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@ -461,7 +461,7 @@ Da \(g_1(R_1=\infty)=1\) folgt mit \(R_2=\SI{1}{\meter}\) und \(0\leq g_2\leq 1\
\end{equation}
Das ist auch aus dem Stabilit\"atsdiagramm ersichtlich.
\begin{figure}[H]\centering
\begin{figure}[b]\centering
\includegraphics[width=.5\columnwidth]{figs/stabdiag.pdf}
\caption[Gauss]{Stabilit\"atsdiagramm}
\label{fig:stabdiag}
@ -616,13 +616,13 @@ Vernachl\"assigt wurden hier die Ungenaugkeiten, die sich beim
Einstellen des Leistungsmaximums durch Beamwalken ergeben, da die
Betrachtungen hier eher qualitativer Natur sind.
\begin{figure}[h]\centering
\begin{figure}[b]\centering
\includegraphics[width=.8\columnwidth]{figs/power-over-l.pdf}
\caption{Maximale Durchschnittsleistung in Abh\"angigkeit der Resonatorl\"ange }
\label{fig:power-over-l}
\end{figure}
\begin{table}[h]
\begin{table}[b]
\centering
\begin{tabular}{SSS}
\toprule
@ -658,13 +658,13 @@ Abweichungsgrenzen hinaus deutet auf untersch\"atzte (systematsiche)
Faktoren hin.
\begin{figure}[h]\centering
\begin{figure}[b]\centering
\includegraphics[width=.8\columnwidth]{figs/malus.pdf}
\caption{Maximale Durchschnittsleistung in Abh\"angigkeit des Polarisationswinkels}
\label{fig:malus}
\end{figure}
\begin{table}[H]
\begin{table}[b]
\centering
\begin{tabular}{SSS}
\toprule
@ -721,13 +721,13 @@ Der theoretische Wert f\"ur den Beamwaist liegt bei
daf\"ur k\"onnten effekte an der Blende und Abweichung der Geometrie
durch ungenaue Einstellung der Resonatorspiegel sein.
\begin{figure}[H]\centering
\begin{figure}[b]\centering
\includegraphics[width=.8\columnwidth]{figs/kaustik.pdf}
\caption{Gemessene und Theoretische Kaustik}
\label{fig:kaustik}
\end{figure}
\begin{table}[h]
\begin{table}[b]
\centering
\begin{tabular}{SSS}
\toprule
@ -752,7 +752,7 @@ durch ungenaue Einstellung der Resonatorspiegel sein.
Das in~\ref{fig:faserspek} geplottete Spektrum zeigt, wie zu erwarten
war, einen gro\ss{}en Peak bein
\(\lambda_0=\SI{631.89}{\nano\meter}\). Es sind keine individuellen
\(\lambda_0=\SI{631.9}{\nano\meter}\). Es sind keine individuellen
Moden erkennbar. Der Abstand der einzelnen Messpunkte betr\"agt rund
\(\Delta\lambda=\SI{.5}{\nano\meter}\).
@ -771,7 +771,7 @@ aus \(L=\SI{80+-.5}{\centi\meter}\) erst in vierter Nachkommastelle):
\end{equation}
Somit k\"onnen keine individuellen Moden aufgel\"ost werden.
\begin{figure}[h]\centering
\begin{figure}[b]\centering
\includegraphics[width=.8\columnwidth]{figs/faserspek.pdf}
\caption{Spektrum des offenen \hne{}s}
\label{fig:faserspek}
@ -800,45 +800,57 @@ kann man eine Beziehung zwischen \si{u} und \si{\hertz} herstellen.
\end{eqnarray}
Die Aufl\"osung des FPI ist also um gr\"o\ss{}enordnungen besser, als
die des Faserspektrometers.
die des Faserspektrometers. Die Unsicherheit der Einheitsumrechnung,
die sich aus der L\"angenmessung des FPI und dem
Digitalisierungsungenauigkeit fortpflanzt, ist erstaunlich gering.
\begin{figure}[h]\centering
\begin{figure}[b]\centering
\includegraphics[width=.8\columnwidth]{figs/fsrkalib.pdf}
\caption{Kalibrierung des FSR, Spektrum des Kommerzielen \hne{}}
\label{fig:fsrkalib}
\end{figure}
Falls eine Gr\"
Falls eine Gr\"o\ss{}e \(g\) in \si{u} gemessen und dann in \si{\hertz}
umgerechnet wird, so gilt f\"ur ihre unsicherheit:
\begin{equation}
\label{eq:uerr}
\Delta g = \sqrt{\qty(g\cdot\Delta u)^2 + \qty(\Delta g\cdot u)^2}
\end{equation}
Diese Relation wird im Folgenden immer angwandt.
