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@ -110,7 +110,7 @@ Die Projektion ordnet dabei den auf der Projektionsgeraden \(s\) befindlichen Pu
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Linienintegral \(p(s, \vartheta)\) zu:
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\begin{equation}\label{eq:linienint}
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p(s, \vartheta) = \int_{-R_I}^{+R_I} f_I(s \cdot \cos \vartheta - t \cdot \sin \vartheta, s \cdot \sin\vartheta + t \cdot \cos\vartheta)
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p(s, \vartheta) = \int_{-R_I}^{+R_I} f_I(s \cdot \cos \vartheta - t \cdot \sin \vartheta, s \cdot \sin\vartheta + t \cdot \cos\vartheta) dt
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\end{equation}
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Wobei folgende Beziehungen genutzt wurden:
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@ -125,12 +125,250 @@ Wobei folgende Beziehungen genutzt wurden:
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Stellt man die Funktion \(p(s, \vartheta)\) zweidimensional dar, erhält man ein so genanntes
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\emph{Sinogramm}.
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Die Rückprojektion erfolgt mit Hilfe einer zweidimensionalen inversen Fourier-Transformation im
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Frequenzraum. Nach Verwendung des Projektionssatzes und Übergang von den kartesischen \(k_x, k_y\)
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zu Zylinderkoordinaten \(S, \vartheta\) folgt:
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\begin{equation}\label{eq:invradon}
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f_I(x,y) = \int_{0}^{\pi} d\vartheta \int_{-\infty}^{+\infty} P(S, \vartheta) \cdot |S| \cdot \exp[2\pi i S(x \cdot \cos\vartheta + y \cdot \sin\vartheta)] dS
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\end{equation}
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~\eqref{eq:invradon} entspricht der inversen Radon-Transformation, die allerdings keine Lösung
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hat, da das Integral über \(dS\) divergiert.
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Um dennoch eine Lösung anzunähern, führt man eine Filterfunktion \(H(S)\) ein, die als Produkt der
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Betragsfunktion \(|S| = \sqrt{k_x^2+k_y^2}\) und einer Fensterfunktion \(A(S)\) definiert ist.
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\begin{equation}\label{eq:filterfkt}
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H(S) = A(S) \cdot |S|
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\end{equation}
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Mit
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\begin{equation}\label{eq:filterkern}
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h(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} A(S) \cdot |S| \cdot \exp[2\pi i Ss] dS
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\end{equation}
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und
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\begin{equation}\label{eq:gefltdaten}
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p_F(s, \vartheta) = p(s, \vartheta) \cdot h(s) = \int_{0}^{s'_{max}} p(s', \vartheta) \cdot h(s-s') ds'
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\end{equation}
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ergibt sich die Rückprojektion
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\begin{equation}\label{eq:rücktrafo}
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f_I(x,y) \approxeq \int_{0}^{\pi} p_F(s,\vartheta) d\vartheta .
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\end{equation}
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\section{Durchführung und Auswertung}
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\label{sec:durch}
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\subsection{Schwerpunktsdiagramme}
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\label{sec:schwpkt}
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\begin{figure}[h!]
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\centering
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\begin{subfigure}{0.32\textwidth}
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\centering
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\includegraphics[width=.9\textwidth]{../messungen/kalib/vergleich_mitte_nah_NAH.png}
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||||
\caption{Quelle nah.}
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||||
\end{subfigure}
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||||
\begin{subfigure}{0.32\textwidth}
|
||||
\centering
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||||
\includegraphics[width=.9\textwidth]{../messungen/kalib/vergleich_mitte_nah_MITTE.png}
|
||||
\caption{Quelle in Mitte der Detektoren.}
|
||||
\end{subfigure}
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||||
\begin{subfigure}{0.32\textwidth}
|
||||
\centering
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||||
\includegraphics[width=.9\textwidth]{../messungen/kalib/vergleich_mitte_fern_FERN.png}
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||||
\caption{Quelle fern.}
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||||
\end{subfigure}
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\caption{Vergleich der Detektorsignale bei verschiedenen Quellabständen von Detektor A.}
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\label{fig:abstand}
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\end{figure}
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Die Quelle lag bei den Messungen stets auf einem Tisch aus Plexiglas. Dadurch erwartet man eine
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Abschwächung des Signals durch Reflexionen und Brechungen des Lichtes am unteren Detektorrand.
