\documentclass[slug=LM, room=Andreas-Schubert-Bau\,\ K\ 1A, supervisor=Anne-Sophie\ Berthold, coursedate=13.\ 12.\ 2019]{../../Lab_Report_LaTeX/lab_report}

\title{Lebensdauer Myonen}
\author{Oliver Matthes, Valentin Boettcher}
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\begin{document}
\maketitle

\section{Einleitung}
\label{sec:einl}

\subsection{Myonenentstehung durch primäre Höhenstrahlung}
\label{sec:myonenenst}

Im Versuch wird die mittlere Lebensdauer von Myonen gemessen.
Die gemessenen Myonen entstehen durch Teilchenkollisionen und -zerfällen in ca.
\(\SI{10}{\kilo\metre}\) Höhe. Dort trifft die primäre Höhenstrahlung, die zu
\(\SI{85}{\percent}\) aus hochenergetischen Protonen besteht, auf die Erdatmosphäre.
Die Protonen kollidieren also mit den Atomkernen der Atmosphäre, wodurch neben anderen Teilchen
auch geladene Pionen entstehen:

\begin{align}\label{eq:pionen}
 p + p \rightarrow p + n + \pi^+ \\
 p + n \rightarrow p + p + \pi^-
\end{align}

Jedes dieser Pionen wiederum zerfällt mittels der schwachen Wechselwirkung innerhalb von
\(\SI{2,6e-8}{\second}\):

\begin{align}\label{eq:myonen}
\pi^+ \rightarrow \mu^+ + \nu_\mu \\
\pi^- \rightarrow \mu^- + \bar\nu_\mu
\end{align}

Diese bei dem Pionenzerfall entstandenen Myonen zerfallen nach einer mittleren Lebensdauer von
\(\tau_\mu = \SI{2,19703\pm0,00004e-6}{\second}\) weiter:

\begin{align}
        \mu^+ \rightarrow e^+ + \nu_e + \bar\nu_\mu \\
        \mu^- \rightarrow e^- + \bar\nu_e + \nu_\mu
\end{align}

Die Höhenstrahlung, die die Erdoberfläche erreicht besteht zu mehr als \(\SI{70}{\percent}\)
aus Myonen. Die bei oben beschriebenen Prozessen entstehenden Myonen erreichen nur die
Erdoberfläche, da sie sich mit relativistischen Geschwindigkeiten bewegen und somit sowohl
Zeitdilatation als auch die Längenkontraktion eine Rolle spielen.\\

Durch Bestimmung der Lebensdauer der Myonen kann man die Kopplungskonstante der schwachen
Wechselwirkung bestimmen:

\begin{equation} \label{eq:kopplkonst}
        \tau_\mu^-1 = G_F^2 \cdot \frac{m_\mu^5}{192 \pi^3}
\end{equation}

\(\mu^+\) und \(\mu^-\) haben ziemlich genau die gleichen Lebensdauern.
Der \(\mu^-\)-Einfang, der nur die negativ geladenen Myonen betrifft kann allerdings deren
die Lebensdauer stark reduzieren.
Kommt ein negativ geladenes Myon in Materie zur Ruhe, wird es von einem Atom aufgrund der
elektromagnetischen Wechselwirkung eingefangen und erreicht in diesem nach nicht einmal
\(\SI{e-12}{\second}\) den Grundzustand. Nach erreichen des Grundzustandes überlappen die
Wellenfunktionen des Atomkerns und des Myons miteinander. Durch diese Überlappung kann es dazu
kommen, dass das Myon von Kern absorbiert wird (\(\mu^- + p \rightarrow n + \nu_\mu\)), sodass
dieser Prozess mit dem des freien Zerfalls in Konkurrenz tritt und sich die effektive Lebensdauer
des negativ geladenen Myons verkürzt.

\begin{equation}\label{eq:efflebenszeit}
        \frac{1}{\tau} = \frac{1}{\tau_0} + \frac{1}{\tau_c}
\end{equation}

\begin{conditions}
        \tau_c & \(\mu^-\) Lebensdauer bei Einfang
\end{conditions}