\subsection{Bestimmung der Finesse}
\label{sec:bestfinesse}
Zur bestimmung der Finesse wurde das FWHM der vier Peaks
in~\ref{fig:fsrkalib} gemittelt.
\begin{eqnarray}
\begin{align}
\label{eq:fwhmlaser}
\overline{\text{FWHM}} = \SI{4.72\pm .31}{u} = \SI{81\pm
\overline{\text{FWHM}} =&\; \SI{4.72}{u} = \SI{81\pm
6}{\mega\hertz} \\
\Delta\overline{\text{FWHM}} =
\sigma_{\overline{\text{FWHM}}} =&\; \SI{.31}{u}\\
\Delta\overline{\text{FWHM}} =&
\sqrt{\qty(\overline{\text{FWHM}}\cdot\Delta u)^2 +
\qty(\frac{\sigma_{\overline{\text{FWHM}}}}{\sqrt{4}}\cdot u)^2}
\end{eqnarray}
\end{align}
F\"ur die Finesse gilt nun:
\begin{eqnarray}
\begin{align}
\label{eq:finesselaser}
\mathfrak{F}=\frac{\text{FSR}}{\text{FWHM}}=\SI{24.6\pm 2.0}{} \\
\Delta\mathfrak{F} =
\mathfrak{F} =& \frac{\text{FSR}}{\text{FWHM}}=\SI{24.6\pm 2.0}{} \\
\Delta\mathfrak{F} =&
\sqrt{\qty(\frac{\Delta\text{FSR}}{\text{FWHM}})^2 + \qty(\frac{\text{FSR}}{\text{FWHM}^2}\cdot\Delta\text{FWHM})^2}
\end{eqnarray}
\end{align}
Das ist sicherlich kein \"Uberragender Wert (vgl. Anleitung, Anhang),
aber, wie in~\ref{fig:fsrkalib} zu erkennen, zur Aufl\"osung der
longitudinalen Moden ausreichend.
\subsection{Modenstruktur des Kommerziellen Lasers}
\label{sec:modkomm}
Nach~\ref{fig:polarisations} haben die beiden erkennbaren Moden des
kommerziellen Lasers genau ortogonale Polarisation. Ein plot beider
Spektra in ein Diagramm war leider nicht m\"oglich, da die Daten einer
@ -864,7 +876,141 @@ gemittelt:
\end{figure}
\begin{equation}
\label{eq:modeabstkom}
\delta\nu_k=\
\overline{\delta\nu_k}=\SI{37.6\pm 2.2}{u}=\SI{650\pm 40}{\mega\hertz}
\end{equation}
Die ungenauigkeiten kommen hier aus der Statistik der Mittelung.
Damit kann nun die unbekannte L\"ange des Resonators bestimmt werden.
\begin{align}
L_k =& \frac{c}{2\cdot \delta\nu_k} = \SI{23.1\pm 1.6}{\centi\meter}
\\
\Delta L_k =& \abs{\frac{c}{2\cdot\delta\nu_k^2}\cdot \Delta\delta\nu_k}
\end{align}
Dieses Ergebnis erschein plausibel und die Pr\"azision ist mit den
vorhergehenden L\"angenmessungen vergleichbar.
\subsection{Longitudinale Modenstruktur des Offnen \hne{}}
\label{sec:longoff}
Die Bestimmung des Modenabstandes verl\"auft analog
zu~\ref{sec:modkomm} (auch hier wird gemittelt). Da sich der Masstab
der Zeitachse des Oszilloskops ge\"ander hat, muss die Umrechnung in
\si{\hertz} wieder analog zu~\ref{sec:kalibzeitausw} kalibriert
werden.
Die gemessenen Spektra und Peakpositionen sind in~\ref{fig:off_80_60} dargestellt.
\begin{figure}[b]\centering
\includegraphics[width=.5\columnwidth]{figs/off_80.pdf}
\includegraphics[width=.5\columnwidth]{figs/off_60.pdf}
\caption{Spektrum des offenen \hne{} bei \(L=\SI{80}{\centi\meter}\)
und \(L=\SI{60}{\centi\meter}\)}
\label{fig:off_80_60}
\end{figure}
Die pr\"azision ist hier durmh die geringe Anzahl von sichtbaren Moden
limitiert.