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Wie man allerdings deutlich in~\ref{fig:abstand} (c) erkennen kann ist das Signal im unteren
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Teil des Bildes deutlich stärker als im oberen. Dies lässt darauf schließen, dass die vom
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Detektor kommenden Bilder horizontal invertiert sind.
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Auch kann man die Kristallstruktur anhand der 8x8-Matrix artigen Anordnung der Dichteverteilung
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der Messpunkte erkennen.
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Die Dichte der Messpunkte ist in (a) deutlich im Zentrum der Aufnahme
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konzentriert sowie die am Rand liegenden Bereiche höherer Messpunktdichte stark verzerrt. Daraus
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wurde der Schluss, dass (a) eine Messung zeigt, bei der die Quelle nah am Detektor lag.
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Die Unterschiede und Gründe für die Entscheidung zwischen mittleren (b) und fernen Quellabstand
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(c) sind zum einen die Helligkeit der einzelnen Bereiche höherer Messpunktdichte zum anderen
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müssten die äußeren Bereiche bei fernem Abstand weniger stark verzerrt sein, was
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in~\ref{fig:abstand} allerdings nicht zu erkennen ist, da die Unterschiede zu marginal sind.
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\subsection{Tomographische Messungen}
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\label{sec:tom}
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\subsubsection{Isotrope Dichteverteilung}
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\label{sec:tom1}
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Es wurde eine vorgegebene, aber unbekannte Quellkonfiguration innerhalb eines aus Wachs
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bestehenden Phantoms vermessen und mit Hilfe dieser Messungen auf die Gestalt der
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Quellkonfiguration geschlossen.\\
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Gemessen wurde mit einer Geschwindigkeit von \(\SI{12}{\milli\metre\per\second}\), dem
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Mittelfilter und neun Filterdimensionen.
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\begin{figure}
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\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
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\centering
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||||
\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/1_einfach.png}
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||||
\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/1_gefiltert.png}
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||||
\caption{Messung bei \(7^\circ\).}
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||||
\end{subfigure}
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||||
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
|
||||
\centering
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||||
\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/3_einfach.png}
|
||||
\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/3_gefiltert.png}
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||||
\caption{Messung bei \(18^\circ\).}
|
||||
\end{subfigure}
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||||
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
|
||||
\centering
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||||
\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/3_einfach.png}
|
||||
\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/3_gefiltert.png}
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||||
\caption{Messung bei \(18^\circ\).}
|
||||
\end{subfigure}
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||||
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
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||||
\centering
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||||
\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/5_einfach.png}
|
||||
\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/5_gefiltert.png}
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||||
\caption{Messung bei \(36^\circ\).}
|
||||
\end{subfigure}
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||||
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
|
||||
\centering
|
||||
\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/9_einfach.png}
|
||||
\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/9_gefiltert.png}
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||||
\caption{Messung bei \(90^\circ\).}
|
||||
\end{subfigure}
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||||
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
|
||||
\centering
|
||||
\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/13_einfach.png}
|
||||
\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/13_gefiltert.png}
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||||
\caption{Messung bei \(150^\circ\).}
|
||||
\end{subfigure}
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||||
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
|
||||
\centering
|
||||
\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/15_einfach.png}
|
||||
\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/oliTOM1/15_gefiltert.png}
|
||||
\caption{Messung bei \(178^\circ\).}
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||||
\end{subfigure}
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\caption{Verlauf der Bilderstellung mit Gegenüberstellung von ungefilterter (links) und gefilterter (rechts) Projektion.}
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\label{fig:tom1}
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\end{figure}
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\subsubsection{Anisotrope Dichteverteilung}
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\label{sec:tom2}
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Nun wurde wieder eine Dichteverteilung innerhalb des Phantoms gegeben. Nur das diesmal nur in der
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Mitte des Phantoms eine Quelle lag und darum auf unbekannte Art und Weise Bleimünzen, der selben
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Form und Größe wie die der Quelle verteilt waren. Deren Anordnung gilt es mit Hilfe der
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aufgenommenen Messdaten, insbesondere der Form des Sinogramms, herauszufinden.
