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\label{fig:calibration-mid_over_energy}
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\label{fig:calibration-mid_over_energy}
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\label{fig:calibration-mid_over_energy}
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\label{fig:calibration-mid_over_energy}
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\begin{figure}[H]\centering
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\label{fig:calibration-mid_over_energy}
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\label{fig:calibration-mid_over_channel}
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\end{figure}
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\begin{figure}[H]\centering
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\input{../auswertung/figs/calibration/time_range.pgf}
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\label{fig:calibration-time_range}
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\end{figure}
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\label{fig:calibration-all_times}
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\label{fig:calibration-lenght_det}
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\end{figure}
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\label{fig:calibration-comp}
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\end{figure}
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\label{fig:calibration-comp}
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\end{figure}
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\input{../auswertung/figs/calibration/comp.pgf}
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\caption{}
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\label{fig:calibration-comp}
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\end{figure}
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\input{../auswertung/figs/calibration/comp.pgf}
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\caption{}
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\label{fig:calibration-comp}
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\end{figure}
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\label{fig:calibration-comp}
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\end{figure}
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\caption{}
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\label{fig:calibration-comp}
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\input{../auswertung/figs/calibration/comp.pgf}
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\label{fig:calibration-comp}
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\label{fig:calibration-comp}
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\label{fig:calibration-comp}
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\input{../auswertung/figs/calibration/comp.pgf}
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\label{fig:calibration-comp}
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\end{figure}
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\label{fig:calibration-comp}
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\input{../auswertung/figs/calibration/comp.pgf}
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\label{fig:calibration-comp}
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\label{fig:calibration-comp}
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\input{../auswertung/figs/calibration/comp.pgf}
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\label{fig:calibration-comp}
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\input{../auswertung/figs/calibration/comp.pgf}
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\caption{}
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\label{fig:calibration-comp}
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\end{figure}
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\input{../auswertung/figs/calibration/comp.pgf}
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\caption{}
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\label{fig:calibration-comp}
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\end{figure}
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\input{../auswertung/figs/calibration/comp.pgf}
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\label{fig:calibration-comp}
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\end{figure}
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\input{../auswertung/figs/calibration/comp.pgf}
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\caption{}
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\label{fig:calibration-comp}
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\end{figure}
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\input{../auswertung/figs/calibration/comp.pgf}
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\label{fig:calibration-comp}
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\end{figure}
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\input{../auswertung/figs/calibration/comp.pgf}
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\caption{}
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\label{fig:calibration-comp}
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\end{figure}
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\label{fig:calibration-all_times}
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\end{figure}
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\begin{figure}[H]\centering
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\input{../auswertung/figs/calibration/comp.pgf}
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\label{fig:calibration-comp}
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\end{figure}
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\begin{figure}[H]\centering
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\input{../auswertung/figs/calibration/comp.pgf}
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\caption{}
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\label{fig:calibration-comp}
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\end{figure}
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\input{../auswertung/figs/calibration/comp.pgf}
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\caption{}
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\label{fig:calibration-comp}
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\end{figure}
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\input{../auswertung/figs/calibration/comp.pgf}
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\label{fig:calibration-comp}
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\end{figure}
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\input{../auswertung/figs/calibration/comp.pgf}
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\caption{}
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\label{fig:calibration-comp}
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\end{figure}
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\input{../auswertung/figs/calibration/comp.pgf}
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\caption{}
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\label{fig:calibration-comp}
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\end{figure}
