hiro/fpraktikum
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hiro98 2020-01-12 19:41:12 +01:00
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PET/auswertung/Untitled.ipynb
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PET/auswertung/figs/calibration/lenght_det.pdf
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PET/auswertung/figs/calibration/mid_over_energy.pdf
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PET/auswertung/figs/calibration/time_range.pdf
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480
PET/auswertung/out/figlist.txt
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@ -646,4 +646,484 @@
\caption{} \caption{}
\label{fig:calibration-all_times} \label{fig:calibration-all_times}
\end{figure} \end{figure}
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\label{fig:calibration-lenght_det}
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\label{fig:calibration-lenght_det}
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\caption{}
\label{fig:calibration-lenght_det}
\end{figure}

14
PET/auswertung/utility.py
View file

@ -52,9 +52,10 @@ def pinmp_ticks(axis, ticks):
axis.set_minor_locator(ticker.MaxNLocator(ticks*10)) axis.set_minor_locator(ticker.MaxNLocator(ticks*10))
return axis return axis
def set_up_plot(ticks=10, pimp_top=True): def set_up_plot(ticks=10, pimp_top=True, subplot=111, fig=None):
fig = plt.figure() if fig is None:
ax = fig.add_subplot(111) fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(subplot)
pinmp_ticks(ax.xaxis, ticks) pinmp_ticks(ax.xaxis, ticks)
pinmp_ticks(ax.yaxis, ticks) pinmp_ticks(ax.yaxis, ticks)
@ -90,6 +91,10 @@ def save_fig(fig, title, folder='unsorted', size=(5, 4)):
\label{fig:''' + folder + '-' + title + '''} \label{fig:''' + folder + '-' + title + '''}
\end{figure} \end{figure}
''') ''')
def plot_all(axes, counts, label):
axt, axa, axb = axes
c_t, c_a, c_b = counts
def plot_spectrum(counts, offset=1, save=None, **pyplot_args): def plot_spectrum(counts, offset=1, save=None, **pyplot_args):
fig, ax = set_up_plot() fig, ax = set_up_plot()
@ -120,7 +125,8 @@ def find_and_plot_peak(counts, ax, label):
times, d_times = channel_to_time(channels) times, d_times = channel_to_time(channels)
splot = ax.step(times, counts, label=label, alpha=.4) splot = ax.step(times, counts, label=label, alpha=.4)
opt, cov = curve_fit(gauss, channels, counts, p0=(1, counts.argmax(), 100)) opt, cov = curve_fit(gauss, channels, counts,
p0=(1, counts.argmax(), 100))
cov = np.sqrt(np.diag(cov)) cov = np.sqrt(np.diag(cov))
gplot = ax.plot(times, gauss(channels,*opt), label=f"Fit {label}", color=splot[0].get_color()) gplot = ax.plot(times, gauss(channels,*opt), label=f"Fit {label}", color=splot[0].get_color())
ax.axvline(channel_to_time(opt[1])[0], color=gplot[0].get_color()) ax.axvline(channel_to_time(opt[1])[0], color=gplot[0].get_color())

198
PET/protokoll/protokoll.tex
View file

@ -110,16 +110,18 @@ Die Projektion ordnet dabei den auf der Projektionsgeraden \(s\) befindlichen Pu
Linienintegral \(p(s, \vartheta)\) zu: Linienintegral \(p(s, \vartheta)\) zu:
\begin{equation}\label{eq:linienint} \begin{equation}\label{eq:linienint}
p(s, \vartheta) = \int_{-R_I}^{+R_I} f_I(s \cdot \cos \vartheta - t \cdot \sin \vartheta, s \cdot \sin\vartheta + t \cdot \cos\vartheta) p(s, \vartheta) = \int_{-R_I}^{+R_I} f_I(s \cdot \cos