\subsection{Messaufbau und Detektorfunktionsweise}
\label{sec:aufbau}

Eine Skizze der im Versuch verwendeten Messanordnung ist in~\ref*{fig:aufbau} zu sehen.
Sie besteht aus drei Photomultipliern und Szintillatoren sowie zwei Kupferplatten, die je
\(\SI{1}{\centi\metre}\) dick sind. Zwei der Szintillatoren befinden sich oberhalb der Kupferplatten
und entsprechend eine unterhalb.
Wenn ein Myon im Kupfer gestoppt wird geben PM1 und PM2 ein Signal aus, nicht jedoch PM3. Wird ein
solches Ereignis gemessen wird die Zeitmessung gestartet und gestoppt, wenn entweder
\(\SI{10}{\micro\second}\) vergangen sind, um zufällige Koinzidenzen, die beispielsweise durch
den niederenergetischen Anteil der Höhenstrahlung auftreten können, zum größten Teil
herausfiltern zu können, oder
ein nach oben emittiertes Positron von PM2 gemessen wird bzw. ein nach unten emittiertes in
PM3 detektiert wird. Ein Diskriminator wandelt anschließend noch die PM-Signale in Signale mit der
gleichen Ausgangsbreite von \(\SI{41,7}{\nano\second}\) um. Alle gemessenen Ereignisse werden
zum Schluss von einem an den Aufbau angeschlossenen PC verarbeitet.

\begin{figure}[H]\centering
        \includegraphics[width=.5\columnwidth]{./Versuchsaufbau.png}
        \caption{Schematische Abbildung der Messanordnung.}
        \label{fig:aufbau}
\end{figure}

\subsubsection{Szintillator}
\label{sec:szinti}

Wenn in das Szintillatormaterial, das organischer oder anorganischer Natur sein kann, ionisierende
Strahlung eintritt, wie in diesem Versuch hauptsächlich Myonenstrahlung sowie Strahlung aus
Elektronen und Positronen, entstehen bei Stoßprozessen innerhalb des Materials Elektronen, Löcher
oder Elektron-Loch-Paare (so genannte Exzitonen). Diese diffundieren durch das Detektormaterial
bis sie auf einen Aktivator treffen, bei dem diese Ladungsträger rekombinieren und dadurch
Photonen emittieren. Diese Photonen haben nun eine Wellenlänge, die sich im Bereich sichtbaren
Lichts befindet, und gelangen durch den Szintillator zum angeschlossenen Photomultiplier.

\subsubsection{Photomultiplier}
\label{sec:photomulti}

Im Photomultiplier (PM) treffen die Photonen aus dem Szintillator zunächst auf eine Photodiode,
die die auftreffenden Photonen mit Hilfe des Photoeffekts in ein elektrisches Signal umwandelt.
Je nachdem wie viele Photonen auftreffen, kann dieses Signal aus nur wenigen Elektronen bestehen.
Um das Signal messen zu können, wird es in einem Sekundärelektronenvervielfältiger verstärkt.
In diesem Vervielfältiger liegt eine Hochspannung an, sodass sich alle Elektronen in eine Richtung
bewegen. Während ihrer Reise gen Anode treffen sie immer wieder auf Dynoden aus denen sie
weitere Elektronen herauslösen. Dadurch wird die Zahl der Elektronen exponentiell größer.
Die Elektronenanzahl, die am Ende gemessen wird, hängt dabei erstens von der Anzahl der Photonen
ab, die eingangs auf die Photodiode getroffen sind, aber auch von der Hochspannung, weswegen diese
genau eingestellt werden muss.