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\begin{figure}[H]\centering
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\input{../auswertung/figs/calibration/comp.pgf}
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\caption{}
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\label{fig:calibration-comp}
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\end{figure}
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\begin{figure}[H]\centering
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\input{../auswertung/figs/calibration/comp.pgf}
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\caption{}
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\label{fig:calibration-comp}
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\end{figure}
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\input{../auswertung/figs/calibration/comp.pgf}
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\caption{}
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\label{fig:calibration-comp}
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\end{figure}
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\input{../auswertung/figs/calibration/comp.pgf}
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\caption{}
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\label{fig:calibration-comp}
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\end{figure}
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\begin{figure}[H]\centering
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\input{../auswertung/figs/calibration/comp.pgf}
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\caption{}
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\label{fig:calibration-comp}
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\end{figure}
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\begin{figure}[H]\centering
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\input{../auswertung/figs/calibration/comp.pgf}
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\caption{}
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\label{fig:calibration-comp}
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\end{figure}
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\begin{figure}[H]\centering
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\input{../auswertung/figs/calibration/comp.pgf}
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\caption{}
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\label{fig:calibration-comp}
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\end{figure}
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\begin{figure}[H]\centering
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\input{../auswertung/figs/calibration/comp.pgf}
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\caption{}
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\label{fig:calibration-comp}
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\end{figure}
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\begin{figure}[H]\centering
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\input{../auswertung/figs/calibration/comp.pgf}
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\caption{}
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\label{fig:calibration-comp}
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\end{figure}
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\begin{figure}[H]\centering
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\input{../auswertung/figs/calibration/comp.pgf}
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\caption{}
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\label{fig:calibration-comp}
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\end{figure}
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\begin{figure}[H]\centering
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\input{../auswertung/figs/calibration/comp.pgf}
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\caption{}
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\label{fig:calibration-comp}
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\end{figure}
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\begin{figure}[H]\centering
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\input{../auswertung/figs/calibration/comp.pgf}
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\caption{}
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\label{fig:calibration-comp}
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\end{figure}
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\begin{figure}[H]\centering
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\input{../auswertung/figs/calibration/comp.pgf}
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\caption{}
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\label{fig:calibration-comp}
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\end{figure}
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\begin{figure}[H]\centering
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\input{../auswertung/figs/calibration/comp.pgf}
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\caption{}
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\label{fig:calibration-comp}
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\end{figure}
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\begin{figure}[H]\centering
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\input{../auswertung/figs/calibration/comp.pgf}
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\caption{}
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\label{fig:calibration-comp}
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\end{figure}
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\begin{figure}[H]\centering
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\input{../auswertung/figs/calibration/comp.pgf}
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\caption{}
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\label{fig:calibration-comp}
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\end{figure}
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\begin{figure}[H]\centering
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\input{../auswertung/figs/calibration/comp.pgf}
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\caption{}
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\label{fig:calibration-comp}
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\end{figure}
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\begin{figure}[H]\centering
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\input{../auswertung/figs/calibration/comp.pgf}
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\caption{}
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\label{fig:calibration-comp}
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\end{figure}
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\begin{figure}[H]\centering
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\input{../auswertung/figs/calibration/comp.pgf}
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\caption{}
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\label{fig:calibration-comp}
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\end{figure}
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\begin{figure}[H]\centering