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\begin{figure}[h]
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\centering
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\includegraphics[width=.3\textwidth, angle=90]{../messungen/tom2/tom2_Sinogramm.png}
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\caption{Aufgenommenes Sinogramm bei Vermessung einer anisotropen Quelldichteverteilung.}
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\label{fig:tom2}
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\end{figure}
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\subsection{Einfluss verschiedener Filter}
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\label{sec:filter}
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Zuletzt wurde noch der Einfluss verschiedener Filter auf die gefilterte Rückprojektion
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untersucht. Dazu wurden die Messdaten aus~\ref{sec:tom1} verwendet.
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\begin{figure}[h]
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\centering
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\subfloat[Hanning-Filter.]{\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/olifilter/hanningweight9_gefiltert.png}}
|
||||
\subfloat[Ramp-Filter.]{\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/olifilter/ramp9_gefiltert.png}}\\
|
||||
\subfloat[Shepp-Filter.]{\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/olifilter/shepp9_gefiltert.png}}
|
||||
\subfloat[Rauschfilter.]{\includegraphics[width=.4\textwidth]{../messungen/olifilter/rauschfilter_gefiltert.png}}
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\caption{Gegenüberstellung verschiedener Filter mit einer Dimension von je \(9\).}
|
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\label{fig:filter}
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\end{figure}
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Wie man in~\ref{fig:filter} erkennen kann, sehen sich die gefilterten Rückprojektionen mit dem
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Hannig-Filter und dem Rauschfilter sowie jene mit Ramp-Filter und Shepp-Filter recht ähnlich.
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Auf den Bildern (a) und (d) kann man die Quellverteilung obwohl sie im Vergleich zu (b) und (c)
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unschärfer wirken besser erkennen, da störende Signale herausgefiltert werden.\\
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%\begin{figure}[h]
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% \centering
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% \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth}
|
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% \centering
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||||
% \includegraphics[width=.3\textwidth]{../messungen/olifilter/hanningweight9_gefiltert.png}
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% \caption{Hanning-Filter.}
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||||
% \end{subfigure}
|
||||
% \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth}
|
||||
% \centering
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% \includegraphics[width=.3\textwidth]{../messungen/olifilter/ramp9_gefiltert.png}
|
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% \caption{Ramp-Filter.}
|
||||
% \end{subfigure}
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||||
% \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth}
|
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% \centering
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||||
% \includegraphics[width=.3\textwidth]{../messungen/olifilter/shepp9_gefiltert.png}
|
||||
% \caption{Shepp-Filter.}
|
||||
% \end{subfigure}
|
||||
% \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth}
|
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% \centering
|
||||
% \includegraphics[width=.3\textwidth]{../messungen/olifilter/rauschfilter_gefiltert.png}
|
||||
% \caption{Rausch-Filter.}
|
||||
% \end{subfigure}
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||||
%\caption{Gegenüberstellung verschiedener Filter mit einer Dimension von je \(9\).}
|
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%\label{fig:filter}
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%\end{figure}
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Der Rauschfilter wurde außerdem mit Dimensionseinstellungen getestet.
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\begin{figure}[h!]
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\centering
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\subfloat[Dimension \(= 5\).]{\includegraphics[width=.3\textwidth]{../messungen/olifilter/rausch_5_gefiltert.png}}
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||||
\subfloat[Dimension \(= 9\).]{\includegraphics[width=.3\textwidth]{../messungen/olifilter/rauschfilter_gefiltert.png}}
|
||||
\subfloat[Dimension \(= 12\).]{\includegraphics[width=.3\textwidth]{../messungen/olifilter/rausch12_gefiltert.png}}
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||||
\caption{Rauschfilter mit verschiedenen Dimensionen.}
|
||||
\label{fig:rausch}
|
||||
\end{figure}
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||||
In~\ref{fig:rausch} erscheint (a) am unschärfsten und undeutlichsten, wenngleich man auch die
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Intensität der einzelnen Quellen qualitativ abschätzen kann. In (b) und (c) hingegen ist die
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Lage der Quellen besser auszumachen, da diese schärfer im Vergleich zu (a) sind. Es ist allerdings
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||||
kein wirklicher Unterschied zwischen (b) und (c) zu erkennen.
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%\begin{figure}[h!]