\subsection{Likelihood-Methode}
\label{sec:likemeth}

Die so genannte Maximum-Likelihood-Methode ist eine Methode mit der man aus zuvor gemessenen Daten
eine gesuchte, aber natürlich unbekannte, Größe abschätzt. Man bestimmt also den Wert, für den
es am wahrscheinlichsten ist, die zuvor gemessenen Daten zu messen.\\

Um diese Methode anwenden zu können, muss die Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung \(P(\vec{x},\tau)\)
der gemessenen Werte in Abhängigkeit der unbekannten, also gesuchten Größe
\(\tau\) bekannt sein (\(\vec{x}\) meint hier die Gesamtheit der Messdaten).
Mit Hilfe dieser Verteilungen ergibt sich die Likelihood-Funktion \(L\)
dann aus dem Produkt über all dieser.

\begin{equation}\label{eq:likefkt}
 L(\vec{x},\tau) = \prod_{i=1}^{N} P(x_i,\tau)
\end{equation}

Um nun aus~\ref{eq:likefkt} den wahrscheinlichsten Wert herauszufinden, muss diese Funktion
maximiert werden. Praktisch maximiert man allerdings den Logarithmus der Funktion, da dies
einfacher ist, weil sich das Produkt dadurch in eine Summe umwandelt. Es muss also gelten
(\(\hat\tau\) meint hier den wahrscheinlichsten Wert):

\begin{equation}\label{eq:likediff}
 \frac{d \ln L}{d a} \mid_{\tau = \hat{\tau}} = 0
\end{equation}

In diesem Versuch gibt es drei verschiedene Möglichkeiten, die Maximum-Likelihood-Methode
anzuwenden, die im Folgenden kurz umrissen werden sollen.

\subsubsection{Max-Log-Likelihood-Methode und das exponentielle Zerfallsgesetz}
\label{eq:likezerfall}

Myonen zerfallen nach dem exponentiellen Zerfallsgesetz:

\begin{equation}\label{eq:zerfall}
 N(t) = N(t_0) \cdot \exp[-\frac{t-t_0}{\tau}]
\end{equation}

Die Wahrscheinlichkeitsdichte ergibt sich damit zu:

\begin{equation}\label{eq:wahrzerfall}
 P(t_i,\tau) = \frac{1}{\tau} \cdot e^{-t_i/\tau}
\end{equation}

Diese Gleichung gilt allerdings nur für eine unendliche Beobachtungszeit, da hier das Integral
von \(t = 0\) bis \(t = \infty\) 1 ergibt.
Da eine Beobachtungszeit solcher Länge unmöglich zu realisieren ist, muss~\ref{eq:wahrzerfall}
für Zeiten bis maximal \(T\) normiert werden:

\begin{equation}\label{eq:modzerfall}
 P(t_i,\tau) = \frac{1}{\tau}e^{-t_i/\tau} \cdot \frac{1}{1-e^{-\frac{T}{\tau}}}
\end{equation}

Daraus folgt:

\begin{equation}\label{key}
 \ln L = \sum (-\frac{t_i}{\tau} - \ln\tau - \ln(1-e^{-T/\tau}))
\end{equation}

und

\begin{equation}\label{key}
 \hat\tau = \frac{1}{N} \sum t_i + \frac{T e^{-\frac{T}{\tau}}}{1-e^{-\frac{T}{\tau}}}
\end{equation}

Bei dieser Methode muss in diesem Experiment allerdings beachtet werden, dass keine \(N\)
unterschiedliche Zeiten, sondern \(K\) Kanäle mit \(N_i\) Counts im \(i\)-ten Kanal gemessen
werden. Jeder Messwert ist mit einer statistischen Messungenauigkeit \(\sqrt{N_i}\) behaftet.
Unter Berücksichtigung dieser Besonderheiten folgt für \(\hat\tau\):

\begin{equation}\label{key}
 \hat\tau = \frac{1}{N} \sum_{k=1}^{K}N_k\cdot t_k + \text{Korrektur}
\end{equation}

Für die Standardabweichung ergibt sich aus der Fehlerfortpflanzung:

\begin{equation}\label{key}
 \sigma_{\hat\tau} = \frac{1}{N} \sqrt{\sum N_k \cdot t_k^2}
\end{equation}

\subsubsection{Max-Likelihood-Methode und die Poissonverteilung}
\label{sec:likepoisson}