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\input{../auswertung/figs/calibration/comp.pgf}
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\caption{}
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\label{fig:calibration-comp}
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\end{figure}
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\begin{figure}[H]\centering
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\input{../auswertung/figs/calibration/comp.pgf}
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\caption{}
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\label{fig:calibration-comp}
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\end{figure}
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\begin{figure}[H]\centering
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\input{../auswertung/figs/calibration/comp.pgf}
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\caption{}
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\label{fig:calibration-comp}
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\end{figure}
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\begin{figure}[H]\centering
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\input{../auswertung/figs/calibration/lenght_det.pgf}
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\caption{}
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\label{fig:calibration-lenght_det}
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\end{figure}
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\begin{figure}[H]\centering
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\input{../auswertung/figs/calibration/lenght_det.pgf}
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\caption{}
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\label{fig:calibration-lenght_det}
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\end{figure}
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\begin{figure}[H]\centering
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\input{../auswertung/figs/calibration/lenght_det.pgf}
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\caption{}
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\label{fig:calibration-lenght_det}
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\end{figure}
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\begin{figure}[H]\centering
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\input{../auswertung/figs/calibration/lenght_det.pgf}
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\caption{}
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\label{fig:calibration-lenght_det}
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\end{figure}
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\begin{figure}[H]\centering
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\input{../auswertung/figs/calibration/lenght_det.pgf}
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\caption{}
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\label{fig:calibration-lenght_det}
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\end{figure}
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||||
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||||
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|
@ -52,9 +52,10 @@ def pinmp_ticks(axis, ticks):
|
|||
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|
||||
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|
||||
|
||||
def set_up_plot(ticks=10, pimp_top=True):
|
||||
fig = plt.figure()
|
||||
ax = fig.add_subplot(111)
|
||||
def set_up_plot(ticks=10, pimp_top=True, subplot=111, fig=None):
|
||||
if fig is None:
|
||||
fig = plt.figure()
|
||||
ax = fig.add_subplot(subplot)
|
||||
|
||||
pinmp_ticks(ax.xaxis, ticks)
|
||||
pinmp_ticks(ax.yaxis, ticks)
|
||||
|
|
@ -90,6 +91,10 @@ def save_fig(fig, title, folder='unsorted', size=(5, 4)):
|
|||
\label{fig:''' + folder + '-' + title + '''}
|
||||
\end{figure}
|
||||
''')
|
||||
def plot_all(axes, counts, label):
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||||
axt, axa, axb = axes
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||||
c_t, c_a, c_b = counts
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||||
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||||
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||||
def plot_spectrum(counts, offset=1, save=None, **pyplot_args):
|
||||
fig, ax = set_up_plot()
|
||||
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|
@ -120,7 +125,8 @@ def find_and_plot_peak(counts, ax, label):
|
|||
times, d_times = channel_to_time(channels)
|
||||
|
||||
splot = ax.step(times, counts, label=label, alpha=.4)
|
||||
opt, cov = curve_fit(gauss, channels, counts, p0=(1, counts.argmax(), 100))
|
||||
opt, cov = curve_fit(gauss, channels, counts,
|
||||
p0=(1, counts.argmax(), 100))
|
||||
cov = np.sqrt(np.diag(cov))
|
||||
gplot = ax.plot(times, gauss(channels,*opt), label=f"Fit {label}", color=splot[0].get_color())
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||||
ax.axvline(channel_to_time(opt[1])[0], color=gplot[0].get_color())
|
||||
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@ -110,16 +110,18 @@ Die Projektion ordnet dabei den auf der Projektionsgeraden \(s\) befindlichen Pu
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Linienintegral \(p(s, \vartheta)\) zu:
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||||
\begin{equation}\label{eq:linienint}
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||||
p(s, \vartheta) = \int_{-R_I}^{+R_I} f_I(s \cdot \cos \vartheta - t \cdot \sin \vartheta, s \cdot \sin\vartheta + t \cdot \cos\vartheta)
|
||||
p(s, \vartheta) = \int_{-R_I}^{+R_I} f_I(s \cdot \cos
|
||||
\vartheta - t \cdot \sin \vartheta, s \cdot \sin\vartheta + t
|
||||
\cdot \cos\vartheta) \dd{t}
|
||||
\end{equation}
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||||
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||||
Wobei folgende Beziehungen genutzt wurden:
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\begin{align}
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||||
s = x \cdot \cos\vartheta + y \cdot \sin\vartheta \\
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||||
x = s \cdot \cos \vartheta - t \cdot \sin \vartheta \\
|
||||
y = s \cdot \sin\vartheta + t \cdot \cos\vartheta \\
|
||||
R_I = \sqrt{x^2 + y^2}
|
||||
s &= x \cdot \cos\vartheta + y \cdot \sin\vartheta \\
|
||||
x &= s \cdot \cos \vartheta - t \cdot \sin \vartheta \\
|
||||
y &= s \cdot \sin\vartheta + t \cdot \cos\vartheta \\
|
||||
R_I &= \sqrt{x^2 + y^2}
|
||||
\end{align}
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||||
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||||
Stellt man die Funktion \(p(s, \vartheta)\) zweidimensional dar, erhält man ein so genanntes
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@ -128,6 +130,192 @@ Stellt man die Funktion \(p(s, \vartheta)\) zweidimensional dar, erhält man ein
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\section{Auswertung}
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\label{sec:ausw}
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\subsection{Kalibrierung}
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\label{sec:kalib}
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\subsubsection{Festlegung der Energie und Koinzidenzzeitfenster}
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Beschreibung Messung etc....
