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TeX
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\documentclass[slug=TEM, room=IFW, supervisor=?, coursedate=23.\ 01.\ 2020]{../../Lab_Report_LaTeX/lab_report}
\title{Transmissionselektronenmikroskop}
\author{Oliver Matthes, Valentin Boettcher}
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\usepackage[version=4]{mhchem}
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% bib
\addbibresource{protokoll.bib}
\begin{document}
\maketitle
\section{Einleitung}
\label{sec:einl}
Die Transmissionselektronenmikroskopie, kurz TEM, stellt in vielen Bereichen der Natur- und
Ingenieurswissenschaften sowie der Medizin ein wichtiges Verfahren zur Untersuchung von
anorganischen wie organischen Materialien auf deren atomare Struktur oder zur hohen Auflösung
diverser Materialien dar. Man nutzt hierzu Elektronen, da deren geringe Wellenlänge eine
deutlich genauere Auflösung ermöglicht (vgl.~\ref{eq:auflösung}) als beispielsweise
Röntgenstrahlung und diese einfacher zu handhaben sind als Gammastrahlung im gleichen
Wellenlängenbereich.
\begin{equation}\label{eq:auflösung}
\delta_{min} = 0.61 \cdot \frac{\lambda}{n \cdot \sin\alpha}
\end{equation}
\begin{conditions}
\delta_{min} & Auflösungsgrenze eines Lichtmikroskops\\
\lambda & Wellenlänge\\
n & Brechungsindex vor der Objektivlinse\\
\alpha & halber Öffnungswinkel des Objektivs
\end{conditions}
\subsection{Aufbau und Funktionsweise eines TEM}
\label{sec:aufbau}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{../protokoll/figures/aufbau_tem.png}
\caption{Schematische Darstellung des Aufbaus eines TEM mit Skizzierung des Strahlenverlaufs.}
\label{fig:aufbau}
\end{figure}
In~\ref{fig:aufbau} ist der Aufbau sowie der Strahlenverlauf eines TEM skizziert. Die Elektronen
werden in der Elektronenquelle erzeugt. Dies kann über mehrere verschiedene Verfahren geschehen.
\subsubsection{Elektronenquellen}
\label{sec:equellen}
Die einfachste Möglichkeit, eine Elektronenquelle aufzubauen, ist ähnlich der einer Glühbirne.
Dabei wird eine Wolfram-Haarnadel-Kathode als Emitter genutzt. Um Elektronen zu emittieren, wird
die Kathode erhitzt. Wenige Millimeter hinter der Kathode befindet sich die Wehneltelektrode mit
einem Potential von wenigen \(\SI{-100}{\volt}\). Durch diese Elektrode werden die Elektronen zur
optischen Achse hin gelenkt, sodass ein engster Bündelquerschnitt zwischen Wehneltelektrode und
Anode entsteht. Die Anode sorgt dafür, dass die Elektronen abgesaugt und beschleunigt werden.
Diese Art von Elektronenquellen nennt man wegen der Nutzung allein thermische Anregung zur
Emission \emph{thermische Elektronenquellen}.\\
Eine andere Möglichkeit stellt die \emph{Feldemissionsquelle} dar, die im Gegensatz zur
rein thermischen Quelle, einen fokussierteren Strahl erzeugen kann. Sie besteht aus einer
sehr dünnen Kathode (Spitzenkathode) mit einer Spitze, die aus Wolframdraht besteht, dessen
Radius ca. \(\SI{50}{\nano\metre}\) groß ist. Die Kathodenspitze ist so dünn damit man starke
elektrische Felder erzeugen kann, um Elektronen allein mit diesen aus der Kathode zu lösen.
Direkt hinter der Kathode befindet sich der Extraktor. Eine Elektrode, die sich auf einem
Potential von wenigen Kilovolt befindet. Wenn die Elektronen den Extraktor passiert haben werden
sie von der Anode beschleunigt. Bei der Feldemissionsquelle entsteht eine virtuelle Quelle,
die man meist mit Hilfe einer Linse nach der Anode in eine reelle Quelle umwandelt.\\
Eine dritte Möglichkeit ist die Kombination beider Quellarten zur so genannten
\emph{Schottky - Feldemissionsquelle}.
\subsubsection{Magnetische Linsen}
\label{sec:linsen}
Im TEM werden magnetische Rundlinsen verwendet. Diese bestehen aus zwei Spulen, die sich
gegenüber von einander angeordnet sind und in der sich jeweils ein
Kern und an dessen Ende ein Polschuh befinden. Durch die Symmetrie dieser Anordnung wird im
Polschuhspalt ein starkes Magnetfeld (\(\approx \SI{1}{\tesla} \text{bis} \SI{2}{\tesla}\))
erzeugt.
Die Variation der Brennweite der Linse erfolgt über eine Variation des Spulenstroms.
\subsubsection{Strahlenverlauf}
\label{sec:verlauf}
Mit Hilfe der Kondensorlinsen, die sich unter der Elektronenquelle befinden kann man die Größe
des bestrahlten Objektbereichs sowie die Beleuchtungsapertur einstellen.
Danach treffen die Elektronen auf das Objekt und werden von diesem entsprechend in ihrem
Verlauf beeinflusst.
In der hinteren Brennebene der Objektivlinsen wird das Beugungsbild erzeugt. Dort werden alle
Elektronen in einem Punkt vereinigt, die im selben Winkel das Objekt verlassen haben.
