) & 1 & 0\\ \end{tabular} -\end{center} -\begin{itemize} -\item Vernk"upfungen -\end{itemize} -\begin{center} +\item Vernk"upfungen\\ \begin{tabular}{rrrrrr} \(A\) & \(B\) & \(\neg A\) & \(A\wedge B\) & \(A \vee B\) & \(A\implies B\)\\ \hline @@ -519,21 +499,17 @@ Eine Aussage ist eine Behauptung, die Wahr oder Falsch sein kann. 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1\\ \end{tabular} -\end{center} -\begin{itemize} -\item ''A "aquivalent zu B'': \(A\iff B\) -\end{itemize} -\begin{center} +\item ''A "aquivalent zu B'': \(A\iff B\) \\ \begin{tabular}{rrr} -\(A\) & \(B\) & \(\iff A\)\\ +\(A\) & \(B\) & \(A \iff B\)\\ \hline 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1\\ \end{tabular} -\end{center} +\end{itemize} \end{relation} \begin{exa} @@ -542,7 +518,7 @@ F"ur ein Element \(x\in X\) k"onnen wir Aussagen betrachten: \item \(A(x)=x\in A\) \item \(B(x)=x\in B\) \end{enumerate} -\(A(x)\wedge B(x)=x\in (A\cap B)\) +$\longrightarrow \(A(x)\wedge B(x)=x\in (A\cap B)\)$ \end{exa} \subsection{Identit"aten der Aussagenlogik} @@ -566,7 +542,7 @@ F"ur ein Element \(x\in X\) k"onnen wir Aussagen betrachten: \end{enumerate} \end{relation} -\subsection{Widerspruchsbeweis} +\subsubsection{Widerspruchsbeweis} \label{sec:org54c9d02} Wenn wir die Konsequenz aus der Negation der zu beweisenden Aussage und die Pr"amisse zu einem widerspruch f"uhren so ist die Aussage bewiesen, denn: @@ -639,7 +615,7 @@ Idee: Man m"ochte Quadratische Gleichungen ohne reelle Nullstellen trotzdem l"osen, also erweitert man die reellen Zahlen. \begin{relation} -Die pototypische Quadratische Gleichungen ohne reelle L"osungen ist: \(x^2+1 = +Die prototypische Quadratische Gleichungen ohne reelle L"osungen ist: \(x^2+1 = -1\).\\ Man f"ugt K"unstlich die Zahl \(i\) hinzu mit \(i^2=-1\), m"oglichst unter Beibehaltung der "ublichen Rechenregeln: man braucht also die Zahlen \(b\cdot i : @@ -677,7 +653,7 @@ Man "uberpr"uft, dass die "ublichen Rechenregeln aus \(\mathbb{R}\) weiterhin gelten (\emph{K"orperaxiome}): F"ur \(z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C}\) gilt, z.B.: \begin{relation} \begin{itemize} -\item \(z_1\cdot (z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3\) +\item \(z_1\cdot (z_2+z_3)=z_1\cdot z_2+z_1\cdot z_3\) \item \(z_1\cdot (z_2\cdot z_3)=(z_1\cdot z_2)\cdot z_3\) \item \(z_1 + (z_2 + z_3)=(z_1 + z_2) + z_3\) \end{itemize} @@ -691,8 +667,8 @@ der der Form \(a+0\cdot i = (a,0)\), \(a\in \mathbb{R}\). \begin{definition}{Real- und Imagin"aranteil}{} F"ur \(z=a+b\cdot i\in \mathbb{C}\) heisst: \begin{itemize} -\item \(a:=:Re(z)\) Realanteil von \(z\) -\item \(b:=:Im(z)\) Imagin"aranteil von \(z\) +\item \(a:=Re(z)\) Realanteil von \(z\) +\item \(b:=Im(z)\) Imagin"aranteil von \(z\) \end{itemize} Also ist \(z=Re(z)+ Im(z)\cdot i\). @@ -702,8 +678,9 @@ Also ist \(z=Re(z)+ Im(z)\cdot i\). Die Zahlen der Form \(b\cdot i : b\in \mathbb{R}\) heissen \textbf{rein Imagin"ar}. \end{definition} -F"ur reele Zahlen wissen wir: \(\forall a\in \mathbb{R}\) mit \$a\textlnot{}= 0 \(\exists\) -\(a^{-1} \in \mathbb{R}\) mit \(a*a^{-1}=1\). Gilt das auch in \(\mathbb{C}\) ? +\subsection{Inverses zu einer komplexen Zahl} +F"ur reele Zahlen wissen wir: \(\forall a\in \mathbb{R}\) mit \(a\not= 0\;\exists\) +\(a^{-1} \in \mathbb{R}\) mit \(a\cdot a^{-1}=1\). Gilt das auch in \(\mathbb{C}\) ? \begin{definition}{Komplexe Konjugation}{} F"ur \(z\in \mathbb{C}\) heisst die Zahl \(\overline{z}:=a-bi\) die komplex @@ -722,12 +699,9 @@ konjugierte Zahl zu \(a+bi\). \(|z|:=\sqrt{x\cdot \overline{z}}=\sqrt{a^2+b^2}\) mit \(z=a+bi\). \end{definition} -\subsection{Inverses zu einer komplexen Zahl} \label{sec:org0018acd} -Das Inverse zu \(z\not= 0\): -\begin{relation} -\(z\cdot \frac{\overline{z}}{|z|^2}=1\) \\ -Also: \(\forall z\not= 0 \exists z^{-1} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}\) mit \(z \cdot z^{-1}=1\) +\begin{definition}{Inverses einer Komplexen Zahl}{ci} +Das Inverse einer Komplexen Zahl ist gegeben durch: \(\forall z\not= 0\; \exists z^{-1} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}\) mit \(z \cdot z^{-1}=1\) \end{relation} \begin{exa}[] \label{} \