TUD_MATH_BA/2. Semester/ANAG/TeX_files/Reelle Zahlen.tex

\section{Reelle Zahlen}
\stepcounter{theorem}%Example 1 is missing (not important)
\subsection*{Struktur von archimedisch angeordneten Körpern}
\begin{satz}
	Sei $K$ Körper. Dann gilt $\forall a,b\in K$:
	\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
		\item $0,1,(-a),b^{-1} (b\neq 0)$ sind eindeutig bestimmt
		\item $(-0) = 0, 1^{-1} = 1$
		\item $-(-a) = a, (b^{-1})^{-1} = b (b\neq 0)$
		\item $-(a+b) = (-a) + (-b), (ab)^{-1} = a^{-1}b^{-1} (a,b\neq 0)$
		\item $-a = (-1) a, (-a)(-b) = ab,\;a\cdot 0 = 0$
		\item $ab = 0 \Leftrightarrow a=0\lor b = 0$
		\item $a+x = b$ hat eindeutige Lösung $x = b+(-a) =: b-a$ \begriff{Differenz}
		
		$ax=b (a\neq 0)$ hat eindeutige Lösung $x=a^{-1}b =:\frac{b}{a}$ \begriff{Quotient}
	\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{definition}
	\begin{itemize}
	\item \begriff{Vielfache}: $na := \sum_{k=1}^{n}a$
	
	Damit:
	\begin{itemize}
		\item $(-n)a := n(-a), 0_\mathbb{N} a := a_K$ für $n\in\mathbb{N}_{\ge 1}$
		\item $ma + na = (m+n)a, na + nb = n(a+b)$
		\item $(ma)\cdot(na) = (mn)a^2, (-n)a = -(na)$
	\end{itemize}
	\item \begriff{Potenz}: $a^n$ von $a\in K, n\in\mathbb{Z}:=\prod_{k=1}^{n} a$
	
	Damit
	\begin{itemize}
		\item $a^{-n} :=(a^{-1})^n, a^{0_K}:=1_K$ für $n\in\mathbb{N}_{\ge 1}, a\neq 0$
		\item $a^m a^n = a^{m+n}, (a^m)^n = a^{mn}, a^nb^n = (ab)^n, a^{-n} = (a^n)^{-1}$
	\end{itemize}
	\item \begriff{Fakkultät} für $n\in\mathbb{N}:$\mathsymbol*{n}{$n"!$} $n!:=\prod_{k=1}^n k, 0!=1$
	\item \begriff{Binomialkoeffizient} \mathsymbol{noverm}{$\binom{n}{k}$}$:=\frac{n!}{k!(n-k)!}\in\mathbb{N}$ $\forall k,n\in\mathbb{N}, 0\le k\le n$
	\begin{itemize}
		\item $\binom{k+1}{n+1} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1}$
		\item Rechenregel führt auf \begriff{\person{Pascal}'sches Dreieck}
	\end{itemize}
	\end{itemize}
\end{definition}

\begin{satz}[Binomischer Satz]
	In Körper $K$ gilt: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^n b^{n-k}, ,b\in K, n\in\mathbb{N}$
\end{satz}
\begin{satz}
	Sei $K$ angeordneter Körper. Dann gilt $\forall a,b,c,d\in K$:
	\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
		\item $a < b \Leftrightarrow 0 < b-a$
		\item $a < b, c < d \Leftrightarrow a+c < b+d$
		
		$0 \le a < b, 0 \le c < d \Leftrightarrow a\cdot c < b\cdot d$
		\item $a < b \Leftrightarrow -b < -a$ (insbes. $a > 0 \Leftrightarrow -a < 0$)
		
		$a < b, c < 0 \Leftrightarrow a\cdot c > b \cdot c$
		\item $a\neq 0 \Leftrightarrow a^2 > 0$ (insbes. 1 > 0)
		\item $a > 0 \Leftrightarrow a^{-1} > 0$
		\item $0 < a < b \Leftrightarrow b^{-1} < a^{-1}$
	\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{definition}
	\begriff{Absolutbetrag} $\vert\cdot\vert:K\rightarrow K$ (auf angeordneten Körper $K$) \[\vert a \vert:=\begin{cases}
	a&\text{für }a \ge 0 \\ -a& \text{für }a < 0\end{cases}\]
\end{definition}

\begin{satz}
	Sei $K$ angeordneter Körper. Dann gilt $\forall a,b\in K$:
	\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
		\item $\vert a\vert\ge 0, \vert a\vert\ge a$
		\item $\vert a\vert = 0$ \gls{gdw} $a=0$
		\item $\vert a\vert = \vert -a\vert$
		\item $\vert a\vert\cdot\vert b\vert = \vert a\cdot b\vert$
		\item $\left\vert \frac{a}{b}\right\vert = \frac{\vert a\vert}{\vert b\vert} (b\neq 0)$
		\item \begriff{Dreiecksungleichung}
		