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% \centering
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||||
% \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth}
|
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% \centering
|
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% \includegraphics[width=.6\textwidth]{../messungen/olifilter/rausch_5_gefiltert.png}
|
||||
% \caption{Dimension \(= 5\).}
|
||||
% \end{subfigure}
|
||||
% \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth}
|
||||
% \centering
|
||||
% \includegraphics[width=.6\textwidth]{../messungen/olifilter/rauschfilter_gefiltert.png}
|
||||
% \caption{Dimension \(= 9\).}
|
||||
% \end{subfigure}
|
||||
% \begin{subfigure}[t]{0.5\textwidth}
|
||||
% \centering
|
||||
% \includegraphics[width=.6\textwidth]{../messungen/olifilter/rausch12_gefiltert.png}
|
||||
% \caption{Dimension \(= 12\).}
|
||||
% \end{subfigure}
|
||||
% \caption{Rauschfilter mit verschiedenen Dimensionen.}
|
||||
% \label{fig:rausch}
|
||||
%\end{figure}
|
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|
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||||
\section{Auswertung}
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\label{sec:ausw}
|
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\subsection{Theoriebeispiel}
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\label{sec:theobei}
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||||
Zur Verbesserung des verst\"andnisses der Projektions- und
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||||
Zur Verbesserung des Verst\"andnisses der Projektions- und
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Rekonstruktionsprozesse, werden diese hier anhand eines einfachen
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Beispiels nachvollzogen.
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@ -197,7 +435,7 @@ berechenet. Dabei wurden die diagonalen entsprechend gewichtet.
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\end{array}\right) = \mathfrak{P}_0
|
||||
\end{equation}
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||||
Ein gefiltertes Sinogram~\ref{fig:theory-convoluted} ergibt sich durch
|
||||
Ein gefiltertes Sinogramm~\ref{fig:theory-convoluted} ergibt sich durch
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||||
Faltung der Zeilen von \(\mathfrak{M}_0\) mit
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||||
\(F = \mqty(-.1 & .25 & -.1)\).
|
||||
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|
|
@ -212,7 +450,7 @@ Faltung der Zeilen von \(\mathfrak{M}_0\) mit
|
|||
\end{pmatrix}
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||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
Die R\"uckprojektion des Einfachen sinogramms
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||||
Die R\"uckprojektion des einfachen Sinogramms
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||||
ergib~\ref{fig:theory-rec_simple}.
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||||
|
||||
{\footnotesize
|
||||
|
|
@ -254,7 +492,7 @@ ergib~\ref{fig:theory-rec_simple}.
|
|||
\end{pmatrix} = \mathfrak{M}_1
|
||||
\end{align}}
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||||
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||||
Aus dem gefilterten Sinogram ergibt sich auf \"ahnliche
|
||||
Aus dem gefilterten Sinogramm ergibt sich auf \"ahnliche
|
||||
Weise~\ref{fig:theory-rec_filtered}
|
||||
{\footnotesize
|
||||
\setlength{\arraycolsep}{2.5pt}
|
||||
|
|
@ -297,11 +535,11 @@ Weise~\ref{fig:theory-rec_filtered}
|
|||
\end{align}
|
||||
}
|
||||
|
||||
Es ist zu erkennen, das in beiden rekonstruktionen die starken Signale
|
||||
\((1,1),\,(3,1),\,(3,3)\) klar zu identifizerien, wenngleich die
|
||||
Unterschiede in der signalst\"arke nicht im urspr\"unglichen
|
||||
Verh\"altniss stehen. Die gefilterte R\"uckprojektion weist in den
|
||||
Randfeldern und im Mittleren Feld einen h\"oheren Kontrast auf,
|
||||
Es ist zu erkennen, das in beiden Rekonstruktionen die starken Signale
|
||||
\((1,1),\,(3,1),\,(3,3)\) klar zu identifizieren, wenngleich die
|
||||
Unterschiede in der Signalst\"arke nicht im urspr\"unglichen
|
||||
Verh\"altnis stehen. Die gefilterte R\"uckprojektion weist in den
|
||||
Randfeldern und im mittleren Feld einen h\"oheren Kontrast auf,
|
||||
erzeugt aber dennoch nur ein geringf\"ugig besseres und in manchen
|
||||
Bereichen (Ecken) sogar ein schlechteres Bild. Das schwache Signal
|
||||
\((0,4)\) wurde in beiden F\"allen nicht rekonstruiert. F\"uhrt man
|
||||
|
|
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