Die Ungenauigkeit der Messung der Resonatorl\"ange wurde wiered auf
\SI{.5}{\centi\meter} gesch\"atzt.
Mit~\ref{eq:longmodes} kann aus der Resonatorl\"ange der Mberechnet
werden. Man erh\"alt nun f\"ur die Modenabst\"ande:
\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{SSS}
\toprule
{\(L\) [\si{\centi\meter}]} & {\(\delta\nu\) Theorie [\si{\mega\hertz}]} & {\(\delta\nu\) Experimentell [\si{\mega\hertz}]}\\
\midrule
80 & 187.4\pm 1.2 & 201\pm 14 \\
60 & 249.8\pm 2.1 & 279\pm 11 \\
\bottomrule
\end{tabular}
\caption{Modenabs\"ande am Offenen \hne{}}
\label{tab:kaustik}
\end{table}
Es ergibt sich also f\"ur \(L=\SI{60}{\centi\meter}\) ergibt sich also
\"ubereinstimmung innerhalb der Fehlergrenzen. F\"ur
\(L=\SI{60}{\centi\meter}\) ist die differenz gr\"o\ss{}er als die
Messungenaugkeiten. Dieser Umstand k\"onnte eventuell auf die geringe
Anzahl von Peaks \"uber die gemittelt wird zur\"uzufu\"hern sein. Da
somit die Statistik mangelhaft wird, k\"onnten vernachl\"assigte
systematische Abweichungen zum Tragen kommen (die Messunsicherheiten
wurden untersch\"atzt).
\subsection{Betrachtung der Linienverbreiterung}
\label{sec:linver}
Die geringe Anzahl sichtbaren Moden macht es schwierig, qualifizierte
Aussagen \"uber die Einh\"ullende zu treffen. Die geringe Anzahl der
sichtbaren Moden l\"asst auf eine hohe Verlustgrenze
schlie\ss{}en. Eventuel wurden auch die zum Ausblenden der
ungew\"unschten Transversalmoden verwendete Blende zusehr zugedreht.
Die Temperatur in der Laser R\"ohre sollte die Umgebungstemperatur
\(\approx \SI{300}{\kelvin}\) \"ubersteigen. Wie in der Anleitung und
in \todo{Buch Zitieren} dargestellt, sollte bei solchen Temperaturen
der Hauptanteil der Linienverbreiterung durch die Inhomogene
Dopplerverbreiterung zustandekommen. Die einh\"ullende des
Modenspektrums sollte also einer Gausskurve Gleichen, da die
Intensit\"aten der einzelnen Moden zum Profil der Dopplerverbreiterung
proportional sind (Gau\ss{}kurve).
Um einen sch\"atzer f\"ur die Linienverbreiterung zu erhalten wurde
eine Gaussfunktion \"uber die drei bei \(L=\SI{80}{\centi\meter}\)
sichtbaren Peaks mit abgezogener Baseline gefittet
(siehe~\ref{fig:fit_einh}). Als freie Parameter wurden die
Standartabweichung \(\sigma\) und die H\"ohe gew\"ahlt. Der
Mittelwert wurde fest auf den h\"ochsten Peak gelegt, da die
Verst\"arkung im Zentrum des Verbreiterungsprofiels am gr\"o\ss{}ten
ist.
\begin{figure}[b]\centering
\includegraphics[width=.8\columnwidth]{figs/verbr_fit.pdf}
\caption{Einh\"ullende der Intesit\"aten der Longitudinalen Moden
des Offenen \hne{}}
\label{fig:fit_einh}
\end{figure}
F\"ur die Standardabweichung und Breite ergibt sich nun:
\begin{align}
\sigma =& \SI{53\pm 20}{u} = \SI{340\pm 130}{\mega\hertz} \\
\Delta\nu =& 2\sqrt{2\ln{2}}\cdot\sigma = \SI{800\pm 300}{\mega\hertz}
\end{align}
Die Abweichung von \(\sigma\) ergibt sich nicht aus dem fit Residuum,
sondern wurde gesch\"atzt. Die erhaltene Lininenverbreiterung
\(\Delta\nu\) ist ungef\"ahr halb so gro\ss{} wie der in der
Literatur f\"ur \hne{} angegebene \todo{Zitat aus dem Laserbuch!}.