\vartheta - t \cdot \sin \vartheta, s \cdot \sin\vartheta + t
\cdot \cos\vartheta) \dd{t}
\end{equation} \end{equation}
Wobei folgende Beziehungen genutzt wurden: Wobei folgende Beziehungen genutzt wurden:
\begin{align} \begin{align}
s = x \cdot \cos\vartheta + y \cdot \sin\vartheta \\ s &= x \cdot \cos\vartheta + y \cdot \sin\vartheta \\
x = s \cdot \cos \vartheta - t \cdot \sin \vartheta \\ x &= s \cdot \cos \vartheta - t \cdot \sin \vartheta \\
y = s \cdot \sin\vartheta + t \cdot \cos\vartheta \\ y &= s \cdot \sin\vartheta + t \cdot \cos\vartheta \\
R_I = \sqrt{x^2 + y^2} R_I &= \sqrt{x^2 + y^2}
\end{align} \end{align}
Stellt man die Funktion \(p(s, \vartheta)\) zweidimensional dar, erhält man ein so genanntes Stellt man die Funktion \(p(s, \vartheta)\) zweidimensional dar, erhält man ein so genanntes
@ -128,6 +130,192 @@ Stellt man die Funktion \(p(s, \vartheta)\) zweidimensional dar, erhält man ein
\section{Auswertung} \section{Auswertung}
\label{sec:ausw} \label{sec:ausw}
\subsection{Kalibrierung}
\label{sec:kalib}
\subsubsection{Festlegung der Energie und Koinzidenzzeitfenster}
Beschreibung Messung etc....
Messzeit:
\begin{equation}
\label{eq:caltime}
T = \SI{647\pm}{\second}
\end{equation}
\label{sec:energkozeit}
Zur bestimmung der Energiefenster wurden die (normierten) Z\"ahlraten
der beiden Detektoren f\"ur die mittige Quellposition \"uber die
Energie aufgetragen.
\begin{figure}[h]\centering
\input{../auswertung/figs/calibration/mid_over_energy.pgf}
\caption{Z\"ahlraten der beiden detektoren in Abhängigkeit der Energie.}
\label{fig:calibration-mid_over_energy}
\end{figure}
Die gew\"ahlten Energieintervalle sind
in~\ref{fig:calibration-mid_over_energy} eingezeichenet und richten
sich nach der Halbwertsbreite der prominentesten Peaks. Da in
Detektor A ein PM ausgetauscht wurde zeigt die Energiekurve andere
Charakteristiken als die von B. Interessanter weise liegen die beiden
h\"ochsten Peaks nicht aufeinander (Kalibrierungsproblem/Skalierung).
\begin{align}
R_A &= [2800, 3600] \hat{=} [582.2, 725.4]\,\si{\kilo\electronvolt}
\\
R_B &= [1600, 2300] \hat{=} [452.0, 606.0]\,\si{\kilo\electronvolt}
\end{align}
Bei der Bestimmung des Zeitintervals wurde analog durch auftragen der
Ereignisszahl \"uber die Kan\"ale vorgegangen
(\ref{fig:calibration-time_range}). Dabei wurde die Intervalbreite
etwas gr\"o\ss{}er als die die Halbwertsbreite gew\"ahlt um eine gute
Z\"ahlrate zu gew\"ahrleisten.
\begin{figure}[h]\centering
\input{../auswertung/figs/calibration/time_range.pgf}
\caption{Ereignisszahl \"uber Kanal zur Bestimmung der Zeitschranken.}
\label{fig:calibration-time_range}
\end{figure}
\begin{align}
\label{eq:timeint}
R_T &= [970, 1140] \hat{=} [46.813\pm 0.027, 55.024\pm
0.030]\,\si{\nano\second} = [t_1, t_2]
\end{align}
\subsubsection{Koinzidenzaufl\"osungszeit, Anteil zuf\"alliger
Koinzidenze und Koinzidenznachweiseffektivit\"at}
\label{sec:koaufl}
Nimmt man die Differnz der beiden Endpunkte von~\eqref{eq:timeint} so
ergiebt sich die Koinzidenzaufl\"osungszeit \(\tau\) zu:
\begin{equation}
\label{eq:koauf}
\tau = t_2 - t_1 \pm \sqrt{\qty(\Delta t_1)^2 + \qty(\Delta t_2)^2}
= \SI{8.21\pm .04}{\nano\second}
\end{equation}
Dieser Wert liegt in der Gr\"o\ss{}enordnung der Lichtlaufzeit
zweischen den Detektoren (ca. \SI{1}{\nano\second}).