Nachdem der Strahl die Kontrastblende passiert hat entsteht das erste Zwischenbild. Dabei handelt
es sich bereits um ein Objektbild, das anschließen durch die Zwischen- und Projektivlinse stark
vergrößert und auf einen Leuchtschirm geworfen wird. Dieser Schirm kann hochgeklappt werden, um
zur Aufnahme von Bildern eine CCD-Kamera zu belichten.\\
Im Mikroskop herrscht ein Vakuum damit die Elektronen nicht schon auf ihrem Weg zum oder vom
Objekt an anderen Molekülen gestreut werden und das Objekt an sich nicht Kontaminiert wird. Um zu
verhindern, dass zum Beispiel durch Eingabe
des Objekts Schmutzmoleküle in das Mikroskop gelangen, wird das Objekt in eine Vakuumschleuse
eingeführt, die vor Eintritt in das Mikroskop ein Vakuum um das Objekt herum herstellt.
Außerdem wird ein Metallring als Kondensationsfalle im Mikroskop mit flüssigem Stickstoff
gekühlt, damit eventuelle störende Moleküle, an diesem kondensieren.
\subsection{Streuung von Elektronen}
\label{sec:streuung}
\subsubsection{Elastische Streuung}
\label{sec:elast}
Von elastischer Streuung spricht man, wenn die kinetische Energie des Elektrons vor und nach dem
Stoß gleich bleibt. Dabei wird ein Atom durch das Coulombpotential, das sich aus Atomkern und den
ihn umgebenden, abschirmend wirkenden Elektronen zusammensetzt.
\subsubsection{Unelastische Streuung}
\label{sec:inelast}
Inelastische Streuung erfolgt dann, wenn die Strahlelektronen mit den Hüllenelektronen der
Objektatome zusammenstoßen. Dabei überträgt das einfallende Elektron dem Hüllenelektron Energie,
die dazu führt, dass das Hüllenelektron entweder auf ein höheres Energieniveau geschubst wird
oder falls die übertragene Energie mindestens so groß wie die Bindungsenergie des Atoms ist,
sogar zur ionisiert wird. Bei Festkörpern kann es außerdem zu Verlusten aufgrund von
Phononenanregungen sowie Plasmonen kommen.\\
Diese Energieverluste, die vor allem bei Ionisierungsverlusten elementspezifisch sind, werden bei
der Elektronenenergieverlustspektroskopie aufgezeichnet. Dadurch können Rückschlüsse auf die
Zusammensetzung des untersuchten Materials gezogen werden.
\subsubsection{Streuung an dünnen Folien}
\label{sec:folie}
Da man die untersuchten Objekte mit Elektronen durchleuchten möchte, müssen diese dünn sein,
so dünn, dass man sie als Folien beschreiben kann. Bei dieser Betrachtungsweise geht man von
Einfachstreuungen aus, da die Amplitude der einfallenden Welle so stark abgeschwächt wird, dass
man sie vernachlässigen kann. Diese Annahme der Einfachstreuung nennt man kinematische Näherung.
Die gestreute Welle ergibt sich dann als Summe, ergo Interferenz, der Einzelwellen.
Wichtig für die Betrachtung ist des Weiteren die Unterscheidung der Folien in verschiedene
Materialien: amorph, einkristallin und polykristallin.\\
Amorph sind Materialien dann, wenn die Atome bzw. Moleküle aus denen sie bestehen in keiner
strukturierten oder periodischen Ordnung zu einander stehen, sondern zufällig zu einander
ausgerichtet sind. Das Beugungsbild ergibt sich zu konzentrischen Kreisen, die allerdings nicht
unbedingt einzeln erkennbar sein müssen, da sie eher verschmiert aussehen. Aus diesem Beugungsbild
kann man den Abstand, den die Atome zu einander haben, berechnen.\\
Kristalline Strukturen beschreibt man in dem man die Elementarzellen, die die Grundstruktur des
Kristalls darstellen, verschiebt, um somit den gesamten Kristall aus diesen aufzubauen.
Anschließend kann man in den Kristall Netzebenen, parallele, äquidistante Ebenen, die die selbe
Periodizität aufweisen wie die Beschreibung der Elementarzellen mittels Punktgitter, legen und
mit Hilfe der Bragg-Gleichung eine Bedingung für konstruktive Interferenz aufstellen.
\begin{equation}\label{eq:bragg}
2 \cdot d_{hkl} \sin\vartheta = n \cdot \lambda, n=1,2,3,...
\end{equation}
Dabei ist \(d_{hkl}\) der Abstand der Netzebenen im kubischen Gitter:
\begin{equation}\label{eq:netz}
d_{hkl} = \frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}
\end{equation}
\begin{conditions}
\vartheta & Einfallswinkel der Welle zur Netzebene\\
\lambda & Wellenlänge\\
a & Gitterkonstante
\end{conditions}
Das Beugungsbild von einkristallinen Folien besteht aus einem Muster aus regelmäßig angeordneten
Punkten, das man das Laue-Diagramm nennt.\\
Bei polykristallinen Proben erhält man als Beugungsmuster Debye-Scherer-Ringe, also konzentrisch
angeordnete Kreise. Mit Hilfe des \(r_{hkl}\) Radius dieser Ringe lässt sich auf den Abstand der
Netzebenen stellen:
\begin{equation}\label{eq:scherer}
r_{hkl} = \frac{\lambda L}{d_{hkl}}
\end{equation}
\begin{conditions}
L & Beugungslänge\\
\lambda & Wellenlänge
\end{conditions}
\subsection{Kontrastentstehung}
\label{sec.kontrast}
Im TEM werden zwar dünne Objekte mit dem Elektronenstrahl durchleuchtet, das Bild entsteht aber,
wie vorher schon mehrfach angedeutet, nicht durch Absorption der Elektronen, sondern durch
Beugung und Streuung dieser an den Atomen der untersuchten Materialien.