Dementsprechend erh\"alt man mit~\ref{eq:doppler} (angepasst f\"ur
\(\sigma\) anstatt der Halbwertsbreite), wobei
\(m=\SI{3.35092e-26}{\kg}\) und \(\nu_0=\SI{473.755}{\tera\hertz}\)
\todo{Zitat Wikipedia qelle suchen}
\begin{align}
\label{eq:temp}
T = \qty(\frac{\sigma\cdot c}{\nu_0})^2\cdot \frac{m}{k_B}=\SI{110\pm 90}{\kelvin}
\end{align}
Das ist also selbst mit bei Auss\"opfung der Unsicherheitsgernzen kein
sinnvolles Ergebnis, da die Temperatur sehr weit unter dem
Gefrierpunkt und allemal unter der Zimmertemperatur
liegt. Da~\ref{eq:temp} Quadratisch in \(\sigma\) ist, bewirkt eine
verdopplung der Breite eine Vervierfachung der erhaltenen
Temperatur. Die zu geringe Linienbreite verf\"alscht die errechnete
Temperatur also enorm. F\"ur ein plausibles Ergebnis w\"ahre fast die
Doppelte breite \(\sigma\) notwendig. Soetwas l\"asst sich nicht als
Unsicherheit behandeln, da die Fehlergrenzen dann negative Temperaturen
(in \si{\kelvin}) umfassen.
Drei sichtbare Moden lassen also keine vern\"unftige
Temperaturabsch\"atzung zu.
\end{document}

261
GL/scripts/FPI.ipynb
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@ -2,7 +2,7 @@
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" plt.plot(xdata, ydata, label='Spektrum')\n",
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" plt.xlabel('Zeit [u]')\n",
" plt.ylabel('Amplitude [mV]')\n",
" plt.legend()\n",
" plt.autoscale(enable=True, axis='x', tight=True)\n",
" plt.show()\n",
" \n",
" plot_peaks(ydata, all_peaks)\n",
" dists = np.concatenate([d[1:] - d[:-1] for d in peak_batches])\n",
" dist = dists.mean(), dists.std()/np.sqrt(len(dists))\n",
" return SecondaryValue('u*d')(u=new_unit, d=dist)\n",
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"mode_dist = SecondaryValue('c/(2*L)', defaults=dict(c=29979245800))\n"
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"plot_peaks(doppler_data, doppler_peaks)\n",
"xs = np.linspace(0, 250, 1000)\n",
"plt.plot(xs, gauss(xs, *doppler), label='Einhuellende')\n",
"plt.legend()\n",
"plt.show()\n",
"\n",
"sigma = SecondaryValue('s*u')(s=(doppler[0], 40), u=unit_1)"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 174,
"metadata": {
"autoscroll": false,
"collapsed": false,
"ein.hycell": false,
"ein.tags": "worksheet-0",
"slideshow": {
"slide_type": "-"
}
},
"outputs": [
{
"data": {
"text/plain": [
"(113.22422437226905, 170.7171426794478)"
]
},
"execution_count": 174,
"metadata": {},
"output_type": "execute_result"
}
],
"source": [
"T = SecondaryValue('(s*c/n0)^2*m/k')(c=299792458, s=sigma, m=3.35092e-26, n0=4.73755e14, k=1.380649e-23)\n",
"T"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 172,
"metadata": {
"autoscroll": false,
"collapsed": false,
"ein.hycell": false,
"ein.tags": "worksheet-0",
"slideshow": {
"slide_type": "-"
}
},
"outputs": [
{
"data": {
"text/plain": [
"1346844852.1465542"
]
},
"execution_count": 172,
"metadata": {},
"output_type": "execute_result"
}
],
"source": [
"sigma[0]*2*np.sqrt(2*np.log(2))"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 158,
"metadata": {
"autoscroll": false,
"collapsed": false,
"ein.hycell": false,
"ein.tags": "worksheet-0",
"slideshow": {
"slide_type": "-"
}
},
"outputs": [
{
"data": {
"text/plain": [
"(array([53.11198736, 47.34934225]),\n array([8.08987576, 4.31644846]),\n (341320515.0376786, 129049367.49361125))"
]
},
"execution_count": 158,
"metadata": {},
"output_type": "execute_result"
}
],
"source": [
"doppler, ddoppler, sigma"
]
}
],
"metadata": {
"kernelspec": {
"argv": [
"/usr/bin/python3",
"python",
"-m",
"ipykernel_launcher",
"-f",