Da es sich bei diesem Experiment um Zählmessungen handelt (man hat \(f_i\) Einträge pro
Zeitkanal \(i\)), ist die Poissonverteilung mit dem mittleren Erwartungswert \(f\) eine gute
Möglichkeit, die Messungen statistisch zu  beschreiben. Die Wahrscheinlichkeit, \(N_i\) Einträge
im \(i\)-ten Zeitkanal zu messen, wird durch folgende Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung
beschrieben:

\begin{equation}\label{eq:poisson}
 P(N_i,f_i) = \frac{f_i^{N_i} \cdot e^{-f_i}}{N_i !}
\end{equation}

Mit der Varianz um für \(N_i\) um den entsprechenden Mittelwert \(f_i\):

\begin{equation}\label{key}
 \sigma_i^2 = f_i
\end{equation}

Es ergibt sich für die logarithmierte Likelihood-Funktion:

\begin{equation}\label{key}
 -2\ln L = -2\sum_{i} N_i \ln f_i +2N +2\sum_{i} \ln(N_i!)
\end{equation}

Da der Term \(2N +2\sum_{i} \ln(N_i!)\) nicht von der gesuchten Größe \(\tau\) abhängt, reicht es
aus \(-2\sum_{i} N_i \ln f_i\) über \(\tau\) aufzutragen.

\subsubsection{Max-Log-Likelihood-Methode und Gaußverteilung}
\label{sec:likegauss}

Für den Grenzfall großer Erwartungswerte, bedeutet mindestens \(f_i > 10\) pro Kanal, also für
eine große Observationszeit (hier eine Langzeitmessung, die eine Woche lang läuft), geht die
Poissonverteilung in die Gaußverteilung über. Für das hier durchgeführte Experiment ergibt sich
die Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung zu:

\begin{equation}\label{eq:wahrgauss}
 P(N_i,\tau) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma_i^2}} \cdot \exp[-\frac{(N_i-f_i)^2}{2\sigma_1^2}]
\end{equation}

Analog zur Poissonverteilung folgt für die logarithmierte Likelihoodfunktion:

\begin{equation}\label{key}
 -2\ln L = \sum_{i}\ln (2\pi\sigma_i^2) + \sum_{i} \frac{(N_i - f_i)^2}{\sigma_i^2}
\end{equation}

Da der erste Summenterm durch die Näherung \(\sigma_i(f_i) = \sqrt{f_i} \approx \sqrt{N_i}\) nicht
von \(\tau\) abhängt, kann dieser bei der Bestimmung von \(\hat{\tau}\) vernachlässigt und nur
der zweite Term betrachtet werden, der eine \(\chi^2\)-Verteilung beschreibt.

\begin{equation}\label{eq:chi}
 \chi^2 = \sum_{i} \frac{(N_i - f_i)^2}{\sigma_i^2}
\end{equation}

Die \(\chi^2\)-Funktion beschreibt wie stark eine gemessene Häufigkeit von der erwarteten abweicht.
Diese quadratische Abweichung wird durch die Varianz normiert, damit Werte mit einer hohen
Ungenauigkeit weniger stark in die Gesamtsumme einfließen. Idealerweise sollte der \(\chi^2\)-Wert
also möglichst klein werden, allerdings auch nicht zu klein, da sonst die Möglichkeit besteht, die
Ungenauigkeiten überschätzt zu haben.\\

Entsprechend wird bei dieser Methode der wahrscheinlichste oder beste Wert für \(\hat\tau\) durch
Minimierung der \(\chi^2\)-Funktion bestimmt.

\section{Durchf\"uhrung und Auswertung}
\label{sec:durchaus}

\subsection{Vorversuch}
\label{sec:vorvers}
\subsubsection{Aufnahme der Kennlinie f\"ur PM3}
\label{sec:pm3kenn}

Das Koninzidenzsignal (\textit{123}) und das Signal des
Photomultiplier PM3 wurden mit der Z\"ahleinheit verbunden.  Nach der
Einstellung der Hochspannungen an den Photomultipliern auf
\SI{2400}{\volt} (PM1, PM2) und \SI{2100}{\volt}, wurde die Messzeit
mit \SI{140}{\second} so bemessen, dass die Anzahl der Ereignisse
\(N\) ausreichte, um eine relative ungenauigkeit von
\(\eta \leq \SI{3}{\percent})\) zu erreichen (Poisson-Verteilung).