Dabei kann man zwischen verschiedenen Kontrastentstehungen unterscheiden. Unter dem
\emph{Streuabsorptionskontrast} werden \emph{Dickenkontrast}, der auf der stärkeren Streuung der
Elektronen an dickeren oder einfach stärker streuenden Stellen in der Probe basiert und
entsprechende Stellen im Bild dunkler erscheinen lässt sowie
\emph{Materialkontrast}, bei dem im Bild ein Helligkeitsunterschied durch verschiedene
Kernladungszahlen herrühren, wobei eine größere Kernladungszahl dunklere Stellen im Bild bedeutet,
zusammengefasst.
Bei dieser Betrachtung wird von inkohärenten Streuwellen ausgegangen, ist also vor allem für
amorphe Objekte wichtig.
Man kann den Kontrast eines Objekts erhöhen in dem man es beispielsweise mit einer dünnen
Metallschicht bedampft.\\
\emph{Beugungskontrast} geht von kohärenten Streuwellen aus, weswegen es für das Betrachten
von kristallinen Stoffen wichtig ist. Die Intensität des gebeugten sowie des Nullstrahls hängt
von der Orientierung des Kristallgitters zur Richtung des einfallenden Strahls ab. Wenn die
belichtete Folie leicht gewölbt ist, ändert sich die Orientierung des Gitters kontinuierlich.
Dabei kann es vorkommen, dass ein Ort in der Wölbung die Bragg-Bedingung (vgl.~\ref{eq:bragg})
erfüllt, wodurch diese Stelle in der Hellfeldabbildung (Dunkelfeldabbildung) dunkler (heller)
erscheint, da mehr Elektronen gebeugt werden. Man spricht in diesem Fall von Biegekonturen, da
diese Effekte von der Biegung, also Wölbung der Folie herrühren.
\begin{description}
\item[Hellfeldmethode] Um den Kontrast des Bildes weiter zu erhöhen, bringt man eine Kontrastblende in die hintere
Brennebene des Objektivs. Dadurch werden Elektronen die stärker als einen bestimmten Winkel
gestreut werden, von dieser absorbiert. Stellt man die Linse so ein, dass nur der Nullstrahl zur
Abbildung genutzt wird, spricht man von der Hellfeldmethode, da Stellen im untersuchten Material,
die den Elektronenstrahl stärker streuen, im Bild dunkler erscheinen.
\item[Dunkelfeldmethode] Die Dunkelfeldmethode ist im Grunde das Gegenteil zur Hellfeldmethode. Bei dieser Methode wird die
Kontrastblende so eingestellt, dass nur gestreute Elektronen zur Bildentstehung genutzt werden.
Dadurch erscheinen stärker streuende Stellen im Objekt heller. Der Kontrast der durch diese
Methode erzeugt werden kann, ist zwar um in der Regel mehr als eine Größenordnung geringer
als bei der Hellfeldmethode, allerdings ist es mit Hilfe dieser Methode möglich, feinere
Strukturen als mit der Hellfeldmethode aufzulösen.
\end{description}
\section{Durchf\"uhrung und Auswertung}
\label{sec:durchaus}
% TODO: allgemeines zu sensitivitaet der Kamera, bedienung
Nach Inbetriebnahme des TEM durch auff\"ullen der K\"uhlfalle mit
fl\"ussigem Stickstoff und einschleusen des Probehalters wurden
verschiedene Aufnahmen angefertigt.
Die Probe selbst besteht aus einer Kohlenstofffolie auf einem
Kupfernetz. Auf der Kohlenstofffolie sind wiederum Latexk\"ugelchen und
Goldinseln aufgebracht.
Die Aufnahmen wurden mit einer Slowscan-CCD Kamera angefertigt,
wobei zum Schutz des Szintillators vor der Kamera unbedingt auf die
Intensität des Elektronenbildes geachtet werden muss.
\subsection{Bildaufnahme von Latexkügelchen}
\label{sec:latex}
Um den Fokus einzustellen wurde zunächst eine auf Kohlenstofffolie
befindliche Latexkugel abgebildet. Zu erst wurde der Fokus möglichst
gut eingestellt und anschließend der Fokus gleichermaßen stark in den
Über- bzw. Unterfokus verschoben. Zur groben Fokussierung wurde zuerst
der Probenhalter verfahren und dann der Defokus des Linsensystem zur
Feinjustage eingestellt.
\begin{figure}[h]
\centering
\begin{subfigure}{.29\textwidth}
\includegraphics[width=.8\textwidth]{../messungen/Fokus_Latex/auswertung/Fokus0m.jpg}
\caption{Fokus.\\ Defokus \SI{4.49}{\micro\meter}.}
\label{fig:fokus}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}{.29\textwidth}
\includegraphics[width=.8\textwidth]{../messungen/Fokus_Latex/auswertung/Fokus20m.jpg}
\caption{Unterfokus.\\ Defokus \SI{25.25}{\micro\meter}.}
\label{fig:unterfok}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}{.29\textwidth}
\includegraphics[width=.8\textwidth]{../messungen/Fokus_Latex/auswertung/Fokus-20m.jpg}
\caption{Überfokus.\\ Defokus \SI{-15.85}{\micro\meter}.}
\label{fig:uberfok}
\end{subfigure}
\caption{Abbildungen der Latexkugeln mit verschiedenen
Fokuseinstellungen.}
\label{fig:latex}
\end{figure}
In~\ref{fig:latex} kann das Resultat der verschiedenen
Fokuseinstellungen eingesehen werden. Allgemein ist im Zentrum des
Bildes ein Latexk\"ugelchen zu sehen, wobei sich im Hintergrund der
Kohlenstofffilm samt L\"ochern und Goldinseln befindet. Dabei ist die
Latexkugel in~\ref{fig:fokus} im Fokus. In~\ref{fig:unterfok} erkennt
man einen Unterfokus, da sich ein etwas hellerer Ring innerhalb der
Kugel gebildet hat und die Kugel von einem schwarzen Rand umgeben
ist. In~\ref{fig:uberfok} hingegen ist ein Überfokus erkennbar, da die
Kugel nun von einem hellen Ring umgeben wird. Diese Ringe entstehen
durch Fresnel-Beugungseffekte. Beim Überfokus wird eine Ebene hinter
dem Objekt abgebildet, beim Unterfokus eine Ebene davor, beim Fokus
wird die Ebene, in der sich das Objekt befindet, abgebildet. Durch
die Fresnel-S\"aume steigt der Kontrast, sodass der Kontrast in der
fokussierten Abbildung am geringsten ist. Der leichte ``Schatten'' des
Latexk\"ugelchen ist eine Anisotropie und l\"asst auf eine (wenn auch
sehr geringe) Verkippung des Probenhalters schließen.
