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\section{Natürliche Zahlen}
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\begin{definition}[Peano Axiome]
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$\mathbb{N}$ sei Menge, die die \begriff{\person{Peano}-Axiome} erfüllen, d.h.
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\begin{enumerate}[label={P\arabic*)}]
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\item $\mathbb{N}$ sei indutkiv, d.h. es ex.
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\begin{itemize}
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\item Nullelement $0\in \mathbb{N}$ und
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\item injektive (Nachfolger-) Abb. \mathsymbol{nu}{$\nu$}$:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ mit $\nu(n)\neq 0\,\forall n\in \mathbb{N}$
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\end{itemize}
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\item (Induktionsaxiom)
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Falls $N\subset\mathbb{N}$ induktiv in $\mathbb{N}$ (d.h. $0,\nu(n)\in\mathbb{N}$ falls $n\in\mathbb{N}$)\\
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$\Rightarrow N=\mathbb{N}$ ($N$ ist die kleinste indutkive Menge)
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\end{enumerate}
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Nach Mengenlehre ZF existiert eine Solche Menge der \begriff{natürliche Zahlen} mit üblichen Symbolen.
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\end{definition}
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\begin{theorem}
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Falls $\mathbb{N}$ und $\mathbb{N}*$ \person{Peano}-Axiome erfüllen, dann sind sie isomorph bezüglich Nachfolger-Abbildung und Nullelement (Anfangselement).
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\end{theorem}
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\begin{proposition}[Prinzip der vollständigen Induktion]
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\begriff*{vollständigen Induktion}
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Sei $\{A_n | n\in\mathbb{N}\}$ Aussagenmenge mit d. Eigenschaften
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\begin{itemize}
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\item[(IA)] $A_0$ ist wahr (\begriff{Induktionsanfang})
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\item[(IS)] $\forall n\in\mathbb{N}$ gilt: $A_n$ (wahr) $\Rightarrow A_{n+1}$
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\end{itemize}
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$\Rightarrow A_n$ ist wahr $\forall n\in\mathbb{N}$
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\end{proposition}
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\begin{lemma}
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Es gilt:
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\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
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\item $\nu(\mathbb{N})\cup \{0\}=\mathbb{N}$
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\item $\nu(n)\neq n\,\forall n\in\mathbb{N}$
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\end{enumerate}
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\end{lemma}
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\begin{proposition}[Rekusrive Definition / Rekursion]
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\begriff*{Rekursion}
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Sei b$B$ Menge, $b\in B$ u. $F:B\times\mathbb{N}\rightarrow B$ Abbildung. Dann liefert die Vorschrift \begin{align*}
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f(0) &:= b,\\f(n+1):=F(f(n),n)\quad\forall n\in \mathbb{N}
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\end{align*}
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genau eine Abbildung für $f:\mathbb{N}\rightarrow B$ (d.h. solche Abbildung ist eindeutig)
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\end{proposition}
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\subsection*{Rechenoperationen}
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\begin{definition}[Rechenoperation auf $\boldsymbol{\mathbb{N}}$]
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Definiere \begriff{Addition}[!natürliche Zahlen] $+:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ auf $\mathbb{N}$ durch $n+0:=n, n+\nu(m) :=\nu(n+m)\,\forall n,m\in\mathbb{N}$
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Definiere \begriff{Multiplikation}[!natürliche Zahlen] $\cdot:\mathbb{N}\times\mathbb{N} \rightarrow\mathbb{N}$ auf $\mathbb{N}$ durch $n\cdot 0 = 0, n\cdot\nu(m) = n\cdot m+n\,\forall m,n\in\mathbb{N}$
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\end{definition}
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\begin{proposition}
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Addition und Multiplikation haben folgende Eigenschaften, d.h. $\forall k,m,n\in\mathbb{N}$ gilt:
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\begin{tabular}{clll}
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\toprule
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&& Addition & Multiplikation\\
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\midrule
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a)& $\exists$ neutrales Element & $n+0=n$ & $n\cdot 1 = n$\\
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b)& kommutativ & $m+n=n+m$ & $m\cdot n = n\cdot m$ \\
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c)& assoziativ & $(k+m)+n = k+(m+n)$ & $(k\cdot m)\cdot n = k\cdot (m\cdot n)$ \\
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d)&distributiv & \multicolumn{2}{c}{$k(m+n) = k\cdot m + k\cdot n$} \\
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\bottomrule
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\end{tabular}
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\end{proposition}
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\begin{conclusion}
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Es gilt $\forall k,m,n\in\mathbb{N}$:
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\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
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\item $m\neg 0 \Rightarrow m+n \neg 0$
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\item $m\cdot n = 0 \Leftrightarrow m = 0 \lor n = 0$
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\item $m + k = n + k \Leftrightarrow m = n$ (Kürzungsregel Addition)
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\item $k\neg 0: m\cdot k = n\cdot k \Leftrightarrow m = n$ (Kürzungsregel Multiplikation)
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\end{enumerate}
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\end{conclusion}
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\subsection*{Ordnung auf $\boldsymbol{\mathbb{N}}$}
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\begin{definition}[Ordnung auf $\boldsymbol{\mathbb{N}}$]
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Betr. Relation $R:=\{(m,n) \in\mathbb{N}\times\mathbb{N}|m \le n\}$
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\end{definition}
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\begin{proposition}
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Es gilt auf $\mathbb{N}$:
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\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
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\item $m\le n \;\Rightarrow \;\exists!k\in\mathbb{N}: n = m + k$, nenne $n - m=:k$ \begriff{Differenz}
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\item Relation $R$ (bzw. "`$\le$"') ist Totalordnung auf $\mathbb{N}$
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\item Ordnung "`$\leq$"' ist verträglich mit Addition und Multiplikation
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\end{enumerate}
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\end{proposition} |