		$\vert a+b\vert \le \vert a\vert + \vert b\vert$ ($\vert a-b\vert = \vert a+(-b)\vert \le \vert a\vert + \vert b\vert$)
		\item $\left\vert a\vert - \vert b\right\vert \le \vert a+b\vert$
		\item \begriff{\person{Bernoulli}-Ungleichung}
		
		$(1+a)^n \ge 1 + n\cdot a \,\forall a\ge -1, n\in\mathbb{N} (a\neq -1 \text{ bei }n = 0)$
		
		(Gleichheit \gls{gdw} $n=0,1$ oder $a=0$)
	\end{enumerate}
\end{satz}
\begin{definition}
	Betr. $f:\mathbb{Q}\rightarrow K$ mit $f\left(\frac{m}{n}\right):= \frac{m\cdot 1_K}{n\cdot 1_K}=(m 1_k)(n 1_K)^{-1}\,\forall m\in\mathbb{Z},k\in\mathbb{Z}_{\neq 0}$
\end{definition}
\begin{satz}
	Sei $K$ angeordneter Körper\\
	$\Rightarrow$ $f:\mathbb{Q}\rightarrow K$ ist injektiv und $f$ erhält die Körperstruktur und Ordnung, d.h. $\forall p,q\in\mathbb{Q}$:
	\begin{itemize}
		\item $f(p+q) = f(p) + f(q), f(0) = 0_K, f(-p) = -f(p)$
		\item $f(p\cdot q) = f(p)\cdot f(q), f(1) = 1_K, f(p^{-1}) = f(p)^{-1} (p\neq 0)$
		\item $p \le_\mathbb{Q} q \Leftrightarrow f(p) \le_K f(q)$
	\end{itemize}
\end{satz}

\begin{conclusion}
	Es gilt im angeordneten Körper:
	\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
		\item $\mathbb{Q}_K = f(\mathbb{Q})$ ist mit Addition, Multiplikation und Ordnung von $K$ selbst angeordneter Körper
		\item $\mathbb{Q}_K$ ist isomorph zu $\mathbb{Q}$ bzgl. Körperstruktur und Ordnung.
	\end{enumerate}
\end{conclusion}

\begin{definition}
	Angeordneter Körper heißt \begriff[Körper!]{archimedisch}, falls $\forall a\in K\,\exists n\in\mathbb{N}\subset K: a < n$.
\end{definition}
\begin{satz}
	Sei $K$ archimedisch angeordneter Körper. Dann\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
		\item $\forall a,b\in K$ mit $a,b>0\,\exists n\in\mathbb{N}: n\cdot a > b$
		\item $\forall a\in K\,\exists!\,[a]\in\mathbb{Z}: [a]\le a \le [a] +1$, \mathsymbol{a}{$[a]$} heißt \begriff{ganzer Anteil} von $a$
		\item $\forall \epsilon \in K$ mit $\epsilon > 0\,\exists n\in\mathbb{N}_{\neq 0}: \frac{1}{n}< \epsilon$ (beachte: $0 < \frac{1}{n}$)
		\item $\forall a,b\in K$ mit $a>1\,\exists n\in\mathbb{N}: a^n > b$
		\item $\forall a,\epsilon > 0\,\exists p,q\in\mathbb{Q}: p \le a  q$ und $q - p < \epsilon$
		