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Messzeit:
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\begin{equation}
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\label{eq:caltime}
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||||
T = \SI{647\pm}{\second}
|
||||
\end{equation}
|
||||
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||||
\label{sec:energkozeit}
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||||
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||||
Zur bestimmung der Energiefenster wurden die (normierten) Z\"ahlraten
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||||
der beiden Detektoren f\"ur die mittige Quellposition \"uber die
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Energie aufgetragen.
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||||
\begin{figure}[h]\centering
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||||
\input{../auswertung/figs/calibration/mid_over_energy.pgf}
|
||||
\caption{Z\"ahlraten der beiden detektoren in Abhängigkeit der Energie.}
|
||||
\label{fig:calibration-mid_over_energy}
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||||
\end{figure}
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||||
Die gew\"ahlten Energieintervalle sind
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||||
in~\ref{fig:calibration-mid_over_energy} eingezeichenet und richten
|
||||
sich nach der Halbwertsbreite der prominentesten Peaks. Da in
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||||
Detektor A ein PM ausgetauscht wurde zeigt die Energiekurve andere
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||||
Charakteristiken als die von B. Interessanter weise liegen die beiden
|
||||
h\"ochsten Peaks nicht aufeinander (Kalibrierungsproblem/Skalierung).
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\begin{align}
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||||
R_A &= [2800, 3600] \hat{=} [582.2, 725.4]\,\si{\kilo\electronvolt}
|
||||
\\
|
||||
R_B &= [1600, 2300] \hat{=} [452.0, 606.0]\,\si{\kilo\electronvolt}
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
Bei der Bestimmung des Zeitintervals wurde analog durch auftragen der
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||||
Ereignisszahl \"uber die Kan\"ale vorgegangen
|
||||
(\ref{fig:calibration-time_range}). Dabei wurde die Intervalbreite
|
||||
etwas gr\"o\ss{}er als die die Halbwertsbreite gew\"ahlt um eine gute
|
||||
Z\"ahlrate zu gew\"ahrleisten.
|
||||
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||||
\begin{figure}[h]\centering
|
||||
\input{../auswertung/figs/calibration/time_range.pgf}
|
||||
\caption{Ereignisszahl \"uber Kanal zur Bestimmung der Zeitschranken.}
|
||||
\label{fig:calibration-time_range}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
\begin{align}
|
||||
\label{eq:timeint}
|
||||
R_T &= [970, 1140] \hat{=} [46.813\pm 0.027, 55.024\pm
|
||||
0.030]\,\si{\nano\second} = [t_1, t_2]
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
\subsubsection{Koinzidenzaufl\"osungszeit, Anteil zuf\"alliger
|
||||
Koinzidenze und Koinzidenznachweiseffektivit\"at}
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\label{sec:koaufl}
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||||
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||||
Nimmt man die Differnz der beiden Endpunkte von~\eqref{eq:timeint} so
|
||||
ergiebt sich die Koinzidenzaufl\"osungszeit \(\tau\) zu:
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:koauf}
|
||||
\tau = t_2 - t_1 \pm \sqrt{\qty(\Delta t_1)^2 + \qty(\Delta t_2)^2}
|
||||
= \SI{8.21\pm .04}{\nano\second}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
Dieser Wert liegt in der Gr\"o\ss{}enordnung der Lichtlaufzeit
|
||||
zweischen den Detektoren (ca. \SI{1}{\nano\second}).
|
||||
|
||||
Die Koinzidenzz\"ahlrate (ohne Filterung nach Energie) ergibt sich
|
||||
durch Summierung der Ereignisszahlen (\(\Delta N = \sqrt{N}\),
|
||||
Poisson) im Zeitinterval~\eqref{eq:timeint} und der Division
|
||||
durch~\eqref{eq:caltime}.
