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\section{Der Elementarteilersatz}
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Sei $R$ Hauptidealring.
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\begin{definition}
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Seien $a,b,x,y\in R$. Für $i,j\in\{1,...,n\}$ ist
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\begin{align}
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E_{ij} = (\delta_{\sigma,i},...,\delta_{\mu,j})_{\sigma,\mu}\in\Mat_n(\real)\notag
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\end{align}
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Sei
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\begin{align}
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E_{ij}(a,b,x,y) = \mathbbm{1}_n-E_{ii}-E_{jj}+aE_{ii}+bE_{ij}+xE_{jj}+yE_{ji}\notag
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\end{align}
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%TODO: Matrix ergänzen von Pascal
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\end{definition}
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\begin{lemma}
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Ist $ax-by\in R^\times$, so ist
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\begin{align}
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E_{ij}(a,b,x,y)\in \GL_n(\real)\notag
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\end{align}
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Folgt aus LAAG1 IV.3.4, da
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%TODO: Verlinkung
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\begin{align}
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\det(E_{ij}(a,b,x,y))=ax-by\in R^\times\notag
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\end{align}
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Oder direkt: Das Inverse ist $E_{ij}(xc^{-1},bc^{-1}, ac^{-1},-yc^{-1})$, zum Beispiel
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\begin{align}
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\begin{pmatrix} a & b \\ y & x\end{pmatrix}\begin{pmatrix}xc^{-1} & -bc^{-1} \\ -yc^{-1} & ac^{-1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(ax-by)c^{-1} & 0 \\ 0 & (ax-by)c^{-1}\end{pmatrix}\notag
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\end{align}
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\end{proof}
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\begin{remark}
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Multiplikation mit $E_{ij}(a,b,x,y)$ von links an $(a_1,...,a_n)^t\in\Mat_n(\real)$
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%TODO: konnte den Rest nicht erkennen, noch ergänzen
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\end{remark}
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\begin{theorem}[Elementarteilersatz für Matrizen]
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Sei $A\in\Mat_{m\times n}(\real)$. Es gibt
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\begin{align}
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0\le r \le\min\{n,m\}\notag \\
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S\in\GL_m(\real)\notag \\
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T\in\GL_n(\real)\notag
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\end{align}
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mit
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\begin{align}
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SAT &= \diag(d_1,...,d_r,Q) \notag \\
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0&=Q\in\Mat_{m-r\times n-r}\notag
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\end{align}
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wobei $d_i\in R\backslash\{0\}$ mit $d_i\mid d_{i+1}$ für $i=1,...,n-1$
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\end{theorem} |