		(d.h. $a\in K$ kann auch rationale Zahlen beliebig genau approximiert werden, $\mathbb{Q}$ "`dicht"' in $K$)
		\item $\forall a,b\in K, a < b\,\exists q\in\mathbb{Q}:a < q < b$.
	\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{definition}[Intervall]
	\begriff{Intervall} für angeordneten Körper $K$: Sei $a,b\in K$:
	\begin{itemize}
		\item \begriff{beschränktes Intervall}
		\begin{itemize}
			\item $[a,b]:=\{ x\in K | a \le x \le b \}$ \begriff[Intervall!]{abgeschlossen}
			\item $(a,b):=\{a < x < b\}$ \begriff[Intervall!]{offen}
			\item $[a,b) := \{a \le x < b\}, (a,b]:=\{a < x \le b\}$ \begriff[Intervall!]{halboffen}
		\end{itemize}
		\item \begriff{unbeschränktes Intervall}
		\begin{itemize}
			\item $[a,\infty]:=\{x\in K\mid a \le x\}$
			\item $(a,\infty):=\{x\in K\mid a > x\}$
            \item $(-\infty, b]:= \{x \in K \mid x< a\}$
            \item $(-\infty, b) := \{x\in K\mid x \leq b\}$
		\end{itemize}
	\end{itemize}
\end{definition}

\begin{definition}[Folge]
    Eine \begriff{Folge} in Menge $M$ ist eine Abbildung $\alpha:\mathbb{N}\rightarrow M$ (evtl. $\alpha:\mathbb{N}_{\ge n}\rightarrow M$), $\alpha_n := \alpha(n)$ heißen \begriff{Folgenglieder}, und \begriff{Folgenindex}.
    
	Notation: $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}, \{\alpha_n\}_{k=1}^\infty$ bzw. $\alpha_0, \alpha_1, \dotsc$\\
	kurz: $\{\alpha_n\}_n, \{\alpha_n \}$
		
	Hinweis: $\{x\}_n$ ist \begriff{konstante Folge}, d.h. $\alpha_n = \alpha\,\forall n$
\end{definition}

Aussage gilt für \gls{fa} $n\in\mathbb{N}$, wenn höchstens für endlich viele $n$ falsch.

\begin{definition}[Intervallschachtelung]
	Folge $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}} =:\mathcal{X}$ von abgeschlossenen Intervallen $X_n=[x_n, x_n']\subset K$ $(x_n, x_n'\in K)$ heißt \begriff{Intervallschachtelung} (im angeordneten Körper K), falls
	\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
		\item $X_n\neq \emptyset$ und $X_{n+1}\subset X_n\,\forall n\in\mathbb{N}$
		\item $\forall\epsilon > 0$ in $K$ existiert $n\in\mathbb{N}: l(X_n):= x_n' - x_n < \epsilon$, mit $l$ \begriff{Intervalllänge}
	\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{lemma}
	Sei $\mathcal{X} = \{X_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ Intervallschachtelung im angeordneten Körper $K$\\
	$\Rightarrow \bigcap_{n\in\mathbb{N}} X_n$ enthält höchstens ein Element.
\end{lemma}

\begin{definition}
	Archimedisch angeordneter Körper heißt \begriff[Körper]{vollständig}, falls $\bigcap_{n\in\mathbb{N}} X_n\neq \emptyset$ für jede Intervallschachtelung $\mathcal{X} = \{x_n\}$ in $K$.
\end{definition}

\begin{definition}
	$Q:=\{ (\{x_n\}, \{y_n\})\in I_\mathbb{Q}\times I_\mathbb{Q} \}$ ist Relation auf $I_\mathbb{Q}$, $I_\mathbb{Q}:=$ Menge aller Intervallschachtelungen $\mathcal{X}=\{x_n\} \in \mathbb{Q}$.
\end{definition}

\begin{satz}
	$Q$ ist Äquivalenzrelation auf $I_\mathbb{Q}$.
\end{satz}

\begin{definition}
	setze $\mathbb{R} := \{ [\mathcal{X}] \mid \mathcal{X}\in I_\mathbb{Q} \}$ Menge der \begriff{reellen Zahlen}.
	
	\begin{itemize}
		\item $\bigcap_{n\in\mathbb{N}} X_n \neq 0 \rightarrow [\mathcal{X}]$ ist "`neue"' sog. \begriff{irrationale Zahl}
	\end{itemize}
\end{definition}

\subsection*{Rechenoperationen}
\begin{definition}
	Für Intervalle $X=[x,x'], Y=[y,y']$ in $\mathbb{Q}$ defineren wir Intervall in $\mathbb{Q}$:
	\begin{itemize}
		\item $X + Y := \{\xi + \eta \mid \xi \in X, \eta\in Y\} = [x + y, x' + y']$
		\item $X\cdot Y :=\{\xi \cdot \eta \mid \xi \in X, \eta\in Y\} = [\tilde{x}\tilde{y}, \tilde{x}'\tilde{y}']$, wobei $\tilde{x},\tilde{x}'\in\{x,x'\},\tilde{y},\tilde{y}'\in\{y,y'\}$
		\item $-X := [-x,-x']$, $X^{-1}:=[\frac{1}{x'}, \frac{1}{x}]$ falls $0\in X$
	\end{itemize}