Die Koinzidenzz\"ahlrate (ohne Filterung nach Energie) ergibt sich
durch Summierung der Ereignisszahlen (\(\Delta N = \sqrt{N}\),
Poisson) im Zeitinterval~\eqref{eq:timeint} und der Division
durch~\eqref{eq:caltime}.
\begin{equation}
\label{eq:ctrate}
\mathfrak{R} = \frac{N}{T} \pm \sqrt{\frac{N}{T^2} +
\qty(\frac{N}{T^2}\cdot \Delta T)^2} = \SI{422.7\pm 1.5}{\second^{-1}}
\end{equation}
Die Aktivität der \ce{22^Na} Kalibrierungsprobe ergibt sich mit
\(t=\SI{212198400}{\second},\, t_{1/2} = \SI{2.6027\pm .0010}{\second}\) und \(A_0
= \SI{1.36}{\mega\becquerel}\) (1.10.2014, Abw. \SI{3}{\percent}).
\begin{equation}
\label{eq:acttoday}
A = A_0\cdot \qty(\frac{1}{2})^{t/t_{1/2}} = \SI{.227\pm.007}{\mega\becquerel}
\end{equation}
Die Z\"ahlate der zuf\"alligen Koinzidenzen ergibt sich aus
\todo{!!!!! GLEICHUNG} mit der Kantenl\"ange des Detektors
\(a=\SI{54}{\milli\meter}\) und dem Detektorabstand
\(D=\SI{386}{\milli\meter}\) sowie
\(\Omega_{min} = \frac{4a^2}{D^2} = 0.078,\, P_\beta = .90382\pm
.00021,\, \)
\begin{align}
\label{eq:incidentalrate}
\mathfrak{R}_Z &= \qty[4\tau\cdot A\cdot
\qty(\frac{\Omega_{min}}{2\pi})]\cdot \mathfrak{R} \pm
\sqrt{\qty(\frac{\Delta\tau}{\tau})^2 + \qty(\frac{\Delta A}{A})^2 +
\qty(\frac{\Delta\Omega_{min}}{\Omega_{min}})^2 +
\qty(\frac{\Delta\mathfrak{R}}{\mathfrak{R}})^2} \\
&= \SI{0.0392\pm .0012}{\second^{-1}} \approx \SI{.01}{\percent}
\end{align}
Die zuf\"alligen Koinzidenzen spielen hier also nur eine
untergeordnete Rolle und k\"onnen in guter N\"aherung vernachl\"assigt werden.
Die Koinzidenznachweiseffektivit\"at bestimmt sich
\todo{equathsitoenshtioesnht} zu:
\begin{align}
\epsilon & = \frac{\mathfrak{R}}{P_\beta\cdot A\cdot
\frac{\Omega_\min}{2\pi}} \pm \sqrt{\qty(\frac{\Delta A}{A})^2 +
\qty(\frac{\Delta\Omega_{min}}{\Omega_{min}})^2 +
\qty(\frac{\Delta P_\beta}{P_\beta})^2 +
\qty(\frac{\Delta\mathfrak{R}}{\mathfrak{R}})^2} \\
& = \SI{16.6\pm 1.2}{\percent}
\end{align}
Damit ist die Effektivit\"at, wie im folgenden zu sehen, zwar
ausreichend f\"ur einigerma\ss{}en z\"ugigie Messungen, k\"onnte aber
optimiert werden. Der hier gefundene Wert stellt einen sch\"atzer
f\"ur die Effektivit\"at mit bestimmten Zeit-, aber unbestimmten
Energieintervall da.