\begin{align}
  \label{eq:mtime}
  \frac{\Delta N}{N} &= \frac{1}{\sqrt{N}} \geq \eta \\
  \implies N &\geq \frac{1}{\eta^2} = 1111
\end{align}

Da bei geringeren Spannungen an PM3 die Z\"ahlraten sinken, ergeben
sich dort auch gr\"o\ss{}ere Abweichungen.  Anschliessend wurde die
Spannung an PM2 in \SI{50}{\volt} Schritten im Bereich
\SIrange{1800}{2400}{\volt} variiert.  Die dabei gemmesenen
Z\"ahlraten sind in~\ref{fig:vorversuch-kennlinie_123}
und~\ref{fig:vorversuch-kennlinie_pm3} aufgetragen und
in~\ref{tab:counts3123} aufgelistet.

\begin{figure}[h]\centering
  \input{../auswertung/figs/vorversuch/kennlinie_123.pgf}
  \caption{Koinzidenzz\"ahlrate in Abh\"angigkeit der Spannung an PM3.}
  \label{fig:vorversuch-kennlinie_123}
\end{figure}

\begin{figure}[h]\centering
  \input{../auswertung/figs/vorversuch/kennlinie_pm3.pgf}
  \caption{Z\"ahlrate von PM3 in Abh\"angigkeit der Spannung an PM3.}
  \label{fig:vorversuch-kennlinie_pm3}
\end{figure}

\begin{table}[h]
  \centering
  \begin{tabular}{S|S|S|S|S}
    \toprule
    {U [\si{\volt}]} & {\(\dot{N}_\textit{3}\) [\si{\second^{-1}}]} &
                                                              {\(\dot{N}_\textit{3}\)
                                                              [\si{\second^-1}]}
    & { \(\Delta \dot{N}_\textit{3}\)
      [\si{\second^-1}]} & { \(\Delta \dot{N}_\textit{123}\)
                           [\si{\second^-1}]} \\
    \midrule
    1800 & 1.86   & 0.49  & 1.36  & 0.70 \\
    1850 & 5.66   & 1.91  & 2.38  & 1.38 \\
    1900 & 10.22  & 3.30  & 3.20  & 1.82 \\
    1950 & 15.43  & 4.35  & 3.93  & 2.09 \\
    2000 & 22.81  & 5.84  & 4.78  & 2.42 \\
    2050 & 32.36  & 7.18  & 5.69  & 2.68 \\
    2100 & 43.46  & 8.20  & 6.59  & 2.86 \\
    2151 & 58.01  & 9.11  & 7.62  & 3.02 \\
    2200 & 74.36  & 9.24  & 8.62  & 3.04 \\
    2250 & 94.88  & 10.18 & 9.74  & 3.19 \\
    2300 & 124.68 & 10.29 & 11.17 & 3.21 \\
    2350 & 171.24 & 10.22 & 13.09 & 3.20 \\
    2400 & 240.96 & 10.58 & 15.52 & 3.25
  \end{tabular}
  \caption{Z\"ahlraten f\"ur PM3 und \textit{123} Koinzidenzen in
    abh\"angigkeit der Spannung an PM3. Messabweichungen aus
    Poissonverteilung: \(\Delta \dot{N} = \frac{\sqrt{N}}{T}\)}
  \label{tab:counts3123}
\end{table}

Zu erkennen ist, dass sich in der Z\"ahlrate f\"ur \textit{123}
Signale ab ca. \SI{2250}{\volt} in ein Plateau \"ubergeht, wobei die
Z\"ahlrate des PM3 exponentiell anw\"achst, da mit steigender Spannung
nun auch immer mehr Rauschereignisse gez\"ahlt werden. Das Plateau
bildet sich in~\ref{fig:vorversuch-kennlinie_123} aus, da ab der oben
genannten Spannung PM3 nun auf alle zu \textit{123} Koinzidenzen
geh\"origen Ereignisse anspricht und somit auch eine Steigerung der
PM3 Z\"ahlrate \"uber dieses Ma\ss{} hinaus keine h\"ohere Z\"ahlraten
bewirkt. Dementsprechend wurde die Betriebsspannung f\"ur PM3 auf:

\begin{equation}
  \label{eq:bspann}
  U_{3,HV} = \SI{2300}{\volt}
\end{equation}

festgelegt.

