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\section{Einleitung}
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\textbf{messen:} Längen, Flächen, Volumina, $\natur \to $ zählen, Wahrscheinlichkeiten, Energie $\to$ Integrale, ... \\
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Wenn man ein Integral hat: $\int_{t_0}^{t}F(t)\diff t$, also wird das $\diff t$ durch ein Maß $\mu(\diff t)$ ersetzt.
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%TODO graph
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\newline Wir messen Mengen:
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\begin{align}
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\mu: \mathcal{F} \to [0,\infty] \text{ mit }\mathcal{F} \subset \mathcal{P}(X) \notag
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\end{align}
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Dabei ist:
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\begin{itemize}
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\item $X$ eine beliebige Grundmenge
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\item $\mathcal{P}(X)=\{A\mid A\subset X\}$ die Potenzmenge von $X$
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\item $F \to \mu(F) \in [0,\infty]$
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\end{itemize}
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\textbf{Konvention:}
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\begin{itemize}
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\item Familien von Mengen: $\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C}, \mathcal{F}, \dots, \mathcal{R}$
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\item Mengen: $A, B, X$
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\item Maße: $\mu, \lambda, \nu, \rho, \delta$
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\end{itemize}
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\begin{example}[Flächenmessung]
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%TODO needs graph! and no counting for this example!
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\begin{align}
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\mu(F) = g \cdot h &= \mu(F_1) + \mu(F_2) + \mu(F_3)\notag\\
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&= g^{\prime} \cdot h + h^{\prime}\cdot g^{\prime \prime} + h^{\prime \prime} \cdot g^{\prime \prime}\notag\\
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&= \dots \overset{!}{=} gh\notag
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\end{align}
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$F_1, F_2, F_3$ disjunkt bzw. nicht überlappend!\\
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$\mu(F) = \mu(\Delta_1)+\mu(\Delta_2)$ mit $\mu(\Delta) = 0.5 gh$\\ %TODO graph
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Allgemein für Dreiecke: \\%TODO graph
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$\mu(\Delta) = 0.5 gh \overset{!}{=} 0.5 g^{\prime}h^{\prime}$ und das ganze ist wohldefiniert!
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\end{example}
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Dreiecke lassen allgemeine Flächenberechnung zu - Triangulierung!
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%TODO graph
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\begin{align}
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F = \biguplus_{n\in \natur} \Delta_n\, (\text{disjunkte Vereinigung } \Delta_i \cap \Delta_k = \emptyset \quad k \neq i)\notag
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\end{align} %TODO fix error
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%TODO do the rest of this chapter!
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