Zur praktischen Einstellung des Fokus war allerdings die Darstellung
des Absolutbetrages der Fouriertransformierten
(Leistungsspektrumsdichte) des Bildes hilfreich. Diese ist f\"ur die
drei Fokussituationen in~\ref{fig:latex_kugel-latex_fft}
abgebildet. Im unter und \"uberfokussierten Bild sind deutlich recht
scharf begrenzte Ringe zu sehen, welche beim fokussierten Bild fehlen
(diese sorgen vermutlich unter anderem f\"ur den erh\"ohten Kontrast
im Bild). Diese Ringe werden als sog. Thon-Ringe bezeichnet und
k\"onnen als Resultat der \"Ubertragunstheorie erkl\"art werden. So
wird die Fouriertransformierte in Radialrichtung durch die
sog. Kontrast\"ubertragungsfunktion moduliert in die neben
Abbildungsfehlern auch der Defokus.~\cite{WADE1992145} N\"ahert man
sich dem Fokus, so wandern die Ringe zum Zentrum. Ein Astigmatismus
w\"urde sich in Anisotropien in der FFT \"au\ss{}ern und ist hier
nicht in hohem Ma\ss{}e zu erkennen.
\begin{figure}[h]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{../auswertung/figs/latex_kugel/latex_fft.pdf}
\caption{Die Darstellung des Absolutbetrages der
Fouriertransformierten der Bilder der Latexkügelchen
(\ref{fig:latex}). Niedrige Frequnzen sind in der Mitte der
Bilder zentriert.}
\label{fig:latex_kugel-latex_fft}
\end{figure}
\subsection{Hochaufgel\"oste Abbildung von Goldinseln}
\label{sec:hrtem}
Nach dem Auffinden einer geeigneten Ansammlung von Goldinseln und erneuter
Fokussierung wurden mehrere HRTEM Bilder dieser Ansammlung
aufgenommen. Dabei war deutlich ein Drift durch die thermische
L\"angen\"anderung des Objekttr\"agers zu erkennen.
Aus diesen Abbildungen sind in bestimmten Bereichen deutlich
Atomreihen zu erkennen (siehe auch~\ref{fig:hrtem}). Diese Regionen
wurden mit der Software \verb|Digital Micrograph| ausgew\"ahlt und
weitergehend ausgewertet
(siehe~\ref{fig:gold_hires-detail_1}). In~\ref{fig:gold_hires-detail_2}
ist gut zu erkennen, dass der Kontrast am Rand der Goldinsel besser
ist, da dort die Goldschicht d\"unner ist. Der bessere Kontrast
k\"onnte sich aus weniger Fehlstellen und allgemein weniger starker
Streuung (Absorption am Linsenpolschuh) ergeben. Auch erscheinen die
Netzebenen heller als Effekt des Beugungskontrastes heller als der
Hintergrund. Es sollte also generell vermieden werden, die HRTEM
Abbildung wie die Abbildung eines Lichtmikroskopes zu interpretieren.
% TODO: in theorie
% https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Simulation_GaN.png einbinden
Anschließend konnte durch Bildung eines Intensitätsprofils die
Abst\"ande der sichtbaren Reihen (= Netzebenen) errechnet
werden. Dabei wurde jeweils \"uber die Breite eines Rechtecks
(siehe~\ref{fig:gold_hires-detail_1}), welches senkrecht zu den
Netzebenen orientiert wurde, integriert. Die entstandenen Profile
wurden jeweils in Bereichen, in denen der Peakabstand konstant schien
auf Peaks analysiert (siehe~\ref{fig:gold_hires-profile_1}). Der
gemittelte Peakabstand ergab dann die Netzebenenabst\"ande
in~\ref{tab:hrtemnetz}. Die statistische Abweichung ergibt sich aus
der Standardabweichung der Peakabst\"ande (geteilt durch die Wurzel
der Anzahl der Peaks). Die systematische Abweichung ergibt sich
gem\"a\ss{} der Fehlerfortpflanzung zu
\(\Delta d = \frac{\Delta x}{n}\), wobei \(n\) die Anzahl der Peaks
und \(\Delta x = \SI{0.037}{\nano\meter}\) die Ortsaufl\"osung des
Profils ist.