	Für relle Zahl $[\mathcal{X}] = [\{x_n\}], [\mathcal{Y}]=[\{y_n\}]$ sei
	\begin{itemize}
		\item $[\mathcal{X}]+\mathcal{Y} :=[\{x_n + y_n\}]$
		\item $[\mathcal{X}]\cdot[\mathcal{Y}] :=[\{x_n\cdot y_n\}]$
		\item $-[\mathcal{X}]:=[\{-x_n\}]$
			
			$[\mathcal{X}]^{-1} := [\{x_n^{-1}\}]$ falls $[\mathcal{X}]\neq 0_\mathbb{R}$
	\end{itemize}
\end{definition}

\begin{satz}
	\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
		\item Addition, Multiplikation und Inverse sind in $\mathbb{R}$ eindeutig definiert
		\item $\mathbb{R}$ ist damit und neutralen Elementen ein Körper.
	\end{enumerate}
\end{satz}

\subsection*{Ordnung auf $\mathbb{R}$}
\begin{definition}
	Betr. Relation "`$\le$"': $R:=\{ ([\{x_n\}],[\{y_n\}])\in\mathbb{R}\times\mathbb{R} | x_n \le y_n\,\forall n\in\mathbb{N}\}$
\end{definition}
\begin{satz}
	$\mathbb{R}$ ist mit "`$\le$"' angeordneter Körper.
\end{satz}
\begin{satz}
	$\mathbb{R}$ ist archimedisch angeordneter Körper.
\end{satz}
\begin{theorem}
	$\mathbb{R}$ ist vollständiger, archimedisch angeordneter Körper.
\end{theorem}
\begin{theorem}
	Sei $K$ vollständiger, archimedisch angeordneter Körper\\
	$\Rightarrow K$ ist isomorph zu $\mathbb{R}$ bzgl. Körperstruktur und Ordnung.
\end{theorem}

\begin{definition}
	Sei $M\subset K$, $K$ angeordneter Körper.
	\begin{itemize}
		\item $s\in K$ ist \begriff[Schranke!]{obere} / \begriff[Schranke!]{untere} \begriff{Schranke} von $M$, falls $x \le s (x \ge s)\,\forall x\in M$
		
		$M$ ist nach \begriff[beschränkt!]{oben} / \begriff[beschränkt!]{unten} \highlight{beschränkt}, falls obere ( untere ) Schranke existiert.
		\item $M$ \begriff{beschränkt}[!Menge im Körper], falls $M$ nach oben und unten beschränkt.
		\item kleinste obere (größte untere) Schranke $\tilde{s}$ von $M$ ist \begriff{Supremum} (\begriff{Infimum}) von $M$, d.h. \\
		\mathsymbol{sup}{$\sup$}$ M:= \tilde{s} \le s ($\mathsymbol{inf}{$\inf$}$ M = s \ge \tilde{s}) \;$ obere (untere) Schranken $s\in M$.
		\item Falls $\sup M \in M (\inf M\in M)$ nennt man dies auch \begriff{Maximum} (\begriff{Minimum}) von $M$.
		
		kurz: \mathsymbol{max}{$\max$}$M = \sup M ($\mathsymbol{min}{$\min$}$M = \inf M)$
		\item falls $M$ nach oben (unten) \begriff[Menge!]{unbeschränkt}, d.h. nicht beschränkt, schreibt man auch $\sup M = \infty (\inf M = -\infty)$
	\end{itemize}

	Man hat
	\begin{align*}
	\sup M &= \min\{s \mid s \text{ obere Schranke von } M\}\\
	\inf M &= \max\{s \mid s \text{ untere Schranke von } M\}
	\end{align*}
\end{definition}
\stepcounter{theorem}
\begin{satz}
	Sei $K$ angeordneter Körper, $M\subset K$. Falls $\sup M\;(\inf M)$ existiert, dann
	\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
		\item $\sup M\;(\inf M)$ eindeutig
		\item $\forall \epsilon > 0\,\exists y\in M: \sup M < y + \epsilon\;(\inf M > y - \epsilon)$
	\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{theorem}
	Sei $K$ archimedisch angeordneter Körper. Dann
	\[ K \text{ vollständig } \Leftrightarrow \sup M \slash \inf M \text{ ex. }\forall M\in K, M\neq \emptyset \text{ nach oben \slash unten beschränkt} \]
\end{theorem}