\subsubsection{Messung von Myon-Pulsen}
\label{sec:pulse}

Zu begin wurden die drei PM-Signale gemeinsam mit dem Koinzidenzsignal
(\textit{123}, Durchfliegenden Myon) für die ungestoppten Myonen auf je einen
Oszilloskopkanal gelegt und die Spannungen der PMs anschließend auf
\(U_{1,HV} = \SI{2300}{\volt}\), \(U_{2,HV} = \SI{2300}{\volt}\) und
\(U_{3,HV} = \SI{2100}{\volt}\) eingestellt.

Die gemessenen Pulse wurden durch das Koinzidenzsignal selektiert und
die Anzeige des Oszilloskops so eingestellt, dass die Peaks deutlich
zu erkennen waren, um die Höhe jedes der drei PM-Peaks zu messen. Dazu
wurde mit Hilfe der Start-/Stopptaste des Oszilloskops nach wenigen
Sekunden das Bild eingefroren, wobei vermieden den Bildschirm zu
betrachten, um eine unbewusste Selektion und damit Verzerrung der
Messergebnisse zu verhindern. Mit Hilfe der ``Difference'' Funktion
des Oszilloskops wurde die Höhe von je 50 Peaks vermessen.

Es ergeben sich die Grundlegenden in~\ref{tab:statpeaks} angegebenen
Statistischen Gr\"o\ss{}en. Grob zu erkennen ist, dass mit dem Index
der Photomultiplier die Mittelwerte/Mediane sowie die Maximalen
Peakspannungen steigen. Die relativen Standardabweichungen sind dabei
aber relativ \"ahnlich. Das deutet auf eine \"ahnliche
zugrundeliegende Verteilung an allen drei Photomultipliern hin.

\begin{table}[h]
  \centering
  \begin{tabular}{l|S|S|S|S|S|S}
    \toprule
    & {Min [\si{\volt}]} & {Max [\si{\volt}]} & {Mittelwert
                                                [\si{\volt}]} &
                                                                {Median
                                                                [\si{\volt}]}
    & {Stdabw. rel. zu Mittlwert}\\
    \midrule
    P1 & 0.20 & 3.00 & 0.72 & 0.60 & 1.31 \\
    P2 & 0.20 & 11.40 & 4.44 & 3.60 & 1.89 \\
    P3 & 3.60 & 51.20 & 9.30 & 7.00 & 1.06 \\
  \end{tabular}
  \caption{Statistiken der Peakh\"ohen der drei Photomultiplier f\"ur
    eine Stichprobe der Gr\"o\ss{}e \(50\).}
  \label{tab:statpeaks}
\end{table}

Zeichnet man auf warscheinlichkeitsdichte skallierte Histogramme
(Abb.~\ref{fig:histos}) so l\"asst sich diese Vermutung best\"tigen.
Da die \textit{123} Signale zum gr\"o\ss{}ten Teil von durchfliegenden
Myonen erzeugt werden (nur diese durchdringen den Kupferblock), kann
angenommen werden, dass die Energie dieser Myonen ann\"ahernd konstant
ist und die Fluktuationen in den Peakh\"ohen der Photomultiplier von
den Fluktuationen in der Energieabgabe der Myonen in den
Szintillatoren um den durch die Bethe-Bloch gegebenen Mittelwert
herr\"uhrt.

\begin{figure}[h]
  \begin{subfigure}{\textwidth}
    \centering
    \input{../auswertung/figs/vorversuch/muon_P1_spec.pgf}
    \caption{Peak Spektrum PM1}
    \label{fig:vorversuch-muon_P1_spec}
  \end{subfigure}

  \begin{subfigure}{\textwidth}
    \centering
    \input{../auswertung/figs/vorversuch/muon_P2_spec.pgf}
    \caption{Peak Spektrum PM2}
    \label{fig:vorversuch-muon_P2_spec}
  \end{subfigure}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
  \ContinuedFloat
  \centering
  \begin{subfigure}{\textwidth}
    \centering
    \input{../auswertung/figs/vorversuch/muon_P3_spec.pgf}
    \caption{Peak Spektrum PM3}
    \label{fig:vorversuch-muon_P3_spec}
  \end{subfigure}