|
||||
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:ctrate}
|
||||
\mathfrak{R} = \frac{N}{T} \pm \sqrt{\frac{N}{T^2} +
|
||||
\qty(\frac{N}{T^2}\cdot \Delta T)^2} = \SI{422.7\pm 1.5}{\second^{-1}}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
Die Aktivität der \ce{22^Na} Kalibrierungsprobe ergibt sich mit
|
||||
\(t=\SI{212198400}{\second},\, t_{1/2} = \SI{2.6027\pm .0010}{\second}\) und \(A_0
|
||||
= \SI{1.36}{\mega\becquerel}\) (1.10.2014, Abw. \SI{3}{\percent}).
|
||||
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:acttoday}
|
||||
A = A_0\cdot \qty(\frac{1}{2})^{t/t_{1/2}} = \SI{.227\pm.007}{\mega\becquerel}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
Die Z\"ahlate der zuf\"alligen Koinzidenzen ergibt sich aus
|
||||
\todo{!!!!! GLEICHUNG} mit der Kantenl\"ange des Detektors
|
||||
\(a=\SI{54}{\milli\meter}\) und dem Detektorabstand
|
||||
\(D=\SI{386}{\milli\meter}\) sowie
|
||||
\(\Omega_{min} = \frac{4a^2}{D^2} = 0.078,\, P_\beta = .90382\pm
|
||||
.00021,\, \)
|
||||
|
||||
\begin{align}
|
||||
\label{eq:incidentalrate}
|
||||
\mathfrak{R}_Z &= \qty[4\tau\cdot A\cdot
|
||||
\qty(\frac{\Omega_{min}}{2\pi})]\cdot \mathfrak{R} \pm
|
||||
\sqrt{\qty(\frac{\Delta\tau}{\tau})^2 + \qty(\frac{\Delta A}{A})^2 +
|
||||
\qty(\frac{\Delta\Omega_{min}}{\Omega_{min}})^2 +
|
||||
\qty(\frac{\Delta\mathfrak{R}}{\mathfrak{R}})^2} \\
|
||||
&= \SI{0.0392\pm .0012}{\second^{-1}} \approx \SI{.01}{\percent}
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
Die zuf\"alligen Koinzidenzen spielen hier also nur eine
|
||||
untergeordnete Rolle und k\"onnen in guter N\"aherung vernachl\"assigt werden.
|
||||
|
||||
Die Koinzidenznachweiseffektivit\"at bestimmt sich
|
||||
\todo{equathsitoenshtioesnht} zu:
|
||||
|
||||
\begin{align}
|
||||
\epsilon & = \frac{\mathfrak{R}}{P_\beta\cdot A\cdot
|
||||
\frac{\Omega_\min}{2\pi}} \pm \sqrt{\qty(\frac{\Delta A}{A})^2 +
|
||||
\qty(\frac{\Delta\Omega_{min}}{\Omega_{min}})^2 +
|
||||
\qty(\frac{\Delta P_\beta}{P_\beta})^2 +
|
||||
\qty(\frac{\Delta\mathfrak{R}}{\mathfrak{R}})^2} \\
|
||||
& = \SI{16.6\pm 1.2}{\percent}
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
Damit ist die Effektivit\"at, wie im folgenden zu sehen, zwar
|
||||
ausreichend f\"ur einigerma\ss{}en z\"ugigie Messungen, k\"onnte aber
|
||||
optimiert werden. Der hier gefundene Wert stellt einen sch\"atzer
|
||||
f\"ur die Effektivit\"at mit bestimmten Zeit-, aber unbestimmten
|
||||
Energieintervall da.
|
||||
|
||||
|
||||
\subsubsection{Einfluss der Quellposition}
|
||||
\label{sec:quellpos}
|
||||
|
||||
Die Energie und Zeitspektren f\"ur verschiedene Quellpositionen sind
|
||||
in~\ref{fig:calibration-comp} dargestellt.