\subsection*{Anwendung: Wurzeln, Potenzen, Logarithmen in $\mathbb{R}$}
\begin{satz}[Wurzeln]
	Sei $a\in\mathbb{R}_{>0}, k\in\mathbb{N}_{>0} \;\Rightarrow \; \exists ! x\in \mathbb{R}_{>0}: x^k = a, \sqrt[k]{a}:=a^{\frac{1}{k}} = x$ heißt \highlight{k-te} \begriff{Wurzel} von $a$.
\end{satz}
\begin{definition}[Potenz]
	$n$-te \begriff{Potenz} von $a\in\mathbb{R}_{>0}, r\in\mathbb{R}$:
	
	Zunächst $r=\frac{m}{n}\in\mathbb{Q}$ (\gls{obda}) $n\in\mathbb{N}_{>0}$): $ a^{\frac{m}{n}}:= (a^m)^{\frac{1}{n}}$
	Allgemein für $a\ge 0, a > : a^r := \sup \{ a^q \mid 0 \le q \le r,q\in\mathbb{Q} \}$
	offenbar eindeutig definiert und allgemeine Definition konsistent mit Definition für $\frac{m}{n}\in\mathbb{Q}$.
	Damit: \begriff{Exponentialfunktion}
\end{definition}
\begin{satz}\label{satz_potenz_r}
	Seien $a,b\in\mathbb{R}_{>0}, r,s\in\mathbb{R}. Dann$
	\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
		\item $a^r b^r = (ab)^r, (a^r)^s = a^{rs}, a^ra^s = a^{r+s}$
		\item f. $r > 0: a < b \Leftrightarrow a^r < b^r$
		\item für $a > 1: r < s \Leftrightarrow a^r < a^s$
	\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{definition}[Logarithmus]
	Sei $a,b\in\mathbb{R}_{<0}, a\neq 1$: \begriff{Logarithmus}\highlight{von $b$ zur Basis $a$} ist \begin{align*}
	 \log_a b :=\begin{cases}
	 \sup \{ r \in \mathbb{R} \mid a^r \le b\}& a > 1\\
 	\sup \{r\in\mathbb{R}\mid a^r \ge b\}& 0 < a < 1
	 \end{cases}
	\end{align*}
\end{definition}
\begin{satz}\label{satz_logarithmus_r}
	Se $a,b,c\in\mathbb{R}_{>0}, a\neq 1$. Dann
	\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
		\item $log_a b$ ist eindeutige Lösung von $a^x = b$, d.h. $a^{log_a b} = b$
		\item $\log_a a = 1, log_a 1 = 0$
		\item $\log_a b^\gamma = \gamma \log_a b \,\forall \gamma\in\mathbb{R}$
		\item $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c, \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$
		\item $\log_a b = \frac{\log_\alpha b}{\log_\alpha a}\,\forall \alpha\in\mathbb{R}_{>0},\alpha\neq 1$
	\end{enumerate}
\end{satz}

\subsection*{Mächtigkeit von Mengen}
\begin{definition}
	$M$ \begriff[Mächtigkeit!]{endlich}, falls $M$ endlich viele Elemente hat, sonst \begriff[Mächtigkeit!]{unendlich}.
	
	Unendliches $M$ ist \begriff[Mächtigkeit!]{abzählbar}, falls bijektive Abbildung $f:\mathbb{N}\rightarrow M$ existiert, sonst ist $M$ \begriff[Mächtigkeit!]{überabzählbar}.
\end{definition}
\begin{satz}
	Es gilt:
	\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
		\item $\mathbb{Z},\mathbb{Q}$ abzählbar
		\item $M$ abzählbar, $n\in\mathbb{N}_{>0} \Rightarrow M^n$ abzählbar ($\Rightarrow \mathbb{Z}^n, \mathbb{Q}^n$ abzählbar)
		\item Ein offenes Intervall $I\in\mathbb{R}\neq \emptyset $ ist überabzählbar
		\item $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ ist überabzählbar.
	\end{enumerate}
\end{satz}