  \caption[Peak Histogramme PM1-3]{Histogramme der
    Peakh\"ohenverteilung bei durchfliegenden Myonen. Die anzahl der
    Bins wurde so gew\"ahlt, dass die Form der Verteilung ohne allzu
    gro\ss{}e Fluktuationen zu erkennen ist.}
  \label{fig:histos}
\end{figure}

Die statistik der Energieabgabe durch Ionisation ist gegeben duch die
Landauverteilung (siehe~\ref{eq:landau}).\cite{Landau:216256} Dabei
zeichnet sich ein relativ scharfes maximum ab (Bethe-Bloch), welches
dann in einen sehr langen schwanz \"ubergeht. Die verteilung ist
normierbar, jedoch lassen sich aufgrund ihrer gro\ss{}en breite keine
Momente definieren.

\begin{equation}
  \label{eq:landau}
  p(x) = {\frac{1}{\pi \eta}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\cos \qty[t\left({\frac {x-\mu }{\eta}}\right)+{\frac {2t}{\pi }}\log \left({\frac {t}{\eta}}\right)]\dd{x}
\end{equation}

Passt man~\ref{eq:landau} mit dem Verschiebungsparameter \(\mu\) und
der Skalierungskonstante \(\eta\) an die Histogramme an, so ergibt
sich eine gute \"ubereinstimmung (siehe~\ref{fig:histos}). Die
Physikalische bedeutung dieser Parameter wird hier mangels
Kalibrierung nicht weiter betrachtet. Die numerische implementierung
von~\ref{eq:landau} machte eine Skalierung der Spannungsachse
notwendig. Der Lange schwanz der Landauverteilung ist in der
Realit\"at durch die Teilchenenergie begrenzt und begr\"undet sich
durch sehr seltene Prozesse wie z.B. die Entstehung von
sog. \(\Delta\)-Strahlen durch einen sehr hohen Energie\"ubertrag
an ein Elektron mit nachfolgenden Sekund\"arionisationen durch dieses
Elektron.

Da die Photomultiplier nicht auf Energie kalibriert wurden, kann die
Verschiebung des Mittelwerts der Peakh\"ohen nicht klar gedeutet
werden. Nimmt man an, dass sich die PM bei gleichen Spannungen
\"ahnlich verhalten, so w\"urde die Verschiebung eine
Vergr\"o\ss{}erung des energieverlustes in Aufeinanderfolgenden
Szintilatorschichten bedeuten (PM3 sogar nach Kupfer). Dies wiederum
w\"urde darauf hindeuten, dass man sich in~\ref{fig:muonbbloch} im
Bereich um \(\beta\gamma = 1\) befindet. Solch eine geringe Energie
(\(<\SI{1}{\giga\electronvolt}\), \(E\approx p\cdot c\)) w\"ahre nur
durch vorherige starke Abbremsung der Myonen im Geb\"aude zu
erkl\"aren oder eine nicht~\ref{fig:muonbbloch} entsprechende
Energieabgabe zu erkl\"aren (dagegen wiederum spr\"ache die
\"Ubereinstimmung mit Landau).

\begin{figure}[H]\centering
  \includegraphics[width=\columnwidth]{./muon_stopp.png}
  \caption{Ionisationsverlust des \(\mu^{+}\) durch Ionisation in
    Kupfer\cite{GROOM2001183}. Qualitativ ist diese Darstellung auch
    auf andere Materialien anzuwenden wobei sich die Achse des
    Energieverlusts (vertikal) umskaliert}
  \label{fig:muonbbloch}
\end{figure}


\section{Verzeichnisse}

\label{sec:literatur}

\listoffigures

\listoftables

\printbibliography
\end{document}