|
||||
\begin{figure}[H]\centering
|
||||
\input{../auswertung/figs/calibration/comp.pgf}
|
||||
\caption[Vergleich der Quellpositionen]{Zeit und Energiespektren f\"ur Verschiedene
|
||||
Quellpositionen. (Links \(=\) bei Detektor A), relevante Ausschnitte}
|
||||
\label{fig:calibration-comp}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
Die Z\"ahlrate ist generell f\"ur die mittlere Quellposition am
|
||||
wenigsten breit verteilt, da die Anordnung so am symetrischsten- und
|
||||
der l\"angste Detektorabstand am geringsten ist. Im Zeitspektrum sieht
|
||||
man eine Verschiebung des Peaks entsprechend des Laufzeitunterschiedes
|
||||
der Positionen. F\"ur den Vergleich der Energiespektra eignet sich
|
||||
Detektor B am besten, da er der urspr\"unglichen konfiguration
|
||||
entspricht. So erkennt man, das sich f\"ur die Linke Position (bei
|
||||
Detektor A) entsprechend eine h\"ohere Z\"ahlrate f\"ur
|
||||
niederenergetische Ereignisse bei Detektor B ergibt (Analog bei Det. A
|
||||
f\"ur die rechte Position). Dies k\"onnte unter anderem von Streuueng
|
||||
bedingt sein. Dabei ist die Verteilung des jeweils anderen Detektors
|
||||
bei h\"oheren Energien angehoben (gleiche Gesamtereignisszahl,
|
||||
Umverteilung entsprechend h\"oherer ungestreuter Energie). Die Peaks
|
||||
sind generell zu niedrigeren Energien verschoben.
|
||||
|
||||
Bildet man die Differenz der Peakpositionen im Zeitspektrum f\"ur die Linke und
|
||||
die rechte Quellposition (mittlere wird bei Mittelung redundant) so
|
||||
ergibt sich die Doppelte Lichtlaufzeit zwischen den Detektoren (\(t_0
|
||||
+ \mathfrak{t} - (t_0
|
||||
- \mathfrak{t}) = 2\mathfrak{t}\)).
|
||||
|
||||
Um die Peakpositionen zu erhalten, wurden Gaussfunktionen \"uber die
|
||||
Zeitspektren gefittet. Als ma\ss{} f\"ur die Peakbreite und damit die
|
||||
(statistische) Unsicherheit wurde \(1/10\) des \(\sigma\) Parameters
|
||||
der Gaussfunktion genutzt (heuristische Absch\"atzung). Nicht explizit
|
||||
betrachtet werden hier der Endliche Quellendurchmesser
|
||||
\SI{2.5}{\centi\meter} sowie der Restabstand der Quelle zum Detektor
|
||||
(kleiner \SI{1}{\centi\meter}). Der Prozess wird
|
||||
in~\ref{fig:calibration-lenght_det} illustriert.
|
||||
|
||||
\begin{figure}[H]\centering
|
||||
\input{../auswertung/figs/calibration/lenght_det.pgf}
|
||||
\caption[Abstandsbestimmung]{Bestimmung der Peakpositionen der Zeitspektren zwecks der
|
||||
Berechnung des Detektorabstandes. Die farbigen Intervalmarkierung
|
||||
stellen die gesch\"atzte Abweichung dar.}
|
||||
\label{fig:calibration-lenght_det}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
Entsprechend ergibt sich dann der Detektorabstand zu:
|
||||
\begin{align}
|
||||
\label{eq:abst}
|
||||
\mathfrak{t} &= \SI{2.2\pm .6}{\nano\second} \\
|
||||
D &= \frac{\mathfrak{t}}{2c} = \SI{330\pm 90}{\milli\meter}
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
\subsection{Theoriebeispiel}
|
||||
\label{sec:theobei}
|
||||
Zur Verbesserung des verst\"andnisses der Projektions- und
|
||||
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