\begin{table}[h]
\centering
\begin{tabular}{S|SSS}
\toprule
{Aufn. Nr.} & {\(d\) [\si{\nano\meter}]} & {\(\Delta d_{syst}\)
[\si{\nano\meter}]} &
{\(\Delta
d_{stat}\)
[\si{\nano\meter}]}\\
\midrule
1 & 0.204 & 0.007 & 0.007 \\
2 & 0.245 & 0.005 & 0.006 \\
3 & 0.2336 & 0.0037 & 0.0047 \\
4 & 0.241 & 0.005 & 0.006 \\
\end{tabular}
\caption[HRTEM Netzebenenabst\"ande]{Aus den HRTEM Aufnahmen
ermittelte Netzebenenabst\"ande}
\label{tab:hrtemnetz}
\end{table}
\begin{figure}[hpt]\centering
\subfloat[Aufnahme 1]{%
\begin{subfigure}{.29\textwidth}
\centering \resizebox{1\textwidth}{!}{%
\input{../auswertung/figs/gold_hires/profile_1.pgf} }
\caption{Intenit\"atsprofil.}
\label{fig:gold_hires-profile_1}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}{.29\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=.8\textwidth]{../messungen/gold_hires/auswertung/1/insel/Gold_1.jpg}%
\caption{Gesamtbild.}
\label{fig:gold_hires-picture_1}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}{.29\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=.8\textwidth]{../messungen/gold_hires/auswertung/1/insel/Gold_1s.jpg}%
\caption{Ausschnitt.}
\label{fig:gold_hires-detail_1}
\end{subfigure}
}
\vspace{.5cm}
\subfloat[Aufnahme 2]{%
\begin{subfigure}{.29\textwidth}
\centering \resizebox{1\textwidth}{!}{%
\input{../auswertung/figs/gold_hires/profile_4.pgf} }
\caption{Intenit\"atsprofil.}
\label{fig:gold_hires-profile_2}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}{.29\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=.8\textwidth]{../messungen/gold_hires/auswertung/4/insel/Gold_4.jpg}%
\caption{Gesamtbild.}
\label{fig:gold_hires-picture_2}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}{.29\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=.8\textwidth]{../messungen/gold_hires/auswertung/4/insel/Gold_4s.jpg}%
\caption{Ausschnitt.}
\label{fig:gold_hires-detail_2}
\end{subfigure}
}
\vspace{.5cm}
\subfloat[Aufnahme 3]{%
\begin{subfigure}{.29\textwidth}
\centering \resizebox{1\textwidth}{!}{%
\input{../auswertung/figs/gold_hires/profile_6.pgf} }
\caption{Intenit\"atsprofil.}
\label{fig:gold_hires-profile_3}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}{.29\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=.8\textwidth, ]{../messungen/gold_hires/auswertung/6/zwei _richtungen/diag_6.jpg}%
\caption{Gesamtbild.}
\label{fig:gold_hires-picture_3}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}{.29\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=.8\textwidth]{../messungen/gold_hires/auswertung/6/zwei _richtungen/diag_6s.jpg}%
\caption{Ausschnitt. Auswahlrechteck fehlt.}
\label{fig:gold_hires-detail_3}
\end{subfigure}
}
\vspace{.5cm}
\subfloat[Aufnahme 4]{%
\begin{subfigure}{.29\textwidth}
\centering \resizebox{1\textwidth}{!}{%
\input{../auswertung/figs/gold_hires/profile_10.pgf} }
\caption{Intenit\"atsprofil.}
\label{fig:gold_hires-profile_4}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}{.29\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=.8\textwidth, ]{../messungen/gold_hires/auswertung/10/1/Gold_10.jpg}%
\caption{Gesamtbild.}
\label{fig:gold_hires-picture_4}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}{.29\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=.8\textwidth]{../messungen/gold_hires/auswertung/10/1/Gold_10s.jpg}%
\caption{Ausschnitt.}
\label{fig:gold_hires-detail_4}
\end{subfigure}
}
\caption[HRTEM Aufnahmen]{HRTEM Aufnahmen einer Gruppe von Goldinseln
mit Detailausschnitt und Intensitätsprofil, integriert aus den
blauen Rechtecken in den Ausschnitten.}\label{fig:hrtem}
\end{figure}
% todo: formel index kub. Gitter
Da f\"ur die Netzebenenabst\"ande im kubischen Gitter mit der
Gitterkonstante \(a\)
\begin{equation}
\label{eq:cubd}
d_{hkl} = \frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}
\end{equation}
gilt k\"onnen durch durch Multiplikation des gemessenen Abstandes mit
\({\sqrt{h^2+k^2+l^2}}\) f\"ur verschiedene \(h,k,l\in\mathbb{N}\) und
Vergleich mit dem Literaturwert
\(a_{lit}=\SI{.4078}{\nano\meter}\)~\cite{Wyckoff1968} die plausibelsten
Netzebenen ermittelt werden.
\begin{table}[h]
\centering
\begin{tabular}{SS|SSSS}
\toprule
{Aufn. Nr.} & {\(\sqrt{h^2+k^2+l^2}\)} & {\(a\) [\si{\nano\meter}]} &
{\(\Delta a_{syst}\)
[\si{\nano\meter}]} &
{\(\Delta
a_{stat}\)
[\si{\nano\meter}]}
& {\(|a-a_{lit}|\) [\si{\nano\meter}]}\\
\midrule
1 & \(\sqrt{4}\) & 0.409 & 0.013 & 0.013 & 0.001 \\
2 & \(\sqrt{3}\) & 0.424 & 0.009 & 0.010 & 0.016 \\
3 & \(\sqrt{3}\) & 0.405 & 0.006 & 0.008 & 0.003 \\
4 & \(\sqrt{3}\) & 0.418 & 0.008 & 0.010 & 0.010 \\
\end{tabular}
\caption[HRTEM Gitterkonstanten]{Aus den HRTEM Aufnahmen
ermittelte Gitterkonstanten.}
\label{tab:hrtemas}
\end{table}
\ref{tab:hrtemnetz} Zeigt die gewonnenen
Gitterkonstanten. Interessanterweise weist Messung \(2\) den
gr\"o\ss{}ten Abstand zum Literaturwert auf und hat dennoch nicht die
gr\"o\ss{}ten Fehlergrenzen. Falls die Profilbildung nicht genau
senkrecht zu den Netzebenen erfolgt, ergeben sich nicht gut
quantifizierbare Abweichungen. Das ist hier wahrscheinlich der Fall. In
allen F\"allen liegt der Literaturwert jedoch innerhalb der
kombinierten Fehlergrenzen.
Die zwei dazugeh\"origen Netzebenen (ohne Permutation) sind
in~\ref{tab:netzhrtem} einzusehen.
\begin{table}[h]
\centering
\begin{tabular}{ll}
\toprule
\(\sqrt{h^2+k^2+l^2}\) & Netzebenen \\
\midrule
\(\sqrt{3}\) & \(\mqty(1 & 1 & 1)\) \\
\(\sqrt{4}\) & \(\mqty(2 & 0 & 0)\) \\
\end{tabular}
\caption{Netzebenen zu den \(\sqrt{h^2+k^2+l^2}\) aus der HRTEM Messung.}
\label{tab:netzhrtem}
\end{table}
Durch gewichtetes mitteln der Gitterkonstanten aus~\ref{tab:hrtemas}
wird die resultierende Gitterkonstante ermittelt. Die Gewichte ergeben
sich dabei aus \(w_i = (\Delta a_{syst} + \Delta a_{stat})^{-2}\). Mit
eben diesen Gewichten wird auch die systematische Abweichung nach
Fehlerfortpflanzung zu \((\sum_i w_i)^{-1/2}\)
bestimmt~\cite{Aachen}. Die statistische Abweichung ergibt sich durch
die gewichtete Standardabweichung (Wurzel aus dem gewichteten Mittel
der quadratischen Abweichungen vom Mittelwert) aus den vier
Messwerten.
\begin{equation}
\label{eq:ahrtem}
a_{HRTEM} = \SI[parse-numbers=false]{0.413\pm 0.009\,(sys)\pm 0.008\,(stat)}{\nano\meter}
\end{equation}
Der wert in~\eqref{eq:ahrtem} stimmt innerhalb der Abweichungsgrenzen
mit der Literatur \"uberein, wobei er leicht oberhalb desselben liegt.
\subsection{Elektronenbeugungsbild einer Goldinsel}
\label{sec:golddiffr}
Nach dem Einbringen eines Beamstoppers zur Ausblendung des
Nullstrahles zum Schutze der Kamera wurde eine Serie von
Elektronenbeugungsbildern aufgenommen. Dabei ist Drift durch
thermische Ausdehnung unerheblich, da h\"ochstens die
Helligkeitsinhomogenit\"aten in den Beugungsringen verschoben
w\"urden. Es wurden zur Rauschreduzierung 10 Beugungsbilder
aufgenommen und gemittelt. Das resultierende Beugungsbild ist
in~\ref{fig:ebeug_orig} dargestellt. Deutlich kann man die durch die
zuf\"allige Ausrichtung der Kristallite in den Goldinseln entstehenden
Debye-Scherrer Ringe erkennen, wobei in den Ringen Inhomogenit\"aten
durch Vorzugsrichtungen auftreten. Die L\"angenskala der Abbildung ist
dabei so kalibriert, dass sich der Netzebenenabstand direkt aus den
Radien \(r_{hkl}\) der Beugungsringe ergibt.
\begin{equation}
\label{eq:beugrad}
d_{hkl} = \frac{1}{r_{hkl}} \pm \frac{\delta r_{hkl}}{r_{hkl}^2}
\end{equation}
Um \"uber gesamte L\"ange der Ringe mitteln zu k\"onnen, wird das Bild
polartransformiert (siehe~\ref{fig:ebeug_polar}). Vor dem ersten
Beugungsring ist ein artefaktartiger Ring zu erkennen, der nicht
konzentrisch zu den anderen ringen ist. Bildet man nun das Profil
durch Integration der gesamten H\"ohe des Bildes und bestimmt die
Peakpositionen, so l\"asst sich die Netzebenenabst\"ande berechnen
(siehe~\ref{fig:gold_diffr-profile}). Die systematische Unsicherheit
ist durch die Aufl\"osung des Profils von
\(\Delta r_{hkl}=\SI{3.3e-2}{\nano\meter^{-1}}\) gegeben. Die
statistische Abweichung ist durch die Standardbreite der Peaks gegeben.
Von da an kann die Gitterkonstante analog zu~\ref{sec:hrtem} bestimmt
werden. Die Netzebenenabst\"ande zu den einzelnen Peaks sind
in~\ref{tab:diffrnetz} aufgelistet und die zugeordneten Werte f\"ur die
Gitterkonstante k\"onnen in~\ref{tab:diffras} eingesehen werden. Die
dazugeh\"origen Netzebenen sind in~\ref{tab:netzdiffr}
aufgelistet. Dabei ist der vierte Peak nur unter Vergr\"o\ss{}erung
des Graphen in~\ref{fig:gold_diffr-profile} zu erkennen, liefert aber
einen Wert in er richtigen Gr\"o\ss{}enordnung. Die statistische
Abweichung wird bei diesem Peak allerdings grob untersch\"atzt.