\subsubsection{Einfluss der Quellposition}
\label{sec:quellpos}
Die Energie und Zeitspektren f\"ur verschiedene Quellpositionen sind
in~\ref{fig:calibration-comp} dargestellt.
\begin{figure}[H]\centering
\input{../auswertung/figs/calibration/comp.pgf}
\caption[Vergleich der Quellpositionen]{Zeit und Energiespektren f\"ur Verschiedene
Quellpositionen. (Links \(=\) bei Detektor A), relevante Ausschnitte}
\label{fig:calibration-comp}
\end{figure}
Die Z\"ahlrate ist generell f\"ur die mittlere Quellposition am
wenigsten breit verteilt, da die Anordnung so am symetrischsten- und
der l\"angste Detektorabstand am geringsten ist. Im Zeitspektrum sieht
man eine Verschiebung des Peaks entsprechend des Laufzeitunterschiedes
der Positionen. F\"ur den Vergleich der Energiespektra eignet sich
Detektor B am besten, da er der urspr\"unglichen konfiguration
entspricht. So erkennt man, das sich f\"ur die Linke Position (bei
Detektor A) entsprechend eine h\"ohere Z\"ahlrate f\"ur
niederenergetische Ereignisse bei Detektor B ergibt (Analog bei Det. A
f\"ur die rechte Position). Dies k\"onnte unter anderem von Streuueng
bedingt sein. Dabei ist die Verteilung des jeweils anderen Detektors
bei h\"oheren Energien angehoben (gleiche Gesamtereignisszahl,
Umverteilung entsprechend h\"oherer ungestreuter Energie). Die Peaks
sind generell zu niedrigeren Energien verschoben.
Bildet man die Differenz der Peakpositionen im Zeitspektrum f\"ur die Linke und
die rechte Quellposition (mittlere wird bei Mittelung redundant) so
ergibt sich die Doppelte Lichtlaufzeit zwischen den Detektoren (\(t_0
+ \mathfrak{t} - (t_0
- \mathfrak{t}) = 2\mathfrak{t}\)).
Um die Peakpositionen zu erhalten, wurden Gaussfunktionen \"uber die
Zeitspektren gefittet. Als ma\ss{} f\"ur die Peakbreite und damit die
(statistische) Unsicherheit wurde \(1/10\) des \(\sigma\) Parameters
der Gaussfunktion genutzt (heuristische Absch\"atzung). Nicht explizit
betrachtet werden hier der Endliche Quellendurchmesser
\SI{2.5}{\centi\meter} sowie der Restabstand der Quelle zum Detektor
(kleiner \SI{1}{\centi\meter}). Der Prozess wird
in~\ref{fig:calibration-lenght_det} illustriert.
\begin{figure}[H]\centering
\input{../auswertung/figs/calibration/lenght_det.pgf}
\caption[Abstandsbestimmung]{Bestimmung der Peakpositionen der Zeitspektren zwecks der
Berechnung des Detektorabstandes. Die farbigen Intervalmarkierung
stellen die gesch\"atzte Abweichung dar.}
\label{fig:calibration-lenght_det}
\end{figure}
Entsprechend ergibt sich dann der Detektorabstand zu:
\begin{align}
\label{eq:abst}
\mathfrak{t} &= \SI{2.2\pm .6}{\nano\second} \\
D &= \frac{\mathfrak{t}}{2c} = \SI{330\pm 90}{\milli\meter}
\end{align}
\subsection{Theoriebeispiel} \subsection{Theoriebeispiel}
\label{sec:theobei} \label{sec:theobei}
Zur Verbesserung des verst\"andnisses der Projektions- und Zur Verbesserung des verst\"andnisses der Projektions- und