\begin{table}[h]
\centering
\begin{tabular}{S|SSS}
\toprule
{Peak Nr.} & {\(d\) [\si{\nano\meter}]} & {\(\Delta d_{syst}\)
[\si{\nano\meter}]} &
{\(\Delta
d_{stat}\)
[\si{\nano\meter}]}\\
\midrule
1 & 0.2183 & 0.0016 & 0.0072 \\
2 & 0.1933 & 0.0012 & 0.0028 \\
3 & 0.1331 & 0.0006 & 0.0027 \\
4 & 0.12041 & 0.00048 & 0.00021 \\
5 & 0.1136 & 0.0004 & 0.0024 \\
6 & 0.08500 & 0.00024 & 0.00177 \\
7 & 0.07721 & 0.00020 & 0.00087 \\
8 & 0.07329 & 0.00018 & 0.00060 \\
9 & 0.06415 & 0.00014 & 0.00080 \\
\end{tabular}
\caption[Netzebenenabst\"ande aus dem Gold Beugungsbild.]{Aus dem
Gold beugungsbild~\ref{fig:ebeug_orig} ermittelte
Netzebenenabst\"ande.}
\label{tab:diffrnetz}
\end{table}
\begin{table}[h]
\centering
\begin{tabular}{SS|SSSS}
\toprule
{Peak. Nr.} & {\(\sqrt{h^2+k^2+l^2}\)} & {\(a\) [\si{\nano\meter}]} &
{\(\Delta a_{syst}\)
[\si{\nano\meter}]} &
{\(\Delta
a_{stat}\)
[\si{\nano\meter}]}
& {\(|a-a_{lit}|\) [\si{\nano\meter}]}\\
\midrule
1 & \(\sqrt{4}\) & 0.4366 & 0.0031 & 0.0144 & 0.029 \\
2 & \(\sqrt{4}\) & 0.3865 & 0.0025 & 0.0056 & 0.021 \\
3 & \(\sqrt{8}\) & 0.3764 & 0.0017 & 0.0077 & 0.031 \\
4 & \(\sqrt{11}\) & 0.3994 & 0.0016 & 0.0007 & 0.008 \\
5 & \(\sqrt{12}\) & 0.3937 & 0.0015 & 0.0084 & 0.014 \\
6 & \(\sqrt{24}\) & 0.4164 & 0.0012 & 0.0087 & 0.009 \\
7 & \(\sqrt{27}\) & 0.4012 & 0.0010 & 0.0045 & 0.007 \\
8 & \(\sqrt{32}\) & 0.4146 & 0.0010 & 0.0034 & 0.007 \\
9 & \(\sqrt{40}\) & 0.4057 & 0.0009 & 0.0050 & 0.002 \\
\end{tabular}
\caption[Gitterkonstanten aus den Beugungsringen]{Aus dem
Beugungsbild (\ref{fig:ebeug})
ermittelte Gitterkonstanten.}
\label{tab:diffras}
\end{table}
\begin{table}[h]
\centering
\begin{tabular}{ll}
\toprule
\(\sqrt{h^2+k^2+l^2}\) & Netzebenen \\
\midrule
\(\sqrt{4}\) & \(\mqty(2 & 0 & 0)\) \\
\(\sqrt{8}\) & \(\mqty(2 & 2 & 0)\) \\
\(\sqrt{11}\) & \(\mqty(3 & 1 & 1)\) \\
\(\sqrt{12}\) & \(\mqty(2 & 2 & 2)\) \\
\(\sqrt{24}\) & \(\mqty(4 & 2 & 2)\) \\
\(\sqrt{27}\) & \(\mqty(3 & 3 & 3)\), \(\mqty(5 & 1 & 1)\) \\
\(\sqrt{32}\) & \(\mqty(4 & 4 & 0)\) \\
\(\sqrt{40}\) & \(\mqty(6 & 2 & 0)\) \\
\end{tabular}
\caption{Netzebenen zu den \(\sqrt{h^2+k^2+l^2}\) aus dem Beugungsbild.}
\label{tab:netzdiffr}
\end{table}
\begin{figure}[hp]
\centering
\begin{subfigure}{.4\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{../messungen/gold_diffr/Gold_diffr_m.jpg}%
\caption{Gemitteltes Elektronenbeugungsbild von Gold. Die
Debye-Scherrer Ringe sind gut zu erkennen. Der rote Ring dient
zur Kalibrierung der Polartransformation.}%
\label{fig:ebeug_orig}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}{.4\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{../messungen/gold_diffr/mean of Gold_diffr_Pol.jpg}%
\caption{Polartransformation des Beugungsbild zur Erleichterung
der Profilberechnung. Das Auswahlrechteck spiegelt nicht den
Integrationsbereich wieder. Tats\"achlich wurde bei der
Profilbildung \"uber die gesamte Breite integriert.}%
\label{fig:ebeug_plolar}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}{\textwidth}
\centering \resizebox{1\textwidth}{!}{%
\input{../auswertung/figs/gold_diffr/profile.pgf}}
\caption{Integriertes Intensit\"atsprofil des
Beugungsbildes. Nummerierung der Peaks von links nach rechts.}%
\label{fig:gold_diffr-profile}
\end{subfigure}
\caption{Elektronenbeugungsbild von Goldinseln.}
\label{fig:ebeug}
\end{figure}
Die Gitterkonstante ergibt sich wieder durch gewichtete Mittelung.
\begin{equation}
\label{eq:ahrtem}
a_{DIFFR} = \SI[parse-numbers=false]{0.4016\pm 0.0017\,(sys)\pm 0.0089\,(stat)}{\nano\meter}
\end{equation}
Auch dieser Wert ist innerhalb der Unsicherheitsgrenzen mit dem
Literaturwert vertr\"aglich liegt aber unter selbigen. Mittelt man die
Beiden werte f\"ur die Gitterkonstante ungewichtet (da hier nur zur
Illustration gedacht), erhält man
\(a=\SI{.4037}{\nano\meter}\). Dieser Wert stimmt bis auf eine
Nachkommastelle mit der Literatur \"uberein.
Die werte f\"ur die Gitterkonstanten sind jeweils innerhalb der
Ungenauigkeitsgrenzen (summiert) miteinander und der Literatur
kompatibel. Die Diskrepanz der beiden Werte von ca.~\SI{3}{\percent}
kann durch statistische Schwankungen erkl\"art werden. Weiterhin ist
die Genauigkeit der Eichung des TEM nicht bekannt. Die direkte
Vermessung der Netzebenenabst\"ande ist zwar instruktiv, aber der
Messung aus dem Beugungsbild hier in der systematischen Abweichung
unterlegen. Auch l\"asst sich die Vermessung des Beugungsbildes besser
automatisieren.
\subsection{Hell- und Dunkelfelabbildung eines Molybd\"anoxidkristalls.}
\label{sec:molyb}
Nachdem einem Probenwechsel wurden nun Molybd\"anoxidkristalle in
Hell- und Dunkelfeldabbildung aufgenommen (siehe~\ref{fig:molpicts}).
Um die Hellfeldaufnahme zu erzeugen, wurde die Anzeige des TEM auf die
Beugungsebene umgeschaltet und dann mit einer Blende (in einer anderen
Beugungsebene) alle Beugungsreflexe ausser dem Nullstrahl
ausgeblendet. Nach anschlie\ss{}endem Umschalten auf die Bildebene war
nun die Hellfeldabbildung zu erkennen. Bei der Dunkelfelabbildung
wurde analog verfahren, wobei diesmal mehrere Beugungsreflexe unter
Ausschluss des Nullstrahls eingeblendet wurden.
\begin{figure}[htp]
\centering
\begin{subfigure}{.3\textwidth}
\includegraphics[width=\textwidth]{../messungen/molybdän/auswertung/mol_mit_BLENDE_dunkelfeld_m.jpg}
\caption{Dunkelfeldabbildung}%
\label{fig:molpicts_df}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}{.3\textwidth}
\includegraphics[width=\textwidth]{../messungen/molybdän/auswertung/mol_mit_BLENDE_m.jpg}
\caption{Hellfeldabbildung}
\label{fig:molpicts_hf}
\end{subfigure}
\begin{subfigure}{.3\textwidth}
\includegraphics[width=\textwidth]{../messungen/molybdän/auswertung/mol_ohne_BLENDE_m.jpg}
\caption{Abbildung ohne Blende}
\label{fig:molpicts_n}
\end{subfigure}
\caption{Hellfeld-, Normal- und Dunkelfelabbildung eines Molybd\"anoxidkristalls.}
\label{fig:molpicts}
\end{figure}
Die Normale Abbildung zeigt deutlich die regul\"are Kristallstruktur
des Molybdänoxids und weist im Zentrum des Kristalls mehere in
komplexer weise Kontrastierende Strukturen auf (helle und dunkle
S\"aume). Diese sind in der Hellfeldabbildung, in der nur ungestreute
Elektronen beitragen erwartungsgem\"a\ss{} als Dunkle, scharf
begrenzte Konturen abgebildet. Die Dunkelfeldabbildung ist
dementsprechend an der zentralen Kontur sehr hell.
\subsection{Beugungsbild eines Molybdänoxidkristalls}
%\begin{figure}[h]
% \centering
% \includegraphics[width=0.8\textwidth]{../messungen/molybdän/auswertung/MoO_diffr_5_m.jpg}%
% \caption{Beugungsbild des Molybdänoxidkristalls.}
% \label{fig:molbeug}
%\end{figure}
In~\ref{fig:molbeug} ist das Beugungsbild des Molybdänoxidkristalls zu erkennen, der
in~\ref{feldabbildung} abgebildet wurde. Es ist eine gitterförmige Struktur in der Anordnung der
Beugungspunkte zu erkennen, was auf einen Einkristall schließen lässt. Einiger dieser Punkte sind
deutlich heller als andere, was bedeutet, das an einigen Stellen des Kristalls mehr Elektronen
gebeugt werden als an anderen.
\section{Zusammenfassung}
\label{sec:zusfassung}
Mit Hilfe dieses Versuches konnten Einblicke in die Transmissionselektronenmikroskopie erlangt
werden. Zunächst wurde die prinzipielle Vorgehensweise durch Fokussierung einer Latexkugel
deutlich gemacht. Anschließen wurde mit einer HRTM-Aufnahme von auf eine Kohlenstofffolie
aufgebrachten Goldinseln und darauffolgender Auswertung der Bilder auf quantitative
Auswertungsmethoden der TEM eingegangen. Dabei wurde die Gitterkonstante von Gold bestimmt, der
recht nah am Literaturwert liegt sowie auf verschiedene Netzebenen geschlossen. Mittels des
Elektronenbeugungsbildes der Goldinseln, das wegen der polykristallinen Struktur des Goldes,
Debye-Scherer-Ringe aufwies konnte als ein alternatives Verfahren zur Auswertung mit Hilfe eines
Realbildes ebenfalls auf die Gitterkonstanten von Gold sowie auf dessen Netzebenen geschlossen
werden. Am Beispiel von Molybdänoxidkristallen wurden qualitativ die Unterschiede der Hellfeld-
und Dunkelfeldabbildung deutlich gemacht. Anhand des Beugungsbildes dieses Kristalls konnte
gefolgert werden, dass es sich beim beobachteten Kristall um einen Einkristall handelte, da
dieses deutlich die Struktur eines Laue-Diagramms aufwies.
\newpage
\section{Verzeichnisse}
\label{sec:literatur}
\listoffigures
\listoftables
\printbibliography